自動控制期末章節(jié)復(fù)習(xí)

第一章自動控制的一般概念

§1-1內(nèi)容提要和基本要求

1.1.1基本概念

1基本術(shù)語

(1)自動控制：即在不需要人直接參與的條件下，依靠控制器使受控對象按預(yù)定技術(shù)要求進

行工作，使被控量等于輸入量(或使被控量與輸入量保持某種函數(shù)關(guān)系)。

(2)自動控制系統(tǒng)：受控對象和控制器的總體，它能對受控對象的工作狀態(tài)進行自動控制。

(3)受控對象：被控制的機器、設(shè)備或生產(chǎn)過程。控制器：對受控對象進行控制的設(shè)備總

(4)體，一般有測量、運算、放大等部件和執(zhí)行裝置

等組成。

(5)被控量：受控對象的輸出量。

(6)輸入量：是作用于自動控制系統(tǒng)的輸入端并作為控制依據(jù)的物理量，也稱為輸入信號、

輸入指令、參考輸人、給定值。

(7)干擾：使被控量偏離期望狀態(tài)的信號。

2.基本控制方式

(1)開環(huán)控制

①按給定值操縱的開環(huán)控制，如圖11(a)所示。

②按干擾補償?shù)拈_環(huán)控制,如圖IT(b)所示。

(a)(b)

圖1-1開環(huán)控制的原理方框圖

(2)按偏差調(diào)節(jié)的閉環(huán)控制，如圖12所示。

圖1-2按偏差調(diào)節(jié)的閉環(huán)控制原理方框圖

(3)復(fù)合控制，如圖1-3所示。

(a)(b)

圖1-3復(fù)合控制的原理方框圖

3.對控制系統(tǒng)的性能要求

(1)穩(wěn)指動態(tài)過程的平穩(wěn)性

(2)快指動態(tài)過程的快速性

(3)準指動態(tài)過程的最終精度

1.1.2基本要求

1.明確自動控制的基本概念。

2.正確理解三種基本控制方式及其特點。

3.初步掌握由系統(tǒng)工作原理圖畫原理方框圖的方法，并能判別系統(tǒng)的控制方式。

4.正確認識對控制系統(tǒng)的性能要求。

第二章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

§2」內(nèi)容提要和基本要求

2.1.1基本概念

1.建立系統(tǒng)微分方程的一般步驟

(1)分析系統(tǒng)和各個元件的工作原理，找出各物理量(變量)之間的關(guān)系，確定系統(tǒng)和各元

件的輸入、輸出變量。

(2)從輸入端開始，按照信號的傳遞順序，根據(jù)各變量所遵循的物理(或化學(xué))定律，列寫

出動態(tài)微分方程。

(3)對已建立的微分方程進行數(shù)學(xué)處理，如忽略次要因素，對方程進行線性化等，以簡化原

始方程。

(4)消去中間變量，寫出關(guān)于輸入、輸出變量的微分方程。

(5)將與輸入有關(guān)的各項放在等號右側(cè)，與輸出有關(guān)的各項放在等號左側(cè)，并按降基排列。

2.拉氏變換的基本法則及典型函數(shù)的拉氏變換形式

(1)拉普拉斯變換定義

oo

函數(shù)/⑺，f為實變量，如果線性積分力(SP+汝)存在，則稱其為函數(shù)

的拉普拉斯變換，簡稱拉氏變換。記作尸(S)或即

OO

〃了?)]"")=[/("2(2T)

一般稱尸(s)為/?)的象函數(shù)，而/Q)為口(s)的原函數(shù)。

1a+ja)

廠團(s)]=「[b(s)e"杰=/(f)(2-2)

2町

為拉氏反變換。

(2)拉氏變換的基本法則

①線性性質(zhì)

⑺土牡⑴]=aL[f.⑺]±bL[f2(t)]=西(s)±bF2(s)(23)

②微分法則

L(^^Ll=s"F(s)-sn-,f(0)-sn-2f(0)--廿"m(2Y)

式中/(o),f(o),為函數(shù)/⑴及其各階導(dǎo)數(shù)在，=o時的值，當(dāng)

/(0)=/(0)==-1>(0)=0時，有

n

Lrdf(t)]=5?F(5)(2-5)

③積分法則

川)(/)(%)"]=’尸($)+」廣，(0)++1尸(0)(2-6)

nSSS

式中/(_0(0),/(-2)(0),/i)(0)為函數(shù)/⑺的各重積分在f=0時的值，

當(dāng)—T)(0)=1-2)(0)=寸(f)(0)=0時，有

L[\=1F(s)(2-7)

?s"

④終值定理

lim/(r)=limsF(s)(2-8)

/->oos->0

⑤位移定理

〃/(/-￡))]=ef'b(s)(實數(shù)位移)(2-9)

"e""(f)]=F(s-a)(復(fù)數(shù)位移)(2-10)

(3)典型函數(shù)的拉氏變換形式如表2T所示

表2T典型函數(shù)的拉氏變換形式

典型函數(shù)原函數(shù)/⑺象函數(shù)F(s)

1單位脈沖函數(shù)即)1

2單位階躍函數(shù)1(01

S

3單位斜坡函數(shù)t

4單位等加速函數(shù)1J1

1

5指數(shù)函數(shù)*

s-a

6正弦函數(shù)sin面(d

s2+a)2

7余弦函數(shù)cos初s

一+布

3.線性微分方程的求解

用拉氏變換求解微分方程的步驟

(1)將系統(tǒng)微分方程進行拉氏變換得到以S為變量的象方程(系統(tǒng)初始值取。=0時的對應(yīng)

值)。

(2)解象方程，求出系統(tǒng)輸出變量的象函數(shù)表達式。

(3)將輸出的象函數(shù)進行拉氏反變換，得微分方程的解。

4.傳遞函數(shù)的概念及性質(zhì)

(1)傳遞函數(shù)定義為:零初始條件下，線性定常系統(tǒng)輸出量拉氏變換與輸入量拉氏變換之比。

+??-i+a“c(〃=/?o力,“+出

即dt"+a,dt"-'+dt+b“i+"N)

(2-11)

m

+a?_,s+a?]cG)=rbos++bm_}s+勾]R(s)

(2-12)

則系統(tǒng)傳遞函數(shù)%=如'"++”"，=G(s)(2-13)

R(s)aos"++an''

(2)有關(guān)傳遞函數(shù)的性質(zhì)

①由傳遞函數(shù)定義可知，它只適用于線性定常系統(tǒng)。

②傳遞函數(shù)完全由系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)確定，與外界輸入無關(guān)。傳遞函數(shù)只表示一

③個輸出對一個輸入變量間的動態(tài)聯(lián)系，它不能表明中間各變量

間的動態(tài)特征，這是其局限性。

④傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義的，它只反映系統(tǒng)的零初始狀態(tài)的系統(tǒng)動態(tài)特性。

⑤傳遞函數(shù)是一種數(shù)學(xué)抽象，物理性質(zhì)不同的系統(tǒng)，完全可以有相同的傳遞函數(shù)。

5.典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)形式

(1)比例(或放大)環(huán)節(jié)G(s)=Z

(2)純微分環(huán)節(jié)G(s)=s

(3)積分環(huán)節(jié)G(s)=X

S

(4)慣性環(huán)節(jié)(或一階環(huán)節(jié))G(s)=」一

'76+1

(5)一階微分環(huán)節(jié)G(s)=rs+1

12

(6)振蕩環(huán)節(jié)(或二階環(huán)節(jié))G(s)=--------=-——立------

''T2s2+2二公+]S2+2J/“S+@

(7)二階微分環(huán)節(jié)G(s)=ds?+2。$+1

6.由系統(tǒng)微分方程組建立動態(tài)結(jié)構(gòu)圖(也稱方框圖)的方法

(1)對各方程組進行零初始條件下的拉氏變換，將變換方程組的每一個子方程都用子結(jié)構(gòu)圖

表示出來。

(3)系統(tǒng)的輸入變量置于左端，輸出變量(被控量)置于右端，并且按系統(tǒng)中各變量的傳遞

順序，依次將各元件結(jié)構(gòu)圖中相同的量連接起來，即可得到系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。

7.用動態(tài)結(jié)構(gòu)圖等效變換求傳遞函數(shù)和梅遜公式求傳遞函數(shù)的方法

(1)用動態(tài)結(jié)構(gòu)圖等效變換求傳遞函數(shù)結(jié)構(gòu)

圖變換的原則是變換前后要等效?；?/p>

的運算形式有三種，如圖2-1所示。

①串聯(lián)連接G(S)=GG)G2(S)(2-14)

②并聯(lián)連接G(S)=G(S)±G2(S)(2-15)

③反饋連接G(s)(2-16)

R(s)

(a)串聯(lián)連接(b)并聯(lián)連接(c)反饋連接

圖2T結(jié)構(gòu)圖的三種基本連接形式

除這三種基本連接形式外，還有其它連接形式。但只要在保持傳遞信號關(guān)系不變的原則

下，移動引出點、綜合點，就可變?yōu)樯鲜龅娜N基本連接形式。分述如下：

④引出點前后移動的等效變換，如圖2-2所示。

(b)引出點的前移

圖2-2引出點前后移動的等效變換

⑤相鄰引出點之間的移動，如圖2-3所示。

.s)即)

R(s)R(s)

LXLX

R(s)R(s)R(s)R(s)

(a)(b)

圖2-3相鄰引出點的移動

⑥綜合點前后移動的等效變換，如圖2-4所示。

R(s)入~C(s)

專iG(s)

Q(s)

(a)綜合點的后移

(b)綜合點的前移

圖2-4綜合點前后移動的等效變換

⑦相鄰綜合點之間的移動，如圖2-5所示。

Y(s)Y(s)Y(s)

++±

R(s)Ac(s)

1±±‘土

X(s)X(s)X(s)

(a)(c)

圖2-5相鄰綜合點的移動

(2)梅遜公式求傳遞函數(shù)

梅遜公式為：G(s)=%(2-17)

式中G(s)為總傳遞函數(shù)。

△稱主特征式，且：△=1一￡4+￡，4一￡044+(2-18)

Z4,為所有各回路的“回路傳遞函數(shù)”之和X&4為所有兩兩互不接觸的回路，其“回

路傳遞函數(shù)”乘積之和。

Z44》為所有三個互不接觸的回路，其“回路傳遞函數(shù)”乘積之和。

員即第&條前向通道的傳遞函數(shù)，〃是前向通道數(shù)。取是將△中與第4條前向通道相接觸

(有重合部分)的回路所在項去掉之后的余子式。8.開環(huán)傳遞函數(shù)、閉環(huán)傳遞函數(shù)，對參

考輸入和對干擾的系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)及誤差傳遞函數(shù)的概念

控制系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)如圖2-6所示。

圖2-6控制系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)圖

。(s)G2(s)H(s)為系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，相當(dāng)于梅遜公式中的回路傳遞函數(shù)

B(s)/E(s),但二者不是同一概念，開環(huán)傳遞函數(shù)是閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)且不含反饋極性。(1)

r(f)作用下的系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)

令〃⑴=0,①(s)=氫^=----

G](S)G2.(S)-----(2-18)

R(s)1+G(S)G2(S)"(S)

(2)〃。)作用下的系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)

令rQ)=O,①(s)=C“(s)=------G2(s)------

(2-19)

N(s)1+G|(S)G2(S)H(S)

(3)系統(tǒng)總輸出

根據(jù)線性疊加原理，總輸出的拉氏變換形式為:

c(5)=①R(S)R(S)+①\,(s)N(s)=——G[(S)G2(S)——R(s)+------生?---N(s)

1+G,(S)G2(S)H(S)1+G、(5)G2(5)H(S)

(2-20)

(4)閉環(huán)系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)

令n(t)=0,①(s)=E(s)__________I_________

R(s)-1+G(S)G2(S)”(S)

令rQ)=O,①(s)=^4_——Gals)"/)―

N(s)—1+G(S)G2(S)”(S)

根據(jù)線性疊加原理，系統(tǒng)的總誤差E(s)=①,(s)R(s)+①,"(s)N(s)(2-21)

2.1.2基本要求

1.了解建立系統(tǒng)動態(tài)微分方程的一般方法。

2.熟悉拉氏變換的基本法則及典型函數(shù)的拉氏變換形式。

3.掌握用拉氏變換求解微分方程的方法。

4.掌握傳遞函數(shù)的概念及性質(zhì)。

5.掌握典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)形式。

6.掌握由系統(tǒng)微分方程組建立動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的方法。

7.掌握用動態(tài)結(jié)構(gòu)圖等效變換求傳遞函數(shù)和梅遜公式求傳遞函數(shù)的方法。

8.掌握系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)、閉環(huán)傳遞函數(shù)，對參考輸入和對干擾的系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)及誤

差傳遞函數(shù)的概念。

第三章時域分析法

§3」內(nèi)容提要和基本要求

3.1.1基本概念

1.典型輸入信號(1)階躍信號和

單位階躍信號

R

r(t)=R-Kt)(t>0)R(s)=

s

當(dāng)R=1時，稱為單位階躍信號

1

%)=1⑺(t>0)R(s)=

s

(2)斜坡信號和單位斜坡信號

V

r(r)=v-r(t>0)R(s)=

<2

當(dāng)v=l時，稱為單位斜坡信號

1

r(r)=t(t>0)R(s)=

Q2

(3)等加速信號和單位等加速信號

a

?，)=一(t>0)R(s)=

2s3

當(dāng)a=1時，稱為單位等加速信號

J1

，⑺=—t(t>0)R(s)=

2s3

(4)單位脈沖信號

0(tw0)②

%)=,

00(t=0)且⑺力==1

(5)正弦信號

ao)

r(r)=asin(6y/)I?s)=

s2+〃

2.典型時間響應(yīng)

(1)單位階躍響應(yīng)

)i

H(s)=(!>(S)?R(s)=①(s(3-1)

s

11(3-2)

si

(2)單位斜坡響應(yīng)

C(S)=(D(S)R(S)=(D(S).J

(3-3)

￡(，)=廠:①(s)

11(3-4)

2\

(3)單位脈沖響應(yīng)

K(s)=O(s)R(s)=0)(s)l=<D(s)(3-5)

Mf)='"(s)](3-6)

(4)三種響應(yīng)之間的關(guān)系

H(s)=0(S),：=K(s)q,h(t)=卜(加7(3一7)

111

C,(s)=°(S>￥=//(s>-,c《)=['/?(707(3-8)

S5?心

K(s)=sH(s),.一瞥(3-9)

H(s)=sC(5),h(t)=C'^(3-10)

'dt

式（3-7）、（3-8）表明，單位脈沖響應(yīng)積分一次就是單位階躍響應(yīng)，單位階躍響應(yīng)積分

一次就是單位斜坡響應(yīng).而式（3-9）、（3T0）表明，單位斜坡響應(yīng)的一次導(dǎo)數(shù)就是單位階躍

響應(yīng)，單位階躍響應(yīng)的一次導(dǎo)數(shù)就是單位脈沖響應(yīng)。所以根據(jù)三種響應(yīng)之間的關(guān)系，可由其

中的任何一種換算另外兩種。

3.單位階躍響應(yīng)的性能指標單位階躍輸入作用下,穩(wěn)定系統(tǒng)的輸出響應(yīng)隨時間變化的指標

稱為階躍響應(yīng)的動態(tài)性能

指標（如圖3-1）?

（1）延遲時間以：單位階躍響應(yīng)曲線上升到其穩(wěn)態(tài)值的50%所需要的時間。

（2）上升時間。：單位階躍響應(yīng)曲線力。），從穩(wěn)態(tài)值的10%上升到穩(wěn)態(tài)值的90%所需要的

時間（也指從零第一次到達穩(wěn)態(tài)值所需要的時間）。

（3）峰值時間%：單位階躍響應(yīng)曲線以。超過其穩(wěn)態(tài)值達到第一個峰值所要的時間。

(4)調(diào)節(jié)時間f,：單位階躍響應(yīng)曲線人。)進入±5%(有時也取±2%)誤差帶，并且不再

超出該誤差帶的最短時間。又稱為過渡過程時間。

(5)超調(diào)量。％：單位階躍響應(yīng)最大超出量與穩(wěn)態(tài)值之比。即

h(t)-7z(oo)

<7%=-^~~—%(3-11)

/l(oo)

(6)穩(wěn)態(tài)誤差『:單位階躍響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值與期望值之差。即?=1-九(00)(3-12)

4.一階系統(tǒng)的時間響應(yīng)

(1)數(shù)學(xué)模型

\C(s)1

①(s)=~=T------階系統(tǒng)的時間常數(shù)(3-13)

R(s)Ts+l

一階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖3-2(a)。

(2)單位階躍響應(yīng)c(上①⑶R(上上(3-14)

c(，)=L11U'(3-15)

一心+lsis

一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖3-2(b)。

R(s)1C(.v)

Ts

(a)

圖3-2一階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與單位階躍響應(yīng)曲線

(3)一階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線的特點

①曲線是一條由零開始，按指數(shù)規(guī)律上升并最終趨于1的曲線。

②當(dāng)r=0時，曲線的斜率為1/T,響應(yīng)若按此速度上升，當(dāng)r=T時，C(T)=1o

③響應(yīng)沒有超調(diào)且沒有穩(wěn)態(tài)誤差。

(4)一階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的動態(tài)性能指標

ts=3T(對應(yīng)+5%誤差帶)(3-16)

ts=4T(對應(yīng)±2%誤差帶)(3-17)

(5)一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)和單位斜坡響應(yīng)分別為

=-e"11(t>0)(3-18)

(3-19)

圖3-3一階系統(tǒng)的響應(yīng)曲線

5.二階系統(tǒng)的時間響應(yīng)

(1)數(shù)學(xué)模型

C(f)=①($)=_____應(yīng)_____=-------------

(3-20)

222

R(s)\'s+2^ns+^TS+2CTS+1

，一一阻尼比，4=1/7一—自然振蕩角頻率，T一一二階系統(tǒng)的時間常數(shù)

二階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖3-4。

R(s)應(yīng)J研C(?

s(s+2g)

圖3-4二階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖

(2)二階系統(tǒng)的兩個特征根，即閉環(huán)極點近2在S平面的分布情況如圖3-5所示。

當(dāng)，＞1時，稱過阻尼，與2=—〃”土以472—1；當(dāng)。=1時，稱臨界阻尼，.匕2=一。“；

當(dāng)o<，<1時，稱欠阻尼，1.2=一”“土加/1-42；

當(dāng)4=0時，稱零阻尼，S1.2=土jo)?；

當(dāng)，<0時，稱負阻，系統(tǒng)將出現(xiàn)S平面右半平面的特征根;

二階系統(tǒng)正常工作的基本條件是阻尼比？>0。

(3)過阻尼(？>1)二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

n'Ae>\t+ri-A+1

M，=/S|-S2)S1G-S])S2

(3-21)

_]______QJ______/-：+、?Qi5業(yè)?2-1)3.，

"Grg-i-i「r+^,r-i-i「

過阻尼二階系統(tǒng)的單位心麗應(yīng)曲線如圖3-6所示。廠

圖3-6過阻尼二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線

過阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)無震蕩、無超調(diào)、無穩(wěn)態(tài)誤差。(4)臨界阻尼?=1)二

階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

(3-22)

臨界阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)無震蕩、無超調(diào)、無穩(wěn)態(tài)誤差。(5)零阻尼(4=0)二

階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

"(/')=1-cos幼](3-23)

零阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)等幅震蕩。

(4)欠阻尼(0<?<1)二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

h⑴=I——/12e"(fOn，-sinl11-02①/+arccos,I(3-24)

欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖3-7所示?

圖3-7欠阻尼二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線

欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)震蕩衰減、有超調(diào)、無穩(wěn)態(tài)誤差。欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階

躍響應(yīng)性能指標

峰值時間：％=---[,(3-25)

超調(diào)量：b%=h(tpS10()%=斤*]00%(3-26)

/2(00)

3

調(diào)節(jié)時間：阻尼比4<0.7時，t=——(取±5%誤差帶)(3-27)

'勿，

阻尼比4〉0.7時，4=,(6.45:一1.7)(取±5%誤差帶)(3-28)

6.系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

(1)線性系統(tǒng)的穩(wěn)定概念若系統(tǒng)受干擾，偏離了平衡狀態(tài)，而當(dāng)擾動消失后，系統(tǒng)仍能恢復(fù)

到原平衡狀態(tài)，則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的或具有穩(wěn)定性。穩(wěn)定性是系統(tǒng)的固有特性.

穩(wěn)定性只由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、參數(shù)決定，與初始條件及外作用無關(guān)。

(2)穩(wěn)定的充分必要條件線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是系統(tǒng)特征方程的根均具有負實

部，或者全部根都分布在左半復(fù)平面內(nèi)。特征方程的根即系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點。(3)

古爾維茨(Hurwitz)判據(jù)系統(tǒng)

特征方程的一般形式：。(5)=劭5"+。產(chǎn)1+45"-2++?！?%=0(3-29)

一般首次項系數(shù)規(guī)定為劭>0。

用上式的各項系數(shù)構(gòu)造古爾維茨行列式:

4。3。5

%〃2a2n-2

0勾田生?2?-3

Dn=(3-30)

0aoa2。2〃-4

000an

該〃階行列式的主對角線依次是勾,死,。3，，4，在每一列由上而下按下標遞減的

順序填入其它系數(shù)，缺項的用0補齊。

判別系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的充分必要條件是特征方程的古爾維茨行列式

4

a1

a

Dk>0,(^=1,2,3,,M)D]=tZ],D2—,2=%2

%0

(3-31)

(4)林納德-奇帕特(Lienard-Chipard)判據(jù)(也稱代數(shù)穩(wěn)定判據(jù))

判別系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的充分必要條件是

①系統(tǒng)特征方程的各項系數(shù)大于零，即4>0(i=0,l,2,,〃)

②奇數(shù)階或偶數(shù)階古爾維茨行列式大于零，即。奇>0或。偈〉

(5)勞斯判據(jù)

根據(jù)系統(tǒng)特征方程的系數(shù)列寫勞斯表，如表3-1所示。

表3-1勞斯表

s"%a2?4。6

s"T的%a7

s"~2_QXUA~(kyCl^.

%-",C23~C33~

a\a\

「_&念一的3

C24-0-

C"C1303

S-c=QXAQHZLGACMc―^￡13^34

0404

s2q,n-iC2,n-\

51cl.?

S°=an

利用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的充分必要條件是:勞斯表中第一列所有各項均為正數(shù)。

若勞斯表中第一列出現(xiàn)負數(shù)，則第一列各數(shù)值符號改變的次數(shù)就是系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定特征

根的個數(shù)，即具有正實部根的個數(shù)。

在列寫勞斯表的過程中，若某一行的第一列元素為零，但該行其余元素不為零，或不全

為零，那么下一行的元素會變成無窮大，這時可用一個很小的正數(shù)￡代替第一列的零繼續(xù)計

算。

若某一行的元素全部為零，則表明存在對稱于s平面原點的根，它們可以是兩個大小相

等符號相反的實根或一對共舸虛根，也可以是兩對對稱于坐標原點的共軌復(fù)根，這時可用全

零行上面的一行元素構(gòu)造輔助方程(輔助方程的次數(shù)通常為偶數(shù)，求輔助方程的解就可以得

到對稱于坐標原點的根)，再將輔助方程對復(fù)變量s求導(dǎo)，用所得方程系數(shù)取代全零行的元

素，繼續(xù)進行勞斯陣列的計算。

7.系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差分析

控制系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)如圖3-8所示。R(s)是參考輸入，N(s)是干擾輸入，C(s)是系

統(tǒng)輸出，E(s)是系統(tǒng)的誤差。

圖3-8控制系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)

(1)誤差及穩(wěn)態(tài)誤差誤差的定義一般有兩種方式：

e(Z)=r(/)-c(Z)(3-32)

e。)=「(，)一/?(7)(3-33)

當(dāng)系統(tǒng)是單位負反饋時，統(tǒng)一為式(3-32)。穩(wěn)態(tài)誤差：穩(wěn)定系統(tǒng)誤差的終值稱為穩(wěn)態(tài)

誤差。

e.”=lime⑺(3-34)

?為衡量系統(tǒng)最終控制精度的重要性能指標。

(2)穩(wěn)態(tài)誤差的計算

E(s)=E￡s)+EJS)=①“(s)R(s)+①5(5)N(s)

=——1——R(s)+-叩”(S)<3-35)

1+G⑶G2(S)”(S)1+G(S)G2(S)H(S)

應(yīng)用終值定理，<=!5e(/)=!5sE(s)(3-36)

注意應(yīng)用終值定理的條件，在這里sE(s)的所有極點均應(yīng)在s平面的左半部。求穩(wěn)態(tài)誤

差首先判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性，只有穩(wěn)定的系統(tǒng)計算穩(wěn)態(tài)誤差才有意義。

(3)/?")作用下的穩(wěn)態(tài)誤差

系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù):

2

/、/、Kn&s+l)(n.v+2(^r25+l)

G(s)H(s)=G(s)a(s)”(s)=/n(隼+i)(審+2仃”1)(3-37)

K為開環(huán)增益(當(dāng)開環(huán)傳遞函數(shù)分子、分母的最低項系數(shù)都化為1時得到的),

u為積分環(huán)節(jié)1/s的數(shù)目。

11H+i

e=limsEAs)-limsR(s)=lims?；--7?(5)=lim?R(s)

ssr1。R2。G(s)H(s)1。1+K/*sfOs'K

(3-38)

(4)系統(tǒng)的型次和靜態(tài)誤差系數(shù)系統(tǒng)的型次

0=0的系統(tǒng)稱為0型系統(tǒng)，

。=1的系統(tǒng)稱為I型系統(tǒng)，

"=2的系統(tǒng)稱為II型系統(tǒng)，III型以上的系

統(tǒng)，對穩(wěn)定性不利而很少采用。靜態(tài)誤差系

數(shù)

①靜態(tài)位置誤差系數(shù)K,,

勺,表示階躍輸入下的穩(wěn)態(tài)精度峪,=^G(s)”(s)(3-39)

②靜態(tài)速度誤差系數(shù)K.

Kv表示系統(tǒng)在斜坡輸入下的穩(wěn)態(tài)精度Kv=limsG(s)H(s)(3-40)

STO

③靜態(tài)加速度誤差系數(shù)K“K”表示在等加速信號輸入下的穩(wěn)態(tài)精度

K“=lims2G(s)H(s)(3-41)

對應(yīng)不同的參考輸入信號和系統(tǒng)型次，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差和靜態(tài)誤差系數(shù)如表3-2所示：

表3-2參考輸入信號作用的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差和靜態(tài)誤差系數(shù)

系統(tǒng)靜態(tài)誤差系數(shù)穩(wěn)態(tài)誤差

型次k.k“e)=i⑴r(t)=t2/2

0型k001/(1+K)0000

I型00k001/K00

II型0000k00\/K

in型000000000

可見，增大開環(huán)增益K可以減小由參考輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差增加控制系統(tǒng)的型次

可以使原來有穩(wěn)態(tài)誤差的系統(tǒng)變成穩(wěn)態(tài)誤差為零。

(5)〃(，)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差

作用下穩(wěn)態(tài)誤差的表達式

e”=limsE,(s)=lims?①(s)-N(s)-lim.y----G?(s)"s)N(S)(3-42)

20八'10"八)()Z]+G(S)G2(S)“(S)

如圖3-8所示，誤差信號與干擾作用點之間的傳遞函數(shù)

&n(a+i)

=---號-------(3-43)

小”(7>+1)

其它部分的傳遞函數(shù)

A

《口(3+1)

GAs)H(s)(3-44)

k2

>1

將式(3-43)和(3-44)代入(3-42),得

e=lim---&心陽—N(s)

ssn(3-45)

STO/+%十八|人2

若誤差信號與干擾作用點之間的傳遞函數(shù)G(s)中無積分環(huán)節(jié)，對階躍干擾來說,

1;在G(s)中引入積分環(huán)節(jié)，可以消除某種形式干擾引起的穩(wěn)態(tài)誤差q,“，同時

K\

也可以消除系統(tǒng)對某種形式的參考輸入的穩(wěn)態(tài)誤差0叩。

3.1.2基本要求

(1)熟練掌握一、二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型和階躍響應(yīng)的特點。熟練計算性能指標和結(jié)構(gòu)參數(shù),

