2022年高考真題：數(shù)學(xué)(新高考II卷)【含答案及解析】

2022年普通?等學(xué)校招?全國統(tǒng)?考試（新?考全國Ⅱ卷）數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.A1,1,2,4,Bxx11，則AIB1.已知集合（）A.{1,2}C.{1,4}D.{1,4}B.{1,2}（）2.(22i)(12i)24iA.C.62iD.62i24iB.3.中國的古建筑不僅是擋風(fēng)遮雨的住處，更是美學(xué)和哲學(xué)的體現(xiàn)．如圖是某古建筑物的剖面圖，DD,CC,BB,AA是舉，OD,DC,CB,BA是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別11111111DD為OD1CC1DCBBAAk,1BA20.5,k,k3，若k,k,k是公差為0.1的等差數(shù)列，且直線11CB1231111，則k3（）OA的斜率為0.725A.0.75B.0.8C.0.85D.0.9rrrrrrrrrb,c，則（）ta(3,4),b(1,0),catb，若a,c4.已知6A.B.5C.5D.65.有甲乙丙丁戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰的不同排列方式有多少種（）A.12種B.24種C.36種D.48種,sin()cos()22cossin6.角滿足，則（）4.tan()1tan()1tan()1tan()17.正三棱臺高為1，上下底邊長分別為33和43，所有頂點(diǎn)在同一球面上，則球的表面積是（）A.100πB.128πC.144πD.192π22f(k)，則f(xy)f(xy)f(x)f(y),f(1)18.若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?，且Rk1（）3A.B.2C.0D.1二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.2π,0的圖象以中心對稱，則（）39.函數(shù)f(x)sin(2x)(0π)5πf(x)在12A.y0,單調(diào)遞減π11πf(x)在,1212y有個(gè)極值點(diǎn)2B.7π直線是一條對稱軸xC.63D.直線y2x是一條切線已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，過拋物線C:y2px(p0)的焦點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，OFCAB210.M(p,0)點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)，若|AF||AM|，則（）A|OB||OF|OAMOBM180直線AB的斜率為|AB|4|OF|FB∥ED,ABED2FB，記11.如圖，四邊形ABCD為正方形，平面ABCD，EDV,V,V三棱錐EACD，F(xiàn)ABC，F(xiàn)ACE的體積分別為，則（）123A.V2VB.V2V3132C.VVVD.2V3V3123112.對任意x，，yxyxy1，則（）22xy1xy2B.A.xy22xy122C.2D.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布N2,X，且P(2X2.5)0.36，則13.2P(X2.5)____________．14.寫出曲線yln|x|過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線方程：A(2,3),B(0,a)，若直線AB關(guān)于ya的對稱直線與圓，．15.已知點(diǎn)(x3)2(y2)21存在公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．xy2216.已知橢圓1，直線l與橢圓在第一象限交于A，B兩點(diǎn)，與x軸，y軸分別交于63M，N兩點(diǎn)，且|MA||NB|,|MN|23，則直線l的方程為．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．a(chǎn)n為等差數(shù)列，b是公比為的等比數(shù)列，且ababba．2n22334417.已知（1）證明：ab；11（2）求集合kbaa,1m500中元素個(gè)數(shù)．1km18.記VABC的三個(gè)內(nèi)角分別為A，B，C，其對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長3,sinB213角形的面積依次為S,S,S，已知SSS的三個(gè)正三．