中考數(shù)學一輪知識點梳理二　方程、不等式及其應(yīng)用課件

二方程、不等式及其應(yīng)用第5課時一次方程(組)及其應(yīng)用1.掌握等式的基本性質(zhì),能解一元一次方程.2.掌握代入消元法和加減消元法解二元一次方程組,并能列方程(組)

解決實際問題.3.能根據(jù)具體問題的實際意義,檢驗方程的解是否合理.知識點1一元一次方程及其解法1.一元一次方程:在整式方程中,只含有

個未知數(shù),并且未知數(shù)

的次數(shù)是

,這樣的方程叫做一元一次方程.它的一般形式為

.

2.方程的解:使方程左右兩邊

的未知數(shù)的值,叫做方程的解,又

叫做方程的根.

3.等式的基本性質(zhì):(1)等式兩邊

,所得的結(jié)果

仍是等式;

(2)等式兩邊

,所得的結(jié)果

仍是等式.

一1ax+b=0(a≠0)相等同時加上(或減去)同一個數(shù)或整式同時乘(或除以)一個不為0的數(shù)4.一元一次方程的解法:步驟具體做法去分母若未知數(shù)的系數(shù)有分母,則去分母,注意不要漏乘不含分母的項去括號若方程中有括號,括號前是負號,去括號后括號里面各項要

移項把含有未知數(shù)的項都移到方程的一邊,其他項都移到方程的另一邊(記住移項要

)

合并同類項把方程化成ax=b(a≠0)的形式系數(shù)化為1在方程兩邊都除以未知數(shù)的

,得到方程的解

變號變號系數(shù)a

知識點2二元一次方程(組)及其解法1.二元一次方程:含有

個未知數(shù)(元),并且未知數(shù)的次數(shù)都是

的整式方程,叫做二元一次方程.

2.二元一次方程組:含有兩個未知數(shù),每個未知數(shù)的項的次數(shù)都是1,并

且一共有

方程,像這樣的方程組叫做二元一次方程組.

3.二元一次方程的解:適合二元一次方程的一對未知數(shù)的值叫做這個

二元一次方程的一組解,一個二元一次方程有

組解.

4.二元一次方程組的解:二元一次方程組中的

,叫做二元一次

方程組的解.

5.二元一次方程組解法的基本思想:解二元一次方程組的基本思想是

,把二元一次方程組轉(zhuǎn)化為

.

兩1兩個無數(shù)公共解消元一元一次方程知識點3一次方程(組)的應(yīng)用1.列方程(組)解應(yīng)用題的一般步驟:步驟具體做法(1)審審題,分析題中已知條件和所求問題,明確各數(shù)量之間的關(guān)系(2)設(shè)設(shè)未知數(shù)(可設(shè)直接或

未知數(shù))

(3)列根據(jù)題意尋找

列方程(組)

(4)解解方程(組)(5)驗檢驗所得的解是不是方程(組)的解,并且要檢驗是否符合題意,不符合的要舍去(6)答寫出答案(包括單位名稱)間接等量關(guān)系2.一次方程(組)?？紤?yīng)用類型及重要等量關(guān)系:類型重要等量關(guān)系增長(下降)率問題配套問題打折銷售問題銷售價=標價×折扣銷售額=銷售價×銷量利潤=銷售價-進價類型重要等量關(guān)系打折銷售問題行程問題相向而遇甲走的路程+乙走的路程=全程同向追及(甲追乙)同地不同時:s甲走的路程=s乙走的路程同時不同地:s甲走的路程=s乙走的路程+兩地距離水中航行順水速度=靜水速度+水流速度逆水速度=靜水速度-水流速度工程問題工作量=工作時間×工作效率合作的效率=各單獨做的效率和

[誤區(qū)警示]

解一元一次方程時要注意以下幾點:(1)去分母時不要漏乘不含有分母的項.(2)分數(shù)線有兩層意義:①它是除號;②它起到括號的作用,所以在去分母時,應(yīng)該將分子用括號括上.(3)去括號時,要防止漏乘某一項或符號錯誤.(4)移項時要變號.(5)系數(shù)化為1時,分子、分母不能顛倒.

