《工程力學》第三章 桿件基本變形時的內(nèi)力分析

機械或結(jié)構(gòu)要正常工作，要求組成它們的構(gòu)件有足夠的承受載荷的能力——承載能力。（1）構(gòu)件必須具有足夠的強度（strenth）：衡量構(gòu)件承載能力的三個主指標：強度指構(gòu)件抵抗破壞的能力（不發(fā)生斷裂，也不產(chǎn)生顯著的塑性變形）。穩(wěn)定性指構(gòu)件保持原有平衡狀態(tài)的能力。（2）構(gòu)件必須具有足夠的剛度（rigidity）：剛度指構(gòu)件抵抗變形的能力（不產(chǎn)生過量的彈性變形）。（3）構(gòu)件必須具有足夠穩(wěn)定性（stability）第二篇桿件承載能力分析構(gòu)件承載能力分析的任務(wù)：構(gòu)件的強度、剛度和穩(wěn)定性問題均與所用材料的力學性能有關(guān)，因此實驗研究和理論分析是完成構(gòu)件承載能力分析所必需的手段。保證構(gòu)件具有足夠的承載能力的前提下，以最經(jīng)濟的代價

為構(gòu)件選擇適宜的材料；確定合理的截面形狀和尺寸；

提供必要的理論基礎(chǔ)和計算方法。構(gòu)件承載能力分析研究的內(nèi)容和方法:內(nèi)容1.外力變形的規(guī)律破壞（失效）的規(guī)律2.材料的力學性質(zhì)3.截面形狀和尺寸與承載關(guān)系方法1.實驗手段2.理論分析幾何方面物理方面靜力方面內(nèi)力第三章桿件基本變形時的內(nèi)力分析§3-1內(nèi)力與截面法§3-2拉壓桿的內(nèi)力與內(nèi)力圖§3-3平面彎曲梁的內(nèi)力與內(nèi)力圖習題課§3-4受扭圓軸的內(nèi)力與內(nèi)力圖內(nèi)力的大小及其分布規(guī)律與桿件的變形與失效密切相關(guān)，因此內(nèi)力分析是解決構(gòu)件承載能力的基礎(chǔ)。本章主要研究桿件的內(nèi)力及其沿桿件軸線的變化規(guī)律，以便為桿件的強度、剛度和穩(wěn)定性計算提供基礎(chǔ)?！?-1內(nèi)力與截面法一、外力及其分類體積力(bodyforce),物體的自重、慣性力等是體積力。表面力(surfaceforce),作用于物體表面上的力，又可分為分布力和集中力。分布力是連續(xù)作用于物體表面一定區(qū)域內(nèi)的力，如作用于船體上的水壓力等；集中力是作用于一點的力，如火車輪對鋼軌的壓力等。

按外力作用的方式分類：靜載荷(staticloads)，載荷緩慢地由零增加到某一定值后，不再隨時間變化，保持不變或變動很不顯著，稱為靜載荷。動載荷(dynamicloads),

載荷隨時間而變化。動載荷可分為構(gòu)件具有較大加速度、受交變載荷和沖擊載荷三種情況。按外力的性質(zhì)分類：外力是外部物體對構(gòu)件的作用力，包括外加載荷(loads)和約束反力(constrainreaction)

。

外力：二、內(nèi)力的概念1.內(nèi)力由外力等作用（變形）引起桿件內(nèi)部相鄰兩部分之間相互作用力的改變量，稱為附加內(nèi)力，簡稱為內(nèi)力。2.內(nèi)力的特點：(1)連續(xù)分布力系;(2)隨外力的變化而變化,與外力組成平衡力系;(3)通常所說的內(nèi)力，是指橫截面上該分布內(nèi)力系的簡化結(jié)果。