123123（1）求VABC的面積；2（2）若sinAsinC，求b．3在某地區(qū)進(jìn)行流行病調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了名某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)10019.據(jù)頻率分布直方圖．（1）估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；[20,70)（2）估計(jì)該地區(qū)一人患這種疾病年齡在區(qū)間的概率；[40,50)的人口占該地區(qū)（3）已知該地區(qū)這種疾病的患病率位于區(qū)間為0.1%，該地區(qū)年齡總?cè)丝诘?6%，從該地區(qū)[40,50)任選一人，若此人年齡位于區(qū)間，求此人患該種疾病的概率．（樣本數(shù)據(jù)中的患者年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001）20.如圖，PO是三棱錐PABC的高，PAPB，ABAC，E是PB的中點(diǎn)．（1）求證：OE//平面PAC；（2）若ABOCBO30，PO3，PA5，求二面角CAEB的正弦值．xy22F(2,0)的右焦點(diǎn)為，漸近線方程為y3x．設(shè)雙曲線21.C:1(a0,b0)a2b2（1）求的方程；CPx,y,Qx,y2（2）過的直線與的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)FAB在上，CC112xx0,y01且1PQM．過且斜率為3的直線與過且斜率為的直線交于點(diǎn)，請32從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)條件成立：PQ∥AB①在AB上；②；③|MA||MB|．M注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.22.已知函數(shù)f(x)xeaxex．（）當(dāng)a1時(shí)，討論f(x)的單調(diào)性；1f(x)1（）2當(dāng)x0時(shí)，，求的取值范圍；a1nN，證明：11Lln(n1)．（）設(shè)311222n2n2答案及解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1,1,2,4,Bxx11，則AIBC.{1,4}A1.已知集合（）A.{1,2}D.{1,4}B.{1,2}【答案】B【解析】【分析】求出集合后可求AIB.B【詳解】Bx|0x2，故AIB1,2，故選：B.2.(22i)(12i)（）24i24iC.62iD.62iA.B.【答案】D【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法可求22i12i.【詳解】22i12i244i2i62i，故選：D.3.中國的古建筑不僅是擋風(fēng)遮雨的住處，更是美學(xué)和哲學(xué)的體現(xiàn)．如圖是某古建筑物的剖面圖，DD,CC,BB,AA是舉，OD,DC,CB,BA是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別11111111DD為OD1CC1DCBBAAk,1BA20.5,k,k3，若k,k,k是公差為0.1的等差數(shù)列，且直線11CB1231111，則k3（）OA的斜率為0.725A.0.75B.0.8C.0.85D.0.9【答案】D【解析】【分析】設(shè)ODDCCBBA1k，則可得關(guān)于的方程，求出其解后可得正確的選31111項(xiàng).【詳解】設(shè)ODDCCBBA1，則CCk,BBk,AAk，3111111121DDCCBBAA依題意，有k0.2k,k0.1k20.725，，且ODDCCBBA111131311110.53k0.3所以430.7250.9，故，k3故選：Drrrrrrrrra(3,4),b(1,0),catb，若a,cb,c，則（）t4.已知6A.B.5C.5D.6【答案】C【解析】【分析】利用向量的運(yùn)算和向量的夾角的余弦公式的坐標(biāo)形式化簡即可求得93t163tcr3t,4cosar,crcosb,cr,即【詳解】解：rrc5,解得t5c故選：C5.有甲乙丙丁戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰的不同排列方式有多少種（）A.12種B.24種C.36種D.48種【答案】B【解析】【分析】利用捆綁法處理丙丁，用插空法安排甲，利用排列組合與計(jì)數(shù)原理即可得解【詳解】因?yàn)楸∫谝黄?