利用二分法求方程的近似解

利用二分法求方程的近似解第一頁，共十七頁，2022年，8月28日復(fù)習(xí)零點(diǎn)的概念零點(diǎn)的概念、零點(diǎn)的等價性、零點(diǎn)存在性定理我們把函數(shù)y=f(x)的圖像與橫軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)稱為這個函數(shù)的零點(diǎn)。方程f(x)=0有實(shí)數(shù)根函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸

函數(shù)y=f(x)

.函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有

，那么，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn).有交點(diǎn)有零點(diǎn)f(a).f(b)<0第二頁，共十七頁，2022年，8月28日函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a).f(b)<0

，那么，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn).注：1、不能判定無解。

2、要在連續(xù)區(qū)間。

3、只能判定“至少有一個”零點(diǎn)。

4、不能判定“正變正、負(fù)變負(fù)”零點(diǎn)。第三頁，共十七頁，2022年，8月28日引入：請同學(xué)們猜一猜我的手機(jī)多少錢買的？

提出三個方案：方案一：先猜一個價，通過老師的提示，多了（或少了）再向上（或向下）猜價，每次間隔10元，直到猜到為止方案二：先猜一個價，通過老師的提示，多了（或少了）再向上（或向下）猜價，每次間隔100元，如果能判斷出其真實(shí)價在某兩個數(shù)之間，然后再隔10元猜價，直到猜中為止。方案三：先猜兩個價，使真實(shí)價在它們之間，然后猜這兩個的中間價（大概），進(jìn)行判斷，則可以找到一個更小的范圍，然后再取小范圍的中間數(shù)進(jìn)行判斷，直到猜到為止。引出“方案三”為二分法答案：1480元第四頁，共十七頁，2022年，8月28日探究任務(wù)：二分法的思想及步驟問題：有12個小球，質(zhì)量均勻，只有一個是比別的球重的，你用天平稱幾次可以找出這個球的，要求次數(shù)越少越好.解法：第一次，兩端各放

個球，低的那一端一定有重球；第二次，兩端各放

個球，低的那一端一定有重球；第三次，兩端各放

個球，如果平衡，剩下的就是重球，否則，低的就是重球.316第五頁，共十七頁，2022年，8月28日思考：以上的方法其實(shí)就是一種二分法的思想，采用類似的方法，如何求y=lnx+2x-6的零點(diǎn)所在區(qū)間？如何找出這個零點(diǎn)？分析：函數(shù)對應(yīng)方程lnx+2x-6=0，可化為lnx=-2x+6,設(shè)f(x)=lnx,g(x)=-2x+6g(x)=-2x+6f(x)=lnx第六頁，共十七頁，2022年，8月28日思考：以上的方法其實(shí)就是一種二分法的思想，采用類似的方法，如何求y=lnx+2x-6的零點(diǎn)所在區(qū)間？如何找出這個零點(diǎn)？分析：利用上節(jié)課的知識我們利用交點(diǎn)法確定y=lnx+2x-6在[1,3]上有零點(diǎn)。且f(1)<0,f(3)>0.取區(qū)間[1,3]的中點(diǎn)2，計(jì)算得f(2)<0,零點(diǎn)區(qū)間縮小在[2,3]內(nèi)。依次類推，逐步縮小零點(diǎn)所在區(qū)間，區(qū)間端點(diǎn)逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)的近似值。新知：對于在區(qū)間上連續(xù)不斷，且f(a)f(b)<0的函數(shù)y=f(x)，通過不斷的把函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫二分法.第七頁，共十七頁，2022年，8月28日例1借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)，利用二分法求方程的近似解.（精確到0.1）1、原方程即為,令找出函數(shù)的零點(diǎn)區(qū)間[0,2]（f(0)=-6,f(2)=3)2①取[0,2]的中點(diǎn)1，計(jì)算f(1)=-2,f(1)f(2)<0零點(diǎn)在[1,2]中。②取[1,2]的中點(diǎn)1.5，計(jì)算f(1.5)=0.33,f(1)f(1.5)<0零點(diǎn)在[1,1.5]中。③取[1,1.5]的中點(diǎn)1.25，計(jì)算f(1.25)=-0.87,f(1.25)f(1.5)<0零點(diǎn)在[1.25,1.5]中。④取[1.25,1.5]的中點(diǎn)1.375，計(jì)算f(1.375)=-0.28,f(1.375)f(1.5)<0零點(diǎn)在[1.375,1.5]中。⑤取[1.375,1.5]的中點(diǎn)1.4375，計(jì)算f(1.4375)=0.02,f(1.375)f(1.4375)<0零點(diǎn)在[1.375,1.4375]中。3.|1.375-1.4375|=0.0625<0.1所以可以零點(diǎn)可以取1.375第八頁，共十七頁，2022年，8月28日例1借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)，利用二分法求方程的近似解.（精確到0.1）1、原方程即為,令找出函數(shù)的零點(diǎn)區(qū)間[0,2]（f(0)=-6,f(2)=3)2①f(1)=-3,零點(diǎn)在[1,2]中。②f(1.5)=0.33,

