二次函數(shù)的應用【省一等獎】

4二次函數(shù)的應用第1課時求圖形的最大面積課標要求【知識與技能】經(jīng)歷探究圖形的最大面積問題的過程，進一步獲得利用數(shù)學方法解決實際問題的經(jīng)驗．【過程與方法】經(jīng)歷探索問題的過程，獲得利用數(shù)學方法解決實際問題的經(jīng)驗，感受數(shù)學模型和數(shù)學應用的價值，通過觀察、比較、推理、交流等過程，獲得一些研究問題與合作交流的方法與經(jīng)驗．【情感態(tài)度】通過動手實踐及同學之間的合作與交流，讓學生積累經(jīng)驗，發(fā)展學習動力．【教學重點】會根據(jù)不同的條件，利用二次函數(shù)解決生活中的實際問題．【教學難點】從幾何背景及實際情景中抽象出函數(shù)模型．教學過程一、情景導入，初步認識問題1：某建筑物的窗戶如圖所示，它的上半部是半圓，下半部是矩形，制造窗框的材料總長(圖中所有粗線的長度和)是21米，怎樣設計窗戶才能使窗戶通過的光線最多？問題2：某開發(fā)商計劃開發(fā)一塊三角形土地，它的底邊長100米，高80米．開發(fā)商要沿著底邊修一座底面是矩形的大樓，這座大樓地基的最大面積是多少？要解決這些實際問題，實際上也就是求面積最大的問題，在數(shù)學中也就是求最大值的問題．這節(jié)課我們看能否用已學過的數(shù)學知識來解決以上問題．二、思考探究，獲取新知求下列函數(shù)的最大值或最小值．(1)y＝2x2－3x－5；(2)y＝－x2－3x＋4.分析：由于函數(shù)y＝2x2－3x－5和y＝－x2－3x＋4的自變量x的取值范圍是全體實數(shù)，所以只要確定它們的圖象有最高點或最低點，就可以確定函數(shù)的最大值或最小值．解：(1)因為y＝2x2－3x－5＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))eq\s\up12(2)－eq\f(49,8).所以當x＝eq\f(3,4)時，函數(shù)y＝2x2－3x－5有最小值是－eq\f(49,8).(2)因為y＝－x2－3x＋4＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(25,4)，所以當x＝－eq\f(3,2)時，函數(shù)y＝－x2－3x＋4有最大值是eq\f(25,4).【歸納結論】最大值或最小值的求法，第一步確定a的符號，a＞0有最小值，a＜0有最大值；第二步配方求頂點，頂點的坐標即為對應的最大值或最小值．三、運用新知，深化理解1．見教材P46例12．要用總長為20m的鐵欄桿，一面靠墻，圍成一個矩形的花圃，怎樣圍才能使圍成的花圃的面積最大？分析：先寫出函數(shù)關系式，再求出函數(shù)的最大值解：設矩形的寬AB為xm，則矩形的長BC為(20－2x)m，由于x＞0，且20－2x＞0，所以0＜x＜10.圍成的花圃面積y與x的函數(shù)關系式是y＝x(20－2x)．即y＝－2x＋20x，配方得y＝－2(x－5)2＋50.所以當x＝5時，函數(shù)取得最大值，最大值y＝50.因為x＝5時，滿足0＜x＜10，這時20－2x＝10.所以應圍成寬5m，長10m的矩形，才能使圍成的花圃的面積最大．3．如圖在一個直角三角形的內(nèi)部作一個矩形ABCD，其中AB和AD分別在兩直角邊上．如果設矩形的一邊AB＝xm，那么當x為多少時，矩形面積最大？最大面積是多少？解：由AB＝xm，則CD＝AB＝xm.由圖可得，△EDC∽△EAF，∴eq\f(ED,AE)＝eq\f(CD,AF)，即eq\f(ED,30)＝eq\f(x,40)，解得ED＝eq\f(3,4)x，∴AD＝30－eq\f(3,4)x.S矩形ABCD＝AB·AD＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(30－\f(3,4)x))＝－eq\f(3,4)x2＋30x，當x＝－eq\f(b,2a)＝－eq\f(30,2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4))))＝20時，y有最大值，最大值為y最大值＝eq\f(－302,4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4))))＝300.即：當x為20時，矩形面積最大，最大面積是300m2.四、師生互動，課堂小結引導學生總結，確定問題的解決方法：在一些涉及到變量的最大值或最小值的應用問題中，可以考慮利用二次函數(shù)最值方面的性質去解決．步驟：第一步：設自變量；第二步：建立函數(shù)的表達式；第三步：確定自變量的取值范圍；第四步：根據(jù)頂點坐標公式或配方法求出最大值或最小值(在自變量的取值范圍內(nèi))．課后作業(yè)1．布置作業(yè)：教材“習題”中第2、3題．2．完成練習冊中本課時的練習．