考點三利用一次方程(組)解決實際問題例4

(2022·婁底)科學研究表明:樹葉在光合作用后產(chǎn)生的分泌物能夠吸附空氣中的懸浮顆粒物,具有滯塵凈化空氣的作用.已知一片銀杏樹葉一年的平均滯塵量比一片國槐樹葉一年的平均滯塵量的2倍少4mg,一片國槐樹葉和一片銀杏樹葉一年的平均滯塵總量為62mg.(1)請分別求出一片國槐樹葉和一片銀杏樹葉一年的平均滯塵量;(2)一森林公園某處有始于唐代的三棵銀杏樹,據(jù)估計三棵銀杏樹共有50000片樹葉,則這三棵銀杏樹一年的平均滯塵總量約為多少千克?[思路點撥](1)題目中的數(shù)量關(guān)系:一片銀杏樹葉一年的平均滯塵量比一片國槐樹葉一年的平均滯塵量的2倍少4mg,一片國槐樹葉和一片銀杏樹葉一年的平均滯塵總量為62mg,根據(jù)上述數(shù)量關(guān)系設(shè)未知數(shù)列出二元一次方程組求解;(2)由(1)的結(jié)果列式計算即可.

[誤區(qū)警示]

列二元一次方程組解決實際問題的注意事項:(1)單位必須統(tǒng)一;(2)等式兩邊的意義必須相同;(3)解方程后要檢驗,不合題意的解要舍去;(4)作答時要包含單位.考點四古詩文中的方程(組)例5(2022·連云港)我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》中有這樣一個問題:“今有共買物,人出八,盈三;人出七,不足四.問人數(shù)、物價各幾何?”其大意如下:今有幾個人共同出錢購買一件物品,每人出8錢,剩余3錢;每人出7錢,還缺4錢.問人數(shù)、物品的價格各是多少?請你求出以上問題中的人數(shù)和物品的價格.[思路點撥]

設(shè)有x人,物品的價格為y錢,由“每人出8錢,剩余3錢;每人出7錢,還缺4錢”列出二元一次方程組,解方程組即可.[非常點評]古詩文中的方程(組)是中考?？純?nèi)容,解題的關(guān)鍵是要明確題意,捕捉題目中的數(shù)量關(guān)系,進而列出方程(組).

AA

A15157.(2022·泰安)某茶葉店第一次購進了A種茶葉30盒,B種茶葉20盒,共

花費6000元;第二次購進時,兩種茶葉每盒的價格都提高了20%,該店

又購進了A種茶葉20盒,B種茶葉15盒,共花費5100元.求第一次購進的

A,B兩種茶葉每盒的價格.

8.(2021·鎮(zhèn)江)《九章算術(shù)》被歷代數(shù)學家尊為“算經(jīng)之首”.其中記

載了一個關(guān)于“盈不足”的問題:“今有共買金,人出四百,盈三千四

百;人出三百,盈一百.問人數(shù)、金價各幾何?”其大意如下:現(xiàn)在有人

合伙買金,每人出400錢,會剩余3400錢;每人出300錢,會剩余100錢.

合伙人數(shù)、金價各是多少?請你求出以上問題中的合伙人數(shù)和金價.

第6課時一次不等式(組)及其應(yīng)用1.能根據(jù)具體問題中的大小關(guān)系了解不等式的意義,探索并掌握不等式的基本性質(zhì).2.能運用不等式的基本性質(zhì)解一元一次不等式(組),能在數(shù)軸上表

示一元一次不等式的解集,會用數(shù)軸確定一元一次不等式組的解

集.3.能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系列出一元一次不等式或一元一次不

等式組,解決簡單的實際問題.知識點1不等式及其性質(zhì)1.不等式的相關(guān)概念:(1)用“>”“<”等不等號表示

的式子,叫做不等式;

(2)使不等式成立的

的值叫做不等式的解;

(3)使不等式成立的未知數(shù)的

叫做不等式的解集;

(4)求不等式的

的過程叫做解不等式.