零點(diǎn)在[1,1.5]中。③f(1.25)=-0.87,零點(diǎn)在[1.25,1.5]中。④f(1.375)=-0.28,零點(diǎn)在[1.375,1.5]中。⑤f(1.4375)=0.02,零點(diǎn)在[1.375,1.4375]中。3.|1.375-1.4375|=0.0625<0.1所以可以零點(diǎn)可以取1.3750211021.5021.251.5021.3751.5021.3751.4375第九頁，共十七頁，2022年，8月28日例2求方程的解的個數(shù)及其大致所在區(qū)間.解：原方程化為=-x+3,設(shè)f(x)=,g(x)=-x+3g(x)=-x+3f(x)=第十頁，共十七頁，2022年，8月28日變式訓(xùn)練求函數(shù)的一個正數(shù)零點(diǎn)（精確到0.1）零點(diǎn)所在區(qū)間中點(diǎn)函數(shù)值與符號區(qū)間長度解:f(0)=-2,f(2)=6,f(0)f(6)<0,[0,2]內(nèi)有零點(diǎn)。2f(1)=-2[0,2][1,2]f(1.5)=0.6251[1,1.5]f(1.25)=-0.980.5[1.25,1.5]f(1.375)=-0.260.25[1.375,1.5]0.125f(1.4375)=0.16[1.375,1.4375]0.0625.|1.375-1.4375|=0.0625<0.1所以可以零點(diǎn)可以取1.375第十一頁，共十七頁，2022年，8月28日四、反思總結(jié)①二分法的概念；對于在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷且f(a)f(b)<0的函數(shù)y＝f(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法，叫做二分法．●想一想：能否用二分法求任何函數(shù)(圖象是連續(xù)的)的近似零點(diǎn)？提示：不能．看一個函數(shù)能否用二分法求其零點(diǎn)的依據(jù)是函數(shù)圖象在零點(diǎn)附近是連續(xù)不斷的，且在該零點(diǎn)左右函數(shù)值異號．第十二頁，共十七頁，2022年，8月28日2．給定精確度ε，用二分法求f(x)零點(diǎn)近似值的步驟如下：(1)確定區(qū)間[a，b]，驗(yàn)證f(a)·f(b)<0，(2)求區(qū)間[a，b]的中點(diǎn)c；(3)計(jì)算f(c)；①若f(c)＝0，則c就是函數(shù)的零點(diǎn)；②若f(a)·f(c)<0，則令b＝c(此時零點(diǎn)x0∈(a，c))；③若f(c)·f(b)<0，則令a＝c(此時零點(diǎn)x0∈(c，b))．(4)判斷是否達(dá)到精確度ε：即若|a－b|<ε，則得到零點(diǎn)近似值a(或b)；否則重復(fù)(2)～(4)．第十三頁，共十七頁，2022年，8月28日課后練習(xí)與提高1.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上為連續(xù)減函數(shù)，則在[a,b]上（）.A.至少有一個零點(diǎn)B.只有一個零點(diǎn)C.沒有零點(diǎn)D.至多有一個零點(diǎn)Dbaba第十四頁，共十七頁，2022年，8