中學(xué)數(shù)學(xué)課改的十個(gè)論題

中學(xué)數(shù)學(xué)課改的十個(gè)論題

自2001年實(shí)施課標(biāo)教材實(shí)驗(yàn)以來，我們進(jìn)行了大量跟蹤調(diào)研，發(fā)現(xiàn)了一些帶有普遍性的問題。經(jīng)過整理，歸納出如下論題：序言：數(shù)學(xué)教改的基本共識在課改過程中，對數(shù)學(xué)教學(xué)涉及的各環(huán)節(jié)及相關(guān)問題都進(jìn)行了全方位的反思和討論，提出了各種各樣的觀點(diǎn)，從中我們可以概括出一些基本共識：教學(xué)目標(biāo)——全面關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知、能力和理性精神，強(qiáng)調(diào)以學(xué)生最近發(fā)展區(qū)為定向，促進(jìn)學(xué)生全面、和諧、可持續(xù)發(fā)展，為學(xué)生的富有個(gè)性的發(fā)展奠定必須的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，其實(shí)質(zhì)仍然是“數(shù)學(xué)育人”；教學(xué)內(nèi)容——強(qiáng)調(diào)概念及其反映的思想方法教學(xué)的重要性，注重知識的聯(lián)系與綜合，反對“數(shù)學(xué)教學(xué)=解題教學(xué)=題型教學(xué)=技巧訓(xùn)練”的現(xiàn)象；教學(xué)要求——個(gè)性差異與統(tǒng)一要求的辯證統(tǒng)一，這是歷來強(qiáng)調(diào)的，但以前偏重統(tǒng)一性，現(xiàn)在強(qiáng)調(diào)以個(gè)性差異為出發(fā)點(diǎn)和基礎(chǔ)；教學(xué)設(shè)計(jì)——不僅從內(nèi)容的教學(xué)需要預(yù)設(shè)提問、講授、訓(xùn)練等，而且特別強(qiáng)調(diào)課堂“生成”，設(shè)計(jì)能引發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考、自主探究的“開放性問題”，乃至強(qiáng)調(diào)“看過問題三百個(gè)，不會(huì)解題也會(huì)問”；教學(xué)方法——強(qiáng)調(diào)講授、問答、訓(xùn)練的綜合，不再是單一的講授或活動(dòng)，是教師主導(dǎo)取向的講授式和學(xué)生自主取向的活動(dòng)式的融合，強(qiáng)調(diào)“啟發(fā)式教學(xué)”的核心地位；學(xué)習(xí)方式——接受與探究的融合，強(qiáng)調(diào)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性、積極性，注重獨(dú)立思考和合作學(xué)習(xí)的結(jié)合；教學(xué)過程——以知識的（自然、水到渠成）發(fā)生發(fā)展過程為載體的學(xué)生認(rèn)知過程，以學(xué)生為主體的數(shù)學(xué)活動(dòng)過程，強(qiáng)調(diào)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的展開、深度參與（教學(xué)的有效性）；教學(xué)評價(jià)——強(qiáng)調(diào)發(fā)揮評價(jià)對改進(jìn)教師的教、學(xué)生的學(xué)的作用，作為教師根據(jù)教學(xué)進(jìn)程進(jìn)行教學(xué)反饋、調(diào)節(jié)，以及學(xué)生通過自我監(jiān)控調(diào)節(jié)學(xué)習(xí)進(jìn)程的依據(jù)，重視形成性評價(jià)；教學(xué)媒體——以信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)整合為焦點(diǎn)，追求“必要性”“平衡性”“廣泛性”“實(shí)踐性”“有效性”，服務(wù)于數(shù)學(xué)概念、原理的實(shí)質(zhì)理解，做紙筆所不能做的事。