非線性模型理論及其應用研究

.z.第一組計量經濟學理論與方法字數(shù)10000非線性模型理論及其應用研究**財經大學馬薇袁銘摘要 本文對長記憶模型（ARFIMA）及其估計方法，平滑轉移自回歸模型（STAR）的一般形式與拓展形式，經濟過程中的非線性檢驗以及模型選擇檢驗進行簡要介紹和初步研究，并在此基礎上引入了分整平滑轉移自回歸模型（FI-STAR）。在模型應用方面，本文使用FI-STAR模型，結合使用GARCH模型修正模型殘差，給出了研究微觀金融市場"杠桿效應”和股指聯(lián)動性的分析框架，也對使用STAR族模型研究微觀市場數(shù)據(jù)進行了初步嘗試。關鍵詞：ARFIMA、STAR、LSTAR、ESTARAbstractThispaperemphasisontheARFIMAmodelanditsestimationaswellasprovideabriefsketchonthebasicformandsomee*tensionsofsmoothtransitionautoregressivemodel.Then,wereviewthenonlineartestandmodelspecificationtestofagiveneconomicprocessandintroducethefractionalintegratedSTARmodel.Finally,forthemodelappliance,wesubtlybinetheFI-STARmodelwithGARCHmodelasanadjustmentoftheresidualstoprovideaframeworkoftheresearchonthe"leverageeffect”andinteractionsbetweendifferentstockmarket.Thesepreliminarye*plorationsarestillassomeattemptsofusingSTARfamilymodeltoanalysisthemicroeconomicandmarketprocesses.Keyword:ARFIMA、STAR、LSTAR、ESTAR作者簡介馬薇性別女出生日期1958.12.21學位：博士學位職稱教授（博士生導師）**財經大學袁銘性別男出生日期19820512**財經大學博士研究生研究方向計量經濟學引言現(xiàn)實中，自然、社會經濟現(xiàn)象各因素之間一般存在非線性的復雜關系。長期以來，因受自身能力約束，人們難以有效識別與分析。在問題研究中，往往采用牛頓還原論的思維模式，力圖將其轉化或逼近成線性關系處理。作為數(shù)學、理論統(tǒng)計學的一個研究方向，目前非線性數(shù)據(jù)的線性化工作取得了重要進展，建立了較完備理論方法體系，成功應用于自然科學領域。人們關注的熱點已轉向社會經濟領域中的應用。由于不可能針對每一組非線性數(shù)據(jù)設計單獨的分解方法，所以通過非線性模型分類，針對類型設計出相應的線性轉換或逼近方法成為此項研究的主流。而非線性模型族的識別則成為基礎性的工作。對于非線性經濟數(shù)據(jù)的線性轉化而言，合理性判斷應是其能否較充分反映原有的經濟關系。一、ARFIMA模型及其估計 長期記憶及分整的概念是由Granger和Joyeu*（1980）[1]提出的。他們認為，對于許多時間序列來說，差分序列的譜密度函數(shù)表現(xiàn)出過度差分的現(xiàn)象；同時，原始序列也表現(xiàn)出長期相關性，這與穩(wěn)定ARMA模型相悖。因此，Granger和Joyeu*引入分數(shù)差分算子將原始序列轉換為平穩(wěn)的ARMA序列過程。 一般形式的線性ARFIMA(p,d,q)模型具有如下形式：（1.1） 其中和分別為p階和q階滯后算子多項式，L為滯后算子，為了滿足時間序列的平穩(wěn)性要求，需要約束算子多項式的特征根都在單位圓外，分數(shù)階差分算子通常還可以寫作：（1.2）ARFIMA模型的檢驗與估計主要Geweke，Porter和Hudak（1983）[2]提出的半?yún)?shù)譜分析方法（GPH）。