不等關(guān)系未知數(shù)取值范圍解集2.不等式的基本性質(zhì):性質(zhì)文字敘述式子表示性質(zhì)1不等式的兩邊都加上(或減去)同一個

,不等號的方向

若a>b,則a±c>b±c性質(zhì)2(1)不等式的兩邊都乘(或除以)同一個

,不等號的方向

(2)不等式的兩邊都乘(或除以)同一個

,不等號的方向

數(shù)或整式不變正數(shù)不變負數(shù)改變[溫馨提示]

運用不等式的性質(zhì)2的第(2)點解題時,切記要改變不等號的方向.知識點2一元一次不等式及其解法1.一元一次不等式:只含有

個未知數(shù),且未知數(shù)的次數(shù)是

的

不等式.

2.解一元一次不等式的基本步驟:(1)去分母;(2)

;(3)

;(4)

;(5)系數(shù)化為1.

3.解集的表示:一1去括號移項合并同類項解集在數(shù)軸上的表示總結(jié)x<a在數(shù)軸上表示解集時,要注意“兩定”:一定邊界點,二定方向.定邊界點時,“≥”或“≤”是實心點,“>”或“<”是空心圈;定方向的原則為小于向左,大于向右x>ax≤ax≥a知識點3一元一次不等式組及其解法1.一元一次不等式組的概念:把幾個含有同一個未知數(shù)的一次不等式聯(lián)

立在一起,就組成了一個一元一次不等式組.2.不等式組的解集:不等式組中所有不等式的解集的

部分叫做

這個不等式組的解集.

3.解不等式組:求不等式組解集的過程叫做解不等式組.4.不等式組的解集的求法:解不等式組時一般先分別求出不等式組中各

個不等式的解集并表示在數(shù)軸上,再求出它們的公共部分就得到不等

式組的

.

公共解集5.不等式組的解集情況(假設(shè)a<b):x>b同大取大x<a同小取小a<x<b大小小大中間找無解大大小小無處找知識點4列不等式解應(yīng)用題的一般步驟1.審:審題,分析題中已知什么、求什么,明確各數(shù)量之間的關(guān)系,找出題目中包含的所有不等關(guān)系;2.設(shè):設(shè)未知數(shù)(一般求什么就設(shè)什么);3.列:根據(jù)這個不等關(guān)系列出需要的代數(shù)式,從而列出不等式;4.解:解所列出的不等式,寫出未知數(shù)的值或范圍;5.驗:檢驗所求的解是否符合題意;6.答:寫出結(jié)論(包括單位).[溫馨提示]

對于列不等式解決實際問題,一般所求問題中含有“至少(≥)”“最大(≤)”“不超過(≤)”“不少于(≥)”“不小于(≥)”“不大于(≤)”等詞時,要正確理解這些詞的含義.考點一不等式的性質(zhì)例1

(2022·宿遷)如果x<y,那么下列不等式正確的是

(

)A.2x<2y B.-2x<-2yC.x-1>y-1 D.x+1>y+1由不等式的基本性質(zhì)1,可知x-1<y-1,x+1<y+1,故選項C,D不合題意.由不等式的基本性質(zhì)2,可知2x<2y,-2x>-2y,故選項A符合題意,選項B不合題意.故選A.[誤區(qū)警示]

運用不等式的性質(zhì)對不等式進行變形時,要特別注意性質(zhì)2,在乘(或除以)同一個數(shù)時,必須先弄清這個數(shù)是正數(shù)還是負數(shù),如果是負數(shù),那么不等號的方向要改變.

