概率與數(shù)理統(tǒng)計教案

引言這種在一定條件下有確定結(jié)果的現(xiàn)象稱為必然現(xiàn)象(確定性現(xiàn)象)； 之 (同一型號的炮彈)，各次彈著點(diǎn)可能不盡相同，并且每次射擊之前無法肯定彈察會出現(xiàn)不同的結(jié)果(也就是說，多于一種可能的試驗結(jié)果)，而且在每次試驗之前都無法預(yù)言會出現(xiàn)哪一個結(jié)果(不能肯定試驗會出現(xiàn)哪一個結(jié)果)，這種現(xiàn)象現(xiàn)象。再看兩個試驗：就是說在試驗之前就能判定它只有一個確定的結(jié)果這種現(xiàn)象就是必然現(xiàn)象(必然現(xiàn)象)。對于試驗Ⅱ來說，在球沒有取出之前，不能確定試驗的結(jié)果(取出的球)是白球還是黑球，也就是說一次試驗的結(jié)果(取出的球)出現(xiàn)白球還是黑球，在試一球，記錄球的顏色白黑nnn(或n)”相等。試驗Ⅱ所代表的類型，它有多于一種可能的結(jié)果，但在試驗之前不能確定試驗會出現(xiàn)哪一種結(jié)果，這類試驗所代表的現(xiàn)象成為隨機(jī)現(xiàn)象，對于試驗而言，上面對隨機(jī)試驗做了描述性定義，下面進(jìn)一步明確它的含義，一個試驗如果滿足下述條件： (1)、試驗可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行； (2)、試驗的所有可能結(jié)果是明確的，可知道的(在試驗之前就可以知道的)并 概率論是從數(shù)量側(cè)面研究隨機(jī)現(xiàn)象及其統(tǒng)計規(guī)律性的數(shù)學(xué)學(xué)科，它的理論深動，然而概率論的產(chǎn)生，卻起始于對賭博的研究，當(dāng)時兩個賭徒約定賭若干局，斯葛同費(fèi)爾瑪討論這個問題，從而他們共同建立了概率論的第一基本概念——在他們之后，對于研究這種隨機(jī)(或稱偶然)現(xiàn)象規(guī)律的概率論做出了貢獻(xiàn)被稱為“大數(shù)定律”的一個定理(貝努里定理)這是研究偶然事件的古典概率論現(xiàn)了從古典概率論向近代概率論的轉(zhuǎn)變。俄國數(shù)學(xué)家馬爾可夫(1856-1922)提出了所謂“馬爾可夫鏈”的數(shù)學(xué)模型對發(fā)展這一理論做出貢獻(xiàn)的還有柯爾莫哥洛夫(俄國、)費(fèi)勒(美國)；1934年俄。與測度論的基礎(chǔ)上建立起來的，從而使概率論有了嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)?？?，經(jīng)濟(jì)類學(xué)科學(xué)生的公共課，許多高校都成立了統(tǒng)計學(xué)(特別是財經(jīng)類高校)。。論與數(shù)理統(tǒng)計的方法家分析問題和解決問題的能力，總之：六、主要參考書目：1、復(fù)旦大學(xué)編概率論第一分冊概率論第二分冊數(shù)理統(tǒng)計(兩冊)2、中山大學(xué)梁之瞬鄧集賢概率論與數(shù)理統(tǒng)計(上下冊)3、南開大學(xué)周概容概率論與數(shù)理統(tǒng)計4、浙江大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一章事件與概率知識，是學(xué)習(xí)以后各章所必不可少的。概率的定義，并能應(yīng)用有關(guān)條件概率的公式(乘法公式、全概率公式及貝葉斯公式)計算概率；4、掌握幾種概型(古典概型、幾何概型、貝努里概型)概率的計算；重點(diǎn)是各種類型概率的計算；§1.1隨機(jī)事件與樣本空間是擲兩枚硬幣的試驗，則可能出現(xiàn)的結(jié)果有(正、正)、(正、反)、(反、正)、 (反、反)四種，如果擲三枚硬幣，其結(jié)果還要復(fù)雜，但還是可以將它們描述出通常，據(jù)我們研究的目的，將隨機(jī)試驗的每一個可能的結(jié)果，稱為基本事件。 o1,o2,…,o10為基本事件(樣本點(diǎn))果為它的上界，這樣，可以把樣本空間取為這樣的樣本空間含有無窮個樣本點(diǎn)，但這些樣本點(diǎn)可以依照某種順序排列起來，例如：B發(fā)生(出現(xiàn))必須而且只須下列樣本點(diǎn)之一發(fā)生2、4、6、8、10，叫做隨機(jī)事件或簡稱為事件，習(xí)慣上用大寫英文字母A,B,C等表示，在試驗中征而已。，，特別地，對任何事特別地，對任何事件A可能事件就是在每次試驗中都不發(fā)生的事件，必然事件與不可能事件的發(fā)生與D={三件中至少有一件次品}這些都是隨機(jī)事件事件之間的關(guān)系與運(yùn)算。ii類似。ΩΩBAΩAΩAB意味著它們含有相同的樣本點(diǎn)。3、并(和)事件與積(交)事件ΩΩΩAB同樣積事件的概念也可以推廣為可列個事件的情形。4．差事件ΩBA5、對立事件6、互不相容事件(互斥事件)件(或互斥事件)。推廣：設(shè)n個事件A1,A2,^,An兩兩互斥，稱A1,A2,^,An互斥(互不相容) 1)1)交換律2)2)結(jié)合律3)3)分配律4)4)對偶原則iiiiC5)三個事件都發(fā)生ABCABC5)之并7)A,B,C都不發(fā)生ABC8)A,B,C不都發(fā)生ABC9)A,B,C不多于一個發(fā)生試問：1)E的樣本空間為什么？2)A與B，A與C，B與C是否互不相容？3)A，B，C對立事件是什么？AB？A與B，B與C是相容的，A與C互不相容；12的，事件域應(yīng)該滿足如下要求：在集合論中，滿足上述三條件的集合類稱為布爾代數(shù)(裝代數(shù))§1.2概率與頻率對于隨機(jī)試驗中的隨機(jī)事件，在一次試驗中是否發(fā)生，雖然不能預(yù)先知道，但是它們在一次試驗中發(fā)生的可能性是有大小之分的。比如擲一枚均勻的硬幣，那么隨機(jī)事件A(正面朝上)和隨機(jī)事件B(正面朝下)發(fā)生的可能性是一樣的 1/2)。又如袋中有8個白球，2個黑球，從中任取一球。當(dāng)然取到白球到定義1.1:隨機(jī)事件A發(fā)生的可能性大小的度量(數(shù)值)，稱為A發(fā)生的概率，記為P(A)。再來看，擲硬幣的試驗，做一次試驗，事件A(正面朝上)是否發(fā)生是不確定的，然而這是問題的一個方面，當(dāng)試驗大量重復(fù)做的時候，事件A發(fā)生的次歷史上有人做過擲硬幣的試驗n40nA遜遜遜nnnnn不正確由c-N定義，若n)wn成立nn)wn嗎？nnAnAnAnAnnnnABnfni=1i=1此頻率具有的性質(zhì)，概率也應(yīng)有相應(yīng)的性質(zhì)：注意：性質(zhì)2反過來不一定成立。