2020秋高中數(shù)學(xué)人教版2-1學(xué)案：3.1.3空間向量的數(shù)量積運算 3.1.4空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2020秋高中數(shù)學(xué)人教A版選修2-1學(xué)案：3.1.3空間向量的數(shù)量積運算3.1.4空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示含解析3。1.3空間向量的數(shù)量積運算3。1。4空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示自主預(yù)習(xí)·探新知情景引入沒有規(guī)矩不成方圓，國家法律保障每個公民的權(quán)利不受侵害，校規(guī)可為每個學(xué)生創(chuàng)造一個良好的學(xué)習(xí)生活環(huán)境……可見，世間事物往往要遵循一定的規(guī)律和法則才能生存．初中我們學(xué)過實數(shù)的乘法運算及乘法中的一些運算律,那么向量的數(shù)量積該如何規(guī)定,向量的數(shù)量積又滿足哪些運算律呢？新知導(dǎo)學(xué)1．向量a與b的夾角已知兩個非零向量a、b,在空間任取一點O，作eq\o(OA,\s\up6（→）)＝a，eq\o（OB,\s\up6（→）)＝b，則__∠AOB__叫做向量a與b的夾角，記作__〈a，b〉__。通常規(guī)定0°≤〈a,b〉≤180°，且〈a,b>＝〈b，a〉，如果<a,b>＝__90°__,則稱a與b互相垂直，記作a⊥b.2．向量a，b的數(shù)量積空間兩個非零向量a、b，a·b＝__|a｜|b|cos〈a，b〉__叫做向量a、b的數(shù)量積（或內(nèi)積)．同平面向量一樣,空間兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，空間兩個向量的數(shù)量積也具有如下性質(zhì)：（1）a⊥b?__a·b＝0__;（2)｜a｜2＝__a·a__；空間兩個向量的數(shù)量積同樣滿足如下運算律：（1）（λa）·b＝λ（a·b);（2)a·b＝b·a；（交換律)(3）(a＋b)·c＝a·c＋b·c。(分配律)3．三垂線定理在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的__一條斜線的射影___垂直，那么它也和這條斜線垂直．三垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的__一條斜線垂直__,那么它也和__這條斜線在平面內(nèi)的射影__垂直．即與斜線垂直?與射影垂直．4．?dāng)?shù)量積的性質(zhì)設(shè)a，b都是非零向量，〈a，b〉＝θ，①a∥b時,θ＝__0或π__，θ＝__0__時,a與b同向;θ＝__π__時,a與b反向．②a⊥b?θ＝__eq\f(π,2）__?a·b＝0.③θ為銳角時，a·b__〉__0，但a·b〉0時,θ可能為__0__；θ為鈍角時，a·b__〈__0，但a·b〈0時，θ可能為__π__.④｜a·b｜≤｜a｜·|b｜，特別地,當(dāng)θ＝__0__時，a·b＝|a｜·|b|，當(dāng)θ＝__π__時,a·b＝－|a|·|b|.⑤對于實數(shù)a、b、c，若ab＝ac，a≠0，則b＝c；對于向量a、b、c,若a·b＝a·c,a≠0,卻推不出b＝c，只能得出__a⊥(b－c)__。⑥a·b＝0eq\o(?，/)a＝0或b＝0,但a＝0時,一定有⑦不為零的三個實數(shù)a、b、c，有（ab）c＝a(bc）成立，但對于三個向量a、b、c，(a·b)c__≠__a（b·c),因為a·b是一個實數(shù)，（a·b)c是與c共線的向量，而a（b·c)是與a共線的向量,a與c卻不一定共線．5．空間向量基本定理(1)如果三個向量a、b、c不共面，那么對空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z｝，使得p＝__xa＋yb＋zc__。