橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程（全國一等獎(jiǎng)）

橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程一.圖片感知認(rèn)識(shí)橢圓一.圖片感知認(rèn)識(shí)橢圓開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律1-軌道定律：

所有的行星圍繞太陽運(yùn)動(dòng)的軌道都是橢圓，太陽處在所有橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上一.圖片感知認(rèn)識(shí)橢圓

神州六號(hào)搭乘兩名航天員從酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射升空,運(yùn)行在軌道傾角42.4度,近地點(diǎn)高度200千米,遠(yuǎn)地點(diǎn)高度347千米的橢圓軌道上運(yùn)行了5圈。一.圖片感知認(rèn)識(shí)橢圓(1)取一條細(xì)繩，(2)把它的兩端固定在板上的兩點(diǎn)F1、F2(3)用鉛筆尖（M）把細(xì)繩拉緊，在板上慢慢移動(dòng)看看畫出的圖形二.類比探究形成概念?自然界處處存在著橢圓,我們?nèi)绾斡米约旱碾p手畫出橢圓呢?實(shí)驗(yàn)：把繩子的兩端分開固定在兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2上，保持拉緊狀態(tài)，移動(dòng)鉛筆，這時(shí)筆尖畫出的軌跡是什么圖形？材料:；一塊紙板、一段細(xì)繩、兩顆圖釘、一支鉛筆F1F2M2.改變兩點(diǎn)之間的距離，使其與繩長相等，畫出的圖形還是橢圓嗎？3．繩長能小于兩點(diǎn)之間的距離嗎？

二.類比探究形成概念感悟:(1)若|MF1|+|MF2|>|F1F2|,M點(diǎn)軌跡為橢圓.

(3)若|MF1|+|MF2|<|F1F2|,M點(diǎn)軌跡不存在.(2)若|MF1|+|MF2|=|F1F2|,M點(diǎn)軌跡為線段.二.類比探究形成概念平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距（一般用2c表示）。MF2F1二.類比探究形成概念1、定義中需要注意什么?2、如何求橢圓的方程（標(biāo)準(zhǔn)方程）(2a>2c)橢圓定義的符號(hào)表述：橢圓定義的文字表述：（1）必須在平面內(nèi);（2）兩個(gè)定點(diǎn)---兩點(diǎn)間距離確定(2c);（3）定長---軌跡上任意點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離和(2a)確定.(4)|MF1|+|MF2|>|F1F2|MF2F1二.類比探究形成概念（2a>2c）一點(diǎn)要注意哦1、定義中需要注意:2、求橢圓的方程（標(biāo)準(zhǔn)方程）建立平面直角坐標(biāo)系通常遵循的原則：“對(duì)稱”、“簡(jiǎn)潔”O(jiān)xyOxyOxyMF1F2方案一Oxy方案二F1F2MOxy探究2:橢圓的方程二.類比探究形成概念?小組探討建立平面直角坐標(biāo)系的方案并求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程xF1F2M0y解：取過焦點(diǎn)F1、F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系(如圖).

設(shè)M(x,y)是橢圓上任意一點(diǎn)，橢圓的焦距2c(c>0)，M與F1和F2的距離的和等于正常數(shù)2a(2a>2c)

，則F1、F2的坐標(biāo)分別是(c,0)、(c,0).由橢圓的定義得：代入坐標(biāo)（問題：下面怎樣化簡(jiǎn)？）二.類比探究形成概念由橢圓定義可知兩邊再平方，得移項(xiàng)，再平方).0(12222>>=+babyax橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程二.類比探究形成概念它表示：①橢圓的焦點(diǎn)在x軸②焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1（-C，0）、F2（C，0）③c2=a2-b2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程⑴F1F2M0xy思考：當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí),它的標(biāo)準(zhǔn)方程是怎樣的呢二.類比探究形成概念橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程⑵它表示:①橢圓的焦點(diǎn)在y軸②焦點(diǎn)是F1（0，-c）、F2（0，c）③c2=a2-b2

