十連續(xù)函數(shù)運算與初等函數(shù)連續(xù)性

連分布圖★★

連續(xù)函數(shù)的運算復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性

★★

反函數(shù)的連續(xù)性例1★例

★

例3

★例★★★

初等函數(shù)的連續(xù)性冪指函數(shù)（例）最大值和最小值定理

★★

例5零點定理與介值定理★★

★例一致連續(xù)的概念內(nèi)容小結(jié)

★★★

例8例10課堂練習(xí)

★例★例11★★

習(xí)題10返回內(nèi)容要一連函的術(shù)算定1若數(shù)),g(x)在x處續(xù),則0(((x)g(x),f()),

f(x)g

(x)0)

在點x處連續(xù).0二反函與合數(shù)連性定2

若函數(shù)x)在區(qū)間I上單調(diào)增加（或單調(diào)減少）且連續(xù)，則它的反函數(shù)x)在對應(yīng)的區(qū)間I{|

f()xI}上調(diào)增加（或單調(diào)減少）且.定3若lim

x)函f(u)在出連續(xù)則x

limfx)](a)f[

x)](10.1)xx

xx

定4

設(shè)函數(shù)u)在x連且),而數(shù)y()在點連續(xù)00則復(fù)合函數(shù)[)]在也續(xù).0三初函的續(xù)定5基初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)定6一初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù).注：定理6的論非常重要，因為微積分的研究對象主要是連續(xù)或分段連續(xù)的函而一般應(yīng)用中所遇到的函數(shù)基本上是初等函數(shù)連續(xù)性的條件總是滿足從使微積分具有強大的生命力和廣闊的應(yīng)用前四閉間連函的質(zhì)最大最小值定理有性定理點定理介定理/

6060例選反數(shù)復(fù)函的續(xù)例1(E01)求limx0

ln(1)x

解

l)limx0

1limlx)xlni)lne例2求limcos(x)x解

limos(x)cosx

(x)(x)xcoslimx

cos例3求解令a

x

lim.xx0y,則(1)a

ln(1ylna

易見當(dāng)時,y0,所lim0

a

x

lim0

ya1y)

lim

ln(1)

1

lna例4(E02)求lim(1x)x解因

1(1)i)si

所以3lim(1xx0

1limx)x0

xx

.初函的續(xù)例5(E03)求

2x

解因f()

2

是初等函數(shù)是定義區(qū)間內(nèi)的點f()在2點處續(xù)，于是0

li22x/

33233323例6(E04)求lim(ex0

x

)x.解

xex

x

)

1x

x

x

)]

lim

12

.閉間連函的質(zhì)例7(E05)證方程xx區(qū)(1)內(nèi)至少有一個證令f(x

3

x

2

則f)在[0,1]上續(xù)又f(0),f,由零點定理,

(0,1)使f(

).方在1)內(nèi)少有一個實根

.例8(E06)設(shè)數(shù)f()在間ab]連續(xù)且f(a)f(b)證明存在a,),使f(證令F(()則(x)在[,]上續(xù).而Fa)f()F(b)fb),由零點定理),使Ff(即f(例9證方程1xxx有分別包含2),3)內(nèi)的兩個實.證當(dāng)x用(x2)(乘程兩端，得(x2)(xx設(shè)f()xxxxf(1)f,f(3)由零點定理知，f(x)在(1,2)與內(nèi)至少各一個零點即原方程在2)與(2,內(nèi)少各有一個實根.一連性例10證明函數(shù)f(x)sin在(一致連續(xù)證因|sinxsinx2cos

xsin1sin2

|,12所以對于任給

要取

,對(內(nèi)的任意兩點xx當(dāng)xx，就有12|xsinx1

/

12231223因此x在是致連續(xù)的注由一連續(xù)的定義可以知道，如果函數(shù)f)在間I上一致連續(xù)，則fx在間上必定連續(xù).但是反過來不一定成立例11試說明函數(shù)(x)

x

在區(qū)間是連續(xù),但不是一致連續(xù)的.證因函數(shù)f()

1x

是初等函數(shù)在間上定義以(0,1]上連續(xù)的.

,假f(x)

1x

在上致續(xù)，應(yīng)該

使對于上任意兩個值xxx，就有f)f()1212

現(xiàn)在取原點附近的兩點11因|,(n

11x(n),顯然xxnn故只要n取得足夠大，總能使x1

但時有|f()f|12

11nn