，先把丙丁捆綁，看做一個(gè)元素，連同乙，戊看成三個(gè)元素排列3!有種排列方式；為使甲不在兩端，必須且只需甲在此三個(gè)元素的中間兩個(gè)位置任選一個(gè)位置插入，有2種插空方式；注意到丙丁兩人的順序可交換，有2種排列方式，故安排這名同學(xué)共有：3!2224種不同的排列方式，故選：,滿足sin()cos()22cossin6.角，則（）4tan(tan()1)1tan(tan()1)1【答案】D【解析】【分析】由兩角和差的余正弦公式化簡，結(jié)合同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系即可得解【詳解】由已知得：sincoscossincoscossinsinsinsin2cossinsin0，即：sincoscossincoscos即：sincos10所以tan故選：7.正三棱臺高為1，上下底邊長分別為33和43，所有頂點(diǎn)在同一球面上，則球的表面積是（）100π【答案】A【解析】128π144π192π【分析】根據(jù)題意可求出正三棱臺上下底面所在圓面的半徑r,r，再根據(jù)球心距，圓面半21徑，以及球的半徑之間的關(guān)系，即可解出球的半徑，從而得出球的表面積．3343，即sin60o【詳解】設(shè)正三棱臺上下底面所在圓面的半徑r,r，所以2r1,2r212sin60or3,r4，設(shè)球心到上下底面的距離分別為d,d，球的半徑為R，所以d1R29，1212R16，故dd1或dd1，即R29R2161或d212122，解得R25符合題意，所以球的表面積為S4πR2100π．R29R21612故選：A．22的定義域?yàn)镽，且f(xy)f(xy)f(x)f(y),f(1)1，則f(k)8.若函數(shù)f(x)k1（）3201【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意賦值即可知函數(shù)fx的一個(gè)周期為6，求出函數(shù)一個(gè)周期中的f1,f2,L,f6的值，即可解出．【詳解】因?yàn)閒xyfxyfxfy，令2f1f1f0，所以f02x0，令可得，fy2fy，即x1,y0可得，fyfyfyfxy1，所以函數(shù)為偶函數(shù)，令得，fx1fx1fxf1fx，即有fx2fx1，fx1fx4，故fx26．fx2fxfx1，從而可知fx4，即fxfx6fx，所以函數(shù)的一個(gè)周期為f2f1f0121，f3f2f1因?yàn)?12，f4f2f21，f5f1f11，f6f02，所以一個(gè)周期內(nèi)的f1f2Lf60．由于除以余，226422所以fkf1f2f3f411213．k1故選：．A二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，2分，有選錯(cuò)的得0分.部分選對的得2π,039.函數(shù)f(x)sin(2x)(0π)的圖象以中心對稱，則（）5πyy0,f(x)在單調(diào)遞減12π11π,1212f(x)在有個(gè)極值點(diǎn)27π直線x是一條對稱軸63直線yx是一條切線2【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)逐個(gè)判斷各選項(xiàng)，即可解出．2π4π4ππk，kZ，【詳解】由題意得：fsin0，所以3334πkπ,kZ，即32π2ππ，所以k2時(shí)，，故f(x)sin2x．又0335π2π2π3π,，由正弦函數(shù)ysinu圖象知yf(x)在對A，當(dāng)x0,時(shí)，2x123325π0,上是單調(diào)遞減；12π11π,12122ππ5π,，由正弦函數(shù)ysinu圖象知yf(x)只x時(shí)，2x對B，當(dāng)3225π125π2π3π，解得x，即x為函數(shù)的唯一極值點(diǎn)；有1個(gè)極值點(diǎn)，由2x32127π2π7π3πf()0，直線x，67πx時(shí)，2x對C，當(dāng)不是對稱軸；6362π2π1對D，由y2cos2x1得：cos2x，3322π2π2π4π2kπ,kZ,2kπ或2x解得2x3333π從而得：xkπ或xkπ,kZ,32π3所以函數(shù)yf(x)在點(diǎn)0,處的切線斜率為ky2cos1，23x033切線方程為：y(x0)即yx．22故選：AD．10.