2021-2022學年山東省聊城市聊城高二年級下冊學期期中數(shù)學試題【含答案】

2021-2022學年山東省聊城市聊城第一中學高二下學期期中數(shù)學試題一、單選題f(xx)f(x)2x1．設(shè)f(x)在xx0（）0處可導，則limx0012fxD．0A．fx2fxC．fxB．2000【答案】A【分析】變形，結(jié)合導數(shù)的定義，計算出結(jié)果.【詳解】因為f(x)在xx處可導,0f(xx)f(x)2x1f(xx)f(x)1limx0fx.所以，由導數(shù)的定義可得：limx000002x20故選：Ax2．已知1n的展開式中第3項與第7項的二項式系數(shù)相等，則展開式中的第3項為（）A．8B．8xC．28xD．28x22【答案】Dx【分析】利用二項式定理求得1n的展開通項公式，從而得到關(guān)于n的方程，解之即可求得展開式中的第3項.【詳解】因為1n的展開通項為xTCk1nx1kCxk，nkkkk1nxk1所以1n的展開式的第項的二項式系數(shù)為Ck，nx因為1n的展開式中第3項與第7項的二項式系數(shù)相等，所以C2C6，由性質(zhì)C2Cn2得26，故，n8nnnnnxT12C2x228x2.所以1n展開式中的第3項為38故選：D.π3．已知函數(shù)fxxcosxsinx，則f的值為（）6A．π2B．πC．1D．π12【答案】B【分析】先對fx求導，再利用特殊角的三角函數(shù)值即可得解.fxxcosxsinx，【詳解】因為fxcosxxsinxcosxxsinx，所以π6πππ所以fsin.6612故選：B.4．因為疫情防控的需要，某校高二年級3人巡視商戶，且至少一名男教師；另外7名教師不同的安排方法有（）種．B．816C．2164名男教師和3名女教師參與社區(qū)防控新冠肺炎疫情的志愿服務(wù)．根據(jù)崗位需求應(yīng)派4人去不同的4個小區(qū)測量出入人員體溫，則這A．34D．210【答案】B【分析】先采用間接法求解巡視商戶的3人中至少一名男教師的安排方法種數(shù)，然后再求解另外4人去不同的4個小區(qū)測量出入人員體溫的安排方法種數(shù)，綜合即可得出結(jié)果．【詳解】從7人中任選3人，不同的選法有C種，而不選男教師的選法有C種，3733則巡視商戶的3人中至少一名男教師安排方法有CC34種，3733另外4人去不同的4個小區(qū)測量出入人員體溫的安排方法有A24種．44則這7名教師不同的安排方法有3424816種．故選：B．5．甲、乙兩人向同一目標各射擊一次，已知甲命中目標的概率為0.5，乙命中目標的概率為0.6，已知目標至少被命中一次，則甲命中目標的概率為（）A．0.6B．0.625C．0.5D．0.3【答案】B【分析】先由題求意得目標至少被命中1次的概率，目標至少被命中1次且甲命中目標的概率，再由條件概率公式即可求得結(jié)果．被命中【詳解】記事件A為“甲命中目標”，事件B為“目標至少1次”，則1(10.5)(10.6)0.8，PBP(AB)0.5(10.6)0.50.60.5，P(AB)P(AB)0.50.80.625．P(B)故選：B.6．已知f(x)x2lnxmx1在區(qū)間(1,2)上為單調(diào)遞增函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是（）A．m4【答案】DmB．4C．m3m3D．m2x在區(qū)間(1,2)上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，求解函數(shù)的最值，從而1【分析】求出導函數(shù)，推出x求出實數(shù)m的取值范圍．fxx【詳解】()lnxmx1在區(qū)間(1,2)上為單調(diào)遞增函數(shù)2f(x)2x1m0在區(qū)間(1,2)上恒成立則xm2x在區(qū)間(1,2)上恒成立1即xh(x)2x，x(1,2)1設(shè)x112x(12x)(12x)2h(x)20x2x2x2函數(shù)h(x)在(1,2)上是減函數(shù)，則h(x)h(1)3所以m3．