F1F2F3F4F1F2假想截面分布內(nèi)力F3F4三、截面法：如圖所示桿件為分析m-m截面上的內(nèi)力，假想地將桿件沿m-m截面截開。mmmm根據(jù)均勻連續(xù)性假設(shè)，截面上的內(nèi)力是連續(xù)分布的，組成一分布內(nèi)力系，通常所說的內(nèi)力，是指該分布內(nèi)力系的簡化結(jié)果（合力或合力偶）。mm截面法：將桿件假想地截開以顯示內(nèi)力，并由平衡方程確定內(nèi)力的方法。分析圖示梁m-m截面上的內(nèi)力：假想地沿m-m截面將梁截開，由于梁整體是平衡的，其任一局部也處于平衡。若取截面以左的梁段為研究對象，則左段梁在外力FAx、FAy和截面上的內(nèi)力作用下平衡。（C為m-m截面的形心）截面上必然有一個與力FAx等值、反向的軸向內(nèi)力FN，稱為軸力；截面上必然有一個與力FAy等值、反向的切向內(nèi)力FS，稱為剪力；截面上必然有一個作用面在軸線所在平面內(nèi)的內(nèi)力偶M，稱為彎矩。由左段梁的平衡方程m-m截面上的三個內(nèi)力分量可由平衡方程求出，即

討論：

（1）若取右段梁為研究對象,同樣可求出m-m截面上的軸力、剪力和彎矩，但與取左段梁求得的FN、FS、M分別等值、反向，即為作用與反作用的關(guān)系；（2）若將截面左、右兩部分之間互相視為固定端約束，則截面上的內(nèi)力分量相當于固定端的約束力，只不過這種約束是內(nèi)約束。其中，軸力FN約束截面兩側(cè)的軸向相對線位移，剪力FS約束截面兩側(cè)的切向相對線位移，彎矩M約束截面兩側(cè)的相對轉(zhuǎn)動。截面法是計算內(nèi)力的基本方法，可歸納為四個字：（1）截：欲求某一截面的內(nèi)力，沿該截面將構(gòu)件假想地截成兩部分。（2）?。喝∑渲腥我獠糠譃檠芯繉ο?，而棄去另一部分。（3）代：用作用于截面上的內(nèi)力，代替棄去部分對留下部分的作用力。（4）平：建立留下部分的平衡條件，確定未知的內(nèi)力。（1）截面不能取在集中力或集中力偶的作用面上；（2）未知的（待求的）內(nèi)力均設(shè)為正方向。注意：思考：如圖所示鉆床，在力F的作用下，根據(jù)截面法分析確定m-m截面上的內(nèi)力。承載能力分析研究桿件的強度、剛度和穩(wěn)定性時，研究對象為變形體。因此，適用于剛體的概念、原理和方法，如靜力等效、力線平移等，對變形體不適用。注意：FF′F′F力的可傳性對變形體適用嗎？FACB思考：請判斷下列簡化在什么情形下是正確的，什么情形下是不正確的？ACBFFACBACBFM§3-2拉壓桿的內(nèi)力與內(nèi)力圖一、軸向拉伸與壓縮的概念軸向拉伸與壓縮的工程實例

軸向拉伸與壓縮的工程實例工程桁架軸向拉伸與壓縮的工程實例點擊動畫點擊動畫軸向拉伸與壓縮的工程實例軸向拉壓的概念：（2）變形特點：桿沿軸線方向伸長或縮短。F2F1F2F2（1）受力特點：外力或外力的合力作用線與桿軸線重合（軸向外力）。以軸向拉伸或壓縮為主要變形的桿件，稱為拉壓桿或軸向承載桿。ABCF軸向拉伸軸向壓縮思考題：在下圖所示各桿件中哪些是屬于軸向拉伸或壓縮？(a)(c)(d)(b)二、拉壓桿的軸力與軸力圖1.拉壓桿的內(nèi)力——軸力FNFFNFNF如圖所示拉桿，確定任一截面m-m的內(nèi)力。軸力的大小由平衡方程求解，若取左段為研究對象，由觀看動畫FFmm根據(jù)平衡條件，其任一截面上分布內(nèi)力系的合力也必與桿的軸線重合，這種與桿件軸線重合的內(nèi)力稱為軸力，用FN表示。2.軸力的正負號規(guī)定：壓縮—壓力，其軸力為負值。方向指向所在截面。拉伸—拉力，其軸力為正值。方向背離所在截面。FNFFFN（＋）FNFFFN（－）F3.軸力圖

用平行于桿件軸線的x軸表示橫截面的位置，垂直于x軸的坐標FN表示橫截面上軸力的大小，在x—FN坐標系中按選定的比例畫出軸力沿軸線方向變化的圖形，稱為軸力圖。+FNxFF軸力圖的意義:①直觀反映軸力隨截面位置變化的規(guī)律；②當桿件受到兩個以上的軸向外力時，在以外力為分界面的不同桿段上，其軸力也不相同。③軸力圖可確定出最大軸力的數(shù)值及其所在位置，即確定危險截面位置，為強度計算提供依據(jù)。例3-1

