年中考數(shù)學(xué)壓軸題之圓題例題(完整版)資料

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年中考數(shù)學(xué)壓軸題之圓題例題（完整版）資料(可以直接使用，可編輯優(yōu)秀版資料，歡迎下載）廣東中考數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練（二）：幾何綜合題（圓題）例題訓(xùn)練1．如圖，⊙O為ABC外接圓，BC為⊙O直徑，BC=4．點(diǎn)D在⊙O上，連接OA、CD和BD，AC與BD交于點(diǎn)E，并作AF⊥BC交BD于點(diǎn)G，點(diǎn)G為BE中點(diǎn)，連接OG．（1）求證：OA∥CD；（2）若∠DBC=2∠DBA，求BD的長(zhǎng)；（3）求證：FG=．2．如圖，⊙O為ABC外接圓，AB為⊙O直徑，AB=4．⊙O切線CD交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，∠ACB平分線交⊙O于點(diǎn)E，并以DC為邊向下作∠DCF=∠CAB交⊙O于點(diǎn)F，連接AF．（1）求證：∠DCF=∠D+∠B；（2）若AF=，AD=，求線段AC的長(zhǎng)；（3）若CE=+，求證：AB⊥CF．3．如圖，⊙O為ABC外接圓，BC為⊙O直徑．作=，連接AD、CD和BD，AB與CD交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作⊙O切線，并作點(diǎn)E作EF⊥DC交切線于點(diǎn)G．（1）求證：∠DAC=∠G+90°；（2）求證：CF=GF；（3）若=，求證：AE=DE．4．如圖，⊙O為ABC外接圓，AB為⊙O直徑．連接CO，并作AD∥CO交⊙O于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作⊙O切線DE交CO延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接BE，作AF⊥CO交BC于點(diǎn)G，交BE于點(diǎn)H，連接OG．（1）若CF=2，OF=3，求AC的長(zhǎng)；（2）求證：BE是⊙O的切線；（3）若=，求證：OG⊥AB．一線三等角相似三角形判定的基本模型A字型X字型反A字型反8字型母子型旋轉(zhuǎn)型雙垂直三垂直相似三角形判定的變化模型一線三等角型相似三角形三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等邊三角形為背景，一個(gè)與等腰三角形的底角相等的頂點(diǎn)在底邊所在的直線上，角的兩邊分別與等腰三角形的兩邊相交如圖所示：等角的頂點(diǎn)在底邊上的位置不同得到的相似三角形的結(jié)論也不同，當(dāng)頂點(diǎn)移動(dòng)到底邊的延長(zhǎng)線時(shí)，形成變式圖形，圖形雖然變化但是求證的方法不變。此規(guī)律需通過(guò)認(rèn)真做題，細(xì)細(xì)體會(huì)。CACADBEF【例1】如圖，等邊△ABC中，邊長(zhǎng)為6，D是BC上動(dòng)點(diǎn)，∠EDF=60°（1）求證：△BDE∽△CFD（2）當(dāng)BD=1，F(xiàn)C=3時(shí)，求BECCDEABF【例2】如圖，等腰△ABC中，AB=AC，D是BC中點(diǎn)，∠EDF=∠B，求證：△BDE∽△DFEABPCM【例3】如圖，在△ABC中，AB=AC=5cm，BC=8，點(diǎn)P為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），過(guò)點(diǎn)P作射線PM交AC于點(diǎn)M，使∠APMABPCM（1）求證：△ABP∽△PCM；（2）設(shè)BP=x，CM=y．求y與x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出函數(shù)的定義域．（3）當(dāng)△APM為等腰三角形時(shí)，求PB的長(zhǎng)．ABCPQ【例4】（1）在中，，，點(diǎn)、分別在射線、上（點(diǎn)不與點(diǎn)、點(diǎn)重合），且保持.ABCPQ①若點(diǎn)在線段上（如圖），且，求線段的長(zhǎng)；②若，，求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出函數(shù)的定義域；（2）正方形的邊長(zhǎng)為（如圖12），點(diǎn)、分別在直線、上（點(diǎn)不與點(diǎn)、點(diǎn)重合），且保持.ABCD圖12當(dāng)ABCD圖12AABC備用圖點(diǎn)評(píng)：此題是典型的圖形變式題，記住口訣：“圖形改變，方法不變”。動(dòng)點(diǎn)在線段上時(shí)，通過(guò)哪兩個(gè)三角形相似求解，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，還是找原來(lái)的兩個(gè)三角形，多數(shù)情況下這兩個(gè)三角形還是相似的，還是可以沿用原來(lái)的方法求解。【例5】已知：菱形ABCD,AB=4m,∠B=60°,點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)B、C出發(fā)，沿線段BC、CD以1m/s的速度向終點(diǎn)C、D運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（1）連接AP、AQ、PQ，試判斷△APQ的形狀，并說(shuō)明理由。（2）當(dāng)t=1秒時(shí)，連接AC，與PQ相交于點(diǎn)K.求AK的長(zhǎng)。（3）當(dāng)t=2秒時(shí)，連接AP、PQ,將∠APQ逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使角的兩邊與AB、AD、AC分別交于點(diǎn)E、N、F，連接EF.若AN=1,求S△EPF.【應(yīng)用】1.如圖，在平面直角坐標(biāo)中，四邊形OABC是等腰梯形，CB∥OA，OA=7，BC=1，AB=5，點(diǎn)P為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P不與點(diǎn)0、點(diǎn)A重合．連接CP，過(guò)點(diǎn)P作PD交AB于點(diǎn)D．