該方法的核心思想是分數(shù)階差分參數(shù)d等于時序譜密度函數(shù)在處的斜率，對于d的估計還有研究人員給出了基于最大似然函數(shù)的參數(shù)化估計方法，例如Sowell（1992）提出的精確最大似然估計法，還有Fo*和Taqqu（1983）給出的頻域近似最大似然估計法。這兩種方法都能夠同時估計模型的短記憶和長記憶參數(shù)，但計算起來較為復雜，并且依賴對ARFIMA中高頻部分的正確設定，也就是說差分參數(shù)d的估計結果對ARMA中滯后階數(shù)p，q的選擇較為敏感?？傊陂L記憶參數(shù)d的估計問題上，參數(shù)方法比半?yún)?shù)方法的效率高，但是計算量龐大，并且受限于模型的錯誤識別；相對地，半?yún)?shù)方法的計算量較小，對模型的錯誤識別具有穩(wěn)健型，但效率較低。因此，可以考慮使用貝葉斯思想將兩類方法結合起來，例如可以使用半?yún)?shù)估計方法，如GPH方法得當參數(shù)d的初始估計并構造d和殘差的先驗分布，然后在此基礎上，使用近似極大似然估計方法（Baron，1995）得當d的貝葉斯估計，從而使長記憶參數(shù)d的估計更加準確、穩(wěn)健。二、平滑轉移自回歸模型及其非線性檢驗平滑轉移自回歸模型（STAR）是Granger和Ter?svirta（1993）[3]提出的，作為機制轉換類模型的一種，STAR模型可以使在兩個極端機制之間的變化成為平滑或逐漸的變化。下面就STAR模型的一般形式、拓展形式，STAR模型的檢驗展開討論。1.STAR模型的一般形式 一般來說，兩機制的STAR(p)模型可以寫作：（2.1）函數(shù)用來協(xié)調經濟過程在兩種機制（或）之間的轉換，并且這種轉換是平滑的。是轉移變量，可以是（1）滯后內生解釋變量（）；（2）外生解釋變量（）；（3）滯后內生變量的線性或非線性函數(shù)（）；（4）線性時間趨勢，即使STAR模型具有時變的特征。對于函數(shù)形式的選擇一般有兩種：logistic形式的（LSTAR）或指數(shù)形式（ESTAR）的。一階Logistic形式的函數(shù)可以寫作：（2.2）其中，參數(shù)c是兩個機制轉換的門限值，的值隨著轉移變量值的遞增從0單調遞增至1，并有；參數(shù)決定了logistic函數(shù)值變化的平滑程度，即從一種機制向另一種機制轉變的平滑程度。如果非常大，則兩種機制之間的轉換幾乎是瞬間實現(xiàn)的。更一般的，可以將一階Logistic形式的轉換函數(shù)拓展為n階的Logistic函數(shù)，用來捕捉經濟過程中兩種機制的多重轉換關系，即：（2.3）指數(shù)型STAR（ESTAR）的轉換函數(shù)可以寫作：（2.4）ESTAR的轉換函數(shù)關于是對稱的，并且無論趨近于負無窮或者正無窮都有；若轉換速度參數(shù)或，都將退化為常數(shù)（0或1）使得ESTAR模型退化為線性模型。在實證研究中，LSTAR模型對從一種機制轉換至另一種機制時，呈現(xiàn)規(guī)律的平滑轉移過程的時間序列具有較強的解釋能力，因而適合分析經濟過程非對稱機制調整的情況；反之，ESTAR模型則更適于描述具有對稱機制轉換的經濟過程。2.STAR模型的拓展形式雖然兩機制STAR模型能夠滿足經濟研究大部分應用，但也可以將更多機制加入STAR模型中，從而得到多重機制平滑轉移自回歸模型簡稱MRSTAR。典型的三機制STAR的形式如下：（2.5）如果假設，則該模型的自回歸參數(shù)隨著的增加平滑地從通過變化到。更一般的多重機制STAR模型可以寫作：（2.6）關于多重機制STAR模型的構造問題一般采用"封裝”的思想，例如構造一個四重機制STAR模型，可以通過將兩個不同的雙機制模型封裝來得到，即：（2.7）在（1.11）式中若假定和是內生解釋變量的線性組合（），并且施加約束：，則可以得到MRSTAR模型衍生模型，即變系數(shù)平滑轉移模型，該模型實際上是人工神經網絡模型（ANN）的一個特例。