就是說概率為1的事件不一定為必然事i=1i=1§1.3古典概型單的隨機(jī)試驗，它具有下述特征：nnn 模型為古典概型。 112kA包含k的基本事件數(shù)A包含的有利場合數(shù)==則P(A)=n基本事件總數(shù)基本事件總數(shù)。本事件，(正、正)，(正、反)，(反、正)，(反、反)，每個基本事件出現(xiàn)的1但將兩枚硬幣一起擲，這時試驗的可能結(jié)果為(正、反)，(反、反)，(正、2正)但它們出現(xiàn)的可能性卻是不相同的，(正、反)出現(xiàn)的可能性為4，而其它1而對此又通常根椐實際問題的某種對稱性進(jìn)行理論分析，而不是通過實驗來判利用古典概型的公式計算事件的概率關(guān)鍵是要求基本事件總數(shù)和A的有利 (一)摸球問題例1.例1.在盒子中有五個球(三個白球、二個黑球)從中任取兩個。問取出的將每一種取法作為一個樣點(diǎn)。則樣本點(diǎn)總數(shù)C是有限的。由于摸球是隨機(jī)的，基本事件總數(shù)為CPACA的有利事件數(shù)為C,C1.首先要判斷問題是屬于古典概型，即要判斷樣本空間是否有限和等可能性；等外品等等，則可以用更多有多種顏色的摸球模型來描述。A},因而A含有5個基本事件21：A包含的基本事件數(shù)為： (二)、分房問題1)A={指定的n個房間各有一人住}；2)B={恰好有n個房間，其中各有一人住}。解：因為每一個人有N個房間可供選擇(沒有限制每間房住多少人)，所以n個第一人有n分法，第二人有n-1種分法，……最后一人只能分到剩下的一NPB=Nn，又如在擲骰子試驗中“出現(xiàn)一點(diǎn)”。為摸球問題；在同一天)，但A的對立事件A情況比較復(fù)雜(兩人、三人……A={n個人的生日全不相同},這就相當(dāng)于分房恰有n個房間，其中各住一人”；Cnn!N!N：P(A)=Nn=Nn(Nn)!(N=365) P(A)+P(A)=1N!P(A)如下表：nn10P(A)0.122023304050有97％都是對概率而言的，只是在大數(shù)次的情況下(就要求班級數(shù)相當(dāng)多)，PP例7：在電話號碼簿中人取一個號碼(電話號碼由7個數(shù)字組成)，求取到的號結(jié)為“分房問題(2)”。令A(yù)＝{取到的號碼有由完全不同的數(shù)字組成}P7P (三)、隨機(jī)取數(shù)問題試求下列事件的概率：A={三個數(shù)字完全不相同}；B={三個數(shù)字中不含1和5}；C={三個數(shù)字中5恰好出現(xiàn)了兩次}；35D={三個數(shù)字中至少有一次出現(xiàn)5}3533種，剩下的一個數(shù)只能從1，2，3，4中任意選一個數(shù)字，有P1種選法，故C34的有利事件數(shù)為C，故P(C)=53=125 PD。43解：設(shè)A={取得的4個數(shù)字能組成四位偶數(shù)}10從10個數(shù)中任取4個數(shù)字進(jìn)行排列，共有P4種排列方式，所以共有P10995或先從0，2，4，6，8這5個偶數(shù)中任選一個排在個位上，有P1種排法，5995941859418這十記A={該數(shù)的平方的末位數(shù)字是1}那么A包含的基本事件為2，A={1,9}， 該數(shù)的四次方的末位數(shù)字是1,則B={1,3,7,9}，42C={該數(shù)的立方后的最后兩位數(shù)字都是1}FP中，試驗的結(jié)果是有限的，中有任意一個小區(qū)域A，若它的面積為SA,則點(diǎn)A落在AA 例1：(會面問題)甲乙兩人約定在6時到7時之間某處會面，并約定先到者應(yīng)在平面上建立直角坐標(biāo)系(如圖)則(x,y)的所有可能結(jié)果是邊長為60米的正方形，而可能會面的時間由圖Aa又以p表示針與此直線間的交角，有al 02若l,a為已知，則以"值代入上式，即可計算得P(A)的值。反過來，若已知P(A)的值，也可以用上式去求"，而關(guān)于P(A)的值，可以用頻率去近一未知數(shù)有關(guān)，然后通過重復(fù)實驗，以頻率近似概率即可以求未知數(shù)的近似數(shù)。蒙特—卡洛法。幾何概率的意義及計算，與幾何圖形的面積，長度和體積(刻度)密切相關(guān)，i=1xnPP(A)=ii=1算綜上所述，幾何概率應(yīng)具有如下性質(zhì)：i)對任何事件A，P(A)0ii)P()=1=ii=i=1i=1而有限可加性，則可推廣到可列個事件成立，其他基礎(chǔ)學(xué)科和工程技術(shù)上的應(yīng)用已出現(xiàn)了越來越大的興趣，但是直到那時為的矛盾，這個矛盾使人們對概率客觀含義甚至相關(guān)的結(jié)論的可應(yīng)用性都產(chǎn)生了懷論基礎(chǔ)，這就大大妨礙了它的進(jìn)一步發(fā)展。家柯爾莫哥洛夫在集合與測度論的基礎(chǔ)上提出了概率的公理化定義這個結(jié)構(gòu)綜在公理化結(jié)構(gòu)中，概率是針對事件定義，即對于事件域F中的每一個元素A有一個實數(shù)P(A)與之對應(yīng)。一般的把這種從集合到實數(shù)的映射稱為集合函定概率應(yīng)滿足的性質(zhì)，而不是具體給出它的計算公式或方法。，幾從而有如下定義：FP如下三個條件：2．xnP(xnP(A)iiP(YnA)且兩兩互不相容。有i=i=11)樣本空間；2)事件域(G-代數(shù))F；3)概率(F上的規(guī)范測度)P習(xí)慣上常將這三者寫成(業(yè),F,P)，并稱它是一個概率空間。由此，給出一個隨機(jī)實驗，數(shù)量就可以把它抽象成一個概率空間(業(yè),F,P)。質(zhì)由概率的非負(fù)性、規(guī)范性和可列可加性，可以得出概率的其他一些性質(zhì)：1)1)不可能事件的概率為0，即P(0)=0；則i=i；ii=13)3)對任一隨機(jī)事件A，有P(A)=1-P(A)；特別地：P(YnA)推論3：i=1iP(A1)+P(A2)+P(A3)+……+P(An)。從性質(zhì)2可知，由可列可加性可以推出有限可加性，但是一般來說由有限定義：對于F上的集合函數(shù)P，若對F中的任一單調(diào)不減的集合序列{An}有是復(fù)旦大學(xué)概率論第一冊P50例1：設(shè)A，B互不相容，且P(A)=p，P(B)=q解：P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=p+q-rq證：P(A同B)=P(A)+P(B)-P(AB)即P(A)+P(B)-P(C)共111解：P(A同B同C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)PABC)所以P(ABC)=0CBC所以P(AB)+P(AC)-P(BC)共P(A)nnnniiii=1i則P(A)=1/ii=1ix11P(AiAj)=1/n(n-1)i=1,2K,.n1共i爪j共nP(AiAj)=Cn(n-1)=2!xP(AAA)11^^……11P(i=1i)=i=1i1i<jnij…(-1)n1P(A1A2…An)1+=1-2!3!