第2課時求最大利潤問題課標要求【知識與技能】能為一些較簡單的生活實際問題建立二次函數(shù)模型，并在此基礎上，根據(jù)二次函數(shù)關系式和圖象特點，確定二次函數(shù)的最大(小)值，從而解決實際問題．【過程與方法】經(jīng)歷探究二次函數(shù)最大(小)值問題的過程，體會函數(shù)的思想方法和數(shù)形結合的思想方法．【情感態(tài)度】積極參加數(shù)學活動，發(fā)展解決問題的能力，體會數(shù)學的應用價值．從而增強數(shù)學學習信心，體驗成功的樂趣．【教學重點】探索銷售中最大利潤問題，從數(shù)學角度理解“何時獲得最大利潤”的意義．【教學難點】從實際問題中抽象出二次函數(shù)模型，以利用二次函數(shù)知識解決某些實際生活中的最大(小)值問題．教學過程一、情景導入，初步認識問題：某商店經(jīng)營T恤衫，已知成批購進時單價是20元．根據(jù)市場調查，銷售量與銷售單價滿足如下關系：在一段時間內(nèi)，單價是35元時，銷售量是600件，而單價每降低1元，就可以多銷售200件．若設銷售單價為x(20＜x＜35的整數(shù))元，該商店所獲利潤為y元．請你幫助分析，銷售單價是多少元時，可以獲利最多？你能運用二次函數(shù)的知識解決這個問題嗎？【教學說明】用生活中的事例，更貼近實際生活，幫助學生理解題意，激發(fā)學生的學習熱情．二、思考探究，獲取新知1．教師提問：(1)此題主要研究哪兩個變量之間的關系，哪個是自變量？哪個是因變量？(2)銷售量可以表示為________；銷售額(銷售總收入)可以表示為________；所獲利潤與銷售單價之間的關系式可以表示為________．(3)當銷售單價是________元時，可以獲得最大利潤，最大利潤是________元．2．在解決第(3)問中，先引導學生觀察得出此函數(shù)為二次函數(shù)，再引導學生探索思考“何時獲得最大利潤”的數(shù)學意義．【教學說明】在本章前面的學習中，學生已初步了解求特殊二次函數(shù)最大(小)值的方法．鼓勵學生大膽猜想、探索求此二次函數(shù)最大值的方法．【歸納結論】求二次函數(shù)最大(小)值的方法：(1)配方化為頂點式求最大(小)值；(2)直接帶入頂點坐標公式求最大(小)值；(3)利用圖象找頂點求最大(小)值．三、運用新知，深化理解1．見教材P48例2.2．某賓館有50個房間供游客住宿，當每個房間的房價為每天180元時，房間會全部住滿．當每個房間每天的房價每增加10元時，就會有一個房間空閑．賓館需對游客居住的每個房間每天支出20元的各種費用．根據(jù)規(guī)定，每個房間每天的房價不得高于340元．設每個房間的房價每天增加x元(為10的正整數(shù)倍)．(1)設一天訂住的房間數(shù)為y，直接寫出y與x的函數(shù)關系式及自變量x的取值范圍；(2)設賓館一天的利潤為W元，求W與x的函數(shù)關系式；(3)一天訂住多少個房間時，賓館的利潤最大？最大利潤是多少元？分析：當每天的房價增加x元時，就會有eq\f(x,10)個房間空閑．∴一天訂住的房間數(shù)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(50－\f(x,10)))，每間房可獲利(180＋x－20)，從而可列出函數(shù)關系式．解：(1)y＝50－eq\f(1,10)x(0≤x≤160，且x是10的正整數(shù)倍)．(2)W＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(50－\f(1,10)x))(180＋x－20)＝－eq\f(1,10)x2＋34x＋8000.(3)W＝－eq\f(1,10)x2＋34x＋8000＝－eq\f(1,10)(x－170)2＋10890.當x<170時，W隨x增大而增大，但0≤x≤160，∴當x＝160時，W最大＝10880.當x＝160時，y＝50－eq\f(1,10)x＝34.答：一天訂住34個房間時，賓館的利潤最大，最大利潤是10880元．3．某商店將每件進價8元的某種商品按每件10元出售，一天可銷出約100件，該店想通過降低售價，增加銷售量的辦法來提高利潤，經(jīng)過市場調查，發(fā)現(xiàn)這種商品單價每降低元，其銷售量可增加約10件．將這種商品的售價降低多少時，能使銷售利潤最大？分析：先寫出函數(shù)關系式，再求出函數(shù)的最大值．解：設每件商品降價x元(0＜x＜2)，該商品每天的利潤為y元．商品每天的利潤y與x的函數(shù)關系式是：y＝(10－x－8)(100＋100x)，即y＝－100x2＋100x＋200，配方得y＝－100eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋22