理論力學課件二五

第十七章拉格朗日方程1

動力學本章在達朗伯原理和虛位移原理的基礎上，進一步導出動力學普遍方程和拉格朗日第二類方程（簡稱拉格朗日方程）。動力學普遍方程和拉格朗日方程是研究動力學問題的有力手段，在解決非自由質點系的動力學問題時，顯得十分簡捷、規(guī)范。2§17–1動力學普遍方程§17–2拉格朗日第二類方程§17–3拉格朗日第二類方程的積分第十七章拉格朗日方程3

動力學設質點系有n個質點，第i個質點

若質點系受有理想約束，將作為主動力處理，則：解析式：§17-1動力學普遍方程動力學普遍方程。4

動力學

例1三棱柱B沿三棱柱A的光滑斜面滑動，三棱柱A置于光滑水平面上，A和B的質量分別為M和m，斜面傾角為。試求三棱柱A的加速度。解：研究兩三棱柱組成的系統(tǒng)。該系統(tǒng)受理想約束，具有兩個自由度。

在理想約束的條件下，質點系的各質點在任一瞬時受到的主動力與慣性力在任意虛位移上所作的虛功之和為零。5

動力學由動力學普遍方程：系統(tǒng)為二自由度，取互不相關的為獨立虛位移，且，所以解得：6動力學§17-2拉格朗日第二類方程設質點系有n個質點，受s個完整約束且系統(tǒng)所受的約束是理想約束，自由度k=3n-s。下面推導以廣義坐標表示的動力學普遍方程的形式。質點。若取系統(tǒng)的一組廣義坐標為，則稱為廣義速度。7

動力學代入質點系動力學普遍方程，得：8

動力學稱 為廣義力

廣義慣性力9

動力學廣義慣性力可改變?yōu)橛觅|點系的動能表示,因此為簡化計算,需要用到以下兩個關系式：下面來推導這兩個關系式：第一式只須將(b)式兩邊對求偏導數即可得到。10第二式可比較較(a)式先對ql求偏導數再再對t求導數與(b)式對ql求偏導數的結結論得出。動力學拉格朗日第二二類動力學方方程，簡稱拉拉格朗日方程程。11動力學如果作用于質質點系的力是是有勢力，則則廣義力可可用質點系的的勢能來表達達。而拉氏方程為：引入拉格朗日日函數：L=T-U則：保守系統(tǒng)的拉拉格朗日方程程。12動力學應用拉氏方程程解題的步驟驟：1.判定質點系的的自由度k，選取適宜的廣廣義坐標。必必須注意：不不能遺漏獨立立的坐標，也也不能有多余余的（不獨立立）坐標。2.計算質點系的的動能T，表示為廣義速速度和廣義坐坐標的函數。。3.計算廣義力，，計計算公式為：：或若主動力為有有勢力，須將將勢能U表示為廣義坐坐標的函數。。4.建立拉氏方程程并加以整理理，得出k個二階常微分分方程。5.求出上述一組組微分方程的的積分。13動力學[例1]水平面內運動動的行星齒輪輪機構。均質質桿OA：重P，可繞O點轉動；均質質小齒輪：重重Q，半徑r，沿半徑為R的固定大齒輪輪滾動。系統(tǒng)統(tǒng)初始靜止，，系桿OA位于圖示OA0位置。系桿OA受大小不變力力偶M作用后，求系系桿OA的運動方程。。所受約束皆為為完整、理想想、定常的，，可取OA桿轉角為廣義坐標。。解：圖示機構只只有一個自由由度14動力學15動力學學代入拉拉氏方方程：：積分，，得：：故：代入初始條件，t=0時，得16動力學學[例2]與剛度度為k的彈簧簧相連連的滑滑塊A，質量為為m1,可在光光滑水水平面面上滑滑動。?；瑝K塊A上又連連一單單擺，，擺長長l，擺錘質質量為為m2，試列出出該系系統(tǒng)的的運動動微分分方程程。解：將彈彈簧力力計入入主動動力，，則系系統(tǒng)成成為具具有完完整、、理想想約束束的二二自由由度系系統(tǒng)。。保守守系統(tǒng)統(tǒng)。取取x,為廣義義坐標標，x軸原點位位于彈彈簧自自然長長度位位置，，逆時針針轉向向為正正。17動力學學系統(tǒng)動能：18動力學學系統(tǒng)勢勢能：（以以彈簧簧原長長為彈彈性勢勢能零零點，，滑塊塊A所在平平面為為重力力勢能能零點點）拉格朗朗日函函數：：19動力學學代入：并適當化簡得：20動力學學系統(tǒng)的的運動動微分分方程程。上式為為系統(tǒng)統(tǒng)在平平衡位位置(x=0,=0)附近微微幅運運動的的微分分方程程。若系統(tǒng)在平衡位置附近作微幅運動，此時<<1o,cos1,sin