[非常點評]在數(shù)軸上表示不等式的解集需要遵循的規(guī)律:大于時向右,小于時向左;不等式的解集中含有等號時,這個點用實心點表示,否則用空心圈表示.

去分母,得4x-2>3x-1.移項,得4x-3x>-1+2.合并同類項,得x>1.將不等式的解集表示在數(shù)軸上如圖所示.[誤區(qū)警示]在去分母和系數(shù)化為1時,如果不等式兩邊同時乘或除以一個負數(shù),那么不等號方向要改變.利用不等式的基本性質(zhì)進行變形時,要注意去括號、移項過程中各項的符號及不等號的變化.在把未知數(shù)的系數(shù)化為1時,若系數(shù)為正,則不等號的方向不變;若系數(shù)為負,則不等號的方向必須改變.

[方法歸納]

求不等式組的解集的方法

求不等式組的解集就是求組成不等式組的幾個不等式的解集的公共部分,確定解集的公共部分可利用數(shù)軸,也可利用口訣“同大取大,同小取小,大小小大中間找,大大小小無處找”進行驗證.

由3x-6>0,得x>2.∵不等式組的解集為x>2,∴m≤2.[誤區(qū)警示]

對于這類題我們可用解不等式組的口訣來求解不等式組中參數(shù)的取值范圍,而最容易出錯的地方是不知其是否帶等號.一般地,我們先設(shè)定能帶等號,再看是否滿足題意,若不滿足題意,則這個等號一定要舍去.

考點七一元一次不等式的應(yīng)用例9(2022·湘西州)為了傳承雷鋒精神,某中學向全校師生發(fā)起“獻愛心”募捐活動,準備向西部山區(qū)學校捐贈籃球、足球兩種體育用品.已知籃球的單價為100元,足球的單價為80元.(1)原計劃募捐5600元,全部用于購買籃球和足球.如果恰好能夠購買籃球和足球共60個,那么原計劃籃球和足球各購買多少個?(2)在募捐活動中,由于師生的捐款積極性高漲,實際收到捐款共6890元.如果購買籃球和足球共80個,且支出不超過6890元,那么籃球最多能購買多少個?[思路點撥](1)根據(jù)“購買籃球和足球共60個”及“原計劃募捐5600元”,設(shè)未知數(shù)列方程組即可解答;(2)設(shè)籃球購買a個,則足球購買(80-a)個,根據(jù)“支出不超過6890元”列不等式求解即可解答.[非常點評]對于方程組與不等式的綜合問題,解題的關(guān)鍵是找到相應(yīng)的等量關(guān)系和不等關(guān)系來分別列出方程組和不等式.另外,在實際問題情境中還會涉及整數(shù)性和非負性等知識.

AA

D

x>10≤x<1由5x-10≤0,得x≤2;由x+3>-2x,得x>-1.∴不等式組的解集為-1<x≤2.將不等式組的解集表示在數(shù)軸上如圖所示7.(2022·宿遷)某單位準備購買文化用品,現(xiàn)有甲、乙兩家超市進行促銷活動,這種文化用品在兩家超市的標價均為10元/件,甲超市一次性購買不超過400元的不優(yōu)惠,超過400元的部分按標價的6折售賣;乙超市全部按標價的8折售賣.(1)若該單位需要購買30件這種文化用品,則在甲超市的購物金額為

元,在乙超市的購物金額為

元;