…+(-1)n1n!指定的隨機(jī)事件AF的概率P(A),需要花很大的力氣，現(xiàn)在將討論繼續(xù)引入深入，設(shè)兩個事件A，BF則有加法公式P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)。特別地，當(dāng)A，B為互不相容的兩個事件時，有P(AB)=P(A)+P(B)還應(yīng)該知道P(AB)。因而很自然要問，能不能通過P(A)，P(B)求得P(AB)，例1．例1．考慮有兩個孩子的家庭，假定男女出生率一樣，則兩個孩子(依大小排列)的性別分別為(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)的可能性若記A=“隨機(jī)抽取一個這樣的家庭中有一男一女”，﹜ 1則P(A)=2但如果我們事先知道這個家庭至少有一個女孩，則上述事件2率是“在已知事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生”的概率，這個概率稱為條件2概率，記為P(A|B)。423P(AB)P(A|B)=3=4=P(B)定義1.若(業(yè),F,P)是一個概P率(A)間B=F，且P(B)>0.對任意A=F，稱P(A|B)=P(B)為在已知事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的2．性質(zhì)不難驗證條件概率P(.|B)具有概率的三個基本性質(zhì)1)1)非負(fù)性：VA=FP(A|B)≥02)2)規(guī)范性：P(業(yè)|B)＝1由此可知，對給定的一個概率空間(業(yè),F,P)和事件B=F,如果P(B)>0，則條件概率P(.|B)也是(Ω，F(xiàn))上的一個概率測度,特別，當(dāng)B=Ω時，P(.|B)PB)=0這個公式稱為乘法公式法公式可以推廣到n個事件的情形，P(AA^A)=P(A)P(AA)P(AAA)^P(AAA A)12n121312n12n_1道在一年中記A={甲市出現(xiàn)雨天}B={乙市出現(xiàn)雨天}求：1)兩市至少有一市是雨天的概率；2)乙市出現(xiàn)雨天的條件下，甲市也出現(xiàn)雨天的概率；3)甲市出現(xiàn)雨天的條件下，乙市也出現(xiàn)雨天的概率。例3：(抽簽問題)有一張電影票，7個人抓鬮決定誰得到它，問第i個人抓到票解：設(shè)Ai=“第i個人抓到票”，P(A)=1P(A)=6顯然17,7， 這就是說A仁A，所以A=AA21221個人有希望在剩下的6個鬮中抓到電影票，所以216，221121767，類似可得31231213127657，…P(A)=1。率公式則B=BA0BA1BA2在由乘法公式7P(B)=P(A0)P(BA0)+P(A1)P(BA1)+P(A2)P(BA2)=15上例中采用的方法是概率論中頗為有用的方法，為了求比較復(fù)雜事件的概率，往往可以先把它分解為兩個(或若干個)互不相容的較簡單的事件的并，求這中方法一般化便得到下述定理：的15%，20%，30%，35%，又這四條流水線的不合格品率為5%，4%，3%，及2%，現(xiàn)在從出廠的產(chǎn)品中任取一件，問恰好抽到不合格品的概率為多少？ (0.0325)一般地，能用全概率公式解決的問題都有以下特點(diǎn)：1)1)該隨機(jī)變量可以分為兩步，第一步試驗有若干個可能結(jié)果，在第一步試驗結(jié)果的基礎(chǔ)上，再進(jìn)行第二次試驗，又有若干個結(jié)果；如果要求與第二步試驗結(jié)果有關(guān)的概率，則用全概率公式。則是比較謹(jǐn)慎，保險公司的統(tǒng)計數(shù)字表明，一個容易出事故的人在一年內(nèi)出一 (0.026)67P(BA)=13,P(BA)=13B的人}在上面的計算中，事實上已經(jīng)建立了一個極為有用的公式：i=1ii=1iwPBPAB則對任一事件A,P(A)>0有P(BiA)=j=1jj貝葉斯公式在概率論與數(shù)理統(tǒng)計中有著多方面的應(yīng)用，假定B1,B2……是i導(dǎo)致試驗結(jié)果的“原因”,P(B)稱為先驗概率，它反映了各種“原因”發(fā)生的可i醫(yī)療診斷中，有人為了診斷病人到底是患了B,B,^中的那一種病，對病人進(jìn)行12觀察與檢查，確定了某個指標(biāo)(譬如體溫、脈搏、轉(zhuǎn)氨酶含量等)他想用這類i率P(B)這實際上是確定患各種疾病的大小，以往的資料可以給出一些初步數(shù)據(jù)i PABi識，一般地，有經(jīng)驗的PABi準(zhǔn)，從概率論的角度P(BiA)的概率較大，病人患Bi種種方法是實用價值的。例7：用甲胎蛋白法普查肝癌，令C={被檢驗者患肝癌}C肝癌}A={甲胎蛋白法檢查結(jié)果為陰性}又已知某地居民的肝癌發(fā)病率P(C)=0.0004，在普查中查出一批甲胎蛋白檢查結(jié)果為陰性的人，求這批人中患有肝癌的概率P(CA)。PP(C)P(AC)CPCPAC由此例可知道，經(jīng)甲胎蛋白法檢查結(jié)果為陽性的人群中，其實真正患肝癌的人還是很少的，(只占0.38%)，把P(C|A)=0.0038和已知的P(A|C)=0.95及三新兩舊)每次從中取一個，有放回地取兩次，記A={第一次取得新球}B={第二次取得新球}。333解：顯然P(A)=5P(B)=5P(B|A)=5BPABPAPB例2：分別擲兩枚均勻的硬幣，另A={硬幣甲出現(xiàn)正面},B={硬幣乙出現(xiàn)正面},驗證事件A,B是相互獨(dú)立的。驗證：Ω={(正、正)(正、反)(反、正)(反、反)}A={(正、正)(正、反)}B={(反、正)(正、正)}AB=PAPBP(AB)=4=P(A)P(B)令A(yù)={一個家庭中有男孩，又有女孩}，B={一個家庭中最多有一個女孩}解：1)有兩個小孩的家庭，這時樣本空間為：Ω={(男、男)，(男、女)，(女、男)，(女、女)}A={(男、女)，(女、男)}131B={(男、男)，(男、女)，(女、男)}131所以A與B不獨(dú)立。2)有三個小孩的家庭，樣本空間Ω={(男、男、男)，(男、男、女)，(男、女、男)，(女、男、男)(男、女、女)，(女、女、男)，(女、男、女)，(女、女、女)}。