新教材人教a版數(shù)學必修第二冊學案81第二課時圓柱圓錐圓臺球和簡單組合體

第二課時圓柱、圓錐、圓臺、球和簡單組合體新課程標準解讀核心素養(yǎng)利用實物模型、計算機軟件等觀察空間圖形，認識柱、錐、臺、球及簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，能運用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結(jié)構(gòu)直觀想象、數(shù)學抽象如圖，觀察下列實物圖．[問題](1)上述三個實物圖抽象出的幾何體與多面體有何不同？(2)上述實物圖抽象出的幾何體中的曲面能否由某些平面圖形旋轉(zhuǎn)而成？(3)如何形成上述幾何體的曲面？知識點一圓柱的結(jié)構(gòu)特征定義以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓柱圖示及相關(guān)概念軸：旋轉(zhuǎn)軸叫做圓柱的軸；底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面；側(cè)面：平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面；圓柱側(cè)面的母線：無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，平行于軸的邊；柱體：圓柱和棱柱統(tǒng)稱為柱體eq\a\vs4\al()對圓柱的再理解(1)圓柱的底面是兩個半徑相等的圓面，兩圓面所在平面互相平行；(2)通過軸的各個截面叫做軸截面，軸截面是全等的矩形；(3)母線平行且相等，它們都垂直于底面，它們的長等于圓柱的高．如圖，在圓柱中任取不重合的兩條母線，如AB，CD，它們有何關(guān)系？過它們的截面是怎樣的圖形？連接AC，AC還是母線嗎？提示：AB綉CD，截面ABCD是矩形．AC不是母線．知識點二圓錐的結(jié)構(gòu)特征定義以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓錐圖示及相關(guān)概念軸：旋轉(zhuǎn)軸叫做圓錐的軸；底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面；側(cè)面：直角三角形的斜邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面；母線：無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，不垂直于軸的邊；錐體：棱錐和圓錐統(tǒng)稱為錐體eq\a\vs4\al()圓錐具有的性質(zhì)(1)圓錐的底面是一個圓面，圓面的半徑就是直角邊OA的長，底面和軸垂直；(2)平行于底面的截面是圓面；(3)通過軸的各個截面是軸截面，各軸截面是全等的等腰三角形，如△SAB；(4)過頂點和底面相交的截面是等腰三角形，如等腰△SAC；(5)母線都過頂點且相等，各母線與軸的夾角相等．1．如圖，在圓錐中任取不重合的兩條母線，如AB，AD，它們之間有何關(guān)系？過它們的截面是怎樣的圖形？提示：AB與AD相交于點A，且AB＝AD.截面ABD是過頂點A的等腰三角形．2．以Rt△ABC任一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面圍成的幾何體就是棱錐，這句話對嗎？提示：不對．必須以直角邊所在直線為軸．若以斜邊所在直線為軸，形成的幾何體是同底面的兩個圓錐組成的．知識點三圓臺的結(jié)構(gòu)特征定義用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺圖示及相關(guān)概念軸：圓錐的eq\a\vs4\al(軸)；底面：圓錐的底面和截面；側(cè)面：圓錐的側(cè)面在底面與截面之間的部分；母線：圓錐的母線在底面與截面之間的部分；臺體：棱臺和圓臺統(tǒng)稱為臺體eq\a\vs4\al()圓臺具有的性質(zhì)(1)圓臺的底面是兩個半徑不等的圓面，兩圓面所在的平面互相平行又都和軸垂直；(2)平行于底面的截面是圓面；(3)通過軸的各個截面是軸截面，各軸截面是全等的等腰梯形，如梯形ABB1A1；(4)任意兩條母線確定的平面截圓臺所得的截面是等腰梯形，如梯形ACC1A1；(5)母線都相等，各母線延長后都相交于一點．