更多關于MRSTAR模型的討論詳見VanDijk與Franses（1999）[4]。同樣在上式中若令，則得到時變STAR模型（TVSTAR）[5]，用來解決STAR模型中參數(shù)估計不一致的問題，典型的TVSTAR模型可以寫作：（2.8）其中，與此同時，可以將一元STAR模型拓展為多元的情形，即向量STAR模型。令是一個時間序列向量，則k維二機制向量STAR模型可以寫作：（2.9）其中，是向量；是矩陣；是k維向量白噪聲過程?；谙蛄縎TAR模型的研究包括STAR-ECM模型（Granger和Swanson，1996）[6]（將非線性或者非對稱誤差修正機制引入）以及共同非線性（向量時間序列的非線性是由同一個非線性部分產生的）的識別與檢驗。3.STAR模型的檢驗STAR模型的檢驗主要涉及兩個方面：（1）非線性檢驗，即檢驗原始時間序列是否呈現(xiàn)非線性特征；（2）模型選擇檢驗，即如果確定建立非線性模型，檢驗選擇的轉換變量和過渡函數(shù)是否合適；（3）模型設定檢驗，即檢驗估計的模型是否存在殘差序列相關、殘余非線性問題，以及參數(shù)估計是否穩(wěn)定。本文的研究重點主要是STAR模型的非線性檢驗和模型選擇檢驗。非線性檢驗的核心思想是Luukkonen、Saikkonen和（1988）[7]提出的，即將轉換函數(shù)用適當?shù)奶├占墧?shù)展開式近似值替代，這樣就避免了不能直接對線性與非線性假設進行檢驗的問題，并且在線性原假設成立的條件下，LM統(tǒng)計量漸進服從分布。該方法有兩個優(yōu)點：（1）不需要估計備擇假設下的模型；（2）可以運用蒙特卡洛模擬方法，根據(jù)漸進分布理論得到檢驗臨界值。表1是針對LSTAR和ESTAR非線性檢驗的輔助回歸、檢驗原假設，及在線性原假設成立的情況下統(tǒng)計量的漸進分布。其中，，。統(tǒng)計量的提出是為了避免當不同機制之間的差別僅體現(xiàn)在截距上統(tǒng)計量失效的問題；統(tǒng)計量的提出是因為指數(shù)形式的轉換函數(shù)存在兩個拐點，因而用一階泰勒級數(shù)展開式作為轉換函數(shù)的近似值不足以概括出模型的特征。盡管如此，在檢驗勢上，沒有足夠的證據(jù)表明統(tǒng)計量比統(tǒng)計量要強。下面以統(tǒng)計量為例介紹STAR模型的非線性檢驗過程。（1）在線性原假設下，估計模型，計算其殘差平方和；（2）估計統(tǒng)計量的輔助回歸式，計算其殘差平方和；（3）計算統(tǒng)計量的值：（2.10） 如果研究的經濟過程樣本容量較小，則應該使用F統(tǒng)計量來計算LM檢驗的臨界值[8]，即：（2.11） 基于同樣的思想和輔助回歸式，還可以進行模型選擇檢驗，即選擇LSTAR模型還是ESTAR模型作為轉換函數(shù)能夠更好地描述經濟過程的特征。模型選擇檢驗使用的三個原假設如下：；；（2.12） 檢驗步驟為：分別在三個原假設以及非約束的條件下估計輔助回歸式得到殘差平方和SSR01、SSR02、SSR03、SSRUR；根據(jù)表1及式（1.14）和（1.15）構造LM統(tǒng)計量，并根據(jù)臨界值判斷是否接受原假設；若拒絕H01，則適用LSTAR模型來擬合數(shù)據(jù)；若接受H01但拒絕H02，則適用ESTAR模型來擬合數(shù)據(jù)，若接受H01和H02，但卻拒絕H03，則適用LSTAR模型來擬和數(shù)據(jù)；若同時接受H01、H02、H03，則又回到了非線性檢驗的原假設，此時應該使用線性模型來擬合數(shù)據(jù)。在實證研究中，也可以同時建立LSTAR模型和ESTAR模型，然后根據(jù)模型的預測效果進行選擇?？傊?，如何選擇STAR模型的轉換函數(shù)，或者尋找特征更為貼近真實經濟過程的函數(shù)作為指數(shù)模型或者logistic模型的替代仍然是一個需要進一步深入研究的課題。