1事件，B包含了4個基本事件，AB包含了3個基本事件36341==P(AB)=8P(A)=84P(B)=82CP(AB)=P(A)P(B)色第四面上同時染上紅、黑、白三色，以A、B、C分別記投一次四面體，出現(xiàn)21=紅、白、黑顏色的事件，則P(A)=P(B)=P(C)=4211但不能推出P(ABC)=P(A)P(B)P(C)同樣地由P(ABC)=P(A)P(B)P(C)不能推出A、B、C兩兩相互獨(dú)nn有P(AiAj)=P(Ai)p(Aj)P(AAA)=P(A)p(A)p(A)ijkijk^^……P(AA...A)=P(A)p(A)...p(A)12n12nP(AA...A)=12n1-P(AA...A)=1-P(AA...A)=1-P(A)P(A)...P(A)12n12n12n這個公式比起獨(dú)立的場合，要簡便的多，它簡便的多，它經(jīng)常用的到iAIi=1,2,^,100iP(AA...A)=1-P(A)P(A)...P(A)=1-0.996100=0.331210012100例7.張、王、趙三同學(xué)各自獨(dú)立地去解一道數(shù)學(xué)題，他們的解出的概率為1/5，1/3，1/4，試求(1)恰有一人解出的概率；(2)難題被解出的概率。i解：設(shè)A(i=1，2，3)分別表示張、王、趙三同學(xué)解出難題這三個事件，i (1)(1)令A(yù)={三人中恰有一人解出難題}232312123123關(guān)于元件和系統(tǒng)可靠性的研究已發(fā)展成為一門新的學(xué)科------可靠性理論.概率論是研究可靠性理論的重要工具。例8.如果構(gòu)成系統(tǒng)的每個元件的可靠性均為r,0<r<1,且各元件能否正常工作是圖112n2n2212解:1)每條道路要能正常工作當(dāng)且僅當(dāng)該通路上各元件正常工作故其可靠性為rnns為snrn>2rn§1.7貝努里概型1.1.貝努里試驗2.2.貝努里概型E如下特征：1)每次試驗是相互獨(dú)立的；2)每次試驗有且僅有兩種結(jié)果：事件A和事件A；3)每次試驗的結(jié)果發(fā)生的概率相同即P(A)=p，P(A)=1-p=q。稱試驗E表示的數(shù)學(xué)模型為貝努里概型。若將試驗做了n次，則這個試驗由此可知“一次拋擲n枚相同的硬幣”的試驗可以看作是一個n重貝努里一個貝努里試驗的結(jié)果可以記作其中i(1in)或者為A或者為A，因而這樣的共有2n個,它們的全是貝努里試驗的樣本空間。由概率的可加性P(Bk)=Bknk=0.1.2…n10千的臺數(shù)情況，且開動的概率為12/60=1/5。不開動的概率為4/5。設(shè)10臺機(jī)床中正在k=0k=0例2.例2.某人有一串m把外形相同的鑰匙其中只有一把能打開家門。有一天該人酒醉后回家，下意識地每次從m把鑰匙中隨便拿一把去開門，問該人第k解：因為該人每次從m把鑰匙中任取一把(試用后不做記號又放回)所以能打開門的一把鑰匙在每次試用中恰被選種的概率為1/m，易知，這是一個貝努里例3.(巴拿赫火柴問題)某數(shù)學(xué)家常帶有兩盒火柴(左、右袋中各放一盒)每次1發(fā)現(xiàn)左袋已經(jīng)取完，因此故所求的概率為P=22Nr2。第一章習(xí)題課1)描述性定義2)統(tǒng)計定義3)公理化定義例1.例1.練習(xí)題1.2 )(1)ABC----------該生是三年級男生但不是運(yùn)動員 的都是女生，即三年級學(xué)生由該系女生組成例2.例2.某人一次寫了n封信，又寫了n個信封，如果他任意將n張信紙裝i解：令A(yù)={第I張信紙恰好裝進(jìn)第I個信封}i=1.2.….niP(A)=則ini=1.2.….NP(AA)=1P(AAA)=1iixP(AA)C21=1IJn(n一1)2!xP(AAA)=C31=1IJknn(n一1)(n一2)3!111這就是歷史上有名的“匹配問題”或“配對問題”對稱性來解決就比較簡捷解:令正正反反有43種 P=4 子中，24316 子中，41PP343=16雞的概率為p，求一個母雞恰有r個后代(小雞)的概率。組，B={母雞有r個下一代}P(Ak)=k!nkkRP(B)=k=rk!一k=r!第二章離散型隨機(jī)變量1．掌握隨機(jī)變量的概念，離散型隨機(jī)變量的分布列，會用Ch1求事件概率的方法，求隨機(jī)變量的分布列；掌握數(shù)學(xué)期望，方差的性質(zhì)；分，期望與方差性質(zhì)的應(yīng)用。第二章離散型隨機(jī)變量§2.1一維隨機(jī)變量及分布列在Ch1里，我們研究了隨機(jī)事件及其概率，細(xì)心的同學(xué)可能會注意到在某兩黑)從中任取三球，則取到的黑球數(shù)可能為0，1，2本身就是數(shù)量且隨著隨機(jī)試驗結(jié)果的變化而變化的。又如在“n重貝努里試驗中，事件A出現(xiàn)k次”這一事件的概率，若記ξ=n重貝努里試驗中A出現(xiàn)的次數(shù)，則上述“n重貝努里試驗中，事件A出現(xiàn)k次”這一事件可以簡記為(ξ=k),從而有P(ξ=k)=Cpqq=1-p若試驗結(jié)果出現(xiàn)正面,令η=1,從而{試驗結(jié)果出現(xiàn)正面}=(η=1)；若試驗結(jié)果出現(xiàn)反面,令η=0,從而{試驗結(jié)果出現(xiàn)反面}=(η=0)。A值所謂隨機(jī)變量，不過是隨機(jī)試驗的結(jié)果(即樣本點(diǎn))和實數(shù)之間的一一對應(yīng)關(guān)系。量x為實數(shù)，而隨機(jī)變量的概念中，隨機(jī)變量ξ(ω)的自變量為樣本點(diǎn)ω，因為對每個試驗結(jié)果ω都有函數(shù)ξ(ω)與之對應(yīng)，所以ξ(ω)的定義域是樣本空則稱實變量為隨機(jī)變量，通常用希臘字母或大寫字母X,Y,Z等間，則侯車時間為隨機(jī)變量,的可能取值為。。標(biāo)()表示出來，這時，就要用二維隨機(jī)變量來描從隨機(jī)變量的取值情況來看，若隨機(jī)變量的可能取值只要有限個或可列個則該隨機(jī)變量為離散型隨機(jī)變量，不是離散型隨機(jī)變量統(tǒng)稱為非離散型隨機(jī)變從隨機(jī)變量的個數(shù)來分，隨機(jī)變量可分為一維隨機(jī)變量和多維隨機(jī)變量，列實數(shù)域R，且只取有限個或可列個值的變量稱為一維(實值)離散型隨機(jī)變量，簡稱離散型隨機(jī)變量。討論離散型隨機(jī)變量主要要搞清楚兩個方面：一是隨機(jī)變量的所有可能取值；更主要的的是搞清楚隨機(jī)變量取這些可能值的概率。