已知F1=10kN,F2=20kN,F3=35kN,F4=25kN.試畫出圖示桿件的軸力圖。

解(1)計算桿件各段的軸力。AB段BC段CD段(2)繪制軸力圖。11FN1F12233FN3F4FN2F1F2F1F3F2F4ABCD練習：

圖示桿的A、B、C、D點分別作用著大小為FA=5F、FB=8F、FC=4F、FD=F

的力，方向如圖，試求各段軸力，并畫出桿的軸力圖。FN1ABCDFAFBFCFDO解：求OA段內(nèi)力FN1，設(shè)截面如圖所示。ABCDFAFBFCFDFN2FN3DFDFN4ABCDFAFBFCFDO求CD段內(nèi)力：

求BC段內(nèi)力：求AB段內(nèi)力：BCDFBFCFDCDFCFDFN2=–3F，F(xiàn)N3=5F，F(xiàn)N4=F軸力圖如下圖示FNx2F3F5FFABCDFAFBFCFDOFN3=5F，F(xiàn)N4=FFN2=–3F，拉壓桿任一截面的軸力，等于該截面一側(cè)（左側(cè)或右側(cè)）桿上所有外力的代數(shù)和。其中，背離截面的外力產(chǎn)生正的軸力，指向截面的外力產(chǎn)生負的軸力。由截面一側(cè)的外力直接計算截面內(nèi)力的方法，稱為簡捷法(直接法)。4.計算軸力的規(guī)律：例3-3

試畫出圖示桿件的軸力圖。解

(1)分段并計算各段的軸力以外力作用的截面為分界點，將桿件分為AB、BC、CD三段，設(shè)截面1-1、2-2、3-3分別為AB、BC、CD段上的任一截面。（2）畫軸力圖，如圖所示。由簡捷法可得對于拉壓桿，在集中力作用的截面上，其軸力圖發(fā)生突變，突變值等于該集中力的大小。如上例中，B截面左側(cè)的截面屬于AB段，其軸力為4kN；B截面右側(cè)的截面，屬于BC段，其軸力為-3kN。在B截面處軸力圖有突變，從4kN突變到-3kN，其突變量正好等于B截面處的外力7kN,而在B截面上軸力是不確定的。討論：作軸力圖的步驟：求支座約束力(若取自由端部分半個桿件可不求)分段(集中力作用點為分界點)截面法或簡捷法計算各段的軸力作軸力圖(標注出各段軸力的大小和正負號)練習：

直桿受外力作用如圖，求此桿各段的軸力，并作軸力圖。解：（1）分段并計算各段的軸力112233BC段CD段（2）繪制軸力圖。AB段思考題：作用于桿件上的外力（載荷）沿其作用線移動時，其軸力圖有否改變？支座約束力有否改變？練習：由一高度為H的正方形截面石柱，頂部作用有軸心壓力FP。已知材料的容重為g，作柱的軸力圖。HnnFPFP解：柱的各截面軸力大小是變化的。計算任意截面n-n上的軸力FN（x）時，將柱從該處假想地截開，取上段作為研究對象。由平衡條件：得：根據(jù)軸力方程再繪制出軸力圖?！?-3平面彎曲梁的內(nèi)力與內(nèi)力圖一、彎曲變形的概念彎曲變形的工程實例火車輪軸1、2彎曲變形的工程實例彎曲變形的工程實例樓房的橫梁陽臺的挑梁彎曲變形的工程實例彎曲變形的工程實例彎曲變形的工程實例圖3-10(c)彎曲變形的工程實例彎曲變形的概念受力特點——桿件受到垂直于軸線的外力(橫向外力)或作用面在軸線所在平面內(nèi)的外力偶作用.變形特點——桿軸線由直線變?yōu)橐粭l平面的曲線。以彎曲變形為主的桿件---梁?？v向?qū)ΨQ面梁的橫截面點擊動畫縱向?qū)ΨQ面F1F2q1.平面彎曲的概念梁有縱向?qū)ΨQ面，且外力均作用在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，變形后梁的軸線仍在該平面內(nèi)，稱為平面彎曲。M梁變形后的軸線固定鉸支座(pinsupport)滾動鉸支座(rollersupport)固定端支座（fixedsupport)FA梁的支座種類支座約束力FAxFAyMAAFAyFAxAAAAAA2.單跨靜定梁的基本形式1.懸臂梁：2.簡支梁：3.外伸梁：（l稱為梁的跨長）靜定梁:由平衡方程可求出全部約束力和內(nèi)力的梁。lqMlqlFlF靜定梁模型簡支梁F懸臂梁靜定梁模型外伸梁靜定梁模型：二、梁的內(nèi)力（截面法）如圖所示簡支梁，已知F、a、l。