4.STAR模型在經濟學實證分析中的應用目前，基于STAR模型的實證分析主要集中在宏觀經濟數(shù)據(jù)方面，例如：Sarantis（1999）[9]使用STAR模型研究1980年至1990年十大主要工業(yè)國家的月度實際匯率。實證結果顯示，除了荷蘭與瑞士以外，其他國家的實際匯率序列均有明顯的非線性關系，他還根據(jù)數(shù)據(jù)特征選擇不同的非線性模型（ESTAR和LSTAR）來擬合數(shù)據(jù)，并且發(fā)現(xiàn)其中三國實際匯率序列使用LSTAR模型擬合較為適合，而其他五國則應將模型設定為ESTAR。估計得到的模型都通過了診斷檢驗，能夠對實際匯率提供合理的解釋。DavidG.（2003）[10]分別基于線性模型、LSTAR模型和ESTAR模型，使用1975年1月至1995年4月的季度數(shù)據(jù)，研究英國股指與宏觀經濟變量（失業(yè)率、工業(yè)生產指數(shù)、消費物價指數(shù)、廣義貨幣供給余額）之間的相關性，并使用1996年1月至2001年4月的數(shù)據(jù)作為樣本外預測。實證結果表明，ESTAR模型的樣本內與樣本外的預測效果均優(yōu)于LSTAR模型和線性模型。此外，許多學者也使用拓展形式的STAR模型來描述和解釋經濟現(xiàn)象，例如：Rothman，vanDijk和Franses（1999）[11]使用向量STAR模型研究貨幣供給與GDP之間的關系；vanDijk和Franses（1999）使用多重機制STAR模型對經濟周期加以描述；vanDijk和Franses（2000）[12]則使用基于STAR的非線性誤差修正模型研究荷蘭利率的變動情況。三、FI-STAR模型及其非線性檢驗下面討論非線性模型與長記憶模型之間的關系。Diebold和Inoue（2001）[13]指出長記憶模型和機制轉換模型從本質上是緊密相連的，即機制轉換模型可以表現(xiàn)出與長記憶模型相似的隨機特征，兩種模型都可以對同一經濟過程做出恰當?shù)乜坍?。因此，為了能夠同時描述經濟過程中非線性和長記憶問題，需要建立分整平滑轉移自回歸模型（FI-STAR），這里僅對FI-STAR模型的基本形式和非線性檢驗進行簡要介紹。一般來說，F(xiàn)I-STAR模型的形式如（3.1）：（3.1）由于分數(shù)階差分參數(shù)d的存在，使得其非線性檢驗和LM統(tǒng)計量的構造變得更加復雜。針對該問題，vanDijk、Franses和Paap（2002）[14]提出了改進的LM統(tǒng)計量，本文以ESTAR模型為例對其基本思想和檢驗方法進行簡要介紹。首先將指數(shù)轉換函數(shù)按照一階泰勒級數(shù)展開，構造用于檢驗的輔助回歸：（3.2） 檢驗的線性原假設為。在線性原假設成立的條件下，原時序服從長記憶ARFIMA(p,d,0)過程，第t個觀測值的條件似然函數(shù)為：（3.3）其中，是在線性原假設（即原始數(shù)據(jù)是ARFIMA(p,d,0)過程）成立的條件下，估計參數(shù)得到的殘差序列。這里隱含一個假設，即假定殘差是正態(tài)的，并且具有常方差性。如果放寬常方差假設，則需要將條件似然函數(shù)中的替換成。構造LM統(tǒng)計量的核心思想是將原假設條件看成一個約束條件，通過對有約束的極大似然函數(shù)的一階偏導數(shù)進行檢驗，對參數(shù)假設做出判斷。由于FI-ARFIMA模型多了長記憶參數(shù)d，因此需要對條件似然函數(shù)關于d求偏導，得到：（3.4）并且有，（3.5）即在線性原假設成立的條件下有：（3.6）其中，是針對原始序列建立ARFIMA(p,d,0)模型得到的殘差序列。在此基礎上，得到FI-STAR非線性檢驗的步驟如下：（1）在線性原假設下估計ARFIMA(p,d,0)模型，得到殘差序列和分整參數(shù)估計量，并且計算其殘差平方和記為；（2）建立形如（1.22）的輔助回歸，并且計算其殘差平方和為：（3.7）（3）計算LM統(tǒng)計量；（3.8）或：（3.9）四、FI-STAR模型在金融時序分析中的應用本文在第二節(jié)中已經指出，目前基于STAR模型的實證分析主要集中在宏觀經濟數(shù)據(jù)方面，而對微觀市場數(shù)據(jù)涉及較少。