例5：設(shè)袋中有五個球(3個白球2個黑球)從中任取兩球，則取到的黑球數(shù)為隨機(jī)變量,的可能取值為0，1，2。===或002如果離散型隨機(jī)變可能取值為()相應(yīng)的取值的概率稱布。來表示，稱為隨機(jī)變量的分布律：則k=0,1,2,3,4,5于是的分布列為0012345由概率的性質(zhì)可知，任一離散型隨機(jī)變量的分布列都具有下述性質(zhì)：反過來，任意一個具有以上性質(zhì)的數(shù)列都可以看成某一個隨機(jī)變量的分分布列不僅明確地給出了()的概率，而且對于任意的實數(shù)a<b,事件()發(fā)生的概率均可由分布列算出，因為()=P)=，求c的值。由分布列的性質(zhì)=1即c球，直到取到黑球時為止，設(shè)此時取出了個白球，求的分布列。注意：(=i)表示第i次取出白球，第i+1次取出黑球，p到正、反都出現(xiàn)時所需要的次數(shù)，求的分布列。則P(=k)=+設(shè)的分布列為P(設(shè)的分布列為110pq設(shè)隨機(jī)變量的分布列為P()=顯然1)k0.1.2….n稱隨機(jī)變量服從二項分布認(rèn)為~b(k;n，p)4.幾何分布 5.普哇松(Poisson)分布觀察電信局在單位時間內(nèi)收到的呼喚次數(shù)，某公共汽車站在單位時間內(nèi)來站乘車的乘客數(shù)等?？捎孟鄳?yīng)的變量表示，實踐表明的統(tǒng)計規(guī)律近似地為P()k=0.1.2…是某個常數(shù)，易驗證P)>0k=0.1.2…2)=也就是說，若的分布列為P()k=0.1.2…()稱服從參數(shù)為的普哇松(Poisson)分布，記為~p(k;)在很多實踐問題中的隨機(jī)變量都可以用Poisson分布來描述。從而使得Poisson分布對于概率論來說，有著重要的作用，而概率論理論的研究又表明Th2.1(Poisson定理)在n重貝努里試驗中，事件A在一次試驗中出現(xiàn)的概率為(與試驗總數(shù)n有關(guān))。若當(dāng)時(>0常數(shù))。則有，當(dāng)n和k都比較大時。計算量比較大，若此時np不太大(即p較小)那么由Poisson定理就有b(k;n,p)其中而要計算有例10.已知某中疾病的發(fā)病率為1/1000，某單位共有5000人，問該單位患有解：設(shè)該單位患這種疾病的人數(shù)為.則~bk/1000)=這時如果直接計算p()計算量較大。由于n很大。P較小。而np=5不很大?？梢岳肞oisson定理p()=1-p()于是p()。Poisson分布來描述，為了以95%以上的把握保證不脫銷，問商店在月底至少解：設(shè)該商店每月銷售某種商品件，月底的進(jìn)貨為a件則當(dāng)()時就不會脫銷。因而按題意要求為又于是這家商店只要在月底進(jìn)貨某種商品15件(假定上月沒有存貨)就可以§2.2多維隨機(jī)變量聯(lián)合分布列和邊際分布列定義1.設(shè)是樣本空間上的n個離散型隨機(jī)變量，則稱n維向量 ()是上的一個n維離散型隨機(jī)變量或n維隨機(jī)向量。n維隨機(jī)變量而言，固然可以對它的每一個分量分別研究，但我們可以)i,j=1,2…稱=稱i,j=1,2…為二維隨機(jī)變量(=)的聯(lián)合分布列。與一維時的情形相似，人們也常常習(xí)慣于把二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布用下面表格形式表示容易證明二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布具有下面的性質(zhì)：1)非負(fù)性：i,j=1,2…2)規(guī)范性：二．邊際分布(邊緣分布)布，記為若()的聯(lián)合分布為與。與i,j…則==則能唯一確定聯(lián)合分布(反例在下面舉)。大家可以發(fā)現(xiàn)，邊際分布列的求法只須在聯(lián)合分布列{}的右方加了一列，它將每一行中的相加而得出，這就是的分布列;相應(yīng)地在()下面增加一行,它把每一列中的對i相加而得到恰好就是邊際分布列,這也是邊際分布列名稱的來歷。即例1.設(shè)把三個相同的，求()的聯(lián)合分布列及的邊際分布列。解：的可能取值為0.1.2.3(首先確定()的所有可能取值(i,j))然后利用ch1知識計算概率。ij=所以()的聯(lián)合分布列0123例2.把3個白球和3個紅球等可能地放入編號為1.2.3的三個盒子中，記落 ()的聯(lián)合分布列和邊際分布列。解：()的可能取值為(i,j=0.1.2.3),i=0.1.2.3001230123比較例1和例2可以發(fā)現(xiàn)兩者有完全相同的邊際分布列，而聯(lián)合分布列卻不同，；；例3.袋中裝有2個白球和3個黑球，現(xiàn)進(jìn)行有放回(無放回)摸球，每次從=求()的聯(lián)合分布列與邊際分布列：解:無放回=；()的聯(lián)合分布列為212；；；；()的聯(lián)合分布列為1212定義3：設(shè)隨機(jī)變量的可能取值為,的可能取值為如果對任意的有：則稱隨機(jī)變量與相互獨(dú)立。兩個隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，也就意味與的取值之間互不影響，隨機(jī)變量的獨(dú)立性可以推廣到多個離散型隨機(jī)變量的場合。定義4：設(shè)是n個離散型隨機(jī)變量，的可能取值為，有成立則稱是相互獨(dú)立的?；?，對或0()容易驗證有成立，所以是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量。由隨機(jī)變量獨(dú)立性的定義，要證明兩個隨機(jī)變量是相互獨(dú)立的，則要證明對()的所有取值，都有。若其中有一對值不滿足這個條件，則與不獨(dú)立?！?.3隨機(jī)變量函數(shù)的分布列就是一個隨機(jī)變量函數(shù)，下面就研究如何根據(jù)隨機(jī)變量的分布列(或聯(lián)合分布列)設(shè)g(x)是定義在隨機(jī)變量的一切可能取值a的集合上的函數(shù)，這樣隨機(jī)變量，當(dāng)取值a時，它取值y=g(a)稱為隨機(jī)變量的函數(shù)，記為=g()設(shè)為離散型隨機(jī)變量，則=g()也為離散型隨機(jī)變量。若的分布列為，現(xiàn)求=f()的分布列。1.若隨機(jī)變量取不同的值時，隨機(jī)變量函數(shù)=g()也取不同的值012345求=的分布列。