求距A端x處截面上內(nèi)力。FＡyFAxFBFAB①求外力（支座約束力）FAx=0

以后可省略不求。FalABABFFAyFAxFBmmx②求內(nèi)力（截面法）FSMMFS梁的內(nèi)力：FAyACFBFC若取m-m

截面右段的梁為研究對象：沿m-m截面將梁截成兩段，取左段梁為研究對象：C為m-m截面的形心。ABFFAyFAxFBmmxFSMMFS（1）彎矩M

作用面在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的內(nèi)力偶矩，稱為彎矩，用M表示。AFAyCFBFC（2）剪力FS

與截面相切的內(nèi)力，稱為剪力，用FS表示。1.梁的內(nèi)力—剪力和彎矩：2.剪力和彎矩的正負號規(guī)定：剪力的正負號規(guī)定正的剪力FSFS負的剪力FSFSFSFSFSFS左上右下為正

或順時針為正左下右上為負

或逆時針為負上凹下凸（使梁下側(cè)的縱向纖維受拉）彎矩為正?；蜃箜樣夷鎻澗貫檎?。彎矩的正負號正的彎矩MM表示方法引起的變形上凹下凸MM彎矩的正負號負的彎矩MMMM表示方法引起的變形上凸下凹上凸下凹（使梁上側(cè)的縱向纖維受拉）彎矩為正?；蜃竽嬗翼槒澗貫檎?。例3-4

外伸梁受載荷如圖所示。圖中截面1-1和截面2-2均無限接近于截面A，截面3-3和截面4-4均無限接近于截面D。試計算各指定截面的內(nèi)力。解（1）求梁的支座約束力校核：

3.截面法求梁指定截面的剪力和彎矩FB為負，說明其實際方向向下。（2）計算各截面的內(nèi)力1-1截面的內(nèi)力：用截面1-1截取左段梁為研究對象，列平衡方程求得2-2截面的內(nèi)力：

用截面2-2截取左段梁為研究對象，列平衡方程求得3-3截面的內(nèi)力：

用截面3-3截取右段梁為研究對象，列平衡方程求得4-4截面的內(nèi)力：

用截面4-4截取右段梁為研究對象，列平衡方程求得討論：

（1）比較截面1-1和截面2-2的內(nèi)力：

可見，在集中力作用處左右兩側(cè)無限接近的截面上，彎矩相等，而剪力發(fā)生突變，突變值等于集中力的大小。因此，在集中力作用的截面上，不能含糊地說該截面上的剪力是多大，而應(yīng)該說“在集中力作用處左側(cè)截面和右側(cè)截面上的剪力各為多大?！庇懻摚?/p>

（2）比較截面3-3和截面4-4的內(nèi)力

可見，在集中力偶作用處左右兩側(cè)無限接近的截面上，剪力相等，而彎矩發(fā)生突變，突變值等于集中力偶矩的大小。同樣，在集中力偶作用處，也不能含糊地說該截面的彎矩是多大，而應(yīng)說“在集中力偶作用處左側(cè)截面和右側(cè)截面的彎矩各為多大?！比舴謩e在截面A和D左右兩側(cè)截取微段梁為分離體，由于梁整體是平衡的，其任一局部也平衡，由微段梁的平衡方程，也可得到集中力、集中力偶作用處剪力、彎矩的突變規(guī)律。討論：例3-5

懸臂梁如圖所示,求1-1截面和2-2截面上的剪力和彎矩。解(1)求1-1截面上的內(nèi)力求得的FS1

、M1

均為負值,說明內(nèi)力實際方向與假設(shè)方向相反。(2)求2-2截面上的內(nèi)力求得的FS2、M2均為負值,說明內(nèi)力實際方向與假設(shè)方向相反。FFF練習：