故選：D．7．在1x1x1x31x9的展開式中，x3的系數(shù)為（）2A．120【答案】CB．84C．210D．126【分析】先通過求出各項二項式中x3的系數(shù)，再利用組合數(shù)的性質(zhì)即可得解.n的展開通項為T【詳解】因為1xC1C，xkxkknkkk1nn1x的展開式中沒有x3這一項，所以1x2的展開式中沒有x3這一項，1x3的展開式中x3的系數(shù)為C，331x4的展開式中x3的系數(shù)為C3，4……1x9的展開式中x3的系數(shù)為C，39所以所求x3的系數(shù)為C3CCC4210.3439310故選：C.fxfx8．定義在0,上的函數(shù)(),()是f(x)的導函數(shù)，且f(x)tanxf(x)成立，2a2f,b2f,c23f，則36a，b，c的大小關(guān)系為（）34A．bacB．cbaC．cabD．a(chǎn)bc【答案】Bfxcosxf(x)sinxf(x)0，考慮構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導數(shù)運算公式和導數(shù)【分析】由條件可得gxcosx0,上的單調(diào)遞減，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)gx與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系由條件證明函數(shù)在2值的大小即可.x0,【詳解】因為時，cosx0，2f(x)sinxf(x)0，即gxcosxfxf(x)所以tanxf(x)可化為cosxf(x)sinxf(x)0，設(shè)，cosxfxcosxfxsinx，fx則gxcosxcosx2x0,gx0所以當時，，2πππg(shù)gπππg(shù)x所以函數(shù)在0,g643上的單調(diào)遞減，因為，所以2643ππ4cosπ4πfff3，即23fππ4π6所以2f2f，πcosπ3363cos6cba所以，故選：B.二、多選題9．隨機變量的分布列為：012bbPa223bC2其中ab0，下列說法正確的是（）．Aab1．．隨b的D()BE()D．有最大值D()增大而減小【答案】ABD【分析】利用分布列的性質(zhì)及期望與方差的公式，列出表達式，逐項判定，即可得出答案．bb1，即ab1，故【詳解】根據(jù)分布列的性質(zhì)得aA正確；22b3b()0a1b2222根據(jù)期望公式得，故B正確；E根據(jù)方差公式得3b3b3b(03b3b(1b)(13b)2b(2)2b2D()(0)2a(1)2b(2)2b)22222222229b25b9(b5)225，424936因為0b1，550b當時，()1()D隨的增大而減小，故錯誤；D隨的增大而增大；當時，bCbb99525當時，()D取得最大值，故D正確，b936故選：ABD．11010．已知展開式的各項系數(shù)和為1024，則下列說法正確的是（）ax(a0)2xA．展開式中奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為256B．展開式中第6項的系數(shù)最大C．展開式中存在含的項D．展開式中含項的系數(shù)為45x6x15【答案】BD【分析】由x1結(jié)合展開式的各項系數(shù)和得出1，再由二項展開式的通項及二項式定理的性質(zhì)逐a一判斷即可．【詳解】∵展開式的各項系數(shù)之和為1024，∴令x1，得(a1)1024∵a0∴a1，＞，＝101rCrx205r210110，其展開式的通項為：x則二項式為TCx210r2rr1x10x1展開式中奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為×1024＝512，故A錯誤；2由展開式的通項可知，項的系數(shù)與其二項式系數(shù)相同，且展開式有11項，故展開式中第6項的系數(shù)最大，故B正確；令205r628自然數(shù)，則展開式中不存在含的項，故錯誤；x6Cr，可得不是255令202r15，解得2，所以展開式中含項的系數(shù)為C45，故D正確，rx15210故選：BD．