則的分布列為13579112、若取不同的時，而函數(shù)的取值中有相等的，則應(yīng)把那些相等的值分別性把對應(yīng)的概率相加，就得到的分布列。012345求=的分布列。則的分布列為00149設(shè)()是一個二維離散型變量，f(x,y,)是實變量x和y的單值函數(shù)，這時仍是一個離散型隨機(jī)變量。設(shè)的可能取值為：令(i,j,k=1.2.…)＝例3：設(shè)，是兩個獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們分別服從參數(shù)為和的解：由與的獨(dú)立性可知＝＝＝k＝0.1.2…，則。求解：＝k＝2.3…§2.4數(shù)學(xué)期望的定義及性質(zhì)我們知道離散型隨機(jī)變量的分布列全面地描述了這個隨機(jī)變量的統(tǒng)計規(guī)律，只數(shù)342103為隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望或均值，一般地，有如下定義定義1：設(shè)離散型隨機(jī)變量的可能取值為，其分布列為稱存在數(shù)學(xué)期望(均值)，并且數(shù)學(xué)期望為=則稱的數(shù)學(xué)期望不存在。從定義可以看出，E是由隨機(jī)變量的分布列所確定的一個實數(shù)，它形式上是的一切可能取值，當(dāng)獨(dú)立地取較多的值時，這些值的平均值穩(wěn)定在隨機(jī)變序可以有所不同，當(dāng)改變列舉次序時它的數(shù)學(xué)期望(均值)應(yīng)是不變的，這意味著有求和次序可以改變，而其和保持不變，由無窮級數(shù)的理論知道，必例2、設(shè)為離散型隨機(jī)變量，其分布列為解：而發(fā)散故的數(shù)學(xué)期望是不存在的。設(shè)的分布列為，則2兩點(diǎn)分布10設(shè)的分布列為p1-p則3、二次分布設(shè)~b(k,b,p)則4、幾何分布設(shè)~g(k,p)則定理1：設(shè)為一個離散型隨機(jī)變量，其分布列為…………又g(x)是實變量x的單值函數(shù)，如果(既絕對收斂)，則有=定理2：若()是一個二維離散型隨機(jī)變量，其聯(lián)合分布列為又g(x,y)是實變量x,y的單值函數(shù)，如果則有=-202例3、隨機(jī)變量的分布列為0.40.30.3求。求=2、對任一二維離散型隨機(jī)變量()，若存在，則對任意實數(shù),存在,且=E(2+3)=2E+3E例5：若隨機(jī)變量,求的數(shù)學(xué)期望由數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)即得例6：設(shè)擲兩顆骰子，用,分別表示第一、第二顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，求兩顆解：令,分別表示第一、第二顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)則與同分布，分布列為從而?！?方差的定義及性質(zhì)一.方差的概念1.定義定義：設(shè)是一個隨機(jī)變量，數(shù)學(xué)期望E為隨機(jī)變量的方差,并記為D存在，如果或Var。存在，則稱若的分布列為=則D==2.方差的計算公式D=E變形為E二.幾種常用分布的方差1.退化分布D2.兩點(diǎn)分布設(shè)的分布列為110ppE=P=p-=pq3.二項分布4.Poisson分布pk=5.幾何分布p=n(n-1)+np-D=E=1/p三.方差的性質(zhì)2.若C為常數(shù)，則D(C)=解：令DD()若~b(k;n,p)求D設(shè)擲兩顆骰子，用,分別表示第一、第二顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，求兩顆解：令,分別表示第一、第二顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)則與同分布，分布列為==故。故§2.6條件分布與條件數(shù)學(xué)期望我們知道隨機(jī)變量的分布列全面地描述了隨機(jī)變量的統(tǒng)計規(guī)律，如果要同時研究兩個隨機(jī)變量，就需要他們的聯(lián)合分布列，設(shè)二維隨機(jī)變量()的可其中是表示在“”的條件下””的條件概率，j=1.2…容易驗證這時有)事實上因而具有分布列的兩個性質(zhì)，下，隨機(jī)變量的統(tǒng)計規(guī)律，當(dāng)然一般來說這個分布列與原來的分布列如果()的聯(lián)合分布列已知，則邊際分布列為：設(shè)與相互獨(dú)立既然是一個分布列，當(dāng)然可以對這個分布列求數(shù)學(xué)期望；，學(xué)期望，簡稱條件期望，記作。時的射擊次數(shù)，試求：聯(lián)合分布列,條件分布列,及條件期望解：于是條件分布列為：在這個例子中，條件期望的意義是很直觀的，如果已知第二次擊次，并且發(fā)生在第次的概率都是，因為也就是說均值為。條件期望具有與普通數(shù)學(xué)期望相類似的性質(zhì)，例如有：1)若，則存在，且有。2)若是兩個常數(shù)，又,存在則存在，且=+前面考察了在固定“”的條件下條件期望的性質(zhì)，由條件期望定義可知，當(dāng)給定時，對于的每一個可能取值就有一個確定的實數(shù)與之對應(yīng)，因而是的單值函數(shù)，當(dāng)時，這個。而連續(xù)型隨機(jī)變量和性質(zhì)；密第三章連續(xù)型隨機(jī)變量§3.1隨機(jī)變量及分布函數(shù)定義：設(shè)定義在樣本空間Ω上的隨機(jī)變量，對于任意實數(shù)x是隨機(jī)變量的概率分布函數(shù)，簡稱為分布布函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)可知：1)非負(fù)性：2)單調(diào)性：若則3)若步4)極限性證都存在，又由概率的完全可加性有5)左連續(xù)性必存在，為證證明成立即可。這時有這三個性質(zhì)的函數(shù)，一定可以作為某個隨機(jī)變量的分布函數(shù)。知道了隨機(jī)變量述概率由此可以看出，上述這些事件的概率都可以由算出來，因此全面地描述了隨機(jī)變量的統(tǒng)計規(guī)律，既然分布函數(shù)能夠全面地描述一般的隨機(jī)變量的統(tǒng)計規(guī)律，因而分布函數(shù)這個概念比分布列更重要。