《微積分課后習(xí)題答案》四章習(xí)題

第四章教材習(xí)題選解或提示

(A)

2.不用求出函數(shù)/(x)=Mx-l)(x—2)(x—3)的導(dǎo)數(shù)，說明，⑴有幾個(gè)根

及所在區(qū)間.

解：/(x)=x(x-l)(x—2)(x—3)的導(dǎo)數(shù)為三次多項(xiàng)式，則/'(x)=0最多

有三個(gè)解，因?yàn)?(0)=/⑴=/>⑵=/■⑶，根據(jù)羅爾定理，可知存在

4G(0,1)使得［格)=0；存在&e(l,2)使得［($)=0；存在

《€(2,3)使得/修3)=0.

3.證明方程%5+/+%+5=()有且僅有一個(gè)實(shí)根.

證：設(shè)函數(shù)/(%)=/+Y+%+5,則/(x)在R上連續(xù).

由于/(一2)=-37,/(0)=5,所以存在一點(diǎn)當(dāng)e(-2,0),使得

/(xJ=0.

假設(shè)/+/+尢+5=0除%］外還有一根修。0.不妨假設(shè)

玉<*2,則/(不)=/(々).

/(x)在閉區(qū)間房,馬］上連續(xù)，在開區(qū)間(內(nèi),光2)內(nèi)可導(dǎo).因此，有

/'(1)=0，欠(x,,x2)

而f\x)=5/+3X2+1>1,矛盾,得證.

4.設(shè)a>/?>0,〃>1,證明：nb"~'(a-b)<a"-b"<nan-l(a-b).

證：設(shè)函數(shù)/(關(guān))=x",在區(qū)間以㈤I二應(yīng)用拉格朗日定理，得

口;€(。力)

b-a

因?yàn)樗詎a"T<n^"~'<nb"~',

所以〃qiJ"一優(yōu)<泌"，得〃b"T(a-b)<a"-b"<na"T(a-b).

b-a

6.設(shè)函數(shù)f(x)在［0,同上連續(xù),在(O,a)內(nèi)可導(dǎo),且/⑷=0,證明：至

少存在一點(diǎn)

兵(O,a),使得/C)+/位)=0.

證：設(shè)函數(shù)尸(X)=J^(X),因?yàn)镕(0)=4(a)=0,可知F(x)在區(qū)間［0,a］

滿足羅爾定理,則有尸解)=01e(O,a),即/(?)+/C)=o

Je(0,a).

7.若方程a()x"+a,xn~l+…+。“_/=0有一個(gè)正根x=/，證明：

2

方程a()〃x"T+at(〃-l)x"~+…+a“_|=0必有一個(gè)小于的正根.

證：設(shè)函數(shù)尸=+產(chǎn)(0)=0,則可知尸(x)在

區(qū)間［O,x(J滿足羅爾定理，可知尸G)在區(qū)間［0,須J滿足羅爾定理，則有

尸'6)=0欠(0,%),即為〃夕T+4(〃—1紇""+...+/I=0,

Je(0,*0),方程aonx"~'+q(〃-l)x"-2+…+a“_］=0必有一^M、于

x0的正根.

8.設(shè)函數(shù)/(X)在［a,H上連續(xù)，在(。力)內(nèi)可導(dǎo)，并且有/(a)=/(/?)=0.

試證：至少存在一點(diǎn)刈e（a,力）,使得/紜）-/⑹=0.

證：設(shè)函數(shù)函（6=。珠-*,F（a）=F（b）=0,可知設(shè)（x）在區(qū)間[a,b]

滿足羅爾定理,則有尸'G）=0*（a,b）,即LrG）-/Ob'。,

可得，至少存在一點(diǎn)Je（aS）,使得/'仔）一/仁）=0.

9.求下列極限:

ln(l4-x)⑵i￡z￡

⑴hm-----------im

%T°Xz°sinx

1.COSX-Jl+X

lim-------------------------(4)lim-----—(〃,ft>0)；

⑶a。/

ln|1+-

⑸lim（6）limx?/；

iparccotxXTO

x1

⑺lim⑻lim(tanx)s，nA；

siIx-1Inx

i.x-sinxp-p

lim---------------(10)lim----------

⑼“T8x+sinx-/+/

(11)limjl+父；/I\tanx

(⑵則1?

X

1

解：（）如皿

1lim二lim且工=1；

一。xXTO1

e*-e~xe+e~

(2)lim----------lim-----------=2；

s°sinxXT°COSX

.1

-sinx----...——

「COSX-V1+x________

6)lim-------------=lim

XTOJTx->03x2

1加71=1加卜-n防,

（4）=In—；

A->0%XT。Ib

infill也T

⑸]im」~￡=lim—J-----=1；

ifarccotx1

~l+x2

i

1*I;

2v?

