2023年北京高考理科數(shù)學(xué)試卷含答案

2023北京理

一、選擇題共8小題，每題5分，共40分。在每題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。

1.集合4={x||x|<2},B={-2,0,1,2),則4n8=

A.{0,1)B.{-L0,1)C.(-2,0,1,2)D.{-1,0,1,2)

【解析】因|x|V2,故一2VxV2,因此ACB={-2,0,1,2}D(-2,2)={0,1},選A.

2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)」-的共甄復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于

1-i

A.第一象限B.其次象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

11+i111111

【解析】口=亍=2+習(xí)，其共扼復(fù)數(shù)為『0對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為如一亦應(yīng)選D.

3.執(zhí)行如以下圖的程序框圖，輸出的S值為

1577

2B-6C-6D-Ti

11

【解析】初始化數(shù)值k=1,S=l,循環(huán)結(jié)果執(zhí)行如下：第一次：S=l+(—1)/2-2丁22》3不成

1155

立；其次次；S='+(—1)2?十gk=323成立，循環(huán)完畢，輸出S=彳，應(yīng)選B.

4.“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堵最早用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出半音比例，為這個(gè)理論

的進(jìn)展做出了重要奉獻(xiàn).十二平均律將一個(gè)純八度音程分成十二份，依次得到十三個(gè)單音，從第

二個(gè)單音起，每一個(gè)單音的頻率與它的前一個(gè)單音的頻率的比都等于口6.假設(shè)第一個(gè)單音的頻率為

/，則第八個(gè)單音的頻率為

A.yfifB.運(yùn)力c.'我fD

【解析】從其次個(gè)單音起，每一個(gè)單音的頻率與它的前一個(gè)單音的頻率的比都等于12正，第一個(gè)單

音的頻率為/.由等比數(shù)列的定義知，這十三個(gè)單音的頻率構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為/,公比為I、「的等比數(shù)

列，記為｛aj.則第八個(gè)單音頻率為。8=/('的8-?=1、廠

2if.5.某四棱錐的三視圖如以下圖，在此四棱錐的側(cè)面中，直

A.1B.2C.3D.4

【解析】在正方體中作出該幾何體的直觀圖，記為四棱錐P—A8CD,如圖，由圖可知在此四棱錐

的側(cè)面中，直角三角形的個(gè)數(shù)為3,是△P4D,△PCD,△R48.

6.設(shè)a,b均為單位向量，則"|a—3bl=|3a+b|"是"a_Lb"的

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【解析】山一3h|=|3a+b|<=>|a―3l|2=|3a+b|20a2—6a9b2=9a2+6a?b+b2,因a,b均為單位向

量，故a?b=0,即a，b,即“|a—3bl=|3a+b|”是“a，b”的充分必要條件.選

C.7.在平面直角坐標(biāo)系中，記d為點(diǎn)P(cos。，sin。)到直線x-my—2=0的距離，當(dāng)仇m變化

時(shí)，d的最大值為

A.1B.2C.3D.4

【解析】因cos20+sin20=l,故P為單位圓上一點(diǎn)，而直線x—my—2=0過(guò)點(diǎn)4(2,0),故d的最

大值為04+1=2+1=3,選C.

8.設(shè)集合4=｛(x,y)\x—y^l,ax+y>4,x—ay^2),貝ij

A.對(duì)任意實(shí)數(shù)a,(2,l)e4B.對(duì)任意實(shí)數(shù)a,(2,1)4

3

C.當(dāng)且僅當(dāng)aVO時(shí)，(2,1界4D(2,1)知

［解析］假設(shè)(2,1)(2,1)

設(shè)A,則a>￡且心0,即假G4,則。弓，此命題的逆否命題為：假設(shè)a*2，

則有(2,1派4,應(yīng)選D.

二、填空題共6小題，每題5分，共30分。

9.設(shè)｛4｝是等差數(shù)列，且4=3,。2+。5=36,則｛4｝的通項(xiàng)公式為.

【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為d,因4=3,且。2+。5=2q+5d=36,故d=6,故an=3+(n-l>6

—6n—3.

10.在極坐標(biāo)系中，直線pcose+psine=Q(Q>0)與圓2=2cos。相切，則Q=.

【解析】因p2=x?+y2,x=pco$仇y=psin仇由，cose+〃sin6=Q(Q>0)得，x+y=Q(Q>0)，由p

=2cos9得，p2=2〃cos仇即x2+y2=2x,即(x—1)2+y=1,因直線與圓相切，故1—Q|/、R=1,故

0=1±W，因Q>0,故Q=1+*.

兀

11.設(shè)函數(shù)/(X)=COS(0X0>0).假設(shè)對(duì)任意的實(shí)數(shù)X都成立，則0的最小值為.