（1）直接寫(xiě)出點(diǎn)B的坐標(biāo)．

（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段OA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，使得∠CPD=∠OAB，且BD:AD=3:2，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．2、已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且BC=6，AB=DC=4，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)．（1）如圖，P為BC上的一點(diǎn)，且BP=2．求證：△BEP∽△CPD；（2）如果點(diǎn)P在BC邊上移動(dòng)（點(diǎn)P與點(diǎn)B、C不重合），且滿足∠EPF=∠C，PF交直線CD于點(diǎn)F，同時(shí)交直線AD于點(diǎn)M，那么①當(dāng)點(diǎn)F在線段CD的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)BP=，DF=，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出函數(shù)的定義域；②當(dāng)時(shí)，求BP的長(zhǎng)．EDEDCBA（備用圖）EDCBAP（第25題圖）模型訓(xùn)練：ABCDE如圖，在△ABC中，，，是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，且．ABCDE(1)求證：△ABD∽△DCE；(2)如果，，求與的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出自變量的定義域；(3)當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，試說(shuō)明△ADE是什么三角形，并說(shuō)明理由．已知：如圖，在△ABC中，，，點(diǎn)D在邊AB上，，點(diǎn)E在邊BC上．又點(diǎn)F在邊AC上，且．(1)求證：△FCE∽△EBD；(2)當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否有可能使．如果有可能，那么求出BD的長(zhǎng)．如果不可能請(qǐng)說(shuō)明理由．如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，P是BC上一點(diǎn)，且BP=2，將一個(gè)大小與∠B相等的角的頂點(diǎn)放在P點(diǎn)，然后將這個(gè)角繞P點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，使角的兩邊始終分別與AB、AC相交，交點(diǎn)為D、E。（1）求證△BPD∽△CEP（2）是否存在這樣的位置，△PDE為直角三角形？CPEACPEABDAABCDEF如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，P是BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與B、C不重合)，PE⊥AB與E，PF⊥BC交AC與F，設(shè)PC=x，記PE=，PF=CPEABFCPEABF（2）△PEF能為直角三角形嗎?若能，求出CP的長(zhǎng)，若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由。已知在等腰三角形中，，是的中點(diǎn)，是上的動(dòng)點(diǎn)（不與、重合），連結(jié)，過(guò)點(diǎn)作射線，使，射線交射線于點(diǎn)，交射線于點(diǎn).（1）求證：∽；（2）設(shè).①用含的代數(shù)式表示；②求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出的定義域.CDABP已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且AD＝5，CDABP（1）如圖8，P為AD上的一點(diǎn)，滿足∠BPC＝∠A．①求證；△ABP∽△DPC②求AP的長(zhǎng)．（2）如果點(diǎn)P在AD邊上移動(dòng)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、D不重合），且滿足∠BPE＝∠A，PE交直線BC于點(diǎn)E，同時(shí)交直線DC于點(diǎn)Q，那么①當(dāng)點(diǎn)Q在線段DC的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)AP＝x，CQ＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出函數(shù)的定義域；②當(dāng)CE＝1時(shí)，寫(xiě)出AP的長(zhǎng)（不必寫(xiě)出解題過(guò)程）中考?jí)狠S題專題幾何（輔助線）精選1.如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90°，DE垂直平分AC，垂足為O，AD∥BC，且AB=3，BC=4，則AD的長(zhǎng)為．精選2．如圖，△ABC中，∠C＝60°，∠CAB與∠CBA的平分線AE，BF相交于點(diǎn)D，求證：DE＝DF．精選3.已知：如圖，⊙O的直徑AB=8cm，P是AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作⊙O的切線，切點(diǎn)為C，連接AC．若∠ACP=120°，求陰影部分的面積；(2)若點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，∠CPA的平分線交AC于點(diǎn)M，∠CMP的大小是否發(fā)生變化？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，求出∠CMP的度數(shù)。

