函數(shù)單調(diào)性和最大小值

函數(shù)單調(diào)性和最大小值第一頁(yè)，共59頁(yè)。單調(diào)性與最大（?。┲?-----函數(shù)的單調(diào)性第二頁(yè)，共59頁(yè)。一、引入課題觀察下列各個(gè)函數(shù)的圖象，并說(shuō)說(shuō)它們分別反映了相應(yīng)函數(shù)的哪些變化規(guī)律：yx11-1yx1-11-1問(wèn)：隨x的增大，y的值有什么變化？x1-11y-1-1第三頁(yè)，共59頁(yè)。畫(huà)出下列函數(shù)的圖象，觀察其變化規(guī)律：1．f(x)=x①?gòu)淖笾劣覉D象上升還是下降______?②在區(qū)間____________上，隨著x的增大，f(x)的值隨著________．2．f(x)=-2x+1①?gòu)淖笾劣覉D象上升還是下降______?②在區(qū)間____________上，隨著x的增大，f(x)的值隨著________．上升（-∞，+∞）增大下降（-∞，+∞）減小第四頁(yè)，共59頁(yè)。3．f(x)=x2①在區(qū)間____________上，f(x)的值隨著x的增大而________．②在區(qū)間____________上，f(x)的值隨著x的增大而________．x…-4-3-2-101234…f(x)…16941014916…(-∞,0]減?。?，+∞）增大第五頁(yè)，共59頁(yè)。y246810O-2x84121620246210141822D第六頁(yè)，共59頁(yè)。對(duì)區(qū)間D內(nèi)x1，x2

，當(dāng)x1<x2時(shí)，有f(x1)<f(x2)圖象在區(qū)間D逐漸上升？OxDy區(qū)間D內(nèi)隨著x的增大，y也增大x1x2f(x1)f(x2)MN第七頁(yè)，共59頁(yè)。對(duì)區(qū)間D內(nèi)x1，x2

，當(dāng)x1<x2時(shí)，有f(x1)<f(x2)xx1x2？Dyf(x1)f(x2)OMN任意區(qū)間D內(nèi)隨著x的增大，y也增大圖象在區(qū)間D逐漸上升第八頁(yè)，共59頁(yè)。對(duì)區(qū)間D內(nèi)x1，x2

，當(dāng)x1<x2時(shí)，有f(x1)<f(x2)xx1x2都yf(x1)f(x2)O設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮,區(qū)間DI.如果對(duì)于區(qū)間D上的任意當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)f(x2)，<定義MN任意兩個(gè)自變量的值x1,x2，D稱為f(x)的單調(diào)增區(qū)間.

那么就說(shuō)f(x)在區(qū)間D上是單調(diào)增函數(shù)，區(qū)間D內(nèi)隨著x的增大，y也增大圖象在區(qū)間D逐漸上升D第九頁(yè)，共59頁(yè)。

那么就說(shuō)在f(x)這個(gè)區(qū)間上是單調(diào)減函數(shù)，D稱為f(x)的單調(diào)減區(qū)間.Oxyx1x2f(x1)f(x2)類比單調(diào)增函數(shù)的研究方法定義單調(diào)減函數(shù).xOyx1x2f(x1)f(x2)設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮,區(qū)間DI.

如果對(duì)于屬于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1,x2，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮,區(qū)間DI.

如果對(duì)于屬于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1,x2，

那么就說(shuō)在f(x)這個(gè)區(qū)間上是單調(diào)增

函數(shù)，D稱為f(x)的單調(diào)區(qū)間.增當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)f(x2)，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)f(x2)，<>單調(diào)區(qū)間第十頁(yè)，共59頁(yè)。注意：①函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì)；②必須是對(duì)于區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1，x2；③函數(shù)的單調(diào)性是相對(duì)某個(gè)區(qū)間而言，不能直接說(shuō)某函數(shù)是增函數(shù)或減函數(shù)。第十一頁(yè)，共59頁(yè)。下列說(shuō)法是否正確？請(qǐng)畫(huà)圖說(shuō)明理由。（3）如果對(duì)于區(qū)間（0，+∞）上的任意x有f(x)>f(0),則函數(shù)在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增。（1）對(duì)于區(qū)間（a,b）上得某3個(gè)自變量的x1,x2,x3,當(dāng)a<x1<x2<x3<b時(shí)，有f(a)<f(x1)<f(x2)<f(x3)<f(b),則函數(shù)f(x)在區(qū)間（a,b）上單調(diào)遞增。（2）對(duì)于區(qū)間（a,b）上有無(wú)數(shù)個(gè)自變量的x1,x2,x3,…,xn,當(dāng)a<x1<x2<…<xn<b時(shí)，有f(a)<f(x1)<f(x2)<…<f(xn)<f(b),則函數(shù)f(x)在區(qū)間（a,b）上單調(diào)遞增。第十二頁(yè)，共59頁(yè)。2．單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間