這些共識就是被廣大教師普遍接受的“新理念”。從中可見，“新理念”并不是對“舊理念”的拋棄，而是對“舊理念”的揚(yáng)棄，是繼承與發(fā)展的統(tǒng)一，而且有許多教育思想（例如“教學(xué)應(yīng)該實(shí)行啟發(fā)式，反對注入式”）是常新的、永不過時(shí)的。教育領(lǐng)域中，“全新理念”不能用來指導(dǎo)教改實(shí)踐?？傊?，“新理念”就是要在教育領(lǐng)域落實(shí)科學(xué)發(fā)展觀，使學(xué)生得到全面、和諧與可持續(xù)發(fā)展。值得指出的是，上述共識許多都是常識。但常識往往被人們忘記?；仡櫸覈谑兰o(jì)之交開始的這場以課程改革為核心的教育改革，可以發(fā)現(xiàn)這些共識來之不易，人們的思想回歸常識也經(jīng)歷了一個(gè)曲折的過程。從教育改革的理念層面看，本次改革確實(shí)解放了人們的思想；對我國數(shù)學(xué)教育傳統(tǒng)的批判許多都是切中要害的；更重要的是引發(fā)了人們的新思考，促使人們更進(jìn)一步地考慮數(shù)學(xué)教育中的深層次問題；關(guān)注學(xué)生的個(gè)性基礎(chǔ)，強(qiáng)調(diào)發(fā)揮學(xué)生的主體性，促進(jìn)學(xué)生積極主動(dòng)地學(xué)數(shù)學(xué)等，也是與時(shí)代發(fā)展對數(shù)學(xué)教育的新要求合拍的，有利于培養(yǎng)高素質(zhì)人才；等。但是，因?yàn)閷W(xué)生的成長過程沒有重復(fù)的機(jī)會(huì)，所以教育改革應(yīng)該敢想而謹(jǐn)慎地干，切忌蠻干，看準(zhǔn)的問題也只能逐步地改，只能是在已有發(fā)展基礎(chǔ)上的深入，否則一定會(huì)陷入低層次的折騰。從教改的發(fā)展現(xiàn)狀看，關(guān)鍵還是將先進(jìn)理念具體化，變成具有可操作性的行動(dòng)指南，落實(shí)在課堂教學(xué)中，體現(xiàn)在教師的日常教學(xué)行為上。一、“理解數(shù)學(xué)”是當(dāng)好數(shù)學(xué)教師的前提數(shù)學(xué)水平高的人不一定能教好數(shù)學(xué)，但好的數(shù)學(xué)教師一定有好的數(shù)學(xué)功底，這是毋庸置疑的。在數(shù)學(xué)教師的知識結(jié)構(gòu)中，第一要素是“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”，其主要內(nèi)涵是：了解數(shù)學(xué)知識的背景，準(zhǔn)確把握數(shù)學(xué)概念、定理、法則、公式等的邏輯意義，深刻領(lǐng)悟內(nèi)容所反映的思想方法，具有挖掘知識所蘊(yùn)涵的科學(xué)方法、理性思維過程和價(jià)值觀資源的能力和技術(shù)，善于區(qū)分核心知識和非核心知識等。從我們的調(diào)研結(jié)果看，盡管現(xiàn)在中學(xué)數(shù)學(xué)教師的學(xué)歷達(dá)標(biāo)率較高，還有許多數(shù)學(xué)教師具有碩士、博士學(xué)位，但總體而言，對中學(xué)數(shù)學(xué)課程中的內(nèi)容及其反映的思想方法的理解水平仍有很大的提高空間。例1“多項(xiàng)式乘法公式”中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法。多項(xiàng)式的乘法公式是我們司空見慣的內(nèi)容，一般的，人們只是把它作為一個(gè)簡化多項(xiàng)式運(yùn)算的工具，教學(xué)中常常是直接給出公式（證明實(shí)在是輕而易舉），然后把重點(diǎn)放在公式中字母的變式、熟練應(yīng)用公式的訓(xùn)練上。乘法公式的熟練運(yùn)用是重要的，而且要達(dá)到“自動(dòng)化”水平。