外伸梁如圖，試求1-1、2-2截面上的剪力和彎矩。解(1)求支座約束力校核：(2)求1-1截面上的內(nèi)力：取左段梁研究

（3）求2-2截面上的內(nèi)力：取右段梁研究練習：求A截面右側(cè)和B截面左、右側(cè)的剪力和彎矩。解(1)求支座約束力ABC

A右截面

B左截面

B右截面ABABC

FA為負號表明方向與所設(shè)相反。

Ａ右截面：(2)計算各截面剪力和彎矩B左截面：B右截面：求約束力截取研究對象受力圖，內(nèi)力按正向假設(shè)。列平衡方程求解內(nèi)力，負號表示與假設(shè)反向內(nèi)力右截面正向左截面正向微段變形（正）內(nèi)力的符號規(guī)定yx左上右下，F(xiàn)Ｓ為正左順右逆，M為正xFSMMFS順時針錯動FS向下凸M截面法求梁指定截面內(nèi)力的步驟：解(1)求支座約束力(2)1-1截面左段右側(cè)截面：練習：求梁1-1、2-2截面處的內(nèi)力。2--2截面右段左側(cè)截面：FA4.計算梁指定截面剪力和彎矩的簡捷方法截面法是計算梁剪力和彎矩的基本方法，將平衡方程和項后可得到計算梁剪力和彎矩的簡捷方法：（1）梁內(nèi)任一橫截面上的剪力等于該截面一側(cè)（左側(cè)或右側(cè)）所有橫向外力的代數(shù)和。其中，截面以左向上的外力或截面以右向下的外力，在該截面上產(chǎn)生正的剪力，即“左上右下，剪力為正”；反之，則產(chǎn)生負的剪力。（2）梁內(nèi)任一橫截面的彎矩，等于截面一側(cè)（左側(cè)或右側(cè)）所有外力（包括外力偶）對該截面形心力矩的代數(shù)和。其中，截面以左對截面形心順時針的力矩或截面以右對截面形心逆時針的力矩，在該截面上產(chǎn)生正的彎矩，即“左順右逆，彎矩為正”；反之，則產(chǎn)生負的彎矩。例3-6

用簡捷法計算圖示梁各指定截面的內(nèi)力。取梁整體為研究對象校核：

可見，支座約束力計算無誤。解(1)計算梁的支座約束力(2)計算各指定截面的內(nèi)力對于梁1-1截面和2-2截面分別是A支座左側(cè)和右側(cè)的相鄰截面，3-3截面和4-4截面分別為C點左、右兩側(cè)相鄰的截面。根據(jù)簡捷法，由截面以左梁段上的外力，可分別計算出各截面上的剪力和彎矩：

思考:（1）試根據(jù)截面以右梁段上的外力，寫出各截面上的內(nèi)力；（2）試根據(jù)集中力、集中力偶作用處剪力、彎矩的突變規(guī)律，由截面1-1和截面3-3的內(nèi)力分別寫出截面2-2和4-4的內(nèi)力。三、由內(nèi)力方程作梁的內(nèi)力圖

一般情況下，梁橫截面上的剪力、彎矩隨截面位置而變化。若以梁的軸線為x軸，坐標x表示橫截面的位置，則剪力和彎矩可表示為x的函數(shù)，即

這種內(nèi)力隨截面位置變化的函數(shù)關(guān)系式，分別稱為梁的剪力方程和彎矩方程。梁的內(nèi)力隨截面位置變化的圖線，稱為梁的內(nèi)力圖，包括剪力圖和彎矩圖。由內(nèi)力圖可以確定梁的最大剪力和最大彎矩及其所在截面（危險截面）的位置，以便進行梁的強度計算。1.梁的內(nèi)力方程和內(nèi)力圖2.由梁的內(nèi)力方程作內(nèi)力圖注意：(1)標注圖名，縱坐標的正負；(2)分界點為：集中力作用點、集中力偶作用點、分布力的起點、終點；(3)控制截面指分界點和極值點所在的截面。剪力方程彎矩方程lqAB(-)(+)由內(nèi)力方程（剪力和彎矩方程）作內(nèi)力圖，是作梁內(nèi)力圖的基本方法。由剪力和彎矩方程作內(nèi)力圖的步驟一般為：求約束力→分段列剪力和彎矩方程→求控制截面的剪力和彎矩→逐段作圖。例3-7圖示簡支梁受集中荷載F作用。試作梁的剪力圖和彎矩圖。解

