二面角題型歸納及解題方法

二面角題型歸納及解題方法二面角大小的求法中知識的綜合性較強，方法的靈活性較大，一般而言，二面角的大小往往轉(zhuǎn)化為其平面角的大小，從而又化歸為三角形的內(nèi)角大小，在其求解過程中，主要是利用平面幾何、立體幾何、三角函數(shù)等重要知識。求二面角大小的關(guān)鍵是，根據(jù)不同問題給出的幾何背景，恰在此時當選擇方法，我們分為三類問題六種解題方法。從而給出二面角的通性通法。第一類：有棱二面角的平面角的方法方法1、定義法：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角,這條直線叫做二面角的棱,這兩個半平面叫做二面角的面，在棱上取點，分別在兩面內(nèi)引兩條射線與棱垂直，這兩條垂線所成的角的大小就是二面角的平面角。本定義為解題提供了添輔助線的一種規(guī)律。如例1中從二面角S—AM—B中半平面ABM上的一已知點（B）向棱AM作垂線，得垂足（F）；在另一半平面ASM內(nèi)過該垂足（F）作棱AM的垂線（如GF），這兩條垂線（BF、GF）便形成該二面角的一個平面角，再在該平面角內(nèi)建立一個可解三角形，然后借助直角三角函數(shù)、正弦定理與余弦定理解題。例1、（全國卷Ⅰ理）如圖，四棱錐中，底面為矩形，底面，，，點M在側(cè)棱上，=60°（I）證明：M在側(cè)棱的中點（II）求二面角的余弦值。證（I）略FG解（II）：利用二面角的定義。在等邊三角形中過點作交于點，則點為AM的中點，過F點在平面ASM內(nèi)作，GF交AS于G，F(xiàn)G連結(jié)AC，∵△ADC≌△ADS，∴AS-AC，且M是SC的中點，∴AM⊥SC，GF⊥AM，∴GF∥AS，又∵為AM的中點，∴GF是△AMS的中位線，點G是AS的中點。則即為所求二面角.FG∵，則，又∵，∴FG∵，∴△∴在△中，，，，∴∴二面角的大小為PBαCAEFPBαCAEFD解：過PC上的點D分別作DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，連EF.∴∠EDF為二面角B-PC-A的平面角，設CD=a，∵∠PCA=∠PCB=600，∴CE=CF=2a，DE=DF=，又∵∠ACB=900，∴EF=，∴∠EDF=方法2、三垂線法三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直．通常當點P在一個半平面上則通常用三垂線定理法求二面角的大小。本定理亦提供了另一種添輔助線的一般規(guī)律。如（例2）過二面角B-FC-C中半平面BFC上的一已知點B作另一半平面FC1C的垂線，得垂足O；再過該垂足O作棱FC1的垂線，得垂足P，連結(jié)起點與終點得斜線段PB，便形成了三垂線定理的基本構(gòu)圖（斜線PB、垂線BO、射影OP）。再解直角三角形求二面角的度數(shù)。例2．(山東卷理)如圖，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD為等腰梯形，AB//CD，AB=4,BC=CD=2,AA=2,E、E、F分別是棱AD、AA、AB的中點。EABCFEEABCFE1A1B1C1D1D求二面角B-FC-C的余弦值。證（1）略解EABCFE1A1B1C1D1DF1OP（2）因為AB=4,BC=CD=2,、F是棱AB的中點,所以BF=BC=CF,△BCF為正三角形,取CF的中點O,則OB⊥CF,又因為直四棱柱ABCD-ABCD中,CC1⊥平面ABCD,所以CC1⊥BO,所以OB⊥平面CC1F,過O在平面CC1F內(nèi)作OP⊥C1F,垂足為P,連接BP,則∠OPB為二面角B-FCEABCFE1A1B1C1D1DF1OP在Rt△OPF中,,,所以二面角B-FC-C的余弦值為.舉一反三：在四棱錐P-ABCD中，ABCD是平行四邊形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A的大小。解：如圖，PA⊥平面BD，過A作AH⊥BC于H，連結(jié)PH，則PH⊥BC又AH⊥BC，故∠PHA是二面角P-BC-A的平面角。在Rt△ABH中，AH=ABsin∠ABC=aSin30°=；在Rt△PHA中，tan∠PHA=PA/AH=，則∠PHA=arctan2.方法3、垂面法:垂面法：已知二面角內(nèi)一點到兩個面的垂線時，過兩垂線作平面與兩個半平面的交線所成的角即為平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面與棱垂直。例3在四棱錐P-ABCD中，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，求B-PC-D的大小。