（6）limxe二lim—；—=lim=oo-

x-?0

xlnx-x+1Inx

⑺-7------T----=lim----------

(x-l)lnx—i.1

\7lnx+1--

x

1

=lim.x■=00；

x->l11

IntanxIntanx

hm——-——hm——：——

,、z、?,/vdnxHmsinxIntanx*~*°+----t-*o+—

(8)lim(tanx)s，nx=limen(tanx)=ex^o+=esinx-e

.10+XTO，

1■>

----sec-x

Isinx

(9)limV-SmY=lim——^=1；

i0°x+sinxz00j+sinx

x

-2x

lim

zo+__L

-e=e0=1.

10.確定下列函數(shù)單調(diào)區(qū)間：

(1)y=x3-3x2-9x+2；

(4)y-x-ex.

解：(1)y=d—3%2-9%+2,令了=3尤2-6X-9=0,得

X1=-l,x2=3,列表討論

區(qū)I'HJ(-1,3)3,+8)

廣(x)+-+

/(X)TT

(―8,-1］和［3,+8)為函數(shù)/(x)的單調(diào)增加區(qū)間，［—1,3］

為函數(shù)/(x)的單調(diào)減少區(qū)間;

(4)y=x-ex,令y'=]-e*=0,得x=0,

當(dāng)x<0時(shí)，/>0；當(dāng)x>0時(shí)，y<o,因此

(-8,0]為單調(diào)增加區(qū)間，[o,+8)單調(diào)減少區(qū)間.

11.證明下列不等式：

(1)當(dāng)x>o時(shí)，

2

______11

解：設(shè)函數(shù)/(x)=l+±r—jm,f(x)=-一一當(dāng)x>0時(shí)，

222jl+x

函數(shù)單調(diào)增加，有/(x)>/(o)=o,aiu+|>Vf+T.

13.求下列函數(shù)的最值：

(1)y=2x3-3x2,xe[-1,4]

解：令y'=61-6x=0,得玉=0,%2=1，

/(-1)=一5"(。)=0,川)=一1,〃4)=80,函數(shù)的最大值為/⑷=80,

函數(shù)最小值為/(-1)=-5.

18.設(shè)某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品x個(gè)單位時(shí)，其銷售收入R(x)=3j7,成本函數(shù)

為C(x)=；/+1.求使總利潤達(dá)到最大的產(chǎn)量工.

解：總利潤為L(zhǎng)(x)=3五一4/_1,1⑴=3,得駐點(diǎn)龍=血，

42Vx2

當(dāng)工=莎時(shí)，總利潤最大.

20.當(dāng)。、〃為何值時(shí)，點(diǎn)(1,3)為曲線y=ax'+〃/的拐點(diǎn)？

解：/(1)=3,即Q+〃=3,/〃(1)=6Q+2Z?=0,得

2.已知函數(shù)/(x)在［0,1］上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且/(0)=0"⑴=1,

/(x)是x的非線性函數(shù).試證:在(0,1)內(nèi)至少存在一點(diǎn)&，使得/圖〉1.

證：/(x)是x的非線性函數(shù)，則至少有一點(diǎn)與€(0,1),使得了(*0)。/，

不妨設(shè)/(%)>/，則在(°，/)滿足拉格朗11中值定理，即

其中Je(O,x°)u(O,l).

/一°

5.設(shè)函數(shù)/(x)在閉區(qū)間［0,A］上連續(xù)，且/(0)=0.如果/'(X)存在且為

增函數(shù)(xe(0,A)).試證：函數(shù)/x)=，/(x)也是增函數(shù).

證：當(dāng)尤>0,/(x)在區(qū)間(0,x)滿足拉格

XX

朗日中值定理，則有=(0,九)，

F,(x)=-/(x)-if'G)>0,函數(shù)尸(尤)=，/(x)是增函數(shù).

XXX

9.設(shè)/(x)在x=0處二階可導(dǎo)，且二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，已知

lim1+x+x/，求/(0),廣(0)/(0)及

lim1+

解：lim1+x+JC

x->0X2I。2xXT。2

則/(O)=O"'(O)=OJ"(O)=l，

川劄入

（四）模擬試題

一、填空題（本題共5小題，每題6分，共30分）

1.函數(shù)/（x）=sinx在區(qū)間（0,萬）滿足羅爾定理的點(diǎn)為

c附1-C0SX?

2.極限hm-7——為____________?

XT0X2

3.函數(shù)/（x）=21-x的單調(diào)減少區(qū)間為.

4.曲線）=/-2》+2的拐