1．判斷正誤．(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)直角三角形繞一邊所在直線旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體是圓錐．()(2)夾在圓柱的兩個平行截面間的幾何體是一圓柱．()(3)圓錐截去一個小圓錐后剩余部分是圓臺．()答案：(1)×(2)×(3)√2．下列命題中，正確的是()A．以直角三角形的一直角邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐B．以直角梯形的一腰所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺C．圓柱、圓錐、圓臺都有兩個底面D．圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，這個扇形所在圓的半徑等于圓錐底面圓的半徑解析：選A以直角梯形垂直于底邊的腰所在的直線為軸，旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體才是圓臺，所以選項B不正確；圓錐僅有一個底面，所以選項C不正確；圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，這個扇形所在圓的半徑等于圓錐的母線長，所以選項D不正確．很明顯選項A正確．知識點四球的結(jié)構(gòu)特征定義以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面叫做球面，球面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡稱球圖示及相關(guān)概念球心：半圓的圓心叫做球的球心；半徑：連接球心和球面上任意一點的線段叫做球的半徑；直徑：連接球面上兩點并且經(jīng)過球心的線段叫做球的直徑球能否由圓面旋轉(zhuǎn)而成？提示：能．圓面以直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)半周形成的旋轉(zhuǎn)體即為球．(多選)下列說法正確的是()A．球的半徑是球面上任意一點與球心的連線B．球面上任意兩點的連線是球的直徑C．用一個平面截一個球，得到的截面是一個圓面D．以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)形成的曲面叫做球解析：選ACA是正確的；B是錯誤的，只有兩點的連線經(jīng)過球心時才為直徑；C是正確的；球面和球是兩個不同的概念，以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面叫做球面，球面圍成的幾何體叫做球，故D錯誤．知識點五簡單組合體1．定義：由簡單幾何體組合而成的幾何體叫做簡單組合體．2．簡單組合體的構(gòu)成形式：一種是由簡單幾何體拼接而成的；另一種是由簡單幾何體截去或挖去一部分而成的．指出圖中的幾何體是由哪些簡單幾何體構(gòu)成的．解：圖①由2個四棱錐構(gòu)成；圖②由1個三棱柱和1個四棱柱構(gòu)成．旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征[例1](鏈接教科書第104頁練習4題)判斷下列各命題是否正確：(1)圓柱上底面圓上任一點與下底面圓上任一點的連線都是圓柱的母線；(2)一直角梯形繞下底所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所形成的曲面圍成的幾何體是圓臺；(3)圓錐、圓臺中過軸的截面是軸截面，圓錐的軸截面是等腰三角形，圓臺的軸截面是等腰梯形；(4)到定點的距離等于定長的點的集合是球．[解](1)錯．由圓柱母線的定義知，圓柱的母線應平行于軸．(2)錯．