(1)求支座約束力(2)分段列梁的內(nèi)力方程BlAF

abCFBFAAC段：CB段：xBlAF

abCFBFA（3）作剪力圖和彎矩圖

AC段梁的剪力圖是一條在x軸上方的水平直線，CB段梁的剪力圖是一條在x軸下方的水平直線。

AC段和CB段的彎矩方程可知，兩段梁的彎矩圖均斜直線。每段分別計算出兩端截面的M值后可畫出M圖，列表計算如下：x0axalM0Fab/lMFab/l0在集中力作用處，剪力圖發(fā)生突變，突變的方向是從左到右和集中力的指向一致，其突變值等于集中力的大小，彎矩圖出現(xiàn)“尖點”，即M圖在此處的斜率發(fā)生改變。

BlAF

abCFBFA在集中力偶作用的截面上，彎矩圖發(fā)生突變，突變值等于集中力偶的大小。例3-8

在圖示簡支梁AB的C點處作用一集中力偶M，作該梁的剪力圖和彎矩圖。abClABM解（1）求支座約束力（2）建立剪力方程和彎矩方程FAFBFSM(3)作內(nèi)力圖AC段、CB段的FS圖在全梁上為一水平直線。

AC、CB段的M圖均為斜直線。

x0axalM0—Ma/lMMb/l0例3-9

圖示簡支梁受集度為q的滿布荷載作用。試作梁的剪力圖和彎矩圖。解：（１）求支座約束力（２）列剪力方程和彎矩方程（３）作剪力圖和彎矩圖FS圖是斜直線，計算梁兩端處的FS值：M圖是一條二次拋物線，作此拋物線，需確定幾個坐標點，列表計算如下：x0l/4l/23l/4lM03ql2/32ql2/83ql2/320FS

FSM說明：

當梁受均布荷載作用彎矩圖為二次拋物線時，由兩端點和極值點的彎矩值即可作出拋物線。qlABx0l/2lM0ql2/80彎矩圖為二次拋物線，求出兩端點與極值點的彎矩值梁受均布載荷作用時，剪力圖為斜直線，其斜率等于均布載荷集度q；彎矩圖為二次拋物線，其中剪力為零的截面上，彎矩取極值,彎矩圖凹向與均布載荷的指向相同。將以上三點用下凹的光滑曲線相連即得拋物線。FAFB1.彎矩M(x)、剪力Q(x)與分布載荷集度q(x)的微分關(guān)系如圖懸臂梁受集度為q的均布載荷作用，q以向上為正。取A點為坐標原點，x軸以向右為正，距A端為x的任一截面的剪力和彎矩分別為梁上任一橫截面上的剪力對x的一階導數(shù)等于作用在該截面處的分布載荷集度。剪力圖上某點切線的斜率等于相應(yīng)截面處的分布載荷集度。梁上任一橫截面上的彎矩對x的一階導數(shù)等于該截面上的剪力。彎矩圖上某點切線的斜率等于相應(yīng)截面上的剪力。梁上任一橫截面上的彎矩對x的二階導數(shù)等于該截面處的分布載荷集度。這一微分關(guān)系的幾何意義是，由分布載荷集度的正負可以確定彎矩圖的凹凸方向。四、由內(nèi)力圖的規(guī)律作梁的內(nèi)力圖(1)無分布載荷作用的梁段（q=0

）M圖為斜直線，其斜率等于剪力。，F(xiàn)S圖為水平線2.剪力圖、彎矩圖的規(guī)律梁的內(nèi)力是由外力產(chǎn)生的，因此梁的剪力圖、彎矩圖與梁所受的外力之間存在一定的規(guī)律?，F(xiàn)根據(jù)微分關(guān)系將外力與剪力圖、彎矩圖之間的規(guī)律分析如下：M圖(2)均布載荷作用的梁段（q=常數(shù)）FS

