2019-2020學年安徽省六安市第一高二上學期開學考試數(shù)學（理）試題（解析版）

2019-2020學年安徽省六安市第一高二上學期開學考試數(shù)學（理）試題一、單選題1．若集合，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】解出A，B集合，即可選出答案?！驹斀狻緼集合：或B集合：根據(jù)不等式關(guān)系知。選A【點睛】本題主要考查集合與集合之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題。2．已知方程有兩個正根，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根據(jù)實根分布列方程組，解得實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為方程有兩個正根，所以，選D.【點睛】研究二次方程實根分布，一般需從以下四個方面研究（1）開口方向，（2）判別式，（3）對稱軸，（4）區(qū)間端點函數(shù)值.3．已知，則為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】利用三角恒等變換化簡可得.根據(jù)解出，再代入公式即可?！驹斀狻考从止蔬xA.【點睛】本題考查三角恒等變換、余弦的二倍角公式，屬于基礎(chǔ)題。4．已知點是所在平面內(nèi)一點，且滿足，若，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，根據(jù)向量的線性運算可得，進而得到，即可求得，得到答案.【詳解】由題意，如圖所示，因為，所以，又因為，所以，所以，故選C.【點睛】本題主要考查了平面向量的基本定理的應(yīng)用，其中解答中熟記平面向量的基本定理，利用向量的三角形法則化簡是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.5．若某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）A． B． C． D．3【答案】B【解析】先由三視圖判斷該幾何體為底面是直角三角形的直三棱柱，由棱柱的體積公式即可求出結(jié)果.【詳解】據(jù)三視圖分析知，該幾何體是底面為直角三角形的直三棱柱，且三棱柱的底面直角三角形的直角邊長分別為1和，三棱柱的高為，所以該幾何體的體積.【點睛】本題主要考查幾何體的三視圖，由三視圖求幾何體的體積，屬于基礎(chǔ)題型.6．設(shè)log34·log48·log8m＝log416，則m的值為()A． B．9C．18 D．27【答案】B【解析】利用對數(shù)換底公式化簡即可得到結(jié)果.【詳解】由題意得，∴＝2，即lgm＝2lg3＝lg9.∴m＝9，故選：B.【點睛】本題考查了對數(shù)換底公式，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題.7．設(shè)等比數(shù)列的前項和為，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由等比數(shù)列性質(zhì)得，成等比數(shù)列，即，解方程即得解.【詳解】由等比數(shù)列性質(zhì)得，成等比數(shù)列，即,故答案為：B【點睛】（1）本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)，意在考查學生對該知識的掌握水平和分析推理能力.(2)等比數(shù)列被均勻分段求和后，得到的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即成等比數(shù)列.8．已知是兩條不同直線，是兩個不同平面，給出四個命題：①若，，，則；②若，則；③若，則；④若，則.其中正確的命題是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由面面垂直的判定定理，可判斷①的真假；由面面平行的判定定理及線面垂直的幾何特征，可以判斷②的真假；由面面垂直的判定定理，及線面垂直的幾何特征，可以判斷③的真假；根據(jù)線面平行的幾何特征及面面平行的判定方法，可以判斷④的真假．【詳解】①若，，，如圖，則與不一定垂直，故①為假命題；②若，根據(jù)垂直于同一條直線的兩個平面平行，則；故②為真命題；③若，則，故③為真命題；④若，如圖，則與可能相交，故④為假命題．故選：B．【點睛】本題考查的知識點是平面與平面之間的位置關(guān)系，熟練掌握空間直線與平面平行及垂直的判定定理、性質(zhì)定義、幾何特征是解答的關(guān)鍵．9．在中,根據(jù)下列條件解三角形,其中有兩個解的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】【詳解】對于A,，三角形只有一解；對于B，，三角形只有一解；對于C，，又a>b,∴角B為小于的銳角，即三角形只有一解；對于D，，又a<b,∴角B為銳角或鈍角，即三角形有兩解，故選D10．要得到函數(shù)y＝sinx的圖象，只需將函數(shù)y＝cos（2x）的圖象上所有的點()A．橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，再向左平移個單位長度B．橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，再向右平移個單位長度C．橫坐標伸長到原來的倍(縱坐標不變)，再向右平移個單位長度D．橫坐標伸長到原來的(縱坐標不變)，再向左平移個單位長度【答案】B【解析】利用誘導公式、函數(shù)y＝Asin（ωx+）的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論．【詳解】將函數(shù)ycos（2x）的圖象上所有的點橫伸長到原來的2倍，可得ycos（x）的圖象，再向右平移個單位，可得yos（x）sinx的圖象，故選：B．【點睛】本題主要考查誘導公式的應(yīng)用，函數(shù)y＝Asin（ωx+）的圖象變換規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題．11．已知在平面直角坐標系中，圓：與圓：交于，兩點，若，則實數(shù)的值為（）A.1 B.2 C.-1 D.-2【答案】D【解析】由可得，O在AB的中垂線上，結(jié)合圓的性質(zhì)可知O在兩個圓心的連線上，從而可求.【詳解】因為，所以O(shè)在AB的中垂線上，即O在兩個圓心的連線上，，，三點共線，所以，得，故選D.【點睛】本題主要考查圓的性質(zhì)應(yīng)用，幾何性質(zhì)的轉(zhuǎn)化是求解的捷徑.12．設(shè)函數(shù)，若恰有2個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】通過f（x）恰有2個不同的零點，轉(zhuǎn)化判斷①兩個零點一個大于1一個小于1，②兩個零點均大于1，結(jié)合圖象，推出結(jié)果．【詳解】，易知當時，函數(shù)無零點.當時，分兩種情況：①兩個零點一個大于1一個小于1，如圖：則，解得；②兩個零點均大于1，如圖：則，解得.綜上，實數(shù)的取值范圍為.故選C.【點睛】本題考查函數(shù)的零點的應(yīng)用，函數(shù)與方程的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想及分類討論思想的應(yīng)用，屬于較難題．二、填空題13．設(shè)等差數(shù)列，的前項和分別為，，若，則__________．【答案】【解析】分析：首先根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得到，利用分數(shù)的性質(zhì)，將項的比值轉(zhuǎn)化為和的比值，從而求得結(jié)果.詳解：根據(jù)題意有，所以答案是.點睛：該題考查的是有關(guān)等差數(shù)列的性質(zhì)的問題，將兩個等差數(shù)列的項的比值可以轉(zhuǎn)化為其和的比值，結(jié)論為，從而求得結(jié)果.14．已知，滿足，則_____?！敬鸢浮?5【解析】將5代入函數(shù)，得到，將-5代入函數(shù)即可求出答案?！驹斀狻俊军c睛】本題考查奇函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題。15．給出下列四個命題：①函數(shù)的一條對稱軸是；②函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱③中，，則為等腰三角形；④若，則的最小值為。以上四個命題中正確命題的序號為_______。（填出所有正確命題的序號）【答案】①④【解析】①求出函數(shù)的對稱軸是比較即可，②將函數(shù)化簡為，再求對稱中心。③由，知或.④，則再求最小值?！驹斀狻竣俸瘮?shù)的對稱軸是,當k=1時，。故正確②函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱。故錯誤③或.即為等腰三角形或直角三角形。故錯誤④，將代入得所以。故正確故選①④【點睛】本題考查三角函數(shù)的對稱軸、對稱中心、根據(jù)三角函數(shù)值判斷三角形的形狀以及含三角函數(shù)的二次函數(shù)的最值，屬于中檔題。16．在三棱錐中，，，二面角的余弦值是，若都在同一球面上，則該球的表面積是____?！敬鸢浮俊窘馕觥扛鶕?jù)所給信息判斷出平面，再計算外接球半徑，接著計算表面積?！驹斀狻咳C中點為D，并連接SD、BD,因為，所以,即二面角的平面角為即,在中,在中,在中所以平面.設(shè)三棱錐的外接球半徑為R,則所以外接球表面積為【點睛】本題考查三棱錐的外接球表面積，重點在于將三棱錐還原到長方體的頂點中，利用三棱錐的外接球等價于長方體的外接球長方體，求出三棱錐外接球。屬于中檔題。三、解答題17．已知平面內(nèi)兩點。（1）求的垂直平分線方程；（2）直線經(jīng)過點，且點和點到直線的距離相等，求直線的方程?！敬鸢浮浚?）；（2）和【解析】(1)求出中點坐標為，計算出MN兩點的斜率，根據(jù)兩直線垂直斜率乘積等于-1計算出中垂線的斜率，再利用點斜式寫出中垂線即可。(2)點和點到直線的距離相等等價于直線與直線MN平行或直線過的中點。【詳解】（1）易求得中點坐標為。又，所以的中垂線的斜率為，的中垂線的方程為即。（2）由（1）知，，所以直線的方程為，直線經(jīng)過點得，綜上：為和【點睛】本題考查直線與直線的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題。18．設(shè)函數(shù).（1）已知函數(shù)是偶函數(shù)，求的值；（2）求函數(shù)的值域.