（2）如果三個向量a、b、c不共面，那么所有空間向量組成的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R｝，這個集合可看作是由向量a、b、c生成的，我們把｛__a，b，c__}叫做空間的一個基底,a、b、c都叫做__基向量__,空間任何三個__不共面__的向量都可構(gòu)成空間的一個基底,同一（相等）向量在不同基底下的坐標(biāo)__不同__，在同一基底下的坐標(biāo)__相同__.6．空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示設(shè)e1、e2、e3為有公共起點O的三個兩兩垂直的單位向量（我們稱它們?yōu)閱挝徽换祝詄1、e2、e3的公共起點O為原點，分別以__e1，e2,e3__的方向為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz.對于空間任意一個向量p一定可以把它平移，使它的__起點__與原點O重合,得到向量eq\o（OP,\s\up6（→）)＝p，由空間向量基本定理可知，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y,z}，使得p＝__xe1＋ye2＋ze3__。我們把__x、y、z__稱作向量p在單位正交基底e1、e2、e3下的坐標(biāo)，記作p＝__（x,y，z)__.預(yù)習(xí)自測1．下列式子中正確的是(D）A．|a|·a＝a2 B．(a·b)2＝a2·b2C．(a·b）c＝a（b·c) D．|a·b|≤|a|｜b｜［解析］|a|·a是與a共線的向量,a2是實數(shù)，故A不對；(a·b）2＝|a｜2·|b|2·cos2〈a，b>≠a2·b2，故B錯；(a·b）c與c共線,a（b·c）與a共線，故C錯．｜a·b|＝｜｜a|·｜b|·cos<a,b>｜≤｜a|·｜b|.2．已知|a|＝13，|b|＝19，|a＋b|＝24，則|a－b｜等于(A）A．22 B．48C．eq\r(46) D．32［解析]∵|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b｜a－b｜2＝a2＋b2－2a·b∴｜a－b｜2＝2（a2＋b2)－｜a＋b|2＝2×(132＋192)－242＝484，∴|a－b|＝22。故選A．3．以下四個命題中正確的是（B）A．空間的任何一個向量都可用其他三個向量表示B．若{a，b，c}為空間向量的一組基底，則a、b、c全不是零向量C．△ABC為直角三角形的充要條件是eq\o(AB，\s\up6（→))·eq\o（AC,\s\up6（→）)＝0D．任何三個不共線的向量都可構(gòu)成空間向量的一個基底[解析]由空間基底的概念知，構(gòu)成基底的三個基向量一定不共面，因此必定不共線,都是非零向量，∴A錯，D錯，B正確；△ABC為直角三角形時不一定角A為直角，故C錯．4．(內(nèi)蒙古赤峰市寧城縣2019－2020學(xué)年高二期末）設(shè)A，B，C，D是空間內(nèi)不共面的四點，且滿足eq\o(AB,\s\up6(→)）·eq\o(AC，\s\up6（→））＝0,eq\o(AD,\s\up6（→））·eq\o（AC,\s\up6（→))＝0，eq\o（AB,\s\up6(→)）·eq\o（AD，\s\up6（→））＝0，則△BCD是(B)A．鈍角三角形 B．銳角三角形C．直角三角形 D．任意三角形[解析]∵eq\o(BC,\s\up6（→）)·eq\o（BD,\s\up6（→））＝(eq\o(AC，\s\up6(→)）－eq\o(AB,\s\up6(→）)）（eq\o（AD,\s\up6(→）)－eq\o(AB,\s\up6(→）)）＝eq\o(AC,\s\up6（→))·eq\o(AD,\s\up6(→)）－eq\o(AC，\s\up6（→））·eq\o（AB,\s\up6(→））－eq\o(AB,\s\up6（→)）·eq\o（AD，\s\up6（→)）＋（eq\o（AB,\s\up6(→)））2，eq\o（AB,\s\up6(→))·eq\o（AC,\s\up6（→）)＝0，eq\o(AD,\s\up6（→）)·eq\o(AC，\s\up6(→）)＝0，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o（AD，\s\up6(→）)＝0，∴eq\o(BC,\s\up6(→）)·eq\o（BD，\s\up6（→））＝(eq\o(AB,\s\up6（→)））2＞0,∴cosB＝eq\f(\o(BC，\s\up6（→))·\o(BD，\s\up6（→）)，｜\o（BC,\s\up6（→）)｜·｜\o（BD,\s\up6（→）)|)＞0，∴∠B是銳角，同理∠D，∠C是銳角，則△BCD是銳角三角形．