雙曲線 新高考 數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專項(xiàng) 提升精講精練 （含答案解析）

雙曲線（精講）（提升版）思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖考點(diǎn)呈現(xiàn)考點(diǎn)呈現(xiàn)例題剖析例題剖析考點(diǎn)一雙曲線的定義及應(yīng)用【例1-1】（2022內(nèi)江期末）“”是“為雙曲線”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】因?yàn)榉匠瘫硎倦p曲線，所以，又當(dāng)時(shí)，方程表示雙曲線，因此“”是“方程表示雙曲線”的充要條件.故答案為：C【例1-2】（2022·成都模擬）設(shè)，是雙曲線的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線C的右支上，當(dāng)時(shí)，面積為（）．A． B． C． D．【答案】B【解析】∵雙曲線，∴，又點(diǎn)P在雙曲線C的右支上，，所以，，即，又，∴面積為.故答案為：B.【例1-3】（2022·邯鄲模擬）已知?是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線右支上一點(diǎn)，且在以為直徑的圓上，若，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，，則.由雙曲線定義知，，又，故，由于在以為直徑的圓上，所以，故有從而故答案為：A【例1-3】（2022·岳普湖模擬）已知雙曲線，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線的左右兩個(gè)焦點(diǎn)，P在雙曲線上且在第一象限，圓M是△F1PF2的內(nèi)切圓.則M的橫坐標(biāo)為，若F1到圓M上點(diǎn)的最大距離為，則△F1PF2的面積為.【答案】1；【解析】雙曲線的方程為，則.設(shè)圓分別與相切于，

根據(jù)雙曲線的定義可知，根據(jù)內(nèi)切圓的性質(zhì)可知①，而②.由①②得：，所以，所以直線的方程為，即M的橫坐標(biāo)為1設(shè)M的坐標(biāo)為，則到圓M上點(diǎn)的最大距離為，即，解得.設(shè)直線的方程為，即.到直線的距離為，解得.所以線的方程為.由且在第一象限，解得.所以.所以△F1PF2的面積為.故答案為：1；【一隅三反】1．（2022·潮州二模）若點(diǎn)P是雙曲線上一點(diǎn)，，分別為的左、右焦點(diǎn)，則“”是“”的（）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由題意可知，，，，若，則，或1（舍去），若，，或13，故“”是“”的充分不必要條件．故答案為：A．2．（2021常州期中）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，為雙曲線左支上一點(diǎn)，點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】曲線右焦點(diǎn)為，周長(zhǎng)要使周長(zhǎng)最小，只需最小，如圖：當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取到，故l=2|AF|+2a=故答案為：B3．（202郫都期中）雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為，，雙曲線上一點(diǎn)到的距離為11，則點(diǎn)到的距離為（）A．1 B．21 C．1或21 D．2或21【答案】B【解析】不妨設(shè)，分別為雙曲線的左右焦點(diǎn)，當(dāng)P在雙曲線的左支時(shí)，由雙曲線的定義可知，，又=11，所以，當(dāng)P在雙曲線的右支時(shí)，由雙曲線的定義可知，，又=11，所以，又，所以右支上不存在滿足條件的點(diǎn)P.故答案為：B.4(2022廣東）已知，分別是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，若P是雙曲線左支上的點(diǎn)，且.則的面積為（）A．8 B． C．16 D．【答案】C【解析】因?yàn)镻是雙曲線左支上的點(diǎn)，所以，兩邊平方得，所以.在中，由余弦定理得，所以，所以。故答案為：C考點(diǎn)二雙曲線的離心率及漸近線【例2-1】（2022高三下·安徽期中）已知，是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且，，則雙曲線C的離心率是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可知，，，又，，即，∴，即，∴.故答案為：C.【例2-2】（2022·河南模擬）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，P是雙曲線上一點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），若內(nèi)切圓的半徑為，則C的離心率是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】，即為，即為，可得．所以．根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性，不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，如圖所示，由題意設(shè)的內(nèi)切圓切三邊分別于G，D，E三點(diǎn)，則，，．又，所以．設(shè)，則，所以，所以切點(diǎn)D為雙曲線的右頂點(diǎn)，所以，．在中，由勾股定理得，整理得，即，解得，又因?yàn)椋訡的離心率為，故答案為：C．【例2-3】（2022·德陽三模）設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)是F，左?右頂點(diǎn)分別是，過作軸的垂線與雙曲線交于兩點(diǎn)，若，則該雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)雙曲線的半焦距為，則，將，代入雙曲線，得，不妨取，，又，，∴的斜率分別為：，，因?yàn)?，故，即，即，所以，故漸近線方程是.故答案為：C【一隅三反】1．（2022·重慶市模擬）已知雙曲線C：的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在軸上，為等邊三角形，且線段的中點(diǎn)恰在雙曲線C上，則雙曲線C的離心率為（）A． B．2 C． D．【答案】C【解析】如圖所示，設(shè)，，設(shè)線段的中點(diǎn)為，則在雙曲線C的右支上，又為等邊三角形，所以，所以，所以連接，則在等邊三角形中，且，所以，所以，即雙曲線的離心率為.故答案為：C.2．（2022·保定模擬）已知F為雙曲線的右焦點(diǎn)，A為雙曲線C上一點(diǎn)，直線軸，與雙曲線C的一條漸近線交于B，若，則C的離心率（）A． B． C． D．2【答案】B【解析】由題意得，雙曲線的漸近線方程為，由雙曲線的對(duì)稱性，不妨設(shè)均為第一象限點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，得，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)椋?，所以，得，所以，所以雙曲線的離心率為，故答案為：B3．（2022·石嘴山模擬）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，P為雙由線C上的一點(diǎn)，若線段與y軸的交點(diǎn)M恰好是線段的中點(diǎn)，，其中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則雙曲線C的漸近線的方程是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)雙曲線的半焦距為，則點(diǎn)，由題意知軸，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，由雙曲線的對(duì)稱性特點(diǎn)不妨設(shè)點(diǎn)P(c，y0所以，解得，所以點(diǎn)，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，b22a)所以MF1=(?c，?所以，所以.所以雙曲線的漸近線方程為.