與此同時，最近20年以來，金融時間序列中存在的非線性與長記憶性受到學者的廣泛關注，對金融時序進行建模與預測也成為計量經濟學和金融學研究的熱點。以金融資產的波動率為例，其序列具有如下特征：1）波動率存在聚類性，也就是波動率可能在一些時間段上較高，而在另一些時間段上較低；（2）波動率以連續(xù)方式變化，波動率的跳躍現(xiàn)象是少見的；（3）波動率是平穩(wěn)的，不會發(fā)散到無窮，而是在一定*圍內隨時間連續(xù)變化；（4）波動率對利好消息和利空消息的反應是不同的，即存在杠桿效應。這些特征都是波動率序列存在長記憶性與非線性的典型特征。因此，本小節(jié)在FI-STAR模型的基礎上，給出分析"杠桿效應”和股指聯(lián)動性的基本框架，對使用STAR模型分析微觀市場數(shù)據(jù)進行初步探索。1.使用FI-STAR模型刻畫波動率"杠桿效應”對于金融資產波動率時序中存在的"杠桿效應”，一般的處理方法是建立Nelson（1991）[15]提出的EGARCH模型。EGARCH(1,1)的條件方差方程如下：（4.1）其中，為條件方差項，為隨機干擾項。在估計參數(shù)后，通過觀察參數(shù)的數(shù)值及其顯著性水平來判斷是否存在杠桿效應?？紤]到波動率序列中普遍存在的長記憶性，Bollersev和Mikkelsen（1996）[16]提出了FIEGARCH模型。FIEGARCH(1,d,1)的條件方差方程如下：（4.2）雖然FIEGARCH模型有較好的應用前景，但也存在一定問題，其中較為典型的就是得到FIEGARCH參數(shù)估計量的漸進值是非常困難的。本文介紹的FI-STAR模型為刻畫波動率序列杠桿效應提供了一種新思路，即將指數(shù)或者對數(shù)形式的轉移函數(shù)引入ARCH/GARCH模型的條件方差方程中。以ARCH(1)模型為例，條件方差方程可以寫作：（4.3） 若，且有，則表明波動率序列存在杠桿效應。2.基于FI-STAR模型的股指聯(lián)動性分析 股指聯(lián)動性一直以來是人們的研究熱點問題，近兩年隨著中國金融體制改革的深化，股指聯(lián)動性特別是中國股市與世界及周邊股市指數(shù)的聯(lián)動性研究也持續(xù)升溫。研究這一問題的傳統(tǒng)方法是基于協(xié)整理論的，即通過考察兩個或多個股指之間是否存在穩(wěn)定的線性組合。但該方法存在較為明顯的缺陷：（1）它假定股指之間的相互影響是線性的；（2）沒有考慮股指聯(lián)動性隨時間發(fā)生變化的情況，即所謂的協(xié)結構突變問題；（3）沒有考慮條件異方差問題。解決該問題的另一種方法是Engle和Bollerslev（1986,1993）[17]提出的基于向量GARCH模型的波動持續(xù)（volatilitypersistence）和協(xié)同持續(xù)（monPersistence）概念，即向量GARCH過程各分量的波動之間存在一種長期的線性均衡關系，該方法較全面地考慮了股指波動性的特征，但也存在一定局限性：向量GARCH模型形式復雜，參數(shù)多，估計困難，而簡化的向量GARCH模型（對角向量GARCH、常相關向量GARCH模型）則存在約束過嚴或者經濟意義不明確的問題。FI-STAR模型可以有效地解決這一問題。例如，若研究恒生指數(shù)對上證指數(shù)的影響，可以建立如下的回歸：（4.4） 其中，是上證指數(shù)收益率序列，為恒生指數(shù)收益率序列，、、、、d、、為待估參數(shù)。至于轉移變量滯后期數(shù)的選擇，可以分別估計不同滯后期數(shù)下的模型，根據(jù)模型的預測效果，即h期預測均方差誤差（MSE）進行選擇?？