(2)假如你是該單位的采購員,你認為選擇哪家超市支付的費用較少?(1)解析:∵10×30=300(元),300<400,∴在甲超市的購物金額為300元,在乙超市的購物金額為300×0.8=240(元).300240(2)設(shè)購買x件這種文化用品.當0<x≤40時,在甲超市的購物金額為10x元,在乙超市的購物金額為0.8×10x=8x(元).∵10x>8x,∴選擇乙超市支付的費用較少.當x>40時,在甲超市的購物金額為400+0.6(10x-400)=(6x+160)元,在乙超市的購物金額為0.8×10x=8x(元).若6x+160>8x,則x<80;若6x+160=8x,則x=80;若6x+160<8x,則x>80.綜上所述,當購買數(shù)量不足80件時,選擇乙超市支付的費用較少;當購買數(shù)量為80件時,選擇甲、乙兩家超市支付的費用相同;當購買數(shù)量超過80件時,選擇甲超市支付的費用較少第7課時分式方程及其應(yīng)用1.會解可化為一元一次方程的分式方程,并能注意驗根.2.能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系列出分式方程,能根據(jù)具體問題的

實際意義檢驗結(jié)果是否合理.知識點1分式方程及其解法1.分式方程:分母中含有

的方程叫做分式方程.

2.解分式方程的步驟:(1)兩邊都乘各分式的最簡公分母,把分式方程轉(zhuǎn)化為

方程;(2)解這個整式方程;(3)把整式方程的解代入最簡公分母或原分式方程的各分母中進行

檢驗.3.增根的產(chǎn)生:一般地,解分式方程時,去分母后所得整式方程的解有可

能使原方程中的分母為0,因此應(yīng)進行如下檢驗:將整式方程的解代入

,如果

,那么整式方程的解是原

分式方程的解;否則,這個解不是原分式方程的解,是增根.

未知數(shù)整式最簡公分母最簡公分母不為0[溫馨提示]

分式方程的增根與無解并非同一個概念,分式方程無解,可能是解為增根,也可能是去分母后的整式方程無解;分式方程的增根是去分母后的整式方程的根,也是使分式方程的分母為0的根.知識點2分式方程的應(yīng)用列分式方程解實際問題與列一次方程(組)解應(yīng)用題不一樣的是:要檢驗

次,既要檢驗求出來的解是否為原方程的根,又要檢驗是否

.2符合實際意義

(1)方程兩邊同乘x-2,得2x=x-2+1,解得x=-1.檢驗:當x=-1時,x-2≠0.∴原分式方程的解是x=-1.(2)方程兩邊同乘x-4,得3-x=-1-2(x-4),解得x=4.檢驗:當x=4時,x-4=0.∴x=4不是原方程的解,原分式方程無解.考點三列分式方程解應(yīng)用題例3(2022·西藏)某班在慶祝中國共產(chǎn)主義青年團成立100周年活動中,給學生發(fā)放筆記本和鋼筆作為紀念品.已知筆記本的單價比鋼筆的單價多2元,用240元購買筆記本的數(shù)量與用200元購買鋼筆的數(shù)量相同.(1)筆記本和鋼筆的單價各是多少元?(2)若給全班50名學生每人發(fā)放一本筆記本或一支鋼筆作為本次活動的紀念品,要使購買紀念品的總費用不超過540元,則最多可以購買多少本筆記本?[思路點撥](1)可設(shè)鋼筆的單價為x元,則筆記本的單價為(x+2)元,根據(jù)“用240元購買筆記本的數(shù)量與用200元購買鋼筆的數(shù)量相同”列出方程求解;(2)根據(jù)“總費用不超過540元”列一元一次不等式求解即可.[方法歸納]

列方程或不等式解應(yīng)用題的基本方法首先審題,找出題中的未知量和所有的已知量,直接設(shè)要求的未知量或間接設(shè)一關(guān)鍵的未知量為x,然后用含x的代數(shù)式表示相關(guān)的量,找出量之間的相等或不等關(guān)系列方程或不等式,再求解、檢驗、作答,即審、設(shè)、列、解、驗、答.對于列分式方程解應(yīng)用題,一定要注意檢驗,檢驗要考慮兩個方面:一是方程的解是否為原方程的解,二是方程的解是否符合題意.

