2020秋高中數(shù)學(xué)人教版2-13.2.1空間向量與平行關(guān)系含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2020秋高中數(shù)學(xué)人教A版選修2-1課時作業(yè)：3.2.1空間向量與平行關(guān)系含解析第三章3。2第1課時請同學(xué)們認(rèn)真完成練案[23]A級基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．若直線l的方向向量為a＝(1,0,2)，平面α的法向量為u＝（－2，0，－4），則（B）A．l∥α B．l⊥αC．l?α D．l與α斜交[解析］∵u＝－2a，∴u∥a，∴l(xiāng)⊥α2．已知A(1,－3,5），B（－1，－1,4)是直線l上兩點(diǎn)，則下列可作為直線l的方向向量的是(B)A．（1，1,0） B．（4,－4,2)C．(－3，－3，0) D．(4,4,2)3．已知向量n＝（2，3，－1）是平面α的一個法向量，則下列向量中能作為平面α的法向量的是(D)A．(0，3，－1） B．(2,0，－1)C．（－2,3，－1) D．(－2，－3,1)4．在如圖所示的坐標(biāo)系中，ABCD－A1B1C1D1為正方體，給出下列結(jié)論①直線DD1的一個方向向量為（0，0,1)；②直線BC1的一個方向向量為（0，1,1）；③平面ABB1A1的一個法向量為（0,1,0④平面B1CD的一個法向量為（1,1，1)．其中正確的個數(shù)為(C)A．1個 B．2個C．3個 D．4個[解析]DD1∥AA1，eq\o(AA1，\s\up6（→））＝（0,0，1）；BC1∥AD1，eq\o（AD1，\s\up6（→））＝（0,1,1），直線AD⊥平面ABB1A1，eq\o（AD，\s\up6(→）)＝（0,1,0)；C1點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1，1),eq\o(AC1，\s\up6(→)）與平面B1CD不垂直,∴④錯．5．已知向量a＝（2，4,5)、b＝(5，x，y）分別是直線l1、l2的方向向量，若l1∥l2,則（D)A．x＝6，y＝15 B．x＝3，y＝eq\f（15，2）C．x＝10，y＝15 D．x＝10，y＝eq\f（25,2)［解析］∵l1∥l2，∴a∥b，∴eq\f（5,2）＝eq\f(x，4）＝eq\f（y,5），∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝10，y＝\f(25，2）)）.6．設(shè)平面α的法向量為(1,2,－2)，平面β的法向量為（－2，－4，k），若α∥β，則k＝（C)A．2 B．－4C．4 D．－2［解析］∵α∥β,∴eq\f（1，－2)＝eq\f（2，－4)＝eq\f（－2,k）,∴k＝4，故選C．二、填空題7．已知A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（1，2,3）、B（2，－1,1）、C（3,λ，λ），若eq\o（AB,\s\up6（→))⊥eq\o（AC,\s\up6(→）),則λ等于__eq\f（14，5）__。[解析］eq\o(AB，\s\up6（→））＝(1,－3，－2)、eq\o(AC,\s\up6(→))＝（2，λ－2,λ－3）,∵eq\o（AB，\s\up6（→)）⊥eq\o(AC,\s\up6(→）），∴eq\o(AB,\s\up6(→)）·eq\o(AC，\s\up6（→))＝0，∴2－3（λ－2)－2（λ－3）＝0，解得λ＝eq\f(14,5）。8．已知直線l的方向向量為u＝（2，0，－1)，平面α的一個法向量為v＝(－2,1，－4）,則l與α的位置關(guān)系為__l∥α或l?α__。［解析］u·v＝2×（－2)＋0×1＋（－1)×(－4）＝0，∴l(xiāng)∥α或l?α.三、解答題9．設(shè)a、b分別是不重合的直線l1、l2的方向向量，根據(jù)下列條件判斷l(xiāng)1,l2的位置關(guān)系:（1）a＝(4,6，－2)、b＝（－2，－3，1)；(2)a＝（5,0,2)、b＝（0,1，0）;(3)a＝（－2,－1,－1）、b＝(4，－2，－8）．[解析］（1)∵a＝(4,6，－2）、b＝(－2，－3,1），∴a＝－2b，∴a∥b，∴l(xiāng)1∥l2.(2)∵a＝（5，0，2）、b＝(0,1,0),∴a·b＝0，a⊥b,∴l(xiāng)1⊥l2。（3）∵a＝（－2,－1，－1），b＝（4，－2,－8），∴a與b不共線也不垂直．∴l(xiāng)1與l2相交或異面．10．如圖，在四棱錐P－ABCD中,底面ABCD是邊長為1的菱形，∠ABC＝eq\f（π,4)，PA⊥底面ABCD,PA＝2，點(diǎn)M為PA的中點(diǎn)，點(diǎn)N為BC的中點(diǎn)．AF⊥CD于F，如圖建立空間直角坐標(biāo)系．求出平面PCD的一個法向量并證明MN∥平面PCD。