精選4、如圖1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，點(diǎn)O是斜邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，以O(shè)A為半徑作⊙O與AC邊交于點(diǎn)P，（1）當(dāng)OA=時(shí)，求點(diǎn)O到BC的距離；（2）如圖1，當(dāng)OA=時(shí)，求證：直線BC與⊙O相切；此時(shí)線段AP的長(zhǎng)是多少？（3）若BC邊與⊙O有公共點(diǎn)，直接寫(xiě)出OA的取值范圍；（4）若CO平分∠ACB，則線段AP的長(zhǎng)是多少？．精選5．如圖，已知△ABC為等邊三角形，∠BDC＝120°，AD平分∠BDC，求證：BD+DC＝AD．精選6、已知矩形ABCD的一條邊AD=8，將矩形ABCD折疊，使得頂點(diǎn)B落在CD邊上的P點(diǎn)處．（第6題圖）（1）如圖1，已知折痕與邊BC交于點(diǎn)O，連結(jié)AP、OP、OA．①求證：△OCP∽△PDA；②若△OCP與△PDA的面積比為1：4，求邊AB的長(zhǎng)；（2）若圖1中的點(diǎn)P恰好是CD邊的中點(diǎn)，求∠OAB的度數(shù)；（3）如圖2，，擦去折痕AO、線段OP，連結(jié)BP．動(dòng)點(diǎn)M在線段AP上（點(diǎn)M與點(diǎn)P、A不重合），動(dòng)點(diǎn)N在線段AB的延長(zhǎng)線上，且BN=PM，連結(jié)MN交PB于點(diǎn)F，作ME⊥BP于點(diǎn)E．試問(wèn)當(dāng)點(diǎn)M、N在移動(dòng)過(guò)程中，線段EF的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？若變化，說(shuō)明理由；若不變，求出線段EF的長(zhǎng)度．

精選7、如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2，一個(gè)銳角等于60°的菱形紙片，小芳同學(xué)將一個(gè)三角形紙片的一個(gè)頂點(diǎn)與該菱形頂點(diǎn)D重合，按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)三角形紙片，使它的兩邊分別交CB、BA（或它們的延長(zhǎng)線）于點(diǎn)E、F，∠EDF=60°，當(dāng)CE=AF時(shí)，如圖1小芳同學(xué)得出的結(jié)論是DE=DF．（1）繼續(xù)旋轉(zhuǎn)三角形紙片，當(dāng)CE≠AF時(shí)，如圖2小芳的結(jié)論是否成立？若成立，加以證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）再次旋轉(zhuǎn)三角形紙片，當(dāng)點(diǎn)E、F分別在CB、BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖3請(qǐng)直接寫(xiě)出DE與DF的數(shù)量關(guān)系；（3）連EF，若△DEF的面積為y，CE=x，求y與x的關(guān)系式，并指出當(dāng)x為何值時(shí)，y有最小值，最小值是多少？