11．某學校共有5個學生餐廳，個餐廳概相率同），則下列結(jié)論正確的是（）甲、乙、丙、丁四位同學每人隨機地選擇一家餐廳就餐（選擇到每24A．四人去了四個不同餐廳就餐的概率為1251B．四人去了同一餐廳就餐的概率為1296962人去了第一餐廳就餐的概率為625C．四人中恰有4D．四人中去第一餐廳就餐的人數(shù)的期望為5【答案】ACD【分析】對于ABC，利用排列組合的意義及古典概型概率的求法，求出對應(yīng)事件的概率，從而得以判斷；對于D，根據(jù)題意得到第一餐廳就餐的人數(shù)服從二項分布，從而利用二項分布數(shù)學期望的求法求X得X的期望，由此判斷即可.【詳解】依題意得，四位同學隨機選擇一家餐廳就餐有5選擇方法，4543224，故A正確；A對于A，四人去了四個不同餐廳就餐的概率為54555551254A51，故B錯誤；644對于B，四人去了同一餐廳就餐的概率為15555551254C42人去了第一餐廳就餐的概率為2296，故C正確；5555625對于C，四人中恰有454學選擇去第一餐廳的概率為15，對于D，每個同1XB4,，服從二項分布5所以去第一餐廳就餐的人數(shù)X所以E(X)41554，故D正確.故選：ACD.fxxax12．已知函數(shù)()lnxx，則下列選項正確的有（）2有兩個零點1xx,，且211ea0,B．yf(x)在(0,e)上單調(diào)遞減A．21e2e2aD．若a，則xx2xxC．6,121a【答案】AD，根據(jù)gx的性質(zhì)，即可判斷A；求導得fx，結(jié)合lnxxgx【分析】根據(jù)參變分離構(gòu)造函數(shù)1eFxfxf2ex,xe,2e，利用導數(shù)求解xx的范圍，12a0,即可判斷B；構(gòu)造函數(shù)2a即可判斷C，根據(jù)f1,f與0的大小關(guān)系結(jié)合fx的單調(diào)性即可判斷D．ln【詳解】對于A，由fx0等價于ax，xlnx1lnx，gx令,gxxx2xe，得，0xegx0，得，令gx0令e,gx在單調(diào)遞增；在單調(diào)遞減，0,e所以xe當時，1gx取極大值e=，gex1,gx0；當x1gx0，g10，當時，11xe,xe,a0,則，故正確．Ae12ax，fxa1x1x對于B，1x0,時，x,時，1f(x)0，f(x)0，當()單調(diào)遞增；當()單調(diào)遞減，fxfxaa1e1a0,，則，所以在(0,e)單調(diào)遞增，故B錯誤；因為e()fxa0xexxx2e對于C，由A可知，當x2e時，，12122xe,2e時，當2Fxfxf2exlnxaxln2exa2ex,xe,2e，令F(x)1ax12exa11x2ex2ax(2ex)2a，2exe,2e,x2exx22exe2，F(xiàn)x2ex2ex22a2a0，eFxFxFe0，e,2e在上單調(diào)遞增，fxf2exfx，2e，則fx22又fx2ex，fx，ffx12210,e又fx在上單調(diào)遞增，xe2ex0，12x2ex，xx2e，1212xx2e，故C錯誤；綜上12對于1121a,上單調(diào)遞減，，e2e0,,D，fx在單調(diào)遞增，在且aa11x0,,x,a，1a2f1a0fx，，x111fln22lne220fx，x，2a2a22a2axx21，故D正確，21aa故選：AD．三、填空題13．全國中學生學科競賽包含數(shù)學、物理、化學、生物、信息5個學科，4名同學欲報名參賽，每人必選且只能選擇1個學科參加競賽，則不同的報名方法種數(shù)是_______________．【答案】625【分析】利用分步乘法有理求不同的報名方法種數(shù)即可.【詳解】由已知第一位同學的報名方法有5種，第二名同學的報名方法有5種，方法有5種，第四名同學的報名方法有5種，由分步乘法計數(shù)原理可得4名同學的不同的報名方法第三名同學的報名種數(shù)是5555種，即625種，故答案為：625.14．