然而，如果教學(xué)僅限于此，則沒有揭示“從多項(xiàng)式乘法到乘法公式”所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法。為了把問題看得更加清楚，我們不妨把視野放得更寬些，從代數(shù)學(xué)的基本觀念和思想方法入手。所謂“代數(shù)”就是“用不定元（字母）代表數(shù)”，而“代數(shù)學(xué)”的根源就在于對“不定元（字母）”進(jìn)行加、減、乘、除、乘方、開方等運(yùn)算及其規(guī)律的研究，即“引進(jìn)一個(gè)量就要研究它的運(yùn)算，引進(jìn)一種運(yùn)算就要研究它的運(yùn)算律”。簡言之，代數(shù)學(xué)的根源在于代數(shù)運(yùn)算。在引入不定元（字母）代表數(shù)之前，數(shù)系的運(yùn)算規(guī)律不能方便地表達(dá)；用不定元（字母）代表數(shù)以后，不僅數(shù)系的加、乘和指數(shù)運(yùn)算的運(yùn)算律（交換律、結(jié)合律、分配律、指數(shù)法則）能得到明白、簡便的表達(dá)，而且通過對不定元（字母）的運(yùn)算，自然而然地就得到了各種代數(shù)式（整式、分式、根式、指數(shù)式等）及其運(yùn)算法則，進(jìn)而就可以用它們來解各種代數(shù)方程、求各種代數(shù)公式等。這里，“用不定元（字母）代表數(shù)”的思想具有根本的重要性，它徹底地解放了數(shù)學(xué)的“生產(chǎn)力”。因?yàn)樽帜甘菙?shù)的“代表”，是一種在運(yùn)算上滿足運(yùn)算律的符號，所以在字母連同數(shù)一起的運(yùn)算中，關(guān)于數(shù)系的一系列運(yùn)算律仍然有效、可用。這樣，我們就可以“暢通無阻”地對那些具有數(shù)系通性的對象（未知量、變量、待定系數(shù)等）施行運(yùn)算律，系統(tǒng)而簡捷地解決各種代數(shù)問題。因此，“整個(gè)代數(shù)學(xué)所發(fā)展的就是有系統(tǒng)、有效力地運(yùn)用這一系列簡樸、普遍成立的數(shù)系運(yùn)算律，去解決各種各樣的代數(shù)問題”。有了上述認(rèn)識，就可以清楚地看到，多項(xiàng)式運(yùn)算就是含有字母符號的算式之間的運(yùn)算（字母代表數(shù)，數(shù)滿足運(yùn)算律，所以字母也滿足運(yùn)算律）；兩個(gè)多項(xiàng)式的乘積就是用分配律把它歸于單項(xiàng)式的乘積之和來計(jì)算，單項(xiàng)式的乘積是用乘法的交換律、結(jié)合律和指數(shù)法則來計(jì)算。而乘法公式則是研究一般多項(xiàng)式乘法基礎(chǔ)上對“特例”的考察：在(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd中，字母a,b,c,d有某些特殊關(guān)系時(shí)的特殊形式，即由上所述，在乘法公式的教學(xué)中，讓學(xué)生獲得公式的同時(shí)，還應(yīng)強(qiáng)化運(yùn)用運(yùn)算律進(jìn)行計(jì)算的意識，要滲透歸納的意識，要讓學(xué)生體會(huì)從一般到特殊等思想。實(shí)際上，“考察特例”是數(shù)學(xué)研究的“基本套路”，具有廣泛的適用性。例如，兩條直線的位置關(guān)系，我們要特別研究“平行”“垂直”；三角形中我們要特別研究直角三角形、等腰三角形；四邊形中，我們要特別研究平行四邊形；等。根據(jù)上述理解，本課的教學(xué)可以這樣設(shè)計(jì)：1.復(fù)習(xí)與引入問題1：前面我們學(xué)習(xí)了單項(xiàng)式、多項(xiàng)式的乘法，你能說說運(yùn)算法則嗎？這些運(yùn)算的依據(jù)是什么？設(shè)計(jì)意圖：回顧運(yùn)算法則，強(qiáng)化“用運(yùn)算律計(jì)算”的意識。先行組織者：我們知道，(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd，其中a、b、c、d可以是數(shù)、式或別的什么。