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過拋物線C:y2px(p0)的焦點(diǎn)F的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，2點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)M(p,0)，若|AF||AM|，則（）|OB||OF|直線AB的斜率為|AB|4|OF|OAMOBM180【答案】ACD【解析】3p6p)，再由斜率【分析】由AFAM及拋物線方程求得A(,42公式即可判斷A選項(xiàng)；表示出直線AB的方程，聯(lián)立拋物線求得B(p,36p)，即可求出3OB判斷B選項(xiàng)；由拋uuuruuur12即可判斷C選項(xiàng)；由OAOB0，25puuuruuurMAMB0物線的定義求出AB求得AOB，AMB為鈍角即可判斷D選項(xiàng).【詳解】對于A，易得F(p,0)，由AFAM可得點(diǎn)A在2FM的垂直平分線上，則A點(diǎn)橫坐標(biāo)pp為3p，2243p33p6pp2，則A(,42y2p代入拋物線可得2)，則直線的斜率為AB426p23pp26，A正確；421p2，聯(lián)立拋物線方程得x對于B，由斜率為可得直線AB的方程為y261y2pyp20，626p6設(shè)，則py6p，則y6p，代入拋物線得B(x,y)2px，111263311p解得xp，則B(,36p)，3312p26p7pp，錯(cuò)誤；2則OBOFB3333pp25p對于，由拋物線定義知：ABCp2p4OF，正確；C4312uuuruuurOAOB(,對于，D3p6p)(p,6p)3pp6p6p3p20，則423343234AOB為鈍角，又uuuruuurMAMB(p,6p)(2p,6p)3p2p6p6p5p20，42343236則AMB為鈍角，又AOBAMBOAMOBM360o，則OAMOBM180o，正確D.故選：ACD.FB∥ED,ABED2FB，記11.如圖，四邊形ABCD為正方形，平面ABCD，EDV,V,V三棱錐EACD，F(xiàn)ABC，F(xiàn)ACE的體積分別為，則（）123A.V2VB.V2V3132C.VVV1D.2V3V3132【答案】CD【解析】V,VACEM,FM【分析】直接由體積公式計(jì)算，連接BD交于點(diǎn)，連接，由M12V3VV3VCEFM計(jì)算出，依次判斷選項(xiàng)即可.AEFM【詳解】設(shè)ABED2FB2a，因?yàn)槠矫鍭BCD，，則FBPEDED1131243V1EDSFBS2a2a2a2a3，31VACD11a3223EM,FMa3，連接交AC于點(diǎn)，連接，易BDMV223VABC得BDAC，又平面ABCD，平面ABCD，則EDAC，又EDIBDD，ED,BDEDAC平面BDEF，則平面BDEF，AC1又BMDMBD2a，過作FGDE于G，易得四邊形為矩形，則FBDGF2FGBD22a,EGa，則EM2a6a,FM2a2EFa222a23a，2a23a，2a212322EM2FM2EF2，則EMFM，SVEFMEMFMa2，AC22a，1則VV3VCEFMACS2a3，則2V3V，V3V，VVV，故23313231AEFMVEFMA、B錯(cuò)誤；C、D正確.故選：CD.12.對任意x，，yxyxy1，則（）22A.xy1B.xy2C.xy2D.xy21222【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)基本不等式或者取特值即可判斷各選項(xiàng)的真假．a(chǎn)b2a2b2a,b?2xyxy1可變形為，【詳解】因?yàn)閍b（R），由222xy2xy213xy32xy2，當(dāng)且僅當(dāng)xy1時(shí)，，解得2xy2xy1xy2，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，所以錯(cuò)誤，正確；ABx2y2xyxy1可變形為xy1xyxy2，當(dāng)且僅當(dāng)由2222，解得222xy1時(shí)取等號，所以正確；C34cos,3ysin，所以2y2yy21，設(shè)x2xyxy1變形可得因?yàn)?2x212sin3xcossin,y，因此352311313xycos2sin2sincos1sin23cos222342sin233π2,23,y331不，所以當(dāng)x時(shí)滿足等式，但是xy22633成立，所以D錯(cuò)誤．故選：BC．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.N2,，且P(2X2.5)0.36，則13.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布2P(X2.5)____________．70.14【答案】##．50【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的性質(zhì)即可解出．