同時拋鄭兩枚質(zhì)地均勻的硬幣一次，若兩枚硬幣都正面向上，就說這次試驗成功，則4次試驗中至少有2次成功的概率是______________．【答案】6725614【分析】由題意可知4次試驗中成功次數(shù)～B4,，由此即可得出答案．X【詳解】同時拋鄭兩枚質(zhì)地均勻的硬幣一次，若兩枚硬幣都正面向上，就說這次試驗成功，111，這次試驗成功的概率為2241在4次試驗中成功次數(shù)X～B4,4，131314C5412167．2234次試驗中至少有2次成功的概率是C+C2434444444256256256256467故答案為：．2567aaxax77，則(1)i+1ia______________．15．若(2x1)701ii1【答案】14a,a,a,,a，利用組合數(shù)性質(zhì)化簡(1)i+1ia，結(jié)合二項式定理求值.i【分析】由二項式定理可求0127【詳解】因為(21)(12x)7C12xxC1162C12xxC127，01270x707725777化簡可得(21)C2C1x22C227C7，又xaax(21)7ax7，7x707x2x777701所以a2iCi,i0,1,2,3,4,5,6,7,i7當i1,2,3,4,5,6,7時，7!i!7i!6!i1!6i1!iCii777Ci16，2i1，所以(1)i+1ia(1)ii2Ci(1)i+17C214Ci+1ii16ii1672i777(1)i+1ia14Ci14C2所以所以所以i161i161，i，i1i1i17(1)i+1ia14C120C1152C122C1216066246606i6i1276(1)i+1ia14114，ii1故答案為：14.16．若函數(shù)gx在區(qū)間D上有定義，且a,b,cD,g(a),g(b),g(c)均可作為一個三角形的三邊長，則稱gx在區(qū)間D上為“M函數(shù)”．已知函數(shù)1,e為“M函數(shù)”，則實數(shù)在區(qū)間efx1xlnxkxk的取值范圍為_________________．【答案】2e4,10，再利用導數(shù)求得fx在的最值，從,ee【分析】先由題意得到2fxfx且fxminmaxmin而求得k的取值范圍.【詳解】根據(jù)題意可知gx在區(qū)間D上為“M函數(shù)”，則有0，且gx2gxgxminmaxmin1e2fxfx0，因為fx在區(qū)間,e為“M函數(shù)”，所以且fxminmaxminfxx1lnxk11lnxkxe，所以fx1e111因為x，2xxxxx20，得1令fx0，得1xe；令fxx1；e1所以fx在e,11,e上單調(diào)遞減，則fxf1k，上單調(diào)遞增，在max1e111f1elnk2ke，fe1lnekk又e，eeffe2e2e10，即ffe，111則ee2e1efxf2ke，所以min所以22kekk，解得2e4，2ke0.2e4,所以實數(shù)的取值范圍為k.2e4,故答案為：四、解答題17．為支援武漢抗擊疫情，漢，請解答下列問題：（用數(shù)字作答）(1)如果這個醫(yī)療小組中醫(yī)生和護士都不能少于2人，共有多少種不同的(2)醫(yī)生甲要擔任醫(yī)療小組組長，所以某醫(yī)院準備從6名醫(yī)生和3名護士中選出5人組成一個醫(yī)療小組遠赴武建組方案？必選，而且醫(yī)療小組必須醫(yī)生和護士都有，共有多少種不同的建組方案？【答案】(1)75種；(2)65種【分析】(1)根據(jù)題設(shè)可知可能的情況有醫(yī)生3人護士2人和醫(yī)生2人護士3人，再根據(jù)組合問題的求解方法求解即可；(2)先求出除去醫(yī)生甲后且不考慮必須醫(yī)生護士都有的建組方案的種數(shù)，再減去只有醫(yī)生、護士的情況種數(shù)，即可的到答案.【詳解】(1)如果這個醫(yī)療小組中醫(yī)生和護士都不能少于2人，可能的情況有醫(yī)生3人護士2人和醫(yī)生2人護士3人，所以共CCCC2233675種不同的.建組方案363答：共有75種不同的建組方案．