解：（垂面法）如圖，PA⊥平面BDBD⊥ACBD⊥BC過BD作平面BDH⊥PC于HPC⊥DH、BH∠BHD為二面角B-PC-D的平面角。因PB=a,BC=a,PC=a,PB·BC=S△PBC=PC·BH則BH==DH，又BD=在△BHD中由余弦定理，得：cos∠BHD＝，又0＜∠BHD＜π，則∠BHD=，二面角B-PC-D的大小是。第二類．無棱二面角的處理方法本法是針對在解構(gòu)成二面角的兩個半平面沒有明確交線的求二面角題目時，要將兩平面的圖形補充完整，使之有明確的交線（稱為補棱），然后借助前述的定義法與三垂線法解題。即當二平面沒有明確的交線時，一般用補棱法解決方法4：射影面積法（）凡二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個半平面上的射影圖形面積的都可利用射影面積公式（cos）求出二面角的大小。例4在四棱錐P-ABCD中，ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝a，求平面PBA與平面PDC所成二面角的大小。解：（面積法）如圖，，同時，BC⊥平面BPA于B，故△PBA是△PCD在平面PBA上的射影設平面PBA與平面PDC所成二面角大小為θ，則cosθ=θ=45°舉一反三：如圖，在三棱錐中，，，，．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求二面角的余弦值；分析：本題要求二面角B—AP—C的大小，如果利用射影面積法解題，不難想到在平面ABP與平面ACP中建立一對原圖形與射影圖形并分別求出S原與S射于是得到下面解法。解：（Ⅰ）證略（Ⅱ），，．ACBEP又ACBEP又，即，且，平面．取中點．連結(jié)．，．是在平面內(nèi)的射影，．∴△ACE是△ABE在平面ACP內(nèi)的射影，于是可求得：，，則，A1D1B1CA1D1B1C1EDBCA圖5∴二面角的大小為方法5平移或延長（展）線（面）法：對于一類沒有給出棱的二面角，應先延伸兩個半平面，使之相交出現(xiàn)棱，然后再選用上述方法（尤其要考慮射影法）。例5在四棱錐P-ABCD中，ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝a，求平面PBA與平面PDC所成二面角的大小。（補形化為定義法）解：（補形化為定義法）如圖，將四棱錐P-ABCD補形得正方體ABCD-PQMN，則PQ⊥PA、PD，于是∠APD是兩面所成二面角的平面角。在Rt△PAD中，PA=AD，則∠APD=45°。即平面BAP與平面PDC所成二面角的大小為45°第三類通法、向量法向量法解立體幾何中是一種十分簡捷的也是非常傳統(tǒng)的解法，可以說所有的立體幾何題都可以用向量法求解，用向量法解立體幾何題時，通常要建立空間直角坐標系，寫出各點的坐標，然后將幾何圖中的線段寫成用坐標法表示的向量，進行向量計算解題。在立體幾何中求二面角可歸結(jié)為求兩個向量的夾角問題．對于空間向量、，有cos＜，＞=．利用這一結(jié)論，我們可以較方便地處理立體幾何中二面角的問題．例6.在四棱錐V-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD．求面VAD與面VDB所成的二面角的余弦值．證明：建立如圖空間直角坐標系，并設正方形邊長為1，依題意ABCVABCVDxyz設=(1，y，z)是面VDB的法向量，則=(1，－1，－)?！郼os＜，＞=－，又由題意知，面VAD與面VDB所成的二面角為銳角，所以其余弦值是例7（天津卷理）如圖，在五面體ABCDEF中，F(xiàn)A平面ABCD,AD//BC//FE，ABAD，M為EC的中點，AF=AB=BC=FE=AD。,(I)求異面直線BF與DE所成的角的大??；(II)證明平面AMD平面CDE；(III)求二面角A-CD-E的余弦值。解：如圖所示，建立空間直角坐標系，以點為坐標原點。設依題意得（I）所以異面直線與所成的角的大小為.（II）證明：，（III）又由題設，平面的一個法向量為綜合應用在四棱錐P-ABCD中，已知ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，設PA=AB=1，BC=2，求二面角B-PC-D的大小.解析1.定義法過D作DE⊥PC于E，過E作EF⊥PC，交BC于F，連接FD，則是所求二面角B-PC-D的平面角.求解二面角B-PC-D的大小，只需解△DEF即可.所求角為BBDPCAEF解析一解析2.垂面法易證面PAB⊥面PBC，過A作AM⊥BP于M，顯然AM⊥面PBC，從而有AM⊥PC，同法可得AN⊥PC，再由AM與AN相交與A得PC⊥面AMN.設面AMN交PC于Q，則為二面角B-PC-D的平面角；∠MAN為它的補角，在三角形AMN中可解.計算較繁.BBDPCAＭＮＱ解析二解析3.