直角梯形繞下底所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體是由一個圓柱與一個圓錐組成的簡單組合體，如圖所示．(3)正確．(4)錯．應為球面．eq\a\vs4\al()簡單旋轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)特征問題的解題策略(1)準確掌握圓柱、圓錐、圓臺和球的生成過程及其特征性質(zhì)是解決此類概念問題的關(guān)鍵；(2)解題時要注意明確兩點：①明確由哪個平面圖形旋轉(zhuǎn)而成；②明確旋轉(zhuǎn)軸是哪條直線．[跟蹤訓練]下列命題中正確的是()①過球面上任意兩點只能作一個經(jīng)過球心的圓；②以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，半圓的直徑叫做球的直徑；③用不過球心的截面截球，球心和截面圓心的連線垂直于截面；④球面上任意三點可能在一條直線上；⑤球的半徑是連接球面上任意一點和球心的線段．A．①②③ B．②③④C．②③⑤ D．①④⑤解析：選C任意兩點與球心在一條直線上時，可作無數(shù)個圓，故①錯，②正確，③正確；球面上任意三點一定不共線，故④錯誤；根據(jù)球的半徑的定義可知⑤正確．故選C.簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征[例2]如圖所示的幾何體是由下面哪一個平面圖形旋轉(zhuǎn)而形成的()[解析]該幾何體自上而下由圓錐、圓臺、圓臺、圓柱組合而成，故應選A.[答案]A[母題探究](變條件、變設問)若將本例選項B中的平面圖形旋轉(zhuǎn)一周，試說出它形成的幾何體的結(jié)構(gòu)特征．解：①是直角三角形，旋轉(zhuǎn)后形成圓錐；②是直角梯形，旋轉(zhuǎn)后形成圓臺；③是矩形，旋轉(zhuǎn)后形成圓柱，所以旋轉(zhuǎn)后形成的幾何體如圖所示．通過觀察可知，該幾何體是由一個圓錐、一個圓臺和一個圓柱自上而下拼接而成的．eq\a\vs4\al()簡單組合體的識別(1)明確組合體的結(jié)構(gòu)特征，主要弄清它是由哪些簡單幾何體組成的，必要時也可以指出棱數(shù)、面數(shù)和頂點數(shù)；(2)會識別較復雜的圖形是學好立體幾何的第一步，因此我們應注意觀察周圍的物體，然后將它們“分拆”成幾個簡單的幾何體，進而培養(yǎng)我們的空間想象能力和識圖能力．[跟蹤訓練]如圖，AB為圓弧eq\o(BC,\s\up8(︵))所在圓的直徑，∠BAC＝45°.將這個平面圖形繞直線AB旋轉(zhuǎn)一周，得到一個組合體，試說明這個組合體的結(jié)構(gòu)特征．解：如圖所示，這個組合體是由一個圓錐和一個半球體拼接而成的．旋轉(zhuǎn)體中的有關(guān)計算[例3]有一根長為3πcm，底面半徑為1cm的圓柱形鐵管，用一段鐵絲在鐵管上纏繞2圈，并使鐵絲的兩個端點落在圓柱的同一母線的兩端，求鐵絲的最短長度．[解]把圓柱側(cè)面及纏繞其上的鐵絲展開，在平面上得到矩形ABCD(如圖所示)，由題意知BC＝3πcm，AB＝4πcm，點A與點C分別是鐵絲的起、止位置，故線段AC的長度即為鐵絲的最短長度．AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝5πcm，故鐵絲的最短長度為5πcm.eq\a\vs4\al()1．求幾何體表面上兩點間的最小距離的步驟(1)將幾何體沿著某棱(母線)剪開后展開，畫出其側(cè)面展開圖；(2)將所求曲線問題轉(zhuǎn)化為平面上的線段問題；(3)結(jié)合已知條件求得結(jié)果．2．與圓錐有關(guān)的截面問題的解決策略(1)畫出圓錐的軸截面；(2)在軸截面中借助直角三角形或三角形的相似關(guān)系建立高、母線長、底面圓的半徑長的等量關(guān)系，求解便可．[跟蹤訓練]1．把地球看成一個半徑為6370km的球，已知我國首都北京靠近北緯40°，求北緯40°緯線的長度(π≈3.1416,cos40°≈0.7660，結(jié)果精確到1km)．解：作出截面圖，如圖所示．