5．設(shè){i，j，k}是空間向量的一組單位正交基底,且m＝2i＋3j－4k，n＝－i＋2j－5k，則向量m的坐標(biāo)為__(2，3，－4)__，n的坐標(biāo)為__（－1,2,－5）__?；犹骄俊すブ仉y互動探究解疑命題方向?向量的數(shù)量積的概念與運算典例1如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于1，點E、F分別是AB、AD的中點，計算（1）eq\o（EF，\s\up6（→))·eq\o(BA，\s\up6(→））;(2)eq\o(EF，\s\up6（→)）·eq\o（BD,\s\up6（→））；（3）eq\o(BF,\s\up6（→))·eq\o（CE，\s\up6（→))。［思路分析]求向量的數(shù)量積,關(guān)鍵是把所求向量用已知長度和夾角的向量線性表示,然后據(jù)定義進(jìn)行計算，特別注意a與b的夾角是其方向的夾角．如〈eq\o（BD,\s\up6(→)），eq\o（DC,\s\up6（→))〉＝120°,易錯認(rèn)為〈eq\o（BD,\s\up6（→)）,eq\o（DC,\s\up6（→）)>＝60°.［規(guī)范解答］（1)eq\o(EF,\s\up6（→））·eq\o（BA,\s\up6（→))＝eq\f(1,2）eq\o(BD，\s\up6（→））·eq\o(BA，\s\up6(→））＝eq\f（1，2）｜eq\o(BD,\s\up6(→)）|·｜eq\o（BA，\s\up6(→）)｜·cos〈eq\o（BD,\s\up6(→))，eq\o（BA,\s\up6(→)）〉＝eq\f(1，2)×1×1×cos60°＝eq\f（1，4）。(2）eq\o(EF,\s\up6（→）)·eq\o(BD，\s\up6(→)）＝eq\f(1，2)｜eq\o(BD,\s\up6（→)）|·｜eq\o(BD，\s\up6(→）)|cos〈eq\o(BD，\s\up6(→）)，eq\o(BD,\s\up6（→））>＝eq\f(1,2）×1×1×cos0°＝eq\f（1，2）。(3)eq\o(BF,\s\up6（→))·eq\o（CE，\s\up6(→））＝eq\f（1,2）(eq\o（BD，\s\up6（→）)＋eq\o(BA，\s\up6(→)）)·eq\f(1,2)（eq\o（CB,\s\up6（→)）＋eq\o(CA，\s\up6（→）)）＝eq\f（1，4)［eq\o（BD,\s\up6（→））·(－eq\o（BC,\s\up6（→）))＋eq\o(BA，\s\up6(→)）·（－eq\o（BC,\s\up6(→)）)＋eq\o(BD,\s\up6（→)）·eq\o（CA，\s\up6（→))＋eq\o（BA,\s\up6（→）)·eq\o（CA,\s\up6(→）)］＝eq\f（1，4)［－eq\o（BD，\s\up6(→））·eq\o(BC，\s\up6(→））－eq\o（BA,\s\up6（→)）·eq\o(BC，\s\up6（→))＋（eq\o(CD，\s\up6(→)）－eq\o（CB,\s\up6（→））)·eq\o(CA，\s\up6(→）)＋eq\o（AB，\s\up6(→))·eq\o(AC，\s\up6（→)）］＝eq\f(1,4）[－eq\f(1,2)－eq\f（1，2）＋eq\f(1,2）－eq\f(1，2)＋eq\f(1,2)］＝－eq\f（1，8）.『規(guī)律總結(jié)』1?？臻g向量運算的兩種方法（1）利用定義：利用a·b＝|a｜｜b|cos〈a,b〉并結(jié)合運算律進(jìn)行計算．(2)利用圖形：計算兩個向量的數(shù)量積,可先將各向量移到同一頂點，利用圖形尋找夾角,再代入數(shù)量積公式進(jìn)行運算．