圖為斜直線，其斜率等于載荷集度q。M圖為二次拋物線，拋物線凹向與均布載荷的指向相同。在的截面上，M取極值。雨傘FS

圖M圖(3)在集中力作用的截面上，剪力發(fā)生突變，突變值等于集中力的大小，自左向右突變的方向與集中力的指向相同，彎矩圖出現(xiàn)尖點。Ｍ圖出現(xiàn)尖點ＦS

圖突變Ｍ圖出現(xiàn)尖點ＦS

圖突變(4)在集中力偶作用的截面上，剪力圖無變化，彎矩圖發(fā)生突變，突變值等于集中力偶矩的大小。當集中力偶為順時針時，自左向右彎矩圖向上突變；反之，則向下突變。Ｍ圖突變ＦS

圖不變Ｍ圖突變ＦS

圖不變

q

q=0q=const.>0q=const.<0FS圖

FS>0

FS<0

FS>0

FS<0

FS>0

FS<0

M圖

M圖集中力(偶)

FS圖

無變化剪力圖、彎矩圖的規(guī)律無變化突變突變轉(zhuǎn)折基本步驟：1.求梁的支座約束力（懸臂梁可不求）；2.分段：（端點、集中力、集中力偶作用點及分布載荷的分布長度起、止點為分界點。）3.利用內(nèi)力圖的規(guī)律判斷各段梁剪力圖和彎矩圖的形狀；4.求控制截面的剪力和彎矩；5.畫內(nèi)力圖。3.由內(nèi)力圖的規(guī)律作梁的內(nèi)力圖控制截面:

端點、分界點（外力變化點）和駐點（極值點）所在的截面。CA段：q向下，例3-10外伸梁，受力如圖，試畫剪力圖和彎矩圖。解（1）求支座約束力2015xFS／

kNx15515（２）作剪力圖和彎矩圖10A點：ＦA＝35kＮ（），發(fā)生突變，CADBAB段：無分布載荷Ｂ點：ＦＢ＝15kN（），發(fā)生突變CA段：q向下AD段：無載荷，M／kN·mD點：MD左＝5kＮ.m，發(fā)生突變（）。DB段：例3-11

簡支梁如圖所示，已知:試畫出梁的剪力圖、彎矩圖。解（1）求支座約束力

校核：(2)分段:根據(jù)梁上作用的外力情況，全梁分AC、CD、DB三段。（3）畫剪力圖和彎矩圖BFAC、CD段：無載荷作用，其剪力圖均為水平線．DB段：有向下的均布載荷，其剪力圖為下斜直線AC、CD段：均無載荷作用，其M圖均為斜直線

DB段：有向下的均布載荷，M圖為下凹的二次拋物線，在FS=0的E截面上彎矩取極值，由剪力圖可求出計算控制截面的M值

由內(nèi)力圖的規(guī)律作梁內(nèi)力圖的步驟：

求梁的支座約束力（懸臂梁可不求）分段分界點：端點、集中力、集中力偶作用面，分布載荷作用的起、止點。由內(nèi)力圖的規(guī)律判斷各段梁剪力圖、彎矩圖的形狀。求控制截面的剪力值和彎矩值逐段畫出剪力圖和彎矩圖。控制截面：端點、分界點和極值點所在的截面。習題課例1：作梁的剪力圖和彎矩圖。解（１）求支座約束力（2）分段：將梁分為AC

、CB兩段。（3）畫剪力圖AC段上無載荷，其剪力圖為水平線。CB段上有向下的均布載荷，其剪力圖為下斜平線。求控制截面的剪力：畫出梁的剪力圖如圖所示。（+）（-）（3）畫彎矩圖AC段上無載荷，其彎矩圖為斜直線，CB段上有向下的均布載荷，其彎矩圖為下凹的二次拋物線。在剪力為零的Ｄ截面上彎矩取極值（+）（+）（-）畫出梁的彎矩圖如圖所示。例2：一外伸梁如圖所示，已知q=4kN/m，F(xiàn)=16kN，l=4m，試畫出梁的剪力圖、彎矩圖。解（1）求支座約束力