利用三垂線求解把四棱錐P-ABCD補成如圖的直三棱柱PAB-EDC，顯然二面角E-PC-D與二面角D-PC-B互補，轉(zhuǎn)化為求二面角E-PC-D.易證面PEDA⊥PDC，過E作EF⊥PD于F，顯然PF⊥面PDC，在面PCE內(nèi)，過E作EG⊥PC于G，連接GF，由三線得GF⊥PC即為二面角E-PC-D的平面角，只需解△EFG即可.BBDPCA解析三EFG解析4.射影面積法。由解析3知，△PFC為△PEC在面PDC上的射影，由射影面積公式得，所求角為BBDPCA解析四EFG解析5.在面PDC內(nèi)，分別過D、B作DE⊥PC于E，BF⊥PC于F，連接EF即可.利用平面知識求BF、EF、DE的長度，再利用空間余弦定理求出q即可.BBDPCA解析五ＥＦ【自我檢測】1.如圖所示，過正方形ABCD的頂點A作PA⊥平面ABCD，設PA=AB=a，求:（1）二面角B—PC—D的大小；（2）平面PAB和平面PCD所成二面角的大小.解：（1）∵PA⊥平面ABCD，BD⊥AC，∴BD⊥PC（三垂線定理）在平面PBC內(nèi)，作BE⊥PC，E為垂足，連結(jié)DE，得PC⊥平面BED，從而DE⊥PC，即∠BED是二面角B—PC—D的平面角.在Rt△PAB中，由PA=AB=a，得PB=SKIPIF1<0a.∵PA⊥平面ABCD，BC⊥AB，∴BC⊥PB（三垂線定理）∴PC=SKIPIF1<0在Rt△PBC中，BE=SKIPIF1<0同理DE=SKIPIF1<0.在△BDE中，根據(jù)余弦定理，得cos∠BED=SKIPIF1<0SKIPIF1<0.∴∠BED=120°，即二面角B—PC—D的大小為120°.（2）過P作PQ∥AB，則PQSKIPIF1<0平面PAB.∵AB∥CD，∴PQ∥CD，PQSKIPIF1<0平面PCD.∵PA⊥AB，∴PA⊥PQ∵PA⊥平面ABCD，CD⊥AD.∴CD⊥PD即QP⊥PD，則∠APD即為所求的二面角，∵PA=AD=a,PA⊥AD，∴∠APD=45°即所求的二面角的大小為45°2.如圖，四邊形為正方形，分別為的中點，以為折痕把折起，使點到達點的位置，且.（1）證明：平面平面；（2）求與平面所成角的正弦值.解：（1）由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，所以BF⊥平面PEF.又平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD.（2）作PH⊥EF，垂足為H.由（1）得，PH⊥平面ABFD.以H為坐標原點，的方向為y軸正方向，為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標系H?xyz.由（1）可得，DE⊥PE.又DP=2，DE=1，所以PE=.又PF=1，EF=2，故PE⊥PF.可得.則為平面ABFD的法向量.設DP與平面ABFD所成角為，則.所以DP與平面ABFD所成角的正弦值為.3.如圖，四棱錐中，底面ABCD為矩形，底面ABCD，AD=PD，E，F(xiàn)分別CD、PB的中點.ABCDEFxABCDEFxyzP（Ⅱ）設AB=BC，求AC與平面AEF所成角的大小.（Ⅰ）證明：建立空間直角坐標系（如圖），設AD=PD=1，AB=（），則E(a,0,0),C(2a,0,0),A(0,1,0),B(2a,1,0),P(0,0,1),.得，，.由，得，即，同理，又，所以，EF平面PAB.（Ⅱ）解：由，得，即.ABCDEFxyABCDEFxyzP有，，.設平面AEF的法向量為，由，解得.于是.設AC與面AEF所成的角為，與的夾角為.則.得.所以，AC與平面AEF所成角的大小為.點評：設是平面的法向量，是平面的一條斜線，則與平面所成的角為。4.(·全國新課標)如圖，四棱錐PABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.(1)證明：PA⊥BD；(2)若PD＝AD，求二面角APBC的余弦值．[審題視點]會判斷法向量的方向，找準向量夾角與二面角是相等還是互補．(1)證明因為∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得BD＝eq\r(3)AD.從而BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD.又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD.又AD∩PD＝D.所以BD⊥平面PAD.故PA⊥BD.(2)解如圖，以D為坐標原點，AD的長為單位長，射線DA為x軸的正半軸建立空間直角坐標系Dxyz，則A(1,0,0)，B(0，eq\r(3)，0)，C(－1，eq\r(3)，0)，P(0,0,1)．＝(－1，eq\r(3)，0)，＝(0，eq\r(3)，－1)，＝(－1,0,0)．設平面PAB的法向量為n