數(shù)學(xué)中，經(jīng)常要通過考察特殊情況來獲得對問題的進(jìn)一步認(rèn)識，例如在兩條直線的位置關(guān)系中，我們特別研究了平行、垂直兩種特殊的位置關(guān)系，得到了一些有用的結(jié)論。類似的，在多項(xiàng)式乘法中，也有一些特殊情形值得研究。2.公式的探究問題2：我們知道，對于(x+b)(x+d)這樣的乘法，可以利用公式直接寫出它的結(jié)果。與(a+b)(c+d)比較，它實(shí)際上是a=c=x時(shí)的特殊情況。除此之外，在(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd中，你認(rèn)為還有哪些情況比較特殊？你能得到什么？設(shè)計(jì)意圖：通過“先行組織者”，滲透從一般到特殊，考察特例，深入認(rèn)識數(shù)學(xué)對象的方法；在讓學(xué)生自主活動(dòng)之前，先指出已有特例(x+b)(x+d)，使學(xué)生有一個(gè)類比對象，明確思考方向。問題3：通過上述活動(dòng)，我們得到了兩個(gè)公式。請你用自己的語言表述出乎方差公式、完全平方公式。設(shè)計(jì)意圖：幫助學(xué)生理解公式。3.例題具體題目略。本環(huán)節(jié)的主要目的是通過變式（字母a、b取數(shù)、式等各種變形），讓學(xué)生體會(huì)公式在“形式化運(yùn)算”中的作用。另外，通過適當(dāng)反例，糾正學(xué)生可能的疏忽。最終要讓學(xué)生明確：第一，具備形式(a+b)(a-b)或，就可以用公式；第二，要注意哪個(gè)代表a，哪個(gè)代表b。4.公式的多元聯(lián)系表示問題4：如果a、b表示線段的長，則分別表示正方形的面積。你能根據(jù)公式的形式，自己構(gòu)造一個(gè)圖形表示上述乘法公式嗎？設(shè)計(jì)意圖：通過構(gòu)造幾何模型表示公式，可以開拓學(xué)生的思路。通過數(shù)形結(jié)合、圖形直觀，可以加深理解、增強(qiáng)記憶。5.小結(jié)(1)請你總結(jié)一下本節(jié)課討論問題的基本過程。設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)“基本套路”，即“多項(xiàng)式乘法（一般）——乘法公式（特殊）——公式特征分析——與相關(guān)知識的聯(lián)系”。(2)為什么要討論“特殊情形”？是如何得到的？設(shè)計(jì)意圖：體會(huì)“如何提出問題”。(3)你能否循著上述思路，再提出一些值得研究的問題？設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生自主研究。必要時(shí)可作一定的提示，如公式中，對“次數(shù)”進(jìn)行推廣，可以研究……雖然這不是“課標(biāo)”要求的，但對學(xué)生思維發(fā)展是有好處的。說明：對本節(jié)內(nèi)容的教學(xué)觀摩發(fā)現(xiàn)，受“創(chuàng)設(shè)問題情境”的局限，許多老師把“沒有數(shù)學(xué)知識的張老漢被地主騙去了土地——觀察圖形（正方形面積部分的代數(shù)表達(dá)）——猜想公式”作為教學(xué)起點(diǎn)。這一設(shè)計(jì)因?yàn)楦顢嗔恕皬囊话愕教厥狻钡难芯烤€索，因此對乘法公式的教育價(jià)值造成致命傷害。另外，造作的情境把簡單問題復(fù)雜化，增加了學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)。我們認(rèn)為，從代數(shù)角度對乘法公式有了認(rèn)識以后，再用“幾何模型”解釋公式，才真正體現(xiàn)了“多元聯(lián)系表示”思想。另外，有的教師之所以跟風(fēng)，主要還是因?yàn)閷?nèi)容的理解不到位。二、課堂教學(xué)的高立意與低起點(diǎn)隨著人教版初、高中數(shù)學(xué)課標(biāo)教材的推廣，筆者有機(jī)會(huì)深入課堂，進(jìn)行了大量的教學(xué)觀察和研討。