如果函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說(shuō)函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間D叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間：(1)這個(gè)單調(diào)區(qū)間可以是整個(gè)定義域

如y=x在定義域上是增函數(shù),y=-x是減函數(shù)(2)這個(gè)單調(diào)區(qū)間也可以是定義域的真子集

如y=x2在定義域上沒(méi)有單調(diào)性,但在(-∞,0]是減函數(shù),在[0,+∞)是增函數(shù).(3)有的函數(shù)沒(méi)有單調(diào)性區(qū)間第十三頁(yè)，共59頁(yè)。-5Ox

y12345-1-2-3-4123-1-2[例1]下圖是定義在[－5，5]上的函數(shù)y＝f(x)的圖象,根據(jù)圖象說(shuō)出y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間,以及在每一單調(diào)區(qū)間上,y＝f(x)是增函數(shù)還是減函數(shù).（二）典型例題第十四頁(yè)，共59頁(yè)。書(shū)寫(xiě)單調(diào)區(qū)間時(shí)，注意區(qū)間端點(diǎn)的寫(xiě)法。對(duì)于某一個(gè)點(diǎn)而言，由于它的函數(shù)值是一個(gè)確定的常數(shù)，無(wú)單調(diào)性可言，因此在寫(xiě)單調(diào)區(qū)間時(shí)，可以包括端點(diǎn)，也可以不包括端點(diǎn)。但對(duì)于某些不在定義域內(nèi)的區(qū)間端點(diǎn)，書(shū)寫(xiě)時(shí)就必須去掉端點(diǎn)。單調(diào)區(qū)間之間必須用“，”隔開(kāi)，或者用“和”連接，但千萬(wàn)不能用“∪”連接，也不能用“或”，“且”連接。第十五頁(yè)，共59頁(yè)。例2.指出下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：

解：無(wú)單調(diào)減區(qū)間

無(wú)單調(diào)增區(qū)間歸納：函數(shù)的單調(diào)性單調(diào)增區(qū)間單調(diào)減區(qū)間k>0k<0yox22o4yx第十六頁(yè)，共59頁(yè)。歸納：函數(shù)的單調(diào)性_______;_______.例2.指出下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：xyy=-x2+21-1122-1-2-2O思考2：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間呢？

思考1：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間呢？解：第十七頁(yè)，共59頁(yè)。單調(diào)增區(qū)間單調(diào)減區(qū)間

a>0

a<0的對(duì)稱軸為第十八頁(yè)，共59頁(yè)。練習(xí)：判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。xy21o單調(diào)遞增區(qū)間：?jiǎn)握{(diào)遞減區(qū)間：第十九頁(yè)，共59頁(yè)。成果運(yùn)用若二次函數(shù)

在區(qū)間

上單調(diào)遞增，求a的取值范圍。

oxy1xy1o解：二次函數(shù)的對(duì)稱軸為,由圖象可知只要，即即可.

第二十頁(yè)，共59頁(yè)。若二次函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是,則a的取值情況是（）

變式1變式2請(qǐng)你說(shuō)出一個(gè)單調(diào)減區(qū)間是的二次函數(shù)變式3請(qǐng)你說(shuō)出一個(gè)在上單調(diào)遞減的函數(shù)A.B.C.D.

第二十一頁(yè)，共59頁(yè)。討論函數(shù)在(-2,2)內(nèi)的單調(diào)性.變式4解：f(x)的開(kāi)頭方向向上，對(duì)稱軸是x=a，（1）當(dāng)a≤-2時(shí)，f(x)在(-2,2)單調(diào)遞增；（2）當(dāng)-2<a<2時(shí)，f(x)在(-2,2)沒(méi)有單調(diào)性，但是f(x)在（-2,a）單調(diào)遞減，在(a,2)單調(diào)遞增；（3）當(dāng)a>2時(shí)，f(x)在(-2,2)單調(diào)遞減。第二十二頁(yè)，共59頁(yè)。變式5討論函數(shù)f(x)=x2-2x+3在區(qū)間(a,a+3)上的單調(diào)性。第二十三頁(yè)，共59頁(yè)。例3.指出下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：xyO思考1：思考2：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是什么？

的單調(diào)增區(qū)間是

歸納：在和上的單調(diào)性？_____________,解：沒(méi)有單調(diào)增區(qū)間第二十四頁(yè)，共59頁(yè)。單調(diào)增區(qū)間單調(diào)減區(qū)間

的單調(diào)區(qū)間，，第二十五頁(yè)，共59頁(yè)。證明：函數(shù)f(x)=1/x在(0，+∞)上是減函數(shù)。證明：設(shè)x1,x2是(0，+∞)上任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x1<x2，則f(x1)-f(x2)=由于x1,x2得x1x2>0,又由x1<x2得x2-x1>0所以f(x1)-f(x2)>0,