紤]到股指收益率序列存在明顯的異方差性，可以在上式回歸中添加GARCH修正項，即：（4.5）五、結語本文對ARFIMA模型以及STAR模型、STAR的拓展形式及其非線性檢驗進行了介紹，并在此基礎上將二者結合起來，提出了FI-STAR模型，對經濟過程中長記憶性與非線性聯(lián)合檢驗進行了初步探索。與此同時，本文也提出了幾個值得深入研究的問題：首先是基于貝葉斯思想的長記憶參數(shù)估計問題，也即如何將參數(shù)化估計方法與非參數(shù)估計方法有機結合起來；其次是STAR模型轉換函數(shù)的選擇問題，即能否構造更為貼近真實經濟過程的函數(shù)作為指數(shù)模型或者logistic模型的替代；最后是FI-STAR模型的非線性檢驗問題，即能否構造恰當?shù)慕y(tǒng)計量使得FI-STAR模型的非線性檢驗較少地依賴模型設定，同時具有較高的檢驗功效。參考文獻[1]GrangerC.W.J.andJoyeu*F.(1980),AnIntroductiontoLongMemoryTimeSeriesModelsandFractionalDifferencing.JournalofTimeSeriesAnalysis,1980,1:15-29.[2]GewekeJ.andS.Porter-Hudak.TheEstimationandApplicationofLongMemoryTimeSeriesModels[J],JournalofTimeSeriesAnalysis,1983,4,221-237.[3]Granger,C.W.J.andT.Terasvirta(1993),ModellingNonlinearEconomicRelationships,O*ford:O*fordUniversityPress.[4]vanDijk,D.andP.H.Franses(1999),Modelingmultipleregimesinthebusinesscycle,MacroeconomicDynamics3,311-340.[5]Lundbergh,S.,T.TerasvirtaandD.vanDijk(2000),Time-varyingsmoothtransitionautoregressivemodels,WorkingPaperSeriesinEconomicsandFinanceNo.376,StockholmSchoolofEconomics.[6]Granger,C.W.J.andN.R.Swanson(1996),Futuredevelopmentsinthestudyofcointegratedvariables,O*fordBulletinofEconomicsandStatistics58,537-553[7]Luukkonen,R.,P.SaikkonenandT.Terasvirta(1988a),Testinglinearityagainstsmoothtransitionautoregressivemodels,Biometrika75,491-499.[8]vanDijk,D.andT.Terasvirtaz(2000),SmoothTransitionAutoregressiveModels-ASurveyofRecentDevelopments[9]SarantisN.(1999),Modelingnon-linearitiesinrealeffectivee*changerates,JournalofInternationalMoneyandFinance,Vol.18,28-45[10]DavidG.(2003),Non-linearPredictabilityofUKStockMarketReturns,O*fordBulletinofEconomicsandStatistic,Vol.65,557-573[11]Rothman,P.,D.vanDijkandP.H.Franses(1999),AmultivariateSTARanalysisoftherelationshipbetweenmoneyandoutput,