三、離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)設(shè)為一個離散型隨機(jī)變量，它的分布列為則的分布函數(shù)為則的分布函數(shù)為110Pq求的分布函數(shù)F(x)。當(dāng)時，當(dāng)時，00120.30.40.3求當(dāng)當(dāng)，，從上面例子可以看到，處有跳躍，其躍度為在解：設(shè)為任一實數(shù)，當(dāng)上投擲質(zhì)點(diǎn)，求質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)的分布函數(shù)。當(dāng)時，由幾何概型可知當(dāng)解：1)由極限性得而解)故，，)§3.2連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型分布函數(shù)，同時稱是的概率密度函數(shù)或稱為密度。由分布函數(shù)的性質(zhì)，可以驗證任一連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)必具備下列性質(zhì)：1)非負(fù)性：2)規(guī)范性：反過來，定義在R上的函數(shù)，如果具有上述兩個性質(zhì)，即可定義一個分布函數(shù)。密度函數(shù)除了上述兩條特征性質(zhì)外，還有如下一些重要性質(zhì)：3)在R上連續(xù)，且在的連續(xù)點(diǎn)處，有，對連續(xù)型隨機(jī)變4)設(shè)為連續(xù)型隨機(jī)變量，則對任意實數(shù)，有這表明連續(xù)型隨機(jī)變量取個別值的概率為0，這與離散型隨機(jī)變量有本質(zhì)的區(qū)別，順便指出并不意味著是不可能事件。5)對任意這一個結(jié)果從幾何上來講，落在區(qū)間中的概率恰好等于在區(qū)間上曲線y=p(x)的曲邊梯形的面積。同時也可以發(fā)現(xiàn)，整個曲線y=p(x)即解：1)由密度函數(shù)的性質(zhì)可知即于是密度函數(shù)為)c；2)分布函數(shù)F(x)；3)。解：1)由密度函數(shù)的性質(zhì)2)當(dāng)當(dāng)，，求它的密度函數(shù)。，則稱服從區(qū)間上的均勻分布，記作。向區(qū)間上均勻投擲隨機(jī)點(diǎn)，則隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)服從上的均勻分布。，服從參數(shù)為的指數(shù)分布，記作。指數(shù)分布是一種應(yīng)用廣泛的連續(xù)型分布，它常被用來描述各種“壽命”的分例4、假定打一次電話所用的時間(單位：分)服從參數(shù)的指數(shù)分布，)若隨機(jī)變量的密度函數(shù)為稱服從參數(shù)為的正態(tài)分布，記為。當(dāng)時，正態(tài)分布N(0，1)稱之為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，其密度函數(shù)為分布函數(shù)對于可以查正態(tài)分布表設(shè)即一般地設(shè)，則解：，求解：，一般地這個概率與無關(guān)。，設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為為兩個常數(shù)其中別的當(dāng)，，稱服從參數(shù)為的—分布。隨機(jī)變量的密度函數(shù)為：稱服從自由度為n的—分布，記作?！?.3多維連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布定義1、設(shè)是定義在同一個樣本空間上的隨機(jī)變量，則n維隨機(jī)向量nnn數(shù)下面著重討論二維隨機(jī)變量，若表示笛卡兒平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)，那為的聯(lián)合分布函數(shù)，這表示點(diǎn)落在圖中陰布函數(shù)的性質(zhì)1)對x或y都是單調(diào)不減的；2)對x和y都是左連續(xù)的，即3)對任意x和y，有4)對任意和(，其中有3、邊緣(邊際)分布函數(shù)設(shè)為二維隨機(jī)變量，那么它的分量的分布函數(shù)稱為邊際分布函數(shù)，記為。為聯(lián)合分布函數(shù)為，那么它的兩個分量的分布函數(shù)可由求得，)型隨機(jī)變量及其密度函數(shù)xy，則稱為二維2、聯(lián)合密度的性質(zhì)聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)有1)非負(fù)性：2)規(guī)范性：反過來，具有上述兩個性質(zhì)的二元函數(shù)必定可以作為某個二維連續(xù)型隨機(jī)3)若在點(diǎn)(x,y)連續(xù)，是相應(yīng)的分布函數(shù)則有。G內(nèi)的概率，可以通過密度函數(shù)設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù)為數(shù)為這表明也是連續(xù)型隨機(jī)變量，其邊際密度函數(shù)為這表明取值落似地，例2、設(shè)的聯(lián)合密度函數(shù)為，2)分布函數(shù)F(x,y)；3)邊際密度函數(shù)及相應(yīng)的邊際密度；4)。解：1)由聯(lián)合密度的性質(zhì))4)則是一個密度函數(shù)，以為密度函數(shù)的二維聯(lián)合分布稱為區(qū)域G上的均勻分布。若服從區(qū)域G上的均勻分布，則G中的任一(有面積)D。其中是D的的位置與形狀無關(guān)，這正是第一章中提過的在平面區(qū)域G中等可能投點(diǎn)試驗，服從G上的均勻分布，其聯(lián)合密度函數(shù)為相應(yīng)的邊際密度設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù)為則稱服從二維正態(tài)分布，記為，為際分布函數(shù)都是一維正例3、設(shè)的聯(lián)合密度函數(shù)為，解：即都是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量，但卻不是二維正態(tài)分布成立，則稱隨機(jī)變量是相互獨(dú)立的。如果是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，則都是連續(xù)型隨機(jī)變量，它們的密度函數(shù)分別為這時容易驗證與相互獨(dú)立由此可知，要判斷連續(xù)型隨機(jī)變量是否獨(dú)立，只需要驗證是否G為矩形區(qū)域呢？