即f(x1)>f(x2)因此f(x)=1/x在(0，+∞)上是減函數(shù)。取值定號(hào)變形作差下結(jié)論第二十六頁(yè)，共59頁(yè)。3．證明函數(shù)單調(diào)性的方法步驟

利用定義證明函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性的一般步驟：①任取x1，x2∈D，且x1<x2；②作差f(x1)－f(x2)；③變形（通常是因式分解和配方）；④定號(hào)（即判斷差f(x1)－f(x2)的正負(fù)）；⑤下結(jié)論（即指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性）．第二十七頁(yè)，共59頁(yè)。

例4、物理學(xué)中的玻意耳定律告訴我們，對(duì)于一定量的氣體，當(dāng)其體積V減小時(shí)，壓強(qiáng)p將增大。試用函數(shù)的單調(diào)性證明之。證明：根據(jù)單調(diào)性的定義，設(shè)V1，V2是定義域(0，+∞)上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且V1<V2，則由V1，V2∈

(0，+∞)得V1V2>0,由V1<V2，得V2-V1>0又k>0,于是

所以，函數(shù)是減函數(shù).也就是說(shuō)，當(dāng)體積V減少時(shí)，壓強(qiáng)p將增大.取值定號(hào)變形作差結(jié)論第二十八頁(yè)，共59頁(yè)。?判斷函數(shù)在區(qū)間(0,1)上的單調(diào)性.解:設(shè)則f(x1)－f(x2)∵0＜x1＜x2＜1,∴1+x1x2＞0,x2－x1＞0,∴

f(x1)－f(x2)＞0.即f(x1)＞f(x2).故此函數(shù)在(0,1)上是減函數(shù).第二十九頁(yè)，共59頁(yè)。4.判斷函數(shù)f(x)=－x3+1在(－∞,+∞)上是增函數(shù)還是減函數(shù)，并用定義證明你的結(jié)論.所以f(x)在(－∞,0)上是減函數(shù)第三十頁(yè)，共59頁(yè)。例：已知函數(shù)f(x)是定義在（-∞，+∞）上的單調(diào)增函數(shù)，解不等式f(2x)<f(1+x)

例5變式例：已知函數(shù)f(x)是定義在（-1，1）上的單調(diào)增函數(shù)，解不等式f(2x)<f(1+x)

第三十一頁(yè)，共59頁(yè)。練習(xí)1.已知函數(shù)f(x)是定義在[-1,2)上的增函數(shù)，若f(a-1)>f(1-3a)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。第三十二頁(yè)，共59頁(yè)。

是定義在R上的單調(diào)函數(shù)，且的圖象過(guò)點(diǎn)A（0，2）和B（3，0）（1）解不等式（2）求適合的的取值范圍變式第三十三頁(yè)，共59頁(yè)。思考與討論f(x)和g(x)都是區(qū)間D上的單調(diào)函數(shù)，那么f(x)和g(x)四則運(yùn)算后在該區(qū)間D內(nèi)還具備單調(diào)性嗎？情況如何？你能證明嗎？能舉例嗎？第三十四頁(yè)，共59頁(yè)。1.若f(x)為增函數(shù)，g(x)為增函數(shù)，則F(x)=f(x)+g(x)為增函數(shù)。2.若f(x)為減函數(shù)，g(x)為減函數(shù)，則F(x)=f(x)+g(x)為減函數(shù)。3.若f(x)為增函數(shù)，g(x)為減函數(shù)，則F(x)=f(x)-g(x)為增函數(shù)。4.若f(x)為減函數(shù)，g(x)為增函數(shù)，則F(x)=f(x)-g(x)為減函數(shù)。第三十五頁(yè)，共59頁(yè)。1.已知函數(shù)f(x)

的定義域?yàn)镽

，且對(duì)任意

，都有f(a+b)=f(a)+f(b)，且當(dāng)

x>0時(shí)，f(x)<0恒成立，證明：函數(shù)

f(x)是

R上的減函數(shù)；證明抽象函數(shù)的單調(diào)性第三十六頁(yè)，共59頁(yè)。三、歸納小結(jié)1.函數(shù)的單調(diào)性的判定、證明和單調(diào)區(qū)間的確定：函數(shù)的單調(diào)性一般是先根據(jù)圖象判斷，再利用定義證明．畫(huà)函數(shù)圖象通常借助計(jì)算機(jī)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)必須要注意函數(shù)的定義域，單調(diào)性的證明一般分五步：取值→作差→變形→定號(hào)→下結(jié)論2.直接利用初等函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。第三十七頁(yè)，共59頁(yè)。，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是