(2)由已知，除去醫(yī)生甲后且不考慮必須醫(yī)生護士都有的建組方案共C41827364570種，8情況數(shù)有C45，不可能存在只有護士的情況．其中只有醫(yī)生的5故共有70565種不同的建組方案.答：共有65種不同的建組方案.【點睛】本題主要考查組合的實際應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.解組合問題，應(yīng)按元素的性質(zhì)進行分類，分類標準明確，不重不漏，在事件的正面較多的情況下，可以考慮用排除法求解.18．已知的展開式中，2x第4項的系數(shù)與倒數(shù)第4項的系數(shù)之比為1．mx22(1)求m的值；(2)將展開式中所有項重新排列，求有理項不相鄰的概率．【答案】(1)7；(2)141﹒1(1)求二項式展開式的通項，根據(jù)第4項的系數(shù)與倒數(shù)第4項的系數(shù)之比為列出關(guān)于的m2【分析】方程，解方程即可求得；m(2)根據(jù)通項求出有理項的項數(shù)，根據(jù)插空法即可求概率.mrr15r【詳解】（1）展開式的通項為TCx2xCr2mx2m2，r22rr1m4項的系數(shù)為23，倒數(shù)第CC2∴展開式中第4項的系數(shù)為3，3mm3mmC323mCm32m31112，即m7．,22m6m5r2m由(1)可得r0,2,4,6為整數(shù)，即（2）展開式共有8項，當時為有理項，共項，4∴由插空2AA144A45法可得有理項不相鄰的概率為14．88fx19．已知函數(shù)()ex61．xx2(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；[0,6]上的最值．(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間(1)單調(diào)遞增區(qū)間是(,1),(5,)，單調(diào)遞減區(qū)間是(1,5)，極大值是8e1，極小值是4e5【答案】(2)最大值為e6，最小值為4e．5【分析】（1）對f(x)求導，根據(jù)導數(shù)的正負確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進一步確定極值即可；（2）根據(jù)極值和端點值即可確定最值.f(x)ex24x5ex(x5)(x1)．【詳解】（1）x令f(x)0，得f(x)0，得，x1或x51x5；令所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(,1),(5,)，單調(diào)遞減區(qū)間是(1,5)．f(x)所以f(x)的極大值是f(1)8e1，的極小值是f(5)4e5．（2）因為f(0)1,f(6)e6，由（1）知，在區(qū)間[0,6]上，f(x)有極小值f(5)4e5，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,6]上的最大值為e6，最小值為4e5．20．將10株某種果樹的幼苗分種在5個坑內(nèi)，每坑種2株，每株幼苗成活的概率為0.5若一個坑內(nèi)至少有1株幼苗成活，則這個坑不需要補種，若一個坑內(nèi)的幼苗都沒成活，則這個坑需要補種，每補種1個坑需20元，用X表示補種費用．(1)求一個坑不需要補種的概率；(2)求5個坑中恰有2個坑需要補種的概率；(3)求X的數(shù)學期望．3【答案】(1)4(2)135512(3)25元【分析】（1）利用間接法及獨立事件概率的乘法公式即可得解；（2）利用重復(fù)獨立實驗的概率公式即可得解；（3）根據(jù)題意得需要補種的坑數(shù)Y服從二項分布，從而利用二項分布數(shù)學期望的公式求得EY，再由數(shù)學期望的性質(zhì)求得E(X)，由此得解.【詳解】（1）依題意，一個坑不需要補種就是2株幼苗中至少有1株成活，1223所以其概率P1C1.224（2）由（1）得每坑要補種的概率1P14，113135.23所以5個坑中恰有2個坑需要補種的概率PC244512251YB5,，4（3）設(shè)5個坑中需要補種的坑數(shù)為Y，則Y服從二項分布，即所以E(Y)51544而X20Y，故EX()20E(Y)25（元），所以X的數(shù)學期望為25元.21．