X:N2,【詳解】因?yàn)镻X2PX20.5，因此2，所以PX2.5PX2P2X2.50.50.360.14．故答案為：0.14．14.寫出曲線yln|x|過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線方程：，．1【答案】①.yxe1e②.yx【解析】x0和x0兩種情況，當(dāng)x0時(shí)設(shè)切點(diǎn)為x,lnx，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，0【分析】分0即可求出切線的斜率，從而表示出切線方程，再根據(jù)切線過坐標(biāo)原點(diǎn)求出，即可求出切線x0方程，當(dāng)x0時(shí)同理可得；ylnx【詳解】解：因?yàn)椋?1當(dāng)x0時(shí)ylnx，設(shè)切點(diǎn)為x,lnx，由yy|，所以xx，所以切線方程為x000x01ylnx0xx，0x01lnx又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以0x0x，解得e，所以切線方程為0x01e1xe，即yx；ey111當(dāng)x0時(shí)ylnx，設(shè)切點(diǎn)為x,lnx1，由yy|，所以xx，所以切線x11x11ylnx1xx，1方程為x11lnx1x1x，解得e，所以切線方程為1又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以x111x；y1xe，即yee11xyxy故答案為：；eeA(2,3),B(0,a)，若直線AB關(guān)于的對稱直線與圓ya已知點(diǎn)15.(x3)2(y2)21存在公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．a(chǎn)13,【答案】32【解析】ya【分析】首先求出點(diǎn)關(guān)于對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到直線的方程，根據(jù)圓心到直AAl線的距離小于等于半徑得到不等式，解得即可；ya【詳解】解：關(guān)于對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為yaA2,3A2,2a3B0,a，在直線上，a3xa，即a3x2y2a0；yAB所在直線即為直線，所以直線為l所以l2圓C:x32y221，圓心C3,2，半徑r1，3a342ad依題意圓心到直線的距離l1，a3222122，解得313；32即55a2a32aa，即,3213,故答案為：32xy22已知橢圓，直線與橢圓在第一象限交于，兩點(diǎn)，與軸，軸分別交于lABxy16.163，兩點(diǎn)，且|MA||NB|,|MN|23，則直線的方程為l．MN【答案】x2y220【解析】12【分析】令A(yù)B的中點(diǎn)為Ax,yBx,y，利用點(diǎn)差法得到kkABE，設(shè)，，1122OEmk0NMNkAB:ykxm，，m0設(shè)直線，求出M、的坐標(biāo)，再根據(jù)求出、，即可得解；MANBMENE，，所以【詳解】解：令A(yù)B的中點(diǎn)為E，因?yàn)閤y21xy2222，則設(shè)Ax,y，Bx,y111，21，1226363xx2y2y21xxxx26yyyy232所以0，即10121121226633yyyy112kk，即OEk0m0，設(shè)直線AB:ykxm，，，所以1212xxxx2AB1212my0得，即m,0m,m，，所以，2k2ym令x0得，令xMN0,mEkkm122或k2k，解得（舍去），222mk即2k又MN23，即MN2m223，解得或（舍去），m2m2m22所以直線AB:yx2，即x2y220；2故答案為：x2y220四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．a(chǎn)nbnababba的等比數(shù)列，且．17.已知為等差數(shù)列，是公比為2223344ab（1）證明：；11kbaa,1m500中元素個(gè)數(shù)．1（2）求集合km【答案】（）證明見解析；1（）9．2【解析】a【分析】（）設(shè)數(shù)列的公差為，根據(jù)題意列出方程組即可證出；n1（）根據(jù)題意化簡可得m2k2，即可解出．2【小問1詳解】ad2ba2d4bda設(shè)數(shù)列n，即可解得，ba的公差為，所以，11ad2b8ba3d11，2111111所以原命題得證．【小問2詳解】dba1，所以baakm1b2k1am1da，即2k12m，111由（）知，121m2k21,500，解得2k10，所以滿足等式的解k2,3,4,L,10，故集合亦即k|baa,1m5001中的元素個(gè)數(shù)為10219．