利用二分法求方程的近似解

利用二分法求方程的近似解第一頁，共十七頁，2022年，8月28日復習零點的概念零點的概念、零點的等價性、零點存在性定理我們把函數y=f(x)的圖像與橫軸的交點的橫坐標稱為這個函數的零點。方程f(x)=0有實數根函數y=f(x)的圖象與x軸

函數y=f(x)

.函數y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有

，那么，函數在區(qū)間內有零點.有交點有零點f(a).f(b)<0第二頁，共十七頁，2022年，8月28日函數y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a).f(b)<0

，那么，函數在區(qū)間內有零點.注：1、不能判定無解。

2、要在連續(xù)區(qū)間。

3、只能判定“至少有一個”零點。

4、不能判定“正變正、負變負”零點。第三頁，共十七頁，2022年，8月28日引入：請同學們猜一猜我的手機多少錢買的？

提出三個方案：方案一：先猜一個價，通過老師的提示，多了（或少了）再向上（或向下）猜價，每次間隔10元，直到猜到為止方案二：先猜一個價，通過老師的提示，多了（或少了）再向上（或向下）猜價，每次間隔100元，如果能判斷出其真實價在某兩個數之間，然后再隔10元猜價，直到猜中為止。方案三：先猜兩個價，使真實價在它們之間，然后猜這兩個的中間價（大概），進行判斷，則可以找到一個更小的范圍，然后再取小范圍的中間數進行判斷，直到猜到為止。引出“方案三”為二分法答案：1480元第四頁，共十七頁，2022年，8月28日探究任務：二分法的思想及步驟問題：有12個小球，質量均勻，只有一個是比別的球重的，你用天平稱幾次可以找出這個球的，要求次數越少越好.解法：第一次，兩端各放

個球，低的那一端一定有重球；第二次，兩端各放

個球，低的那一端一定有重球；第三次，兩端各放

個球，如果平衡，剩下的就是重球，否則，低的就是重球.316第五頁，共十七頁，2022年，8月28日思考：以上的方法其實就是一種二分法的思想，采用類似的方法，如何求y=lnx+2x-6的零點所在區(qū)間？如何找出這個零點？分析：函數對應方程lnx+2x-6=0，可化為lnx=-2x+6,設f(x)=lnx,g(x)=-2x+6g(x)=-2x+6f(x)=lnx第六頁，共十七頁，2022年，8月28日思考：以上的方法其實就是一種二分法的思想，采用類似的方法，如何求y=lnx+2x-6的零點所在區(qū)間？如何找出這個零點？分析：利用上節(jié)課的知識我們利用交點法確定y=lnx+2x-6在[1,3]上有零點。且f(1)<0,f(3)>0.取區(qū)間[1,3]的中點2，計算得f(2)<0,零點區(qū)間縮小在[2,3]內。依次類推，逐步縮小零點所在區(qū)間，區(qū)間端點逼近零點，進而得到零點的近似值。新知：對于在區(qū)間上連續(xù)不斷，且f(a)f(b)<0的函數y=f(x)，通過不斷的把函數的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫二分法.第七頁，共十七頁，2022年，8月28日例1借助計算器或計算機，利用二分法求方程的近似解.（精確到0.1）1、原方程即為,令找出函數的零點區(qū)間[0,2]（f(0)=-6,f(2)=3)2①取[0,2]的中點1，計算f(1)=-2,f(1)f(2)<0零點在[1,2]中。②取[1,2]的中點1.5，計算f(1.5)=0.33,f(1)f(1.5)<0零點在[1,1.5]中。③取[1,1.5]的中點1.25，計算f(1.25)=-0.87,f(1.25)f(1.5)<0零點在[1.25,1.5]中。④取[1.25,1.5]的中點1.375，計算f(1.375)=-0.28,f(1.375)f(1.5)<0零點在[1.375,1.5]中。⑤取[1.375,1.5]的中點1.4375，計算f(1.4375)=0.02,f(1.375)f(1.4375)<0零點在[1.375,1.4375]中。3.|1.375-1.4375|=0.0625<0.1所以可以零點可以取1.375第八頁，共十七頁，2022年，8月28日例1借助計算器或計算機，利用二分法求方程的近似解.（精確到0.1）1、原方程即為,令找出函數的零點區(qū)間[0,2]（f(0)=-6,f(2)=3)2①f(1)=-3,零點在[1,2]中。②f(1.5)=0.33,

零點在[1,1.5]中。③f(1.25)=-0.87,零點在[1.25,1.5]中。④f(1.375)=-0.28,零點在[1.375,1.5]中。⑤f(1.4375)=0.02,零點在[1.375,1.4375]中。3.|1.375-1.4375|=0.0625<0.1所以可以零點可以取1.3750211021.5021.251.5021.3751.5021.3751.4375第九頁，共十七頁，2022年，8月28日例2求方程的解的個數及其大致所在區(qū)間.解：原方程化為=-x+3,設f(x)=,g(x)=-x+3g(x)=-x+3f(x)=第十頁，共十七頁，2022年，8月28日變式訓練求函數的一個正數零點（精確到0.1）零點所在區(qū)間中點函數值與符號區(qū)間長度解:f(0)=-2,f(2)=6,f(0)f(6)<0,[0,2]內有零點。2f(1)=-2[0,2][1,2]f(1.5)=0.6251[1,1.5]f(1.25)=-0.980.5[1.25,1.5]f(1.375)=-0.260.25[1.375,1.5]0.125f(1.4375)=0.16[1.375,1.4375]0.0625.|1.375-1.4375|=0.0625<0.1所以可以零點可以取1.375第十一頁，共十七頁，2022年，8月28日四、反思總結①二分法的概念；對于在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷且f(a)f(b)<0的函數y＝f(x)，通過不斷地把函數f(x)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法，叫做二分法．●想一想：能否用二分法求任何函數(圖象是連續(xù)的)的近似零點？提示：不能．看一個函數能否用二分法求其零點的依據是函數圖象在零點附近是連續(xù)不斷的，且在該零點左右函數值異號．第十二頁，共十七頁，2022年，8月28日2．給定精確度ε，用二分法求f(x)零點近似值的步驟如下：(1)確定區(qū)間[a，b]，驗證f(a)·f(b)<0，(2)求區(qū)間[a，b]的中點c；(3)計算f(c)；①若f(c)＝0，則c就是函數的零點；②若f(a)·f(c)<0，則令b＝c(此時零點x0∈(a，c))；③若f(c)·f(b)<0，則令a＝c(此時零點x0∈(c，b))．(4)判斷是否達到精確度ε：即若|a－b|<ε，則得到零點近似值a(或b)；否則重復(2)～(4)．第十三頁，共十七頁，2022年，8月28日課后練習與提高1.若函數f(x)在區(qū)間[a,b]上為連續(xù)減函數，則在[a,b]上（）.A.至少有一個零點B.只有一個零點C.沒有零點D.至多有一個零點Dbaba第十四頁，共十七頁，2022年，8