例5、若則相互獨(dú)立隨機(jī)變量的獨(dú)立性還定義4、設(shè)n維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)為若隨機(jī)變量。若數(shù)，的邊際分布函數(shù)，則稱是相互獨(dú)立的其中的邊際密度函數(shù)。相互獨(dú)立的充要條件為的聯(lián)合密度函§3.4隨機(jī)變量函數(shù)的分布定理1.設(shè)為連續(xù)型隨機(jī)變量，數(shù)h(y)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)。則為為其密度函數(shù)。又y=f(x)嚴(yán)格單調(diào)其反函也是一個連續(xù)型隨機(jī)變量，且其密度函數(shù)其中證明：略證：一般地，若，則也服從正態(tài)分布。定理1在使用時的確很方便，但它要求的條件“函數(shù)f(X)嚴(yán)格單調(diào)且反證：由卷積公式例2設(shè)試求的密度函數(shù)。當(dāng)上述密度函數(shù)為分布的密度函數(shù)量函數(shù)的分布而的聯(lián)合密度函數(shù)為p(x,y)，則同上面一樣討論可得到若而如果與相互獨(dú)立時，有因此的密度函數(shù)為也可寫為由上式給出的運(yùn)算稱為卷積，通常記為例3、設(shè)與相互獨(dú)立且都服從N(0，1)證明故nN分布，即n個相互獨(dú)立的N(0，1)的平方和是一個參數(shù)為n的分布，設(shè)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，密度函數(shù)為p(x,y)，表示點(diǎn)落在陰影部分于是密度函數(shù)為例4、設(shè)與相互獨(dú)立，分別服從自由度為n及m的分布的隨機(jī)變量，于是的密度函數(shù)為上式的密度函數(shù)的分布稱為參數(shù)為n,m的F-分布，記作F(n,m)它是數(shù)理在上例中，已知相互獨(dú)立，在計算中用到的的相互獨(dú)立，當(dāng)然由相互獨(dú)立很快推出是任意求的分布，這時有顯然，這是最一般的場合，當(dāng)m=1時，便是隨機(jī)向量的函數(shù)的情形，當(dāng)與有一一對應(yīng)變換關(guān)系時，當(dāng)然這時m=n必須成立。若對存唯一的反函數(shù)比較(*)與(**)可知例6、、設(shè)與相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且具有相同的指數(shù)分布密度函數(shù)解：對求做變換的聯(lián)合密度函數(shù)。因此可以驗證這里的是相互獨(dú)立的，分別具有密度例7、設(shè)與相互獨(dú)立，且均服從N(0，1)試證是相互獨(dú)證：(U，V)的聯(lián)合分布函數(shù)為當(dāng)s>0時做變換與考慮到反函數(shù)具有兩支，對F(u,v)求導(dǎo)，得(U，V)的聯(lián)合密度為(其余為0),,則2)指數(shù)分布§3.5隨機(jī)變量的數(shù)字特征，契貝曉夫不等式定義1、設(shè)為一個連續(xù)型隨機(jī)變量，密度函數(shù)為當(dāng)時，稱 (關(guān)于概率)的平均，這里要求道理與離散型隨機(jī)變量一樣。例如:的密度函數(shù)為因為,所以不存在。1)均勻分布設(shè)3)正態(tài)分布設(shè),則,則,事實上分布設(shè)即的密度函數(shù)為為的分布密度函數(shù)，因而有再利用函數(shù)的性質(zhì)知道即為參數(shù)為的指數(shù)分3、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望定理3、若為連續(xù)型隨機(jī)變量，密度函數(shù)為p(x)，又f(x)為實變量x的函數(shù)，且則解：解：聯(lián)合密度函數(shù)為的性質(zhì)Ecc。性質(zhì)2、對任一二維連續(xù)型隨機(jī)變量若都存在，則對任意實數(shù)存在且。性質(zhì)3、若相互獨(dú)立，則存在且性質(zhì)2與性質(zhì)3可以推廣到任意有限個情形相互獨(dú)立，則量1)均勻分布設(shè)2)指數(shù)分布3)正態(tài)分布。4)分布設(shè)等式發(fā)生的概率P(P()應(yīng)該與有一定的關(guān)系，粗略的說，如果越)也會越大，將這個直覺嚴(yán)格化，就有下面著名的契貝曉定理3、對任意的隨機(jī)變量，若又存在，則對任意正數(shù)ε有將契貝曉夫不等式給出的估計式中，只須知道方差及數(shù)學(xué)期望兩個量的統(tǒng)計規(guī)律——分布函數(shù)或密度函數(shù)，所以一般說來，它給的估計是比較粗利用契貝曉夫不等式可以證明下列事實：隨機(jī)變量的方差D=0的充要條件是取某個常數(shù)值的概率為1，即這個結(jié)論的充分性是顯然的，下面證明必要性。由此可知P()=0從而其中常數(shù)a即為。c；定義3、若(為一個二維隨機(jī)變量，又，為的協(xié)方差，記作2)若a,b是兩個任意常數(shù)，則；4)若相互獨(dú)立，則。定義4、若(為一個二維隨機(jī)變量，且稱為的相關(guān)系數(shù)，用表示。相關(guān)系數(shù)反映了隨機(jī)變量之間的相關(guān)關(guān)系，即它們之間是否存在某種線性定理4、設(shè)二維隨機(jī)變量(2)的充要條件是以概率為1線性相關(guān)，即存在常數(shù)a,b使得相關(guān)系數(shù)只是隨機(jī)變量之間的線性關(guān)系強(qiáng)弱的一個度量，因而說得更確切些，應(yīng)該稱為線性相關(guān)系數(shù)。例4、設(shè)為上的均勻分布，又求之間的相關(guān)系數(shù)。解：在該例中不相關(guān)，但顯然有也就是說，之間顯然沒有線則設(shè)為隨機(jī)變量，k為任意系數(shù)，若存在，稱為隨機(jī)變量的k階 (期望)就是一階原點(diǎn)矩。設(shè)為隨機(jī)變量，若(k為正整數(shù))稱為的k階中是關(guān)于點(diǎn)a的p階矩。大數(shù)定律與中心極限定理3．掌握獨(dú)立同分布中心極限定理的條件、結(jié)論，并會用來解教學(xué)難點(diǎn)是隨機(jī)變量序列的兩種收斂性及大數(shù)定律和中心極限定§4.1大數(shù)定律在第一章中引入概率的概念時曾經(jīng)指出，頻率是概率的反映，隨著觀測次