一元二次方程【省一等獎】

《一元二次方程》教學(xué)設(shè)計芮城縣陽城中學(xué)安曉麗

教學(xué)內(nèi)容：人教版九年級數(shù)學(xué)第22章《22.1一元二次方程》第24頁至27頁

學(xué)情分析：

學(xué)生在七年級和八年級已經(jīng)學(xué)習(xí)了整式、分式、二次根式、一元一次方程、二元一次方程、分式方程，在此基礎(chǔ)上本節(jié)課將從實(shí)際問題入手，抽象出一元二次方程的概念及一元二次方程的一般形式.

教學(xué)目標(biāo)

知識技能：

1、

理解一元二次方程的概念.

2、掌握一元二次方程的一般形式，正確認(rèn)識二次項系數(shù)、一次項系數(shù)及常數(shù)項.

數(shù)學(xué)思考：

1、通過一元二次方程的引入，培養(yǎng)學(xué)生建模思想，歸納、分析問題及解決問題的能力.

2、通過一元二次方程概念的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生對概念理解的完整性和深刻性.

3、由知識來源于實(shí)際，樹立轉(zhuǎn)化的思想，由設(shè)未知數(shù)、列方程向?qū)W生滲透方程的思想，從而進(jìn)一步提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力.

解決問題：

在分析、揭示實(shí)際問題的數(shù)量關(guān)系并把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型（一元二次方程）的過程中使學(xué)生感受方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的工具，增加對一元二次方程的感性認(rèn)識.

情感態(tài)度：

1、培養(yǎng)學(xué)生自主自主學(xué)習(xí)、探究知識和合作交流的意識.

2、激發(fā)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)的興趣，體會學(xué)數(shù)學(xué)的快樂，培養(yǎng)用數(shù)學(xué)的意識.

教學(xué)重點(diǎn)：

一元二次方程的概念及一般形式.

教學(xué)難點(diǎn)：

1、由實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化過程.

2、正確識別一元二次方程一般形式中的“項”及“系數(shù)”.

教學(xué)互動設(shè)計：

一、自主學(xué)習(xí)感受新知

【問題1】有一塊面積為900平方米的長方形綠地，并且長比寬多10米，則綠地的長和寬各為多少？

【分析】設(shè)長方形綠地的寬為x米，依題意列方程為：x(x+10)=900；

整理得：

x2+10x-900=0①

【問題2】學(xué)校圖書館去年年底有圖書5萬冊，預(yù)計至明年年底增加到7.2萬冊，求這兩年的年平均增長率。

【分析】設(shè)這兩年的年平均增長率為x，依題列方程為：5(1+x)2=7.2；

整理得：

5

x2+10x-2.2=0②

【問題2】學(xué)校要組織一次排球邀請賽，參賽的每兩個隊之間都要比賽一場，根據(jù)場地和時間等條件，賽程計劃安排7天，每天安排4場比賽，比賽組織者應(yīng)邀請多少個隊參賽？

【分析】全部比賽共4×7=28場，設(shè)應(yīng)邀請x個隊參賽，則每個隊要與其它

（x-1）隊各賽1場，全場比賽共場，依題意列方程得：；

整理得：

x2-x-56=0③

（設(shè)計意圖：在現(xiàn)實(shí)生活中發(fā)現(xiàn)并提出簡單的問題，吸引學(xué)生的注意力，激發(fā)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的興趣和積極性。同時通過解決實(shí)際問題引入一元二次方程的概念,同時可提高學(xué)生利用方程思想解決實(shí)際問題的能力。）

二、自主交流探究新知

【探究】（1）上面三個方程左右兩邊是含未知數(shù)的

整式

（填

“整式”“分式”等）；

（2）方程整理后含有

一

個未知數(shù)；

（3）按照整式中的多項式的規(guī)定，它們最高次數(shù)是

二

次。

【歸納】

1、一元二次方程的定義

等號兩邊都是

整式

，只含有

一

個求知數(shù)（一元），并且求知數(shù)的最高次數(shù)是

2

（二次）的方程，叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式

一般地，任何一個關(guān)于x的一元二次方程，經(jīng)過整理，都能化成如下形式：

ax2+bx+c=0(a≠0)

