工科數(shù)分課件第六章4節(jié)

§6.4分的計(jì)分部積分與換一、分部積

分部積分與換定理

baudvb

bab

a buvdxa

bab

ba定積分的分部積定理

分部積分與換b f(x)dxb

f證明設(shè)Fx)fx)的一個(gè)原函數(shù)，定義(t

分部積分與換

b f(b應(yīng)用換 時(shí)應(yīng)注意b

分部積分與換

f(x)dx

b相當(dāng)于第二類b由右到左時(shí)

f(相當(dāng)于第一類分部積分與換bb

f(x)dx

求出f[t)]t)的一個(gè)原函數(shù)t)后，不必再把t)變換成原變量x的函數(shù)，而只求(().分部積分與換定積分的換 示意分部積分與換a fxdx fx0a分部積分與換0aa證a

f(x)dx0

f(x)dx

f(x在

fx)dx中令xt0 f(t)dt0

f(x)dx

f(x)dx

f(f(x)f(0f(x)dxa0f(0f(x)dxa0f(t

f(f(x)f

分部積分與換 0Ta f(x)dx f(x)dx0Ta

f(x)dxa(3)

fxdx

fxdx

fxdx

fxT xdxa0f(uxT結(jié)論得分部積分與換例1計(jì)算 cos5xsin0解令tcos dtsinxt x0t2 cos5xsin000

t

t6 6 60例2計(jì)算 sin3xsin50

分部積分與換3解fx)

sin3xsin5x

x xdx cosxsinx233 2cosxsinx20

2

cosxsinx2333 2sinx2dsinx0

sinx2dsin55522 252

4sinx

sinx 2分部積分與換3e例3計(jì)

lnx(1ln34 原式 4

d(ln lnx(1ln3 e

d(ln

2e

ln ln (1ln

1 lnx

e xx3a例4計(jì)算 xa

1a2

分部積分與換 (a 令xasint2xat2

dxacostdtx0tacos原式

asint

a2(1sin2t2 cos2 sintcost

2

costsintsinsint t1 1

lnsintcos 1例5計(jì)算1

2x2xcos1 1x2

分部積分與換1解原式1

2x21 1x

dx

xcos 11 1x2141

x2

奇函041

1 1x2x2(1 1x2

1dx41

1x204

1(1x2

4x

單位圓的面

a2x2dx a2x2 41014101x2分部積分與換例（1）設(shè)x2

則x0t2

；xt20f(sinx)dx fsintdt02 20 0 f(cost)dt0

f(cos0

xf(sinx)dx

f(sin

分部積分與換 則x0t,xt0xf(sinx)dx

(t)f[sin(t00(t)f(sint0 f(sint 0tf(sint f(sinx)dx0xf(sin0xf(sinx)dx,

xf(sinx)dx

2

f(sinx)dx.xf(sinx)dx

f(sin

分部積分與換 xsin

dx

sin 01cos2 201cos2 d(cos201cos2arctan(cos2

2) 2 例 設(shè)f(x)在區(qū)間R上連續(xù)，

分部積分與換 fa

bsin

f

a2b2 證明

f

a2

a2

b2令

0

a2b2 0

a2

cos

f

b2aa2aa20

a2b2例8

12arcsin0

分部積分與換 令uarcsin dv則du

1x2

v1arcsin

xarcsinx

201

1

012 2 d(1x12 2

1x22 2

1x2 1x

3

解

例9401cos1cos例9401cos

分部積分與換 4

4

xdtanx01cos

02cos2

20 xtanx4 0 2

tan

lncosx 0

ln2 例10計(jì)算1ln(1x

分部積分與換1 (2x)21解

ln(1x)1(2x)211

ln(1

2xln(1x)

dln(12

21ln21

02 1

1 2ln3

ln(1x)ln(2x)1

5ln2ln030xxf(fxxf(

2sin

dt,

分部積分與換11例11例11 10xf(1

112 f(x)d(x112111x2112

f(x)10

2

x2df( sin 2sin

1 11

x2

(2

f(x) 2x

2xsinxdx2

sinxd(x0

1(cos1 例12證明定積

分部積分與換In

2sin0

xdx

20

n1n331

n為正 n 4 n1

n

42

為大于1的正 n 5證設(shè)usinn1x,dvsin

分部積分與換n n

xcos02(n1)2sinn2xxcos00n (n1)2sinn0

xdx(n1)2sin0

1sin2x(n1)In2(n1)In n1

積分In關(guān)于下標(biāo)的遞 n3 n

,直到下標(biāo)減到0或1為 2m12m3531I

分部積分與換 2m

(m

2m2642I2m

2m 2m 30202 dx0