（2）根據(jù)梁上的外力情況，將梁分為AB、BC、CD三段。（3）畫剪力圖和彎矩圖AB段：q向下，F(xiàn)S圖

BC段：無載荷，F(xiàn)S圖

CD段：無載荷，F(xiàn)S圖

AB段:上有向下的均布載荷，其彎矩圖為下凹的二次拋物線BC段:無載荷作用，其彎矩圖均為斜直線CD段:無載荷作用，其彎矩圖均為斜直線解(1)求支座約束力(2)分段：將梁分為AC、CD、DB三段。例3畫出梁的內(nèi)力圖。1kN/m2kN（3）作剪力圖AC段上無載荷，剪力圖為水平線。CD段上無載荷，剪力圖為水平線。DB段上有向下的均布載荷，剪力圖為下斜直線。求控制截面的剪力：畫出梁的剪力圖如圖所示。(4)作彎矩圖1kN/m2kNAC段上無載荷，彎矩圖為上斜直線。CD段上無載荷，彎矩圖為水平線。DB段上有向下的均布載荷，彎矩圖為下凹的二次拋物線。求控制截面的彎矩：畫出梁的彎矩圖如圖所示。CADBFA例4：外伸梁，受力如圖，試畫剪力圖和彎矩圖。解：（1）求支座約束力2015M／kNmxFS／

kNx15515FB（２）作剪力圖和彎矩圖10CA段：q向下，A點：ＦA＝35kＮ（），發(fā)生跳躍，AB段：無載荷Ｂ點：ＦＢ＝15kN（），發(fā)生突變CA段：q向下AD段：無載荷，2.作剪力圖、彎矩圖D點：MD＝20kＮ.m，發(fā)生跳躍（）。DB段：練習：如圖所示簡支梁，在中點受集中力和集中力偶作用。試作梁的剪力圖和彎矩圖。解（1）求梁的支座約束力（2）分段：根據(jù)梁上作用的外力情況，梁分為AC、CB兩段。（3）作梁的FS圖

AC段和CB段內(nèi)無分布載荷作用，所以FS圖為水平線，在C處作用有向下的集中力，故剪力圖在該處有向下的突變，突變的大小為2F。控制截面的剪力值分別為

作出梁的剪力圖如圖b所示。(4)作梁的M圖AC段和CB段內(nèi)無分布載荷作用，M圖為斜直線。在C處有順時針轉(zhuǎn)向的集中力偶作用，故彎矩圖在此處向上的突變，突變的大小為Fl?？刂平孛娴膹澗刂捣謩e為作出梁的彎矩圖如圖c所示。解：（1）求支座約束力FS/kNoxM/kNmxo45練習：作圖示外伸梁的剪力圖和彎矩圖。（2）畫FS、M圖20530602015CADBE2m30kNq=10kN.mM=60kN.mFAFB§3-4受扭圓軸的內(nèi)力與內(nèi)力圖一、扭轉(zhuǎn)（Torsion)變形的概念扭轉(zhuǎn)（Torsion)變形的工程實例攻絲絲錐

橋式起重機的傳動軸

扭轉(zhuǎn)變形的工程實例扭轉(zhuǎn)變形的工程實例傳動軸汽車中的轉(zhuǎn)向軸傳動軸扭轉(zhuǎn)變形的工程實例扭轉(zhuǎn)變形的工程實例汽車傳動軸扭轉(zhuǎn)變形的工程實例CA6140主軸箱變速過程扭轉(zhuǎn)變形的工程實例自行車的中軸扭轉(zhuǎn)變形的工程實例圓軸扭轉(zhuǎn)（Torsion)變形的概念受力特點：變形特點：工程中以扭轉(zhuǎn)變形為主的構(gòu)件稱為軸。桿件各橫截面將繞軸線發(fā)生相對轉(zhuǎn)動，相對扭轉(zhuǎn)角。桿件受到作用面與軸線垂直的外力偶作用。點擊動畫1、2、3、4變形前變形后扭轉(zhuǎn)角扭轉(zhuǎn)（Torsion)變形二、外力偶矩的計算

在工程實際中，作用于軸上的外力偶矩一般并不直接給出，而是根據(jù)軸的轉(zhuǎn)速和軸傳遞的功率來確定，其計算公式為式中:M為外力偶矩，單位為N·m；P為功率，單位是kW；n為轉(zhuǎn)速，單位為r/min。

例如：富康A(chǔ)X轎車額定功率65kW，在4500轉(zhuǎn)時平穩(wěn)（P與n無關(guān)）輸出扭矩（對車軸