提高性練習(xí)第三十八頁(yè)，共59頁(yè)。第三十九頁(yè)，共59頁(yè)。單調(diào)性與最大（?。┲?-----函數(shù)的最大（小）值第四十頁(yè)，共59頁(yè)。下列兩個(gè)函數(shù)的圖象：圖1ox0xMyyxox0圖2M觀察觀察這兩個(gè)函數(shù)圖象，圖中有個(gè)最高點(diǎn)，那么這個(gè)最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)叫什么呢？思考第四十一頁(yè)，共59頁(yè)。設(shè)函數(shù)y=f(x)圖象上最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)為M，則對(duì)函數(shù)定義域內(nèi)任意自變量x，f(x)與M的大小關(guān)系如何？思考f(x)≤M?(0)=1O122、存在0，使得?(0)=1.1、對(duì)任意的都有?(x)≤1.1是此函數(shù)的最大值第四十二頁(yè)，共59頁(yè)。知識(shí)要點(diǎn)M是函數(shù)y=f(x)的最大值（maximumvalue）：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：（1）對(duì)于任意的x∈I，都有f(x)≤M;（2）存在，使得.第四十三頁(yè)，共59頁(yè)。一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果實(shí)數(shù)M滿足：（1）對(duì)于任意的的x∈I，都有f(x)≥M;（2）存在 ，使得，那么我們稱M是函數(shù)y=f(x)的最小值（minimunvalue）.能否仿照函數(shù)的最大值的定義，給出函數(shù)y=f(x)的最小值的定義呢？思考第四十四頁(yè)，共59頁(yè)。2.函數(shù)最大（?。┲祽?yīng)該是所有函數(shù)值中最大（?。┑?，即對(duì)于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）．

注意：1.函數(shù)最大（?。┲凳紫葢?yīng)該是某一個(gè)函數(shù)值，即存在x0∈I，使得f(x0)=M；3.最大值和最小值統(tǒng)稱為最值。第四十五頁(yè)，共59頁(yè)。判斷以下說(shuō)法是否正確。2.設(shè)函數(shù)f(x)=1-x2，則f(x)≤2成立嗎?f(x)的最大值是2嗎？為什么？第四十六頁(yè)，共59頁(yè)。如果函數(shù)f(x)的最大值是b，最小值是a，那么函數(shù)f(x)的值域是[a，b]嗎？函數(shù)f(x)在定義域中既有最大值又有最小值.

如果在函數(shù)f(x)定義域內(nèi)存在x1和x2，使對(duì)定義域內(nèi)任意x都有成立，由此你能得到什么結(jié)論？思考1思考2第四十七頁(yè)，共59頁(yè)。探究:函數(shù)單調(diào)性與函數(shù)的最值的關(guān)系（1）若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[m，n](m<n)上單調(diào)遞增，則函數(shù)y=f(x)的最值是什么？Oxy當(dāng)x=m時(shí)，f(x)有最小值f(m)，當(dāng)x=n時(shí),f(x)有最大值f(n).第四十八頁(yè)，共59頁(yè)。(2)若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[m，n]上單調(diào)遞減，則函數(shù)y=f(x)的最值是什么？Oxy當(dāng)x=m時(shí)，f(x)有最大值f(m)，當(dāng)x=n時(shí)，f(x)有最小值f(n).第四十九頁(yè)，共59頁(yè)。(3)若函數(shù)則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[m,n]上的最值是什么？Oxy最大值f(l)=h，有最小值f(m),f(n)中較小者.第五十頁(yè)，共59頁(yè)。例3

“菊花”煙花是最壯觀的煙花之一.制造時(shí)一般是期望在它達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)爆裂.如果在距地面高度hm與時(shí)間ts之間的關(guān)系為:h(t)=-4.9t2+14.7t+18

，那么煙花沖出后什么時(shí)候是它的爆裂的最佳時(shí)刻？這時(shí)距地面的高度是多少（精確到1m）第五十一頁(yè)，共59頁(yè)。解：作出函數(shù)h(t)=-4.9t2+14.7t+18的圖象(如圖).顯然，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)就是煙花上升的最高點(diǎn)，頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是煙花爆裂的最佳時(shí)刻，縱坐標(biāo)就是這時(shí)距地面的高度.

由于二次函數(shù)的知識(shí)，對(duì)于h(t)=-4.9t2+14.7t+18,我們有:

于是，煙花沖出后1.5秒是它爆裂的最佳時(shí)刻,這時(shí)距地面的高度為29m.第五十二頁(yè)，共59頁(yè)。例3

求函數(shù)在區(qū)間[2，6]上的最大值和最小值．

解：設(shè)x1,x2是區(qū)間[2,6]上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x1<x2,則由于2<x1<x2<6,得x2