總體印象是：課堂教學(xué)的品位不高是普遍性的，許多教師“匠氣”十足，一切圍繞升學(xué)考試轉(zhuǎn)，以題型教學(xué)、技巧訓(xùn)練代替數(shù)學(xué)教學(xué)，功利化色彩濃厚，缺少起碼的思想、精神追求，極大地?fù)p害了數(shù)學(xué)的育人功能。因此，提高課堂教學(xué)的品位是當(dāng)務(wù)之急。筆者認(rèn)為，只有充分地挖掘數(shù)學(xué)知識蘊(yùn)涵的價(jià)值觀資源，并在教學(xué)中將知識教學(xué)與價(jià)值觀影響融為一體，才能真正體現(xiàn)“數(shù)學(xué)育人”，其中，至關(guān)重要的是要提高課堂教學(xué)的思想性。在課堂教學(xué)實(shí)踐上，要做到“高立意，低起點(diǎn)”。例2“四邊形”起始課的教學(xué)。以往，老師們一般都是單刀直入，直接進(jìn)入“平行四邊形性質(zhì)”的討論。這樣的教學(xué)，其基本立意是讓學(xué)生盡快知道知識點(diǎn)，以便展開解題訓(xùn)練，有“見木不見林”的弊端，容易造成被動(dòng)學(xué)習(xí)的局面，學(xué)生獨(dú)立思考、自主探究的機(jī)會(huì)也大大減少。下面給出一種利用先行組織者，引導(dǎo)學(xué)生開展“類比——探究”的教學(xué)設(shè)計(jì)思路，其基本用意是要讓學(xué)生體會(huì)幾何研究中理性思維的基本過程。先行組織者：我們今天開始學(xué)習(xí)四邊形的有關(guān)知識。在研究三角形時(shí)，我們類比了直線及其位置關(guān)系的研究思路。類似的，在具體研究四邊形之前，我們先來概括一下三角形的研究問題、線索和基本方法，以便于我們找到學(xué)習(xí)本章內(nèi)容的大方向。問題1：你能總結(jié)一下“三角形”一章研究的問題、過程與方法嗎？設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生明確一個(gè)類比對象，使他們逐步養(yǎng)成用幾何研究的“基本套路”思考問題的習(xí)慣。通過歸納，得到：三角形的定義（概念，組成要素，角平分線、高、中線等相關(guān)元素）→三角形的分類（按邊的相等關(guān)系分類、按內(nèi)角的大小分類）→三角形的基本性質(zhì)（邊的大小關(guān)系、內(nèi)角和、外角和等）→三角形的全等（確定三角形的條件，判定）→特殊三角形的研究，按角的特殊（直角三角形）、邊的特殊（等腰三角形）分類，從性質(zhì)、判定、大小度量等方面展開研究→相似三角形（主要研究性質(zhì)、判定等）。教師總結(jié)：通過“定義”，我們獲得了研究對象，認(rèn)識了它的組成要素和相關(guān)元素。分類的目的是為了對三角形進(jìn)行分門別類的研究，可以為研究提供方便。三角形的基本性質(zhì)，是對圖形本身的性質(zhì)的研究，其中三角形內(nèi)角和定理是平面幾何中最重要的定理之一。“全等形”是定性平面幾何研究的主要內(nèi)容之一，由此可知確定三角形的基本條件。對特殊三角形的研究，體現(xiàn)了考察“特例”的重要性，這是數(shù)學(xué)研究的“基本套路”?！疤厥庑浴笨梢詮慕堑奶厥夂瓦叺奶厥鈨蓚€(gè)角度入手，由此得到等腰三角形和直角三角形這兩個(gè)研究對象。“性質(zhì)”和“判定”是對特殊三角形的兩大研究主題。值得注意的是，等腰三角形是軸對稱圖形，它的特征性質(zhì)是研究平面幾何對稱性的種種表現(xiàn)與推論的基本工具；而直角三角形的性質(zhì)，特別是勾股定理，則是研究定量幾何的基本工具。問題2：類比三角形的研究，你能勾畫一下“四邊形”研究的問題、過程和方法嗎？設(shè)計(jì)意圖：通過類比，先讓學(xué)生對本章的研究內(nèi)容有一個(gè)整體認(rèn)識，在后續(xù)研究中能夠“見木見林”，給學(xué)生提供基本思想方法，從而增強(qiáng)學(xué)習(xí)主動(dòng)性。通過歸納得到：四邊形的定義（概念，組成要素，對角線等相關(guān)元素）→四邊形的基本性質(zhì)（內(nèi)角和、外角和等）→四邊形的全等（暫時(shí)不研究）→特殊四邊形的研究，也可以按