AC解析:方程兩邊同時乘x-1,得2x-m+3=x-1,解得x=m-4.∵方程的解是正數(shù),∴m-4>0,解得m>4.∵x≠1,∴m-4≠1,即m≠5.∴m的取值范圍是m>4且m≠5.故選C.

Ax=2

6.某工程隊承擔了某道路1800米長的建造任務(wù).該工程隊在建造完720米

道路后,引進了新設(shè)備,平均每天的工作效率比原來提高了20%,結(jié)果共

用27天完成了任務(wù),則引進新設(shè)備前該工程隊平均每天建造多少米道

路?

7.(2022·遼寧)麥收時節(jié),為確保小麥顆粒歸倉,某農(nóng)場安排A,B兩種型號的收割機進行小麥收割作業(yè).已知一臺A型收割機比一臺B型收割機平均每天多收割2公頃小麥,一臺A型收割機收割15公頃小麥所用時間與一臺B型收割機收割9公頃小麥所用時間相同.(1)一臺A型收割機和一臺B型收割機平均每天各收割多少公頃小麥?(2)該農(nóng)場安排兩種型號的收割機共12臺同時進行小麥收割作業(yè),為確保每天完成不少于50公頃的小麥收割任務(wù),至少要安排幾臺A型收割機?

第8課時一元二次方程及其應(yīng)用1.了解一元二次方程的定義及一般形式.2.理解配方法,能用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程.3.會用一元二次方程根的判別式判斷方程是否有實數(shù)根和兩個實數(shù)

根是否相等.4.了解一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系.5.能根據(jù)具體問題的實際意義檢驗方程的解是否合理.知識點1一元二次方程及其解法1.一元二次方程:只含有

個未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是

的

式方程叫做一元二次方程.

2.一元二次方程的一般形式是

(a

0),其中ax2叫做

項,a是

,bx叫做

項,b是

,

c叫做

項.

一2ax2+bx+c=0≠二次二次項系數(shù)一次一次項系數(shù)常數(shù)整3.一元二次方程的解法:解法適用方程類型步驟直接開平方法形如(x+a)2=b(b≥0)的方程配方法二次項系數(shù)化為1后,一次項系數(shù)為2的倍數(shù)的方程(1)若二次項系數(shù)不為1,先把系數(shù)化為

再配方;

(2)把常數(shù)項移到方程的另一邊;(3)在方程兩邊同時加上一次項系數(shù)

;

(4)把方程整理成(x+a)2=b(b≥0)的形式;(5)運用直接開平方法解方程1一半的平方解法適用方程類型步驟公式法所有一元二次方程都適用(1)將方程化成ax2+bx+c=0(a≠0)的形式;(2)確定a,b,c的值;(3)若b2-4ac≥0,則代入求根公式x=

;若b2-4ac<0,則方程沒有實數(shù)根因式分解法方程一邊為0,另一邊能分解成兩個一次因式的積(1)將方程一邊化為0;(2)把方程的另一邊分解為兩個一次因式的積;(3)令每個因式分別為0,轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程;(4)解這兩個一元一次方程,它們的解就是原方程的根

知識點2一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系1.根的判別式:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式為

.2.一元二次方程根的情況與根的判別式的關(guān)系:(1)當b2-4ac>0時,方程有兩個

的實數(shù)根;

(2)當b2-4ac=0時,方程有兩個

的實數(shù)根;

(3)當b2-4ac<0時,方程沒有實數(shù)根.3.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系:

若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根為x1,x2,則x1+x2=

,x1·x2=

.

b2-4ac不等相等

知識點3一元二次方程的應(yīng)用1.一般步驟:審、設(shè)、列、解、驗、答.2.列一元二次方程解應(yīng)用題的常見類型:(1)增長(下降)率問題;(2)面積問題;(3)銷售利潤問題.考點一一元二次方程根的定義例1

(2022·連云港)若關(guān)于x的一元二次方程mx2+nx-1=0(m≠0)的一個解是x=1,則m+n的值是

.