精選8、等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，點(diǎn)A、點(diǎn)B分別是x軸、y軸兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直角邊AC交x軸于點(diǎn)D，斜邊BC交y軸于點(diǎn)E；（1）如圖（1），若A（0，1），B（2，0），求C點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）如圖（2），當(dāng)?shù)妊黂t△ABC運(yùn)動(dòng)到使點(diǎn)D恰為AC中點(diǎn)時(shí)，連接DE，求證：∠ADB=∠CDE（3）如圖（3），在等腰Rt△ABC不斷運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，若滿足BD始終是∠ABC的平分線，試探究：線段OA、OD、BD三者之間是否存在某一固定的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

精選l1l2l3l4h3h2h1第題圖9．如圖，正方形的四個(gè)頂點(diǎn)分別在四條平行線、、l1l2l3l4h3h2h1第題圖求證：；（2）設(shè)正方形的面積為，求證：；（3）若，當(dāng)變化時(shí)，說(shuō)明正方形的面積隨的變化情況．

參考答案精選1解：∵Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，∴AC===5，∵DE垂直平分AC，垂足為O，∴OA=AC=，∠AOD=∠B=90°，∵AD∥BC，∴∠A=∠C，∴△AOD∽△CBA，∴=，即=，解得AD=．故答案為：．G精選2G證明：在AB上截取AG，使AG=AF，易證△ADF≌△ADG（SAS）．∴DF＝DG．∵∠C＝60°，AD，BD是角平分線，易證∠ADB=120°．∴∠ADF＝∠ADG＝∠BDG＝∠BDE＝60°．易證△BDE≌△BDG（ASA）．∴DE＝DG＝DF．精選3、解：（1）連接OC．∵PC為⊙O的切線，∴PC⊥OC．∴∠PCO=90度．∵∠ACP=120°∴∠ACO=30°∵OC=OA，∴∠A=∠ACO=30度．∴∠BOC=60°∵OC=4∴∴S陰影=S△OPC﹣S扇形BOC=；（2）∠CMP的大小不變，∠CMP=45°由（1）知∠BOC+∠OPC=90°∵PM平分∠APC∴∠APM=∠APC∵∠A=∠BOC∴∠PMC=∠A+∠APM=（∠BOC+∠OPC）=45°．精選4、解：（1）在Rt△ABE中，．（1分）過(guò)點(diǎn)O作OD⊥BC于點(diǎn)D，則OD∥AC，∴△ODB∽△ACB，∴，∴，∴，∴點(diǎn)O到BC的距離為．（3分）（2）證明：過(guò)點(diǎn)O作OE⊥BC于點(diǎn)E，OF⊥AC于點(diǎn)F，∵△OEB∽△ACB，∴∴，∴．∴直線BC與⊙O相切．（5分）此時(shí)，四邊形OECF為矩形，∴AF=AC﹣FC=3﹣=，∵OF⊥AC，∴AP=2AF=．（7分）（3）；（9分）（4）過(guò)點(diǎn)O作OG⊥AC于點(diǎn)G，OH⊥BC于點(diǎn)H，則四邊形OGCH是矩形，且AP=2AG，又∵CO平分∠ACB，∴OG=OH，∴矩形OGCH是正方形．（10分）設(shè)正方形OGCH的邊長(zhǎng)為x，則AG=3﹣x，∵OG∥BC，∵△AOG∽△ABC，∴，∴，∴，∴，∴AP=2AG=．（12分）精選5、證法1：（截長(zhǎng)）如圖，截DF=DB，易證△DBF為等邊三角，然后證△BDC≌△BFA即可；證法2：（截長(zhǎng)）如圖，截DF=DC，易證△DCF為等邊三角，然后證△BDC≌△AFC即可；證法3：（補(bǔ)短）如圖，延長(zhǎng)BD至F，使DF=DC，此時(shí)BD+DC=BD+DF=BF，易證△DCF為等邊△，再證△BCF≌△ACD即可．證法4：（四點(diǎn)共圓）兩組對(duì)角分別互補(bǔ)的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓．設(shè)AB＝AC＝BC＝a，根據(jù)（圓內(nèi)接四邊形）托勒密定理：CD·a＋BD·a＝AD·a，得證．精選6、解：（1）如圖1，①∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC，DC=AB，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°．由折疊可得：AP=AB，PO=BO，∠PAO=∠BAO．∠APO=∠B．∴∠APO=90°．∴∠APD=90°﹣∠CPO=∠POC．∵∠D=∠C，∠APD=∠POC．∴△OCP∽△PDA．②∵△OCP與△PDA的面積比為1：4，∴====．∴PD=2OC，PA=2OP，DA=2CP．∵AD=8，∴CP=4，BC=8．設(shè)OP=x，則OB=x，CO=8﹣x．在Rt△PCO中，∵∠C=90°，CP=4，OP=x，CO=8﹣x，∴x2=（8﹣x）2+42．解得：x=5．∴AB=AP=2OP=10．∴邊AB的長(zhǎng)為10．（2）如圖1，∵P是CD邊的中點(diǎn)，∴DP=DC．∵DC=AB，AB=AP，∴DP=AP．∵∠D=90°，∴sin∠DAP==．∴∠DAP=30°．∵∠DAB=90°，∠PAO=∠BAO，∠DAP=30°，∴∠OAB=30°．∴∠OAB的度數(shù)為30°．（3）作MQ∥AN，交PB于點(diǎn)Q，如圖2．∵AP=AB，MQ∥AN，∴∠APB=∠ABP，∠ABP=∠MQP．∴∠APB=∠MQP．∴MP=MQ．∵M(jìn)P=MQ，ME⊥PQ，∴PE=EQ=PQ．∵BN=PM，MP=MQ，∴BN=QM．∵M(jìn)Q∥AN，∴∠QMF=∠BNF．在△MFQ和△NFB中，．∴△MFQ≌△NFB．∴QF=BF．∴QF=QB．∴EF=EQ+QF=PQ+QB=PB．由（1）中的結(jié)論可得：PC=4，BC=8，∠C=90°．∴PB==4．∴EF=PB=2．∴在（1）的條件下，當(dāng)點(diǎn)M、N在移動(dòng)過(guò)程中，線段EF的長(zhǎng)度不變，長(zhǎng)度為2．

