實(shí)對(duì)稱矩陣的角化

1、特征值全為實(shí)數(shù).從而對(duì)應(yīng)的特征向量全為實(shí)向量.說(shuō)明：本節(jié)所提到的對(duì)稱矩陣，除非特別說(shuō)明，均指實(shí)對(duì)稱矩陣．3、屬于不同特征值的特征向量必正交.n階方陣A的r重特征值，則必有.一、實(shí)對(duì)稱矩陣的性質(zhì)

實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值與特征向量之特性：2、對(duì)每個(gè)特征值λ

，都有，即若λ是第三節(jié)實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化證明于是因?yàn)锳對(duì)稱，即

由性質(zhì)1，2，3可得：實(shí)對(duì)稱矩陣必正交相似問(wèn)題：如何尋找正交陣Q，使稱A可正交對(duì)角化.于對(duì)角陣，即存在正交陣Q，使【例1】

將矩陣正交對(duì)角化.二、實(shí)對(duì)稱矩陣的正交對(duì)角化方法

【解】對(duì)應(yīng)的特征向量：兩兩正交，規(guī)范化得令【例2】

將矩陣正交對(duì)角化.

利用schmidt正交化方法，將正交化：【解】對(duì)單重特征值對(duì)3重特征值，取(A－I)x

=0的基礎(chǔ)解系

則是A的4個(gè)兩兩正交的特征向量．規(guī)范化：取則

根據(jù)上述討論，將對(duì)稱矩陣正交對(duì)角化的具體步驟為：4.將3中所有特征向量組合后即得正交陣Q.1.求出A的所有不相等的特征值2.求出的基礎(chǔ)解系，即得屬于λi

的線性無(wú)關(guān)的特征向量；3.若λi

為單重特征值，將對(duì)應(yīng)的特征向量規(guī)范化；若λi

為多重特征值，將2中的基礎(chǔ)解系正交化，再規(guī)范化；則【例3】設(shè)實(shí)對(duì)稱陣A的特征值為λ1＝4,λ2,3＝－2,

且對(duì)應(yīng)于λ1的特征向量為，求A．【解法一】由實(shí)對(duì)稱矩陣性質(zhì)知，對(duì)應(yīng)于λ2,3＝－2

必有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，且它們都與正交．即滿足取其一個(gè)基礎(chǔ)解系：則取對(duì)正交化：再對(duì)單位化得：令，則Q為正交陣.

有【解法二】【解法三】由A是對(duì)稱陣知,存在正交陣使

其中

則A的特征值為λ1＝4,λ2,3＝－2,對(duì)應(yīng)于λ1的特征向量為1.特征值、特征向量：Ax=λx(x≠0)

求法：由|A－λI|=0求出全部特征值由(A－λkI)x

=0求出對(duì)應(yīng)于λk的特征向量．(2)屬于不同特征值的特征向量線性無(wú)關(guān).性質(zhì)：(1)，若Ax=λx(x≠0)，則λm、λ+t、、

分別是Am、A+tI、A-1、A*的特征值,x是對(duì)應(yīng)的特征向量.A與AT有相同的特征值,它們屬于不同特征值的特征向量正交．2.相似矩陣：相似矩陣具有相同的特征多項(xiàng)式，從而有相同的特征值.3.方陣對(duì)角化：(1)A可對(duì)角化對(duì)A的每個(gè)特征值λ，皆成立(2)如果n階矩陣A的n個(gè)特征值互不相等，則A可對(duì)角化．其中復(fù)習(xí)1.方陣A可對(duì)角化：①n階方陣A可對(duì)角化A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量推論:如果n階矩陣A的n個(gè)特征值互不相等,則A可對(duì)角化．②A可對(duì)角化對(duì)A的每個(gè)特征值λ,皆成立的對(duì)角線元素為A的特征值，P的n列為對(duì)應(yīng)的特征