為弘揚中國傳統(tǒng)文化，山東電視臺舉行國寶知識大賽，先進行預(yù)賽，則規(guī)如下：①有易、中、難三類題，共進行四輪比賽，每輪選手自行選擇一類題，隨機抽出該類題中的一個回答；②答對得分，答錯不得分；③四輪答題中，每類題最多選擇兩次．四輪答題得分總和不低于10分進入決賽．選手甲答對各題是相互獨立的，答對每類題的概率及得分如下表：容易題中等題難題答對概率0.7答對得分30.540.35(1)若甲前兩輪都選擇了中等題，并只答對了一個，你認為他后兩輪應(yīng)該怎樣選擇答題，并說明理由；(2)甲四輪答題中，選擇了一個容易題X，求隨機變量X的數(shù)學期望．、兩個中等題、一個難題，若容易題答對，記甲預(yù)賽四輪得分總和為【答案】(1)后兩輪應(yīng)該選擇容易題進行答題，理由見解析17(2)2【分析】（1）先分析得甲后兩輪還有三種方案，利用獨立事件的概率的乘法公式將每種方案進決賽的概率求出，比較之即可得解；（2）根據(jù)題到X的的分布列，從而求得【詳解】（1）依題意得到X的可能取值，結(jié)合獨立事件的概率的乘法公式將X的每一個取值的概率求出，從而得X的數(shù)學期望．4則甲得分為分，要進入決賽，意，甲前兩輪都選擇了中等題，只答對了一個，6還需要得分，所以甲后兩輪的選擇有三種方案：P0.70.70.49；則總得分不低于10分的概率為方案一：都選擇容易題，1P0.30.30.09；方案：二都選擇難題，則總得分不低于10分的概率為2P0.70.30.21；、一個難題，則總得分不低于10分的概率為：方案三：選擇一個容易題3因為PPP，所以甲后兩輪應(yīng)該選擇容易題進行答題.132（2）依題意，X的可能取值為3、7、8、11、12、16，則P(X3)7,P(X7)27117117，221040221020P(X8)3,P(X11)7，11311722104022104011331133P(X12)2,P(X16)221020221040，所以X的分布列為：X378111216773733P402040402040所以E(X)3777831171231640317.4020404020222．2022年2月4日，第二十四屆冬季奧林匹克運動會開幕式在北京國家體育場舉行，拉開了冬奧會的帷幕．冬奧會發(fā)布的吉祥物“冰墩墩”、“雪容融”得到了大家的廣泛喜愛，達到一墩難求的地步．當?shù)啬陈糜斡闷飞痰戢@批經(jīng)銷此次奧運會紀念品，其中某個掛件紀念品每件的成本為5元，并且每件紀念品需向稅務(wù)部門上交a5元(5a8)的稅收，預(yù)計當每件產(chǎn)品的售價定為x元(13x17)時，一年的銷售量為(18x)2萬件，(1)求該商店一年的利潤L(萬元)與每件紀念品的售價x的函數(shù)關(guān)系式；(2)求出L的最大值Q(a)．【答案】(1)L(x10a)(18x)2,x[13,17]438a,5a6.5(2)Qa277a,6.5a8【分析】（1）由題意，利用利潤與銷售量、售價、成本的關(guān)系寫出函數(shù)關(guān)系式，注意定義域；382a382a（2）對L求導，令L0得x或x18，討論與區(qū)間L的符[13,17]的位置情況判斷33號，進而確定L的單調(diào)性，即可求得最大值．元x(13x17)，而每件產(chǎn)品的成本為5元，且每【詳解】（1）由題意，預(yù)計當每件產(chǎn)品的售價為件產(chǎn)品需向稅務(wù)部門上交(a5)元(5a8)，所以商店一年的利潤L(萬元)與售價x的函數(shù)關(guān)系式為：L(x10a)(18x)2,x[13,17]．（2）∵L(x10a)(18x)2,x[13,17]，L(382a3x)(18x)，∴382a16382a5a818，令，解得：xL0或，而，則x1833382a①當1617，即5a6.5時，3x13,3832a時，L0，L單調(diào)遞增，當382ax,17時，L0，單調(diào)遞減，L當3382a時，取最大值4(8