特別是一階系統(tǒng)和典型欠阻尼二階系統(tǒng)動態(tài)性能的計算方法。

(2)了解一階系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)和斜坡響應(yīng)的特點。

(3)正確理解系統(tǒng)穩(wěn)定性的概念，能熟練運用穩(wěn)定性判據(jù)判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性并進行有關(guān)的參

數(shù)計算、分析。

(4)正確理解穩(wěn)態(tài)誤差的概念，明確終值定理的應(yīng)用條件。

(5)熟練掌握計算穩(wěn)態(tài)誤差的方法。掌握系

(6)統(tǒng)的型次和靜態(tài)誤差系數(shù)的概念。

第四章根軌跡法

§4-1內(nèi)容提要和基本要求

4.1.1內(nèi)容提要

1.根軌跡方程

設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為

￡>($)=l+G(s)”(s)=O(4-1)

閉環(huán)極點就是特征方程的根。若求開環(huán)傳遞函數(shù)中某一參數(shù)從零變到無窮時閉環(huán)所有

的極點，就是求解（4-1）式，因此（4-1）式即為根軌跡方程。通常根軌跡方程寫為下列形

式

G(s)〃(s)=-1(4-2)

n（s-p,）

/=1

其中K*為開環(huán)根軌跡增益，Z,、p,.分別為開環(huán)零、極點。

式（4—3）又可以分解為模值方程和相角方程

tn

模值方程“i=i]（4—4）

口卜-，,」

相角方程gZ（.v-z,.）-、N(s—Pi)-Qk+1)7,k-0,+1,±2,(4-5)

通常我們利用相角方程來繪制根軌跡，利用模值方程來計算根軌跡某一點處所對應(yīng)的

根軌跡增益K*或開環(huán)增益K。

2.繪制根軌跡的基本法則

⑴根軌跡的分支數(shù)根軌跡的分支數(shù)等于開環(huán)特征方程的階數(shù)。在（4-3）式

中假設(shè)九2小。

（2）根軌跡的連續(xù)性與對稱性根軌跡是連

續(xù)曲線，且對稱于實軸。

（3）根軌跡的起點與終點

根軌跡起始于開環(huán)極點，終止于開環(huán)零點.如果開環(huán)零點數(shù)m小于開環(huán)極點數(shù)n,則

有（n-m）條根軌跡趨于無窮遠處。

（4）實軸上的根軌跡實軸上某一區(qū)域，若其右邊開環(huán)實零、極點的個數(shù)之和為奇數(shù)，則該區(qū)

域必是根軌跡。

(5)根軌跡的漸近線

如果系統(tǒng)的開環(huán)極點數(shù)n大于開環(huán)零點數(shù)m,則n-m條漸近線與實軸的交點環(huán)、夾角

為

=Qk+1)兀-0,1,2,,n-m-V)(4—6)

n-m

m

￡P(guān)i-￡zj

(ra_I=I/=i(4—7)

n-m

(6)根軌跡的起始角與終止角

根軌跡離開開環(huán)復(fù)數(shù)極點處的切線與正實軸的夾角，稱為起始角，用6“表示；根軌

跡進入開環(huán)復(fù)數(shù)零點處的切線與正實軸的夾角，稱為終止角，用夕%表示。

%=(2%+1)乃+￡%而一?＞，"，左=0，±1，±2，(4一8)

尸17=1

評

%=(2k+l)乃一￡夕赤上=0,±1,±2,(4-9)

(7)根軌跡分離點坐標d

分離點的坐標d可由下列方程求得

mn

式中Zj為開環(huán)零點，Pi為開環(huán)極點。

(8)分離角與會合角根軌跡離開分離點處的切線與實軸正方向的夾角，稱為分離角，以。

d表示。根軌跡

進入會合點處的切線與實軸正方向的夾角，稱為回合角，以如表示。

=-(2Z+1)乃+-±N