km18.記VABC的三個(gè)內(nèi)角分別為A，B，C，其對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長3,sinB213正三角形的面積依次為S,S,S，已知SSS3的三個(gè)．12123（1）求VABC的面積；2（2）若sinAsinC，求．b32【答案】（）181（）22【解析】3【分析】（）先表示出S,S,S，再由SSS1求得a2c2b22，結(jié)合余弦2123123定理及平方關(guān)系求得ac，再由面積公式求解即可；b2（）由正弦定理得ac，即可求解.2sin2BsinAsinC【小問1詳解】1由題意得3333c2，則4Sa2a2,Sb2,S22441233，2SSS23a243b243c2413a2cb22即a2c2b22，由余弦定理得cosB，整理得accosB1，則cosB0，2ac13又sinB，13222，ac3132，則S122；8則cosB1acsinBcosB4VABC【小問2詳解】b由正弦定理得ac：，則sinBsinAsinC324b2acac9，則b323，12bsinB.sin2BsinAsinCsinAsinC24sin2B3在某地區(qū)進(jìn)行流行病調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了名某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)10019.據(jù)頻率分布直方圖．（）估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；1（）估計(jì)該地區(qū)一人患這種疾病年齡在區(qū)間[20,70)的概率；2（）已知該地區(qū)這種疾病的患病率為0.1%，該地區(qū)年齡位于區(qū)間[40,50)的人口占該地區(qū)3總?cè)丝诘?6%，從該地區(qū)任選一人，若此人年齡位于區(qū)間，求此人患該種疾病的[40,50)概率．（樣本數(shù)據(jù)中的患者年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001）【答案】（）44.65歲；1（）0.89；2（）0.0014．3【解析】【分析】（）1根據(jù)平均值等于各矩形的面積乘以對應(yīng)區(qū)間的中點(diǎn)值的和即可求出；[20,70)在區(qū)間}，根據(jù)（）2設(shè)A{一人患這種疾病的年齡對立事件的概率公式P(A)1P(A)即可解出；（）3根據(jù)條件概率公式即可求出．【小問1詳解】x(50.001150.002250.012350.017450.023平均年齡550.020650.012750.006850.002)1044.65（歲）．【小問2詳解】[20,70)設(shè)A{一人患這種疾病的年齡在區(qū)間}，所以P(A)1P(A)1(0.0010.0020.0060.002)1010.110.89．【小問3詳解】設(shè)B{[40,50)C{}任選一人年齡位于區(qū)間，任選一人患這種疾病，則由條件概率公式可得P(BC)0.1%0.023100.0010.23P(B)P(C|B)0.00143750.0014．16%0.1620.如圖，PO是三棱錐PABC的高，PAPB，ABAC，是EPB的中點(diǎn)．（1）求證：OE//平面PAC；ABOCBO30，PO3，PA5，求二面角（2）若CAEB的正弦值．【答案】（）證明見解析111（）213【解析】【分析】（）連接BO并延長交AC于點(diǎn)，連接OA、PD，根據(jù)三角形全等得到OAOB，1D再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AODO，即可得到O為BD的中點(diǎn)從而得到OE//PD，即可得證；Az//OP，如圖建立平面直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出二面角的余弦值，（）過點(diǎn)作2A再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計(jì)算可得；【小問詳解】1證明：連接BO并延長交AC于點(diǎn)，連接OA、PD，D因?yàn)镻O是三棱錐PABC的高，所以PO平面ABC，AO,BO平面，ABC所以POAO、POBO，△POA△POB，即OAOB，所以O(shè)AB又PAPB，所以O(shè)BA，又ABACBAC90，即OABOAD90，所以O(shè)BAODA90，，所以O(shè)DAOAD所以AODO，即AODOOB，所以O(shè)為