精選7、解：（1）DF=DE．理由如下：如答圖1，連接BD．∵四邊形ABCD是菱形，∴AD=AB．又∵∠A=60°，∴△ABD是等邊三角形，∴AD=BD，∠ADB=60°，∴∠DBE=∠A=60°∵∠EDF=60°，∴∠ADF=∠BDE．∵在△ADF與△BDE中，，∴△ADF≌△BDE（ASA），∴DF=DE；（2）DF=DE．理由如下：如答圖2，連接BD．∵四邊形ABCD是菱形，∴AD=AB．又∵∠A=60°，∴△ABD是等邊三角形，∴AD=BD，∠ADB=60°，∴∠DBE=∠A=60°∵∠EDF=60°，∴∠ADF=∠BDE．∵在△ADF與△BDE中，，∴△ADF≌△BDE（ASA），∴DF=DE；（3）由（2）知，△ADF≌△BDE．則S△ADF=S△BDE，AF=BE=x．依題意得：y=S△BEF+S△ABD=（2+x）xsin60°+×2×2sin60°=（x+1）2+．即y=（x+1）2+．∵＞0，∴該拋物線的開(kāi)口方向向上，∴當(dāng)x=0即點(diǎn)E、B重合時(shí)，y最小值=．精選8、（1）解：過(guò)點(diǎn)C作CF⊥y軸于點(diǎn)F，∴∠AFC=90°，∴∠CAF+∠ACF=90