［解析]由題設(shè)知：在Rt△AFD中,AF＝FD＝eq\f(\r（2）,2)，A（0,0,0),B（1,0，0），F(xiàn)eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（0，\f(\r(2）,2）,0）)，Deq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f（\r（2),2),\f(\r(2）,2),0）)，P（0,0,2），M（0，0,1）,Neq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(1－\f(\r(2)，4)，\f(\r（2)，4）,0)）.eq\o（MN,\s\up6(→）)＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(1－\f(\r（2)，4)，\f（\r（2），4)，－1)），eq\o(PF,\s\up6（→））＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(0，\f（\r(2)，2）,－2))。eq\o（PD，\s\up6(→））＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f(\r(2），2），\f(\r（2)，2),－2））設(shè)平面PCD的一個法向量為n＝(x，y，z),則eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(n·\o(PF，\s\up6(→))＝0，,n·\o(PD,\s\up6(→)）＝0))?eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（\f(\r（2)，2）y－2z＝0,，－\f(\r（2)，2)x＋\f（\r(2）,2)y－2z＝0，)）令z＝eq\r(2),得n＝(0，4，eq\r（2)）．因?yàn)閑q\o(MN,\s\up6(→）)·n＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(1－\f（\r（2），4)，\f(\r（2),4），－1)）·(0，4,eq\r（2）)＝0，又MN?平面PCD，所以MN∥平面PCD.B級素養(yǎng)提升一、選擇題1．兩個不重合平面的法向量分別為v1＝(1,0,－1)、v2＝(－2,0,2），則這兩個平面的位置關(guān)系是（A）A．平行 B．相交不垂直C．垂直 D．以上都不對［解析]∵v1＝(1，0，－1)，v2＝（－2,0,2），∴v2＝－2v1，∴v1∥v2，∴兩個平面平行．2．已知點(diǎn)A(4，1,3)、B(2，－5，1），C為線段AB上一點(diǎn)且eq\f(｜\o(AC，\s\up6（→)）|,|\o(AB，\s\up6（→））｜)＝eq\f（1，3），則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（C)A．eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(7,2)，－\f(1,2），\f（5,2)）) B．eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（3，8)，－3，2））C．eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10，3），－1，\f（7,3）)) D．eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，－\f（7,2），\f（3，2)））［解析]∵C在線段AB上，∴eq\o(AC，\s\up6（→)）∥eq\o（AB，\s\up6(→）),∴設(shè)C(x，y，z），則由eq\f（|\o(AC,\s\up6(→)）｜，|\o（AB，\s\up6（→）)｜）＝eq\f(1，3）得，（x－4，y－1,z－3)＝eq\f（1,3)(2－4，－5－1,1－3),即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x－4＝－\f(2，3)，y－1＝－2，z－3＝－\f（2,3))），解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝\f(10,3），y＝－1,z＝\f（7,3）)).故選C．3．(多選題)下面各組向量為直線l1與l2方向向量，則l1與l2平行的是(ABC）A．a(chǎn)＝（1，2，－2）、b＝(－2，－4,4)B．a(chǎn)＝(1,0，0)、b＝（－3,0,0）C．a(chǎn)＝（2,3，0）、b＝(4，6，0）D．a(chǎn)＝（－2，3，5）、b＝（－4，6，8）[解析]l1與l2不平行則其方向向量一定不共線．A中：b＝－2a，B中：b＝－3a，C中：b＝24．(多選題)對于任意空間向量a＝（a1,a2，a3)、b＝（b1，b2，b3)，則下列說法正確的是(CD)A．a(chǎn)∥b?eq\f(a1，b1)＝eq\f(a2，b2）＝eq\f（a3，b3)B．若a1＝a2＝a3＝1，則a為單位向量C．a(chǎn)⊥b?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0D．若a為平面α的法向量，則向量（ka1,ka2，ka3)（k為非零實(shí)數(shù)），也為平面α的法向量[解析］由eq\f(a1,b1）＝eq\f(a2，b2)＝eq\f(a3,b3）?a∥b，反之不一定成立,故A不正確；B顯然錯誤；CD是正確的,故選CD．二、填空題5．過點(diǎn)A(1，0,0)、B（0,1,0）、C(0,0,1)的平面的一個法向量為__(1,1，1）__.［解析]設(shè)法向量n＝（x，y,1)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AB，\s\up6(→）)＝0,n·\o（AC，\s\up6（→)）＝0)），得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（－x＋y＝0，－x＋1＝0）），∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝1，y＝1))?！鄋＝(1,1,1）．6．在空間直角坐標(biāo)系O－xyz中,已知A（1，－2,3)、B(2,1，－1），向量eq\o（AB,\s\up6（→)）的坐標(biāo)為__(1,3，－4)__，若直線AB交平面xOz于點(diǎn)C，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為__eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(5,3),0,\f（1,3）)）__.[解析］設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x，0，z)，則eq\o(AC，\s\up6(→）)＝(x－1,2,z－3），eq\o(AB,\s\up6(→)）＝（1，3，－4)，因?yàn)閑q\o（AC,\s\up6(→））與eq\o（AB，\s\up6（→））共線,所以eq\f（x－1,1）＝eq\f（2，3）＝eq\f(z－3，－4），解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝\f(5,3）,z＝\f(1，3)）)，所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為（eq\f（5,3）,0,eq\f(1,3)）．三、解答題7．如圖，已知P是正方形ABCD所在平面外一點(diǎn)，M、N分別是PA、BD上的點(diǎn),且PM：MA＝BN：ND＝5：8。求證:直線MN∥平面PBC。[證明］eq\o（MN,\s\up6(→）)＝eq\o(MP,\s\up6(→）)＋eq\o(PB，\s\up6（→））＋eq\o（BN,\s\up6(→））＝－eq\o(PM,\s\up6（→）)＋eq\o(PB,\s\up6(→)）＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝－eq\f(5，13）eq\o（PA,\s\up6(→)）＋eq\o（PB,\s\up6(→)）＋eq\f（5，13）eq\o（BD，\s\up6(→））＝－eq\f（5,13）(eq\o（BA,\s\up6(→)）－eq\o（BP,\s\up6（→）)）＋eq\o(PB，\s\up6(→)）＋eq\f（5，13）(eq\o(BA,\s\up6(→）)＋eq\o(BC，\s\up6(→)））＝eq\f(5，13)eq\o(BP，\s\up6（→））－eq\o（BP，\s\up6(→）)＋eq\f（5，13)eq\o（BC，\s\up6(→））＝eq\f(5,13）eq\o(BC，\s\up6（→)）－eq\f（8，13)eq\o(BP,\s\up6（→)），∴eq\o(MN,\s\up6(→）)與eq\o(BC，\s\up6(→)）、eq\o(BP，\s\up6（→））共面，∴eq\o(MN，\s\up6（→))∥平面BCP，∵M(jìn)N?平面BCP，∴MN∥平面BCP.8．已知三棱錐P－ABC，D、E、F分別為棱PA、PB、PC的中點(diǎn),求證：平面DEF∥平面ABC.［證明]證法一：如圖．設(shè)eq\o（PD，\s\up6(→)）＝a，eq\o(PE,\s\up6(→)）＝b,eq\o（PF，\s\up6(→）)＝c，則由條件知，eq\o（PA，\s\up6(→)）＝2a，eq\o(PB，\s\up6（→）)＝2b，eq\o（PC，\s\up6（→））＝2c，設(shè)平面DEF的法向量為n，則n·eq\o（DE,\s\up6（→））＝0,n·eq\o（DF，\s\up6（→）)＝0，∴n·（b－a）＝0,n·（c－a）＝0，∴n·eq\o（AB,\s\up6（→））＝n·(eq\o（PB,\s\up6（→)）－eq\o（PA，\s\up6(→)）)＝n·（2b－2a)＝0，n·eq\o（AC，\s\up6（→））＝n·(eq\o(PC,\s\up6（→))－eq\o(PA，\s\up6(→））)＝n·(2c－2a）＝0，∴n⊥eq\o(AB,\s\up6（→）),n