設A是北緯40°圓上的一點，AK是北緯40°圓的半徑，O為球心，所以OK⊥AK.設北緯40°的緯線長為ckm，因為∠AOB＝∠OAK＝40°，所以c＝2π·AK＝2π·OA·cos∠OAK＝2π·OA·cos40°≈2×3.1416×6370×0.7660≈30658.即北緯40°的緯線長約為30658km.2．用一個平行于圓錐底面的平面截這個圓錐，截得的圓臺上、下底面的面積之比為1∶16，截去的圓錐的母線長是3cm，求圓臺的母線長．解：如圖，設圓臺的母線長為lcm，截得圓臺的上底面的半徑為rcm.根據(jù)題意，得圓臺的下底面的半徑為4rcm.根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，得eq\f(3,3＋l)＝eq\f(r,4r).解得l＝9.所以圓臺的母線長為9cm.用模擬法探究兩點間的最短路徑——空間幾何體的展開與拼接爸爸出差前，留給小華一道題：如圖是某地區(qū)的交通網(wǎng)．其中小圈代表城鎮(zhèn)，小圈間的連線代表道路，連線旁的a1表示該段道路的長度(單位：千米)，請你選擇一條從A到B的最短路線．爸爸還特意交給小華一個“錦囊”，囑咐他不到萬不得已不要拆開．小華是個要強的孩子，題目未解出來，他不會去看“錦囊”！小華絞盡腦汁，想了一天還是沒有眉目．吃過晚飯，他信步走進小樹林，東瞅瞅，西瞧瞧，看到一張碩大的蜘蛛網(wǎng)，突然，一只小蟲撞到網(wǎng)上，小蟲奮力掙扎，于是便不斷地拉緊連到網(wǎng)中心的最短的那根絲，蜘蛛沿著那根絲，迅速出擊，抓住了小蟲．小華若有所悟，口里直嚷嚷：“有了！有了！”他想，只要用一種伸縮性很小的細線按交通網(wǎng)形狀和各條道路的長短比例編織一副真正的“交通網(wǎng)”，要求A、B兩地的最短路線．只需把網(wǎng)上相當于A、B兩地的網(wǎng)結(jié)各自向外拉，則由A到B的最短路線所通過的道路一定位于被拉緊的細線上．小華高興地打開“錦囊”，妙極了，他和爸爸的解法完全一樣．爸爸的解法后面還有幾行字：“這種解法叫做模擬法，它是科學研究的一種重要方法，自然界中簡單的現(xiàn)象往往孕育著深刻的道理，放開你的眼界打破學科的界限，努力去探索吧！”[問題探究]1.如圖，圓錐的軸截面是等邊三角形，圓錐的底面半徑為2cm，假如點B有一只螞蟻只能沿圓錐的表面爬行，它要想吃到母線AC的中點P處的食物，求它爬行的最短路程．提示：圓錐的底面半徑為2cm，故底面圓的周長為4πcm，圓錐的軸截面是等邊三角形，可知圓錐的母線長為4cm，設圓錐側(cè)面展開后扇形的圓心角為α，根據(jù)圓錐底面圓的周長等于展開后扇形的弧長得4π＝4α，解得α＝π，如圖，故∠CAB′＝eq\f(π,2)，螞蟻沿表面爬行到P處的最短路程為B′P＝eq\r(AP2＋AB′2)＝eq\r(22＋42)＝2eq\r(5)(cm)．2．長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，BB1＝5，一只螞蟻從點A出發(fā)沿表面爬行到點C1，求螞蟻爬行的最短路線長．提示：沿長方體的一條棱剪開，使A和C1展在同一平面上，求線段AC1的長即可，有如圖所示的三種剪法：①若將C1D1剪開，使面AB1與面A1C1共面，可求得AC1＝eq\r(42＋（5＋3）2)＝eq\r(80)＝4eq\r(5).②若將AD剪開，使面AC與面BC1共面，可求得AC1＝eq\r(32＋（5＋4）2)＝eq\r(90)＝3eq\r(10).③若將CC1剪開，使面BC1與面AB1共面，可求得AC1＝eq\r(（4＋3）2＋52)＝eq\r(74).相比較可得螞蟻爬行的最短路線長為eq\r(74).[遷移應用]在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝3，AA1＝4，M為AA1的中點，P是BC上一點，且由P沿棱柱的側(cè)面經(jīng)過棱CC1到M的最短路線長為eq\r(29)，則PC的長為________．解析：正三棱柱ABC-A1B1C1沿CC1側(cè)面展開，如圖所示，設PC＝x，由題意得AM＝2，AP1＝3＋x，MP1＝eq\r(29)，在Rt△MAP1中，AM2＋APeq\o\al(2,1)＝M