把x=1代入方程mx2+nx-1=0,得m+n-1=0,解得m+n=1.[誤區(qū)警示]

對于這類問題可根據(jù)方程根的定義直接代入方程,得到含有字母的方程,解之即可.當二次項系數(shù)為字母時,要注意求出的字母的值要滿足二次項系數(shù)不為0.考點二一元二次方程的解法例2

解方程:(1)(2022·無錫)x2-2x-5=0;(2)(2022·齊齊哈爾)(2x+3)2=(3x+2)2.

[非常點評]

若一次項系數(shù)為0(如ax2+c=0),則應(yīng)選用直接開平方法;若常數(shù)項為0(如ax2+bx=0)或方程兩邊有共同的因式,則應(yīng)選用因式分解法;若一次項系數(shù)和常數(shù)項都不為0(如ax2+bx+c=0)且不宜分解因式,則應(yīng)考慮公式法;若方程的二次項系數(shù)為1,一次項系數(shù)為偶數(shù),則用配方法較為簡便.需要注意的是,用公式法需先將方程化為一般式,然后確定b2-4ac的值;用配方法需注意等號兩邊要同時加上相同的數(shù).另外,解一元二次方程時,在沒有指定方法的情況下,一般按以下順序選擇:直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法,具體題目還要看方程的特點.考點三一元二次方程根的判別式例3

(2022·威海)若關(guān)于x的一元二次方程x2-4x+m-1=0有兩個不相等的實數(shù)根,則m的取值范圍是

.

由題意,得b2-4ac=(-4)2-4×1×(m-1)=20-4m>0,解得m<5.[誤區(qū)警示]一元二次方程有實數(shù)根的條件是b2-4ac≥0,從而列出有關(guān)的不等式,還應(yīng)分清一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根與有兩個實數(shù)根的區(qū)別.

例5

(2022·南充)已知關(guān)于x的一元二次方程x2+3x+k-2=0有實數(shù)根.(1)求實數(shù)k的取值范圍;(2)設(shè)方程的兩個實數(shù)根分別為x1,x2,若(x1+1)(x2+1)=-1,求k的值.[思路點撥](1)根據(jù)題意,知b2-4ac≥0,則可得與k有關(guān)的不等式,解之即可;(2)將(x1+1)(x2+1)=-1轉(zhuǎn)化為x1x2+(x1+x2)+1=-1,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2=-3,x1x2=k-2,將它們代入上述式子可得與k有關(guān)的方程,從而求出k的值.

[誤區(qū)警示]

在解決根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系的綜合題時,必須注意以下兩個方面:(1)一元二次方程的二次項系數(shù)不為0;(2)用根與系數(shù)的關(guān)系的前提是根的判別式為非負數(shù),這往往是最容易被忽略的.

考點五一元二次方程的實際應(yīng)用例6

(2022·眉山)建設(shè)美麗城市,改造老舊小區(qū).某市2019年投入資金1000萬元,2021年投入資金1440萬元,假定每年投入資金的增長率相同.(1)求該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長率.(2)2021年老舊小區(qū)改造的平均費用為每個80萬元.2022年為提高老舊小區(qū)品質(zhì),每個小區(qū)改造費用增加15%.若投入資金的年平均增長率保持不變,求該市在2022年最多可以改造多少個老舊小區(qū).[思路點撥](1)設(shè)該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長率為x,利用2021年投入資金金額=2019年投入資金金額×(1+年平均增長率)2,即可得出關(guān)于x的一元二次方程,解之取其正值即可得出結(jié)論;(2)設(shè)該市在2022年可以改造y個老舊小區(qū),根據(jù)2022年改造老舊小區(qū)所需資金不多于2022年投入資金金額,即可得出關(guān)于y的一元一次不等式,解之取其中的最大整數(shù)值即可得出結(jié)論.[非常點評]

對于增長率問題,我們可以總結(jié)出一個