BD的中點(diǎn)，又E為的中點(diǎn)，所以PBOE//PD，又OE平面，PD平面，PACPAC所以O(shè)E//平面PAC【小問2詳解】解：過點(diǎn)作Az//OP，如圖建立平面直角坐標(biāo)系，A因?yàn)镻O3，AP5，所以O(shè)AAP2PO24，又OBAOBC30，所以BD2OA8，則AD4，AB43，所以AC12，所以O(shè)23,2,0，B43,0,0，P23,2,3，C0,12,0，所以3E33,1,，2uuur則AE33,1,uuuruuur，AB43,0,0，AC0,12,0，32uuuvvnAE33xy32r的法向量為nx,y,z，則z0設(shè)平面AEB，令z2，則uuuvvnAB43x0ry3，x0，所以n0,3,2；uuuvv32ur設(shè)平面AEC的法向量為,,，則mabcmAE33abc0a，令3，則uuuvmAC12b0vurmc6b0，，所以3,0,6；rurnmrurnmrurcosn,m1243所以133913CAEB為，由圖可知二面角CAEB為鈍二面角，設(shè)二面角111343，所以sin131cos2所以cos11的正弦值為；13CAEB故二面角xy2設(shè)雙曲線2F(2,0)0)的右焦點(diǎn)為，漸近線方程為y3x．21.C:1(a0,bab22（1）求C的方程；Px,y,Qx,y在C上，2（2）過F的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)112xx0,y0．過且P且斜率為3的直線與過Q且斜率為的直線交于點(diǎn)M，請3121從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)條件成立：PQ∥AB|MA||MB|．AB①M(fèi)在上；②；③注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.y2【答案】（）1x213（）見解析2【解析】c析】（1）利用焦點(diǎn)坐標(biāo)求得的值，a,b的關(guān)系，進(jìn)而利用a,b,c【分利用漸近線方程求得a,b的值，得到雙曲線的方程；的平方關(guān)系求得AB（2）先分析得到直線的斜率存在且不為零，設(shè)直線AB的斜率為kMxy由8k2QM③AMBM|等價(jià)分析得到xkyPM；由直線和的斜率得到直線方程，k23003xm結(jié)合雙曲線的方程，兩點(diǎn)間距離公式得到直線的斜率0，由②PQ//AB等價(jià)轉(zhuǎn)PQy0ky3xkykx2，然后選擇兩個(gè)作為已知條200化為，由①在直線AB上等價(jià)于M00件一個(gè)作為結(jié)論，進(jìn)行證明即可【小問詳解】1bF(2,0)c2,∵漸近線方程為右焦點(diǎn)為，∴y3x，∴3，∴b3a，a∴c2a2b24a24，∴a1，∴b3．y2∴C的方程為：x21；3【小問詳解】2PQ由已知得直線的斜率存在且不為零，直線AB的斜率不為零，成立可知直線AB的斜率段AB的中點(diǎn)，假若直線AB的斜率x軸上，即為焦點(diǎn)F,此時(shí)由對稱性可知P、關(guān)于若選由①②推③或選由②③推①：由②存在且不為零；若選①③推②，則為線不存在，則由雙曲線的對稱MQxxx軸對稱，與從而，性可知在M12已知不符；總之，直線AB的斜率存在且不為零設(shè)直線AB的斜率為k,直線AB方程為ykx2ykx20kyk2x2；0則條件①在AB上，等價(jià)于M00兩漸近線的方程合并為3xy022k3x4k2x4k202聯(lián)立消去y并化簡整理得：2設(shè)Ax,y,Bx,y4Nx,yN,線段中點(diǎn)為,則N333xx2k246kk23xN,ykx2N32k23N設(shè)Mx,y00AMBM等價(jià)于xx222則條件③yy3xx4yy2030004移項(xiàng)并利用平方差公式整理得：xx2xxx4yy2yyy40，30343034yy2xxx02yyy00xxkyy0,即34xx34340N0N348k2即xky0；k230QM由題意知直線PM的斜率為3直線的斜率為3yy∴由13xx,yy03xx001022∴yy3xx2x21210yy3xx2x0PQ所以直線的斜率m1xx212xx1212直線PM:y3xxy,即yy3x3x0000代入雙曲線的方程3x2y30,即3xy3xy3中，2y3x23xy3x03得：00013x1y3x0解得P的橫坐標(biāo)：23y3x00013x2y3x，同理：23y3x000013y0y3x3x0y3xxx1y,xx2x1x,0∴23220020202003x0y∴m0∴條件②PQ//AB等價(jià)于mkky3x，00綜上所述：條件①在AB上，等價(jià)于kyk2x2；M00條件②