故答案為：B.考點(diǎn)三雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程【例3-1】（2022梧州期末）設(shè)雙曲線C：（，）的左焦點(diǎn)為F，直線過點(diǎn)F且與雙曲線C在第二象限的交點(diǎn)為P，，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則雙曲線C的方程為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)左焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為，由點(diǎn)F過直線，所以，解得，設(shè)右焦點(diǎn)為N，連接，，.由，故三角形為直角三角形，即，又因?yàn)橹本€斜率為，設(shè)直線傾斜角為，則.又，則，，由雙曲線定義，則，所以，所以所以雙曲線C的方程為.故答案為：D.【例3-2】．（202合肥期末）已知點(diǎn)分別是等軸雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上，，的面積為8，則雙曲線的方程為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】，是的中點(diǎn)，所以，，則，，解得，所以雙曲線方程為．故答案為：D．【一隅三反】2．（2022·和平模擬）已知雙曲線的一條漸近線過點(diǎn)，且雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，則雙曲線的方程為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)樵陔p曲線的一條漸近線上，故可得；因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線為，故，又；解得，故雙曲線方程為：.故答案為：D.2．（2022寧波期末）已知雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，且它們的離心率不相同，則下列方程中有可能為雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】雙曲線中，，則漸近線方程為，離心率為。對(duì)于A，，則離心率，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，則漸近線方程為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，則離心率，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，則漸近線方程為，離心率，故D正確。故選：D3．（2022·湖北模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓：，點(diǎn)，是圓上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線與直線相交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，則曲線的方程為.【答案】【解析】因?yàn)樵诰€段的垂直平分線上，所以，所以，由雙曲線的定義知點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，為實(shí)軸長(zhǎng)的雙曲線，則，，得，所以曲線的方程為，故答案為：4．（2022·廣州模擬）寫出一個(gè)同時(shí)滿足下列性質(zhì)①②③的雙曲線方程．①中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上；②一條漸近線方程為﹔③焦距大于10【答案】（答案不唯一，寫出一個(gè)即可）【解析】由①中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上知，可設(shè)雙曲線方程為：由②一條漸近線方程為知，，即由③知，，即，則可?。ù颂幰部扇〈笥诘钠渌麛?shù)）又，，則同時(shí)滿足下列性質(zhì)①②③的一個(gè)雙曲線方程為：故答案為：（答案不唯一，寫出一個(gè)即可）.考點(diǎn)四直線與雙曲線的位置關(guān)系【例4-1】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）過且與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】D【解析】當(dāng)斜率不存在時(shí)，過的直線與雙曲線沒有公共點(diǎn)；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線為，聯(lián)立，得①.當(dāng)，即時(shí)，①式只有一個(gè)解；當(dāng)時(shí)，則，解得；綜上可知過且與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有4條.故選：D.【例4-2】（2022·山東）已知直線l的方程為，雙曲線C的方程為.若直線l與雙曲線C的右支相交于不同的兩點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】聯(lián)立整理得，因?yàn)橹本€與雙曲線的右支交于不同的兩點(diǎn)，所以，解得，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為.故選：D.【一隅三反】1．（2022·上海）若過點(diǎn)的直線與雙曲線:的右支相交于不同兩點(diǎn)，則直線斜率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可得直線斜率存在，設(shè)直線的方程為，設(shè)交點(diǎn)，聯(lián)立可得，由題意可得解得：，故選：D．2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））若在區(qū)間內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)，則直線與雙曲線的左、右兩支各有一個(gè)交點(diǎn)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】雙曲線的漸近線斜率為，則，即，故所求概率為，故選：B.2．（2022·安徽）直線與雙曲線沒有公共點(diǎn)，則斜率k的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】聯(lián)立直線和雙曲線：，消去得，當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)方程為，解得，此時(shí)直線與雙曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)，此時(shí)，解得或，所以時(shí)直線與雙曲線無交點(diǎn)；故選：A考點(diǎn)五弦長(zhǎng)與中點(diǎn)弦【例5】（2022云南）已知雙曲線，過點(diǎn)的直線l與雙曲線C交于M?N兩點(diǎn)，若P為線段MN的中點(diǎn)，則弦長(zhǎng)|MN|等于（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題設(shè)，直線l的斜率必存在，設(shè)過的直線MN為，聯(lián)立雙曲線：設(shè)，則，所以，解得，則，.弦長(zhǎng)|MN|.故選：D.【一隅三反】1．（2022·山西）過雙曲線的右焦點(diǎn)作傾斜角為30°的直線l，直線l與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)A，B，則AB的長(zhǎng)為______．【答案】【解析】雙曲線的右焦點(diǎn)為，所以直線l的方程為．由，得．設(shè)，，則，，所以．故答案為：2（2022·湖南岳陽·三模）已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C:的上、下焦點(diǎn)，過點(diǎn)F2作y軸的垂線交雙曲線C于P，Q兩點(diǎn)，則△PF1Q的面積為________．【答案】【解析】雙曲線C:的上、下焦點(diǎn).令代入，解得：，所以.所以，所以△PF1Q的面積為.故答案為：3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為過左焦點(diǎn)作斜率為2的直線與雙曲線交