2．在幾何體中求空間向量數(shù)量積的步驟（1)首先將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式．（2)利用向量的運算律將數(shù)量積展開，轉(zhuǎn)化為已知模和夾角的向量的數(shù)量積．（3)代入a·b＝|a｜|b｜cos〈a,b>求解．┃┃跟蹤練習(xí)1__■(湖南師大附中2019－2020學(xué)年高二期中）如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，底面是邊長為1的正方形，若∠A1AB＝∠A1AD＝60°,且A1A＝3，則A1C的長為A．eq\r（5) B．2eq\r(2）C．eq\r(14） D．eq\r(17)[解析]因為eq\o（A1C,\s\up6(→））＝eq\o(A1B1,\s\up6（→))＋eq\o(A1D1,\s\up6（→）)＋eq\o（A1A,\s\up6(→))，所以｜eq\o(A1C,\s\up6(→））|2＝(eq\o（A1B1，\s\up6(→）)＋eq\o(A1D1，\s\up6(→）)＋eq\o（A1A，\s\up6(→)）)2＝｜eq\o（A1B1，\s\up6（→））|2＋|eq\o(A1D1，\s\up6(→))|2＋｜eq\o（A1A，\s\up6（→))|2＋2(eq\o（A1B1，\s\up6（→））·eq\o（A1D1，\s\up6(→）)＋eq\o（A1B1,\s\up6（→))·eq\o(A1A,\s\up6(→））＋eq\o（A1D1,\s\up6(→))·eq\o(A1A，\s\up6（→)））＝1＋1＋9＋2(0＋1×3×cos120°＋1×3×cos120°)＝5，故A1C的長為eq\r（5），故選A．命題方向?利用數(shù)量積求夾角和模典例2如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°,棱AA1＝2,點N為AA1的中點．(1)求eq\o（BN,\s\up6（→)）的長；（2）求cos〈eq\o(BA1,\s\up6（→)）,eq\o（CB1，\s\up6(→)）〉的值．[規(guī)范解答]（1）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA∴AB＝eq\r（2），eq\o(BN，\s\up6(→))＝eq\o（BA,\s\up6（→）)＋eq\o（AN,\s\up6（→）)，eq\o(BN，\s\up6（→))2＝（eq\o（BA,\s\up6(→））＋eq\f(1,2)eq\o(AA1，\s\up6（→)））2＝eq\o（BA，\s\up6（→)）2＋eq\o（BA,\s\up6(→)）·eq\o（AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AA1,\s\up6（→)）2＝2＋eq\f(1,4)×4＝3.∴｜eq\o(BN，\s\up6（→))|＝eq\r(3)。(2)eq\o（BA1,\s\up6(→))·eq\o（CB1,\s\up6(→）)＝(eq\o（BA，\s\up6（→））＋eq\o（BB1,\s\up6（→）)）(eq\o（CB,\s\up6(→))＋eq\o（CC1，\s\up6(→）)）＝eq\o(BA,\s\up6（→）)·eq\o(CB，\s\up6（→)）＋eq\o（BA，\s\up6(→））·eq\o（CC1,\s\up6(→)）＋eq\o（BB1,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6（→)）＋eq\o(BB1,\s\up6(→））·eq\o(CC1，\s\up6（→）），eq\o（BA，\s\up6(→）)·eq\o(CB,\s\up6(→))＝｜eq\o(BA,\s\up6（→)）||eq\o(CB,\s\up6（→））|·cos(π－∠ABC)＝eq\r（2）×1×cos135°＝－1,eq\o（BA，\s\up6(→))·eq\o（CC1，\s\up6(→))＝0，eq\o（BB1,\s\up6(→）)·eq\o(CB，\s\up6(→））＝0，eq\o(BB1,\s\up6（→))·eq\o(CC1,\s\up6（→）)＝4，∴eq\o（BA1，\s\up6（→）)·eq\o(CB1,\s\up6（→）)＝－1＋0＋0＋4＝3,|eq\o(BA1,\s\up6（→))｜·|eq\o（CB1,\s\up6(→))｜＝eq\r（6）·eq\r(5)＝eq\r（30)∴cos<eq\o(BA1，\s\up6（→）），eq\o（CB1，\s\up6(→)）〉＝eq\f(3，\r（30）)＝eq\f（\r（30）,10)?！阂?guī)律總結(jié)』1.空間向量中，求兩向量夾角與平面向量求法完全相同，都是應(yīng)用公式cos〈a，b〉＝eq\f（a·b,|a｜·|b｜），解題的關(guān)鍵就是求a·b和|a｜、｜b|.求模時主要應(yīng)用|a｜2＝a·a解決．2．在幾何圖形中計算兩向量的數(shù)量積時，關(guān)鍵是弄清兩向量的夾角，特別注意在△ABC中，〈eq\o(AB，\s\up6（→))，eq\o（BC，\s\up6(→)）〉＝π－∠ABC.┃┃跟蹤練習(xí)2__■如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，求異面直線A1B與AC所成的角[解析]不妨設(shè)正方體的棱長為1，設(shè)eq\o(AB，\s\up6(→)）＝a，eq\o(AD，\s\up6(→)）＝b,eq\o（AA1，\s\up6（→))＝c,則|a｜＝｜b|＝｜c｜＝1，a·b＝b·c＝c·a＝0,eq\o（A1B,\s\up6（→）)＝a－c，eq\o(AC,\s\up6(→)）＝a＋b?！鄀q\o(A1B，\s\up6(→））·eq\o（AC，\s\up6（→）)＝(a－c)·（a＋b）＝｜a｜2＋a·b－a·c－b·c＝1，而|eq\o（A1B，\s\up6（→))｜＝｜eq\o(AC,\s\up6（→))|＝eq\r(2).∴cos〈eq\o（A1B，\s\up6(→)），eq\o（AC，\s\up6(→）)〉＝eq\f（1,\r(2）×\r(2))＝eq\f(1,2),又∵〈eq\o（A1B,\s\up6（→)）,eq\o（AC，\s\up6（→)）〉∈[0,π]，∴〈eq\o(A1B,\s\up6(→）），eq\o（AC,\s\up6(→）)〉＝60°.因此，異面直線A1B與AC所成的角為60°.命題方向?利用數(shù)量積解決垂直問題典例3已知三棱錐O－ABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC.M、N分別是OA、BC的中點，G是MN的中點,求證：OG⊥BC。[思路分析]要證OG⊥BC,只要證eq\o(OG，\s\up6(→）)·eq\o（BC，\s\up6（→))＝0，關(guān)鍵是把eq\o（OG,\s\up6（→))、eq\o(BC，\s\up6（→))用一組基向量eq\o（OA，\s\up6(→）)、eq\o（OB,\s\up6（→））、eq\o（OC，\s\up6（→））表示出來．[規(guī)范解答]如圖所示，連接ON，設(shè)∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ,又設(shè)eq\o（OA,\s\up6（→））＝a，eq\o(OB，\s\up6(→））＝b，eq\o（OC,\s\up6（→))＝c,則｜a｜＝｜b｜＝|c｜，∴a·b＝b·c＝a·c＝｜a|2cosθ，又eq\o(OG，\s\up6(→)）＝eq\f（1，2）(eq\o（OM,\s\up6（→）)＋eq\o（ON，\s\up6（→)）)＝eq\f（1，2)[eq\f（1,2)eq\o(OA,\s\up6(→)）＋eq\f(1，2）（eq\o（OB，\s\up6(→））＋eq\o（OC,\s\up6（→））)］＝eq\f(1,4)（a＋b＋c）．eq\o(BC，\s\up6(→）)＝c－b,∴eq\o（OG，\s\up6（→））·eq\o（BC,\s\up6（→）)＝eq\f（1,4)(a＋b＋c)（c－b)，＝eq\f(1，4）（a·c－a·b－b2＋c2)＝0.∴OG⊥BC.『規(guī)律總結(jié)』證明兩直線垂直，求兩直線夾角，其關(guān)鍵環(huán)節(jié)都是取兩直線的方向向量，將其用一組容易求數(shù)量積的不共面向量線性表示，證明兩直線垂直，即證兩直線方向向量的數(shù)量積為0；求兩直線夾角利用兩向量的夾角公式求解，需注意兩向量夾角范圍是［0,π]．┃┃跟蹤練習(xí)3__■已知空間四邊形OABC中，M、N、P、Q分別為BC、AC、OA、OB的中點，若AB＝OC，求證：PM⊥QN。[證明］如圖，設(shè)eq\o（OA，\s\up6(→))＝a，eq\o（OB,\s\up6（→)）＝b，eq\o(OC，\s\up6(→))＝c,又P、M分別為OA，BC的中點．∴eq\o（PM,\s\up6（→）)＝eq\o(OM,\s\up6（→))－eq\o(OP，\s\up6(→）)＝eq\f（1,2)（b＋c）－eq\f(1，2)a＝eq\f(1,2）[（b－a）＋c］．同理，eq\o（QN,\s\up6（→））＝eq\f(1,2）(a＋c）－eq\f（1,2)b＝－eq\f（1,2)［（b－a)－c］．∴eq\o(PM,\s\up6（→)）·eq\o（QN，\s\up6(→))＝－eq\f(1,4)[｜b－a|2－｜c｜2]，又AB＝OC，即｜b－a|＝|c｜.∴eq\o(PM，\s\up6(→））·eq\o(QN，\s\up6（→)）＝0.∴eq\o(PM，\s\up6(→)）⊥eq\o（QN，\s\up6（→)），即PM⊥QN.命題方向?空間向量基本定理及其應(yīng)用典例4如圖所示，空間四邊形OABC中，G、H分別是ABC、△OBC的重心，設(shè)eq\o(OA，\s\up6(→））＝a，eq\o(OB，\s\up6（→））＝b，eq\o(OC,\s\up6(→)）＝c,用向量a、b、c表示向量eq\o(GH,\s\up6（→)).[思路分析］要用向量a、b、c表示向量eq\o（GH,\s\up6（→)），就是要找到一組有序?qū)崝?shù)x、y、z，使eq\o(GH，\s\up6（→））＝xa＋yb＋zc,可從eq\o(GH,\s\up6(→))入手，按向量加減運算的三角形法則及其線性運算性質(zhì)，利用線性運算逐步向a，b,c靠攏．［規(guī)范解答］∵eq\o（OG，\s\up6(→)）＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AG，\s\up6（→))＝eq\o(OA，\s\up6(→））＋eq\f(2，3）eq\o（AD,\s\up6(→)）＝eq\o（OA，\s\up6（→))＋eq\f（2，3）·(eq\o(OD，\s\up6（→））－eq\o(OA，\s\up6(→))）＝eq\f(1，3)eq\o(OA，\s\up6（→））＋eq\f(2,3）eq\o(OD,\s\up6(→）)＝eq\f（1，3）eq\o（OA,\s\up6(→))＋eq\f(2，3）·eq\f(1,2）(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o（OC，\s\up6(→)）)＝eq\f(1,3)（a＋b＋c）,又eq\o（OH,\s\up6（→））＝eq\f（2，3)eq\o(OD，\s\up6（→))＝eq\f(2,3)×eq\f（1,2）（eq\o（OB，\s\up6（→))＋eq\o（OC,\s\up6（→）))＝eq\f(1,3）(b＋c）,∴eq\o(GH,\s\up6(→)）＝eq\o（OH,\s\up6（→)）－eq\o(OG，\s\up6（→））＝eq\f（1,3）（b＋c）－eq\f（1，3）(a＋b＋c)＝－eq\f(1,3）a。『規(guī)律總結(jié)』1.用基底表示空間向量，一般要結(jié)合圖形用向量的加法、減法的三角形法則、平行四邊形法則及數(shù)乘的運算法則,逐步向基向量過渡,直到全部用基向量表示．2．若a、b、c不共面，則對空間任一向量p，p＝xa＋yb＋zc,（x、y、z)是唯一的．┃┃跟蹤練習(xí)4__■如圖,在三棱柱ABC－A′B′C′中，已知eq\o(AA′，\s\up6(→）)＝a,eq\o（AB，\s\up6(→））＝b,eq\o(AC,\s\up6(→））＝c，點M、N分別是BC′、B′C′的中點，試用基底{a,b，c}表示向量eq\o(AM，\s\up6（→)）,eq\o（AN，\s\up6(→）).[解析]eq\o(AM,\s\up6(→))＝Aeq\o(B，\s\up6(→））＋Beq\o(M,\s\up6(→)）＝eq\o（AB,\s\up6(→））＋eq\f(1,2）eq\o（BC′,\s\up6(→）)＝eq\o（AB，\s\up6（→))＋eq\f(1,2)(eq\o（BB′,\s\up6(→）)＋eq\o（BC,\s\up6(→）)）＝eq\o(AB，\s\up6（→)）＋eq\f（1，2)eq\o（AA′，\s\up6（→）)＋eq\f（1，2)(Aeq\o(C，\s\up6(→））－eq\o（AB，\s\up6(→）)）＝eq\f(1，2）Aeq\o(B，\s\up6（→））＋eq\f（1,2）eq\o（AA′,\s\up6(→）)＋eq\f(1，2）eq\o(AC，\s\up6(→）)＝eq\f（1，2）(a＋b＋c)eq\o(AN,\s\up6（→））＝eq\o（AB′，\s\up6（→）)＋eq\o（B′N，\s\up6（→）)＝eq\o(AB′,\s\up6（→))＋eq\f（1,2)eq\o(B′C′，\s\up6(→））＝eq\o(AB，\s\up6(→）)＋eq\o（AA′,\s\up6(→))＋eq\f（1，2）（eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)））＝eq\f(1，2)Aeq\o(B,\s\up6(→))＋eq\o(AA′，\s\up6(→）)＋eq\f（1，2)eq\o(AC，\s\up6（→)）＝a＋eq\f(1，2)b＋eq\f（1,2）c。學(xué)科核心素養(yǎng)空間向量的坐標(biāo)表示1．建立空間直角坐標(biāo)系時，必須尋求三條兩兩垂直的直線．2．空間向量坐標(biāo)表示的方法與步驟：(1）觀圖形：充分觀察圖形特征．（2)建坐標(biāo)系:根據(jù)圖形特征建立空間直角坐標(biāo)系．(3)用運算：綜合利用向量的加減及數(shù)乘運算．（4)定結(jié)果:將所求向量用已知的基底向量表示出來確定坐標(biāo)．典例5棱長為1的正方體ABCD－A′B′C′D′中，E、F、G分別為棱DD′、D′C′、BC的中點,以｛eq\o(AB，\s\up6（→）)，eq\o（AD,\s\up6(→))，eq\o（AA′，\s\up6（→)）}為基底，求下列向量的坐標(biāo)．(1)eq\o(AE,\s\up6(→）)、eq\o(AG，\s\up6(→))、eq\o(AF,\s\up6（→));（2)eq\o(EF,\s\up6（→）)、eq\o（EG,\s\up6（→))、eq\o（DG,\s\up6（→)）。[思路分析］若向量a可以用基向量e1、e2、e3表示為a＝xe1＋ye2＋ze3，則(x，y，z）就是a在基底｛e1，e2,e3}下的坐標(biāo)．[規(guī)范解答](1)eq\o(AE，\s\up6(→)）＝eq\o(AD，\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6（→)）＝eq\o（AD,\s\up6(→）)＋eq\f（1,2)eq\o(DD′，\s\up6（→)）＝eq\o(AD，\s\up6(→））＋eq\f(1，2）eq\o(AA′,\s\up6（→））＝（0，1，eq\f(1,2）），eq\o（AG，\s\up6(→))＝eq\o（AB,\s\up6(→））＋eq\o(BG，\s\up6（→））＝eq\o（AB,\s\up6(→)）＋eq\f（1，2)eq\o（AD,\s\up6(→)）＝（1，eq\f(1，2)，0），eq\o(AF，\s\up6(→))＝eq\o(AA′,\s\up6（→)）＋eq\o（A′D′,\s\up6（→）)＋eq\o（D′F,\s\up6（→）)＝eq\o（AA′,\s\up6(→)）＋eq\o（AD,\s\up6（→)）＋eq\f(1，2)eq\o（AB，\s\up6(→））＝(eq\f（1,2)，1,1)．（2)eq\o(EF,\s\up6（→)）＝eq\o(AF，\s\up6（→))－eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\o(AA′,\s\up6(→）)＋\o(AD，\s\up6（→））＋\f（1,2)\o(AB，\s\up6（→))））－eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\o(AD,\s\up6（→)）＋\f(1，2)\o(AA′,\s\up6（→））))＝eq\f（1,2)eq\o(AA′,\s\up6（→）)＋eq\f(1,2）eq\o（AB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0,\f(1,2）））,eq\o（EG，\s\up6(→））＝eq\o（AG,\s\up6(→)）－eq\o(AE，\s\up6（→))＝(eq\o（AB,\s\up6（→）)＋eq\f（1,2）eq\o(AD,\s\up6(→）））－eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\o（AD，\s\up6（→））＋\f(1，2)\o(AA′，\s\up6(→))）)＝eq\o（AB，\s\up6（→）)－eq\f(1，2)eq\o(AD，\s\up6（→））－eq\f（1,2）eq\o(AA′,\s\up6(→））＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(1,－\f(1，2)，－\f（1，2)）)，eq\o（DG，\s\up6(→)）＝eq\o(AG，\s\up6（→））－eq\o(AD,\s\up6(→)）＝eq\o（AB,\s\up6（→))＋eq\f(1,2）eq\o(AD,\s\up6(→)）－eq\o(AD,\s\up6(→））＝eq\o（AB，\s\up6(→)）－eq\f(1,2)eq\o（AD,\s\up6(→)）＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(1，－\f(1,2），0））.『規(guī)律總結(jié)』1。求a在單位正交基底下的坐標(biāo)，關(guān)鍵先依據(jù)條件結(jié)合圖形建立空間直角坐標(biāo)系，將a表示為a＝xe1＋ye2＋ze3,則a的坐標(biāo)為(x，y，z)．2.eq\o（AB,\s\up6(→））的坐標(biāo)等于終點B的坐標(biāo)減去起點A的坐標(biāo)．┃┃跟蹤練習(xí)5__■已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分別是AB，PC的三等分點，且PN＝2NC，AM＝2MB，PA＝AB＝1，求eq\o(MN,\s\up6（→））的坐標(biāo)．[分析]求eq\o(MN，\s\up6（→））坐標(biāo)的關(guān)鍵是設(shè)法利用正交基底的向量表示向量eq\o(MN，\s\up6(→)）。［解析］因為PA＝AB＝AD＝1,且PA垂直于平面ABCD,AD⊥AB，所以可設(shè)eq\o（AD，\s\up6（→））＝i，eq\o（AB,\s\up6（→))＝j(luò),eq\o（AP,\s\up6（→）)＝k。以{i，j,k}為單位正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．因為eq\o(MN，\s\up6（→))＝eq\o（MA，\s\up6（→))＋eq\o(AP,\s\up6（→））＋eq\o（PN，\s\up6（→））＝－eq\f(2，3)Aeq\o(B，\s\up6(→））＋Aeq\o（P,\s\up6（→））＋eq\f（2，3）Peq\o(C，\s\up6（→））＝－eq\f（2，3）Aeq\o（B,\s\up6(→））＋Aeq\o(P,\s\up6(→)）＋eq\f（2,3)(－eq\o(AP,\s\up6(→)）＋Aeq\o(D，\s\up6（→))＋Aeq\o(B,\s\up6（→）)）＝eq\f（1，3)Aeq\o（P，\s\up6（→)）＋eq\f（2，3）Aeq\o(D,\s\up6(→))＝eq\f（2，3)i＋eq\f（1,3)k所以eq\o(MN,\s\up6（→）)＝(eq\f（2，3)，0，eq\f(1，3）)．易混易錯警示典例6在四面體OABC中，各棱