這種形式叫做一元二次方程的一般形式。其中ax2是二次項，a是二次項系數(shù)，bx是一次項，b是一次項系數(shù)，c是常數(shù)項。

【強(qiáng)調(diào)】方程ax2+bx+c=0只有當(dāng)a≠0時才叫一元二次方程，如果a=0，b≠0時就是一元一次方程了。所以在一般形式中，必須包含a≠0這個條件。

（設(shè)計意圖：由于學(xué)生已熟練掌握了整式、分式、一元一次方程等概念，所以從未知數(shù)的個數(shù)及最高次數(shù)提問，引導(dǎo)學(xué)生歸納共同點(diǎn)是符合學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)的。學(xué)生的自主觀察、比較、歸納是活動有效的保證，教學(xué)中應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生充分的探究和交流。同時，在概念教學(xué)中類比是幫助學(xué)生正確理解概念的有效方法。）

【對應(yīng)練習(xí)】判斷下列方程，哪些是一元二次方程？哪些不是？為什么？

（1）x3-2x2+5=0；

（2）x2=1；

（3）5x2-2x-=x2-2x+；

（4）2（x+1）2＝3（x+1）；

（5）x2-2x＝x2+1；

（6）ax2＋bx＋c=0

（設(shè)計意圖：此問題采取搶答的形式,提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性。其目的是為了及時鞏固一元二次方程的概念，同時讓學(xué)生知道判斷一個方程是不是一元二次方程，首先要對其整理成一般形式，然后根據(jù)定義判斷。）

三、自主應(yīng)用鞏固新知

【例1】

已知方程（a-3）x|a-1|-2x+5=0，當(dāng)

a=-1

時，此方程是一元二次方程，當(dāng)

a=0，2或3時，此方程是一元一次方程。

（設(shè)計意圖：通過例1的學(xué)習(xí)，一是使學(xué)生進(jìn)一步鞏固一元二次方程的概念，并注意其最基本的條件：未知數(shù)的最高次數(shù)為2，二次項系數(shù)不為0；二是使學(xué)生了解一元二次方程與一元一次方程的聯(lián)系與區(qū)別。在填第一個空時要讓學(xué)生注意a值的取舍，填第二個空時要注意引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分類討論。）

【例2】將方程3x（x-1）=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)及常數(shù)項．

【分析】一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此，方程3x（x-1）=5(x+2)必須運(yùn)用整式運(yùn)算進(jìn)行整理，包括去括號、移項等．

解：去括號，得：

3x2-3x=5x+10

移項合并同類項，得：

3x2-8x-10=0

其中二次項系數(shù)是3，一次項系數(shù)是-8，常數(shù)項是-10。

（設(shè)計意圖：通過例2的學(xué)習(xí)，一是使學(xué)生進(jìn)一步掌握一元二次方程的一般形式，并注意強(qiáng)調(diào)二次項、二次項系數(shù)、一次項、一次項系數(shù)、常數(shù)項都包括前面的符號；二是使學(xué)生進(jìn)一步了解方程的變形過程。）

四、自主總結(jié)拓展新知

本節(jié)課你學(xué)了什么知識？從中得到了什么啟示？

1、a≠0是ax2+bx+c=0成為一元二次方程的必要條件，否則，方程ax2+bx+c=0變?yōu)閎x+c=0，就不是一元二次方程。

2、找一元二次方程中的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項，應(yīng)先將方程化為一般形式。

（設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，加強(qiáng)知識的形成。）

五、自主檢測反饋新知

1、下列方程，是一元二次方程的是

①④⑤

。

①3x2+x=20，

②2x2-3xy+4=0，

③，

④

x2=0，

⑤

2、某學(xué)校準(zhǔn)備修建一個面積為200平方米的矩形花圃，它的長比寬多10米，設(shè)花圃的寬為x米，則可列方程為x(x＋10)＝200，化為一般形式為x2+10x-200=0。

3、方程(m-2)x|m|+3mx+1=0是關(guān)于x的一元二次方程，則

m=

-2

。

4、將方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成