巧用線段相等證線段倍差

巧線相證段差證明角或線段相等的關(guān)系是初中數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的內(nèi)容生多能得心應(yīng).但是有關(guān)角或線段的倍半和的問題生往往感到比較棘手為助學(xué)生掌握此類問題的解題規(guī)律.本文以教材中的課后習(xí)題為例加以說.一、原題呈現(xiàn)例1(八級(jí)課后習(xí)題已知如圖

ABC

中

BD

垂足為

D

.求證

.二、解法探究方法1過點(diǎn)

A

作

AEBC

于點(diǎn)

E

.∵

，

∴

12

BAC∵AE，AC∴

AEC90∴

2

，

90∴

12

BAC∴

BACDBC評(píng)注證角的倍半關(guān)系，將較大的角折半，然后證明它和較小的角相等折法”.這，我們把不會(huì)的問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學(xué)過的問題證兩個(gè)角相等解決，從而達(dá)到化未知為已知，化難為易，化繁為簡(jiǎn)的目的，體現(xiàn)了化歸的思.方法2作

，

BF

交

AC

于點(diǎn)

∵∴∴∴∵∴∴

BDFBDC909090ABAC又∵

FBC180180∴

AFBC評(píng)注方2也也是將角的倍半關(guān)系化為兩個(gè)角相等的關(guān).與法不的是，它是將較小的角加倍，然后證明它和較大的角相等，即“加倍法.方法3∵

∴BDC90又BDC180∴90∴∵∴ABC又∵ABC∴180∴”二AC,評(píng)注方是用角之間的數(shù)量關(guān)系，經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖儞Q，使得

.這種解法不用添加輔助線是并不容易想到上只有少數(shù)學(xué)生能夠使用此類方法證.三、觸類旁通由此聯(lián)想八級(jí)的幾何證明題也經(jīng)常遇到線段之間的數(shù)量關(guān)系如線段的和差關(guān)系等，其實(shí)與倍半關(guān)系類似，也是轉(zhuǎn)化為證明線段相.例2(八級(jí)課后習(xí)題已知如圖，在ABC，C，BAC的平分線交

BC

于

D

.求:

ABBD

.方法1在

AC

上取一點(diǎn)

E

，使

ABAE

，連結(jié)

DE在

和

中AE

AD∴

AED∴

BDDE

，

AED又∴∴∴

EDCABAC評(píng)注證線段的和差問題要將線段的和差問題轉(zhuǎn)化為證明線段相等的問.因此法在線段上截取一條線段等于其中一條短線段證明余下的線段等于另一條短線段，即“截長(zhǎng)法”方法2如圖4延長(zhǎng)AB到E使，結(jié)DE則有

BDEE又

C

∴

在AED和DAC

ADAD∴∴∴

AEDABBEAEAC分析

方法2同是利用化歸思想，將線段的和差問題轉(zhuǎn)化為證明線段相等的問.與方法1不同的是，它在其中一條短線段段的長(zhǎng)線上截取另一條短線段(線BD

)，證明它們的和與長(zhǎng)線段相等，即“補(bǔ)短法.方法3如圖5，長(zhǎng)到點(diǎn)E，使，連結(jié)則有

ABC又∴∴又

CEAEBADDACADE∴∴

AEDEABBDEDAC評(píng)注方3與法2做法類似，都采用了“豐卜短法不的是它在其中一條短線段線延長(zhǎng)線上截取另一條短線段線)，證明它們的和與長(zhǎng)線段相.四、思維拓展

證明倍半、和差關(guān)系除以上一些常用的方法，還有其他的證.例如圖6(1)所ABC中ABAC底上任意一點(diǎn)PPD于，AC于，于F(1)求證

PE(2)如圖6(2)，P在的長(zhǎng)線上，那么請(qǐng)你猜想、和CF之存在怎樣的等式關(guān)系寫你的猜想并加以.分析本除了可以運(yùn)截補(bǔ)短證明還可以利用面積法證明也較為簡(jiǎn)單(l)結(jié)

AP

將

ABC

的面積分割成

ABP

的面積與

的面積和從得出結(jié)論(2)將

ABC

的面積看作

ABP

的面積與

ACP

的面積差，從而得出

PD