，略去二階以上無窮小量，則21動力學學§17-3拉格朗朗日第第二類類方程程的積積分對于保保守系系統(tǒng)，，可以以得到到拉格格朗日日方程程的某某些統(tǒng)統(tǒng)一形形式的的首次次積分分，從從而使使得保保守系系統(tǒng)動動力學學問題題的求求解過過程進進一步步簡化化。保守系系統(tǒng)拉拉格朗朗日方方程的的首次次積分分包括括：能能量積積分、、循環(huán)環(huán)積分分。一、能能量積積分設系統(tǒng)統(tǒng)所受受的主主動力力是有有勢力力，且且拉格格朗日日函數數L=T-U中不顯顯含t，則22動力學學廣義能能量積積分。。保守系系統(tǒng)的的拉格格朗日日函數數不顯顯含時時間t時，保保守系系統(tǒng)的的廣義能能量守守恒。可以以證明明，當當系統(tǒng)統(tǒng)約束束為定定常時時，上上式為為=023系統(tǒng)的的廣義義能量量積分分式就就是系系統(tǒng)的的機械械能守守恒方方程式式。動力學學二、循循環(huán)積積分如果拉拉格朗朗日函函數L中不顯顯含某某一廣廣義坐坐標qr,則該坐坐標稱稱為保保守系系統(tǒng)的的循環(huán)坐坐標或或可遺遺坐標標。當為系統(tǒng)的循環(huán)坐標時，必有于是拉拉氏方方程成成為24動力學學積分得：循環(huán)積積分因L=T-U，而U中不顯含，故上式可寫成Pr稱為廣廣義動動量，，因此此循環(huán)環(huán)積分分也可可稱為為系統(tǒng)統(tǒng)的廣廣義動動量積積分。。保守系系統(tǒng)對對應于于循環(huán)環(huán)坐標標的廣廣義動動量守守恒。。一個系系統(tǒng)的的能量量積分分只可可能有有一個個；而而循環(huán)環(huán)積分分可能能不止止一個個，有有幾個個循環(huán)環(huán)坐標標，便便有幾幾個相相應的的循環(huán)環(huán)積分分。能量積積分和和循環(huán)環(huán)積分分都是是由保保守系系統(tǒng)拉拉格朗朗日方方程積積分一一次得得到的的，它它們都都是比比拉格格朗日日方程程低一一階的的微分分方程程。25動力學學[例3]楔形體體重P，斜面傾傾角，置于于光滑滑水平平面上上。均均質圓圓柱體體重Q，半徑為為r，在楔形體體的斜斜面上上只滾滾不滑滑。初初始系系統(tǒng)靜靜止，，且圓圓柱體體位于于斜面面最高高點。。試求求：(1)系統(tǒng)的的運動動微分分方程程；(2)楔形體體的加加速度度；(3)系統(tǒng)的的能量量積分分與循循環(huán)積積分。。解：研究楔楔形體體與圓圓柱體體組成成的系系統(tǒng)。。系統(tǒng)統(tǒng)受理理想、、完整整、定定常約約束，，具有有兩個個自由由度。。取廣廣義坐坐標為為x,s；各坐標標原點點均在在初始始位置置。26動力學學系統(tǒng)的的動能能：系統(tǒng)的的勢能能：取水平平面為為重力力勢能能零點點。拉格朗朗日函函數：：27動力學學代入保保守系系統(tǒng)拉拉氏方方程，，并適適當化化簡，，得到到系統(tǒng)統(tǒng)的運運動微微分方方程。。（d）解得楔楔形體體的加加速度度為拉格朗朗日函函數L中不顯顯含t，故系統(tǒng)存存在能能量積積分。。28動力學學當t=0時，，x=

s=0,代入上式中，得

29動力學學由于拉