xMF1F2yO二.類比探究形成概念總體印象：對(duì)稱、簡(jiǎn)潔，“像”直線方程的截距式xyF1F2所謂橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，一定是焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且兩焦點(diǎn)的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)。xyo思考：在圖形中，a,b,c分別代表哪段的長度？二.類比探究形成概念分母哪個(gè)大，焦點(diǎn)就在哪個(gè)軸上平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)（大于F1F2）的點(diǎn)的軌跡標(biāo)準(zhǔn)方程不同點(diǎn)相同點(diǎn)圖形焦點(diǎn)坐標(biāo)定義a、b、c的關(guān)系焦點(diǎn)位置的判斷xyF1F2POxyF1F2PO橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的再認(rèn)識(shí)：二.類比探究形成概念練習(xí)1.用定義判斷下列動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是否為橢圓。(1)到F1(-2,0)、F2(2,0)的距離之和為6的點(diǎn)的軌跡。(2)到F1(0,-2)、F2(0,2)的距離之和為4的點(diǎn)的軌跡。(3)到F1(-2,0)、F2(0,2)的距離之和為3的點(diǎn)的軌跡。解

(1)因|MF1|+|MF2|=6>|F1F2|=4，故點(diǎn)M的軌跡為橢圓。(2)因|MF1|+|MF2|=4=|F1F2|=4，故點(diǎn)M的軌跡不是橢圓(是線段F1F2)。三.夯實(shí)基礎(chǔ)靈活運(yùn)用認(rèn)真思考，舉手搶答，并說明依據(jù)。答：在X軸。（-3，0）和（3，0）答：在y軸。（0，-5）和（0，5）答：在y軸。（0，-1）和（0，1）例1:判定下列橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程在哪個(gè)軸上，并寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)。例題精析判斷橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上的準(zhǔn)則：

焦點(diǎn)在分母大的那個(gè)軸上。三.夯實(shí)基礎(chǔ)靈活運(yùn)用請(qǐng)舉手回答例2、填空：自由發(fā)言已知橢圓的方程為：，則a=_____，b=_______，c=_______，焦點(diǎn)坐標(biāo)為：____________焦距等于______;若CD為過左焦點(diǎn)F1的弦，則△F2CD的周長為________543(3,0)、(-3,0)620F1F2CDXYO1、已知橢圓的方程為：，則a=_____，b=_______，c=_______，焦點(diǎn)坐標(biāo)為：___________焦距等于__________;曲線上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)F1的距離為3，則點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)F2的距離等于_________，則△F1PF2的周長為___________21(0,-1)、(0,1)2F1F2OxyP跟蹤練習(xí)：自由發(fā)言例3．橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（－4，0）,（4，0），橢圓上一點(diǎn)M到兩焦點(diǎn)距離之和等于10，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。迅速在練習(xí)本上寫出過程,和答案對(duì)照講評(píng)例題12yoFFMx.解：∵橢圓的焦點(diǎn)在x軸上∴設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為:∵2a=10,2c=8∴a=5,c=4∴b2=a2－c2=52－42=9∴所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

解題感悟：求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟：①定位：確定焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸；②定量：求a,b的值.例4：若方程4x2+kx2=1表示的曲線是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，求k的取值范圍。∵方程表示的曲線是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓解之得：0<k<4∴k的取值范圍為0<k<4?？焖偎伎?，舉手回答．1、方程，分別求方程滿足下列條件的m的取值范圍：①表示一個(gè)圓；探究與互動(dòng)：析：方程表示圓需要滿足的條件：快速思考，舉手回答．1、方程，分別求方程滿足下列條件的m的取值范圍：①表示一個(gè)圓；②表示一個(gè)橢圓；探究與互動(dòng)：析：方程表示一個(gè)橢圓需要滿足的條件：快速思考，舉手回答．1、方程，分別求方程滿足下列條件的m的取值范圍：①表示一個(gè)圓；②表示一個(gè)橢圓；③表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓。探究與互動(dòng)：析：表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓需要滿足的條件：快速思考，舉手回答．解題感悟：方程表示橢圓時(shí)要看清楚限制條件，焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上。

因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上∴，又，∴所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：解：由橢圓的定義知：例5已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(0,-2）（0,2)并且經(jīng)過點(diǎn)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程F2F1xyOM法（）待定系數(shù)法法（1)定義法快速思考，說出你的答案．解:設(shè)所得曲線上任一點(diǎn)坐標(biāo)為P(x,y),圓上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)M’(x’,y’),由題意可得：因?yàn)樗约催@就是變換后所得曲線的方程，它表示一個(gè)橢圓。oxyP′M相關(guān)點(diǎn)分析法:即利用中間變量求曲線方程.例6在圓上任取一點(diǎn)P，向x軸作垂線段PD，D為垂足。當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求線段PD中點(diǎn)M的