【答案】（1）；（2）.【解析】(1)由函數(shù)的解析式結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)即可確定的值；(2)首先整理函數(shù)的解析式為的形式，然后確定其值域即可.【詳解】(1)由題意結(jié)合函數(shù)的解析式可得：，函數(shù)為偶函數(shù)，則當時，，即，結(jié)合可取，相應(yīng)的值為.(2)由函數(shù)的解析式可得：.據(jù)此可得函數(shù)的值域為：.【點睛】本題主要考查由三角函數(shù)的奇偶性確定參數(shù)值，三角函數(shù)值域的求解，三角函數(shù)式的整理變形等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.19．如圖，在單位正方體中，分別是的中點。（1）求證：平面；（2）在線段上是否存在點，使平面？若存在，求點到平面的距離；若不存在，請說明理由?！敬鸢浮浚?）證明見解析；（2）存在，點到平面的距離為。【解析】（1）取的中點，連接，證明平面平面，即可說明平面。（2）取的中點，連接，通過說明、證明平面?！驹斀狻拷猓海?）證明：取的中點，連接，∵分別是的中點，∴，平面，平面，，平面，平面，，∴平面平面，而平面，∴平面。（2）取的中點，連接，易知，而為中點，∴，連接，則，∵正方體棱長為1，在中，，在中，，在中，，∴；即，故，又，平面，，∴平面。點到平面的距離為。【點睛】本題考查線面平行、線面垂直與利用幾何關(guān)系求點到平面的距離，屬于中檔題。20．已知圓經(jīng)過兩點，且圓心在直線上，直線的方程為。（1）求圓的方程；（2）證明：直線與圓恒相交；（3）求直線被圓截得的弦長的取值范圍?！敬鸢浮浚?）；（2）證明見解析；（3）【解析】（1）設(shè)圓的一般方程，將PQ點代入方程，將圓心代入直線，解方程組，即可。（2）求出直線：過定點，說明點M在圓內(nèi)，即可。（3）當直線過圓心時弦長有最大值10,當直線與過圓心與定點的直線垂直時有最小值?！驹斀狻浚?）設(shè)圓的方程為，由條件得，解得∴圓的方程為；（2）由，得，令，得，即直線過定點，由，知點在圓內(nèi)，∴直線與圓恒相交。（3）圓心，半徑為5，由題意知，當點滿足垂直于直線時，弦長最短，直線被圓心截得的最短弦長為，直徑最長10，弦長的取值范圍為?！军c睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題。21．已知奇函數(shù)的定義域為[-1,1]，當時，。（1）求函數(shù)在上的值域；（2）若時，函數(shù)的最小值為-2，求實數(shù)λ的值?！敬鸢浮浚?）；（2）【解析】（1）利用函數(shù)的奇偶性、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)f（x）在上的值域．（2）根據(jù)f（x）的范圍，利用條件以及二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論求得實數(shù)λ的值．【詳解】（1）設(shè)x∈（0，1]，則﹣x∈[﹣1，0）時，所以f（﹣x）2x．又因為f（x）為奇函數(shù)，所以有f（﹣x）＝﹣f（x），所以當x∈（0，1]時，f（x）＝﹣f（﹣x）＝2x，所以在上的值域為（1，2]，（2）由（1）知當x∈（0，1]時，f（x）∈（1，2]，所以f（x）∈（，1]．令tf（x），則t≤1，g（t）f2（x）f（x）+1＝t2﹣λt+11，①當，即λ≤1時，g（t）＞g（），無最小值，②當1，即1＜λ≤2時，g（t）min＝g（）＝12，解得λ＝±2（舍去）．③當1，即λ＞2時，g（t）min＝g（1）＝﹣2，解得λ＝4，綜上所述，λ＝4．【點睛】本題主要考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，體現(xiàn)了分類討論、轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，屬于中檔題．22．甲、乙兩人用農(nóng)藥治蟲,由于計算錯誤,在A,B兩個噴霧器中分別配制成12%和6%的藥水各10千克,實際要求兩個噴霧器中的農(nóng)藥的濃度是一樣的,現(xiàn)在只有兩個能容納1千克藥水的藥瓶,他們從A,B兩個噴霧器中分別取1千克的藥水,將A中取得的倒入B中,B中取得的倒入A中,這樣操作進行了n次后,A噴霧器中藥水的濃度為an%,B噴霧器中藥水的濃度為bn%.(1)證明an+bn是一個常數(shù)；(2)求an與an-1的關(guān)系式；(3)求an的表達式.【答案】(1)見解析；(2)an=an-1+；(3)an=3()n+9.【解析】(1)顯然不論如何操作,兩種農(nóng)藥中含有的溶質(zhì)是不變的,這是問題的實際應(yīng)用;(2)建立第n-1次操作后兩種藥水的濃度和第n次操作后A噴霧器中藥水濃度的關(guān)系式;(3)利用(1)(2)的結(jié)果求解遞推數(shù)列.【詳解】(1)開始時,A中含有10×12%=1.2千克的農(nóng)藥,B中含有10×6%=0.6千克的農(nóng)藥,n次操作后,A中含有10×an%=0.1an千克的農(nóng)藥,B中含有10×bn%=0.1bn千克的農(nóng)藥,它們的和應(yīng)與開始時農(nóng)藥的質(zhì)量和相等,從而有0.1an