一71一

艮x)Wf-6)((J

nnitneo

【解析】由于對(duì)任意的實(shí)數(shù)都有外)勺⑷成立，故當(dāng)x=/寸，函數(shù)/U)有最大值，故人了)=1,~

it22

d=2/or(k￡Z),故口=8k+g(k￡Z),又切>0,故明1而=不

12.假設(shè)x,y滿(mǎn)足x+lWy〈2x,則2y—x的最小值是.

［y=x+l,

【解析】作可行域，如圖，由］=2x,得交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2),則直線z=2y-x過(guò)點(diǎn)4(1，2)時(shí)，

取最小值3.

13.能說(shuō)明“假設(shè)/(x)>/(0)對(duì)任意的xG(0,2］都成立，則/U)在［0,2］上是增函數(shù)”為假命題的一

個(gè)函數(shù)是.

【解析】令=,則/(x)>/(0)對(duì)任意的xd(o,2］都成立，但/(x)在［0,2］上不是增

函數(shù).又如,令人x)=sinx,則<0)=0,段)>式0)對(duì)任意的XO(0,2］都成立,但貝X)在［0,2］上不是

增函數(shù).

14.橢圓M：-￡及l(fā)(a>b>0),雙曲線N：假設(shè)雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M

02b2m2H2

的四個(gè)交點(diǎn)及橢圓M的兩個(gè)焦點(diǎn)恰為一個(gè)正六邊形的頂點(diǎn)，則橢圓M的離心率為.

【解析】設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F(c,0),雙曲線N的漸近線與橢圓M在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為A,由題

(CC23C2

意可知AW，2),由點(diǎn)A在橢圓M上得，4^+-=1，故b2c：+3a2c2=4a2b2,因b2=a2—c2,

故(cn—C2)a+3a2c2=4a2(cn—c2),則4a4—8a2c2+c4=0,e4—8e2+4=0,故e2=4+2#(舍)，e2=4

一2木.由0<e<l,得e=5—1.

三、解答題共6小題，共80分。解同意寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。

15.在中，a=7,。=8,cos

15—一丁

(I)求乙4;

(H)求SC邊上的高.

1_______4.J3tfsinB

【解析】(1)在ZVIBC中，由于cos8=—],所以sin—cos2B=7?由正弦定理得sin/=—%—

,/37tnit

=2?由題設(shè)知于所以0</4<干所以

(2)在△/BC中，由于sinC=sin(4+B)=sin/cosB+cos/sin\TsinC

所以AC邊上的高為a

16.如圖，在三棱柱中，CCJ平面力BGD,E,F,G分別為44『AC,4C,.BB1

的甲點(diǎn)，Z8=8C=y,AC=AA1=2.

(1)求證：力C_L平面BEF；

(2)求二面角B-CD-C,的余弦值；

(3)證明：直線FG與平面BQ)相交.

【解析】⑴證明在三棱柱ABC-A^q中，因CCJ平面ABC,故四邊

形//CG為矩形.又E,尸分別為/C,4]G的中點(diǎn)，故“C_LEE因/B=BC,故/C_LBE.又

EFC\BE=E,故SC_L平面BEF.

(2)解由(1)知/C_LEF,ACLBE,EF〃CC、,又CCJ平面/BC,故EF1?平面/BC,因BE平

面故EFLBE.如圖建立空間直角坐標(biāo)系七一個(gè)中由題意得8(0,2,0),0(一1,0,0),以1,

0,1),F(0,0,2),G(0,2,1).

fn-0?

—>—>

則〈BC=

故BC=(T,-2,°),BD=(1.-2.1).設(shè)平面BCD的法向量為n-q),

I-

ln.BD=0,

(x+27=0,

即，。。令)=-1,則x=2,蕓=-4.于是n=(2,-1,-4).又平面的法向量

、[x0—2%+邊=0.一。0

—>

—>-?n-_

為EB=(0,2,0),故cos<n,EB')=_段__0.由題知二面角B-CD-C為鈍角，故其余

一—21?

InllHBI

弦值為w.

21

—>—>

(3)證明由(2)知平面8C￡)的法向量為n=(2,-1,-4),FG=(O,2,-1).因“人7=2X0+(一

1)X2+(-4)X(-1)=2/0,故直線FG與平面BCD相交.

17.電影公司隨機(jī)收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)分類(lèi)整理得到下表：

電影類(lèi)型第一類(lèi)其次類(lèi)第：類(lèi)第四類(lèi)第五類(lèi)第六類(lèi)

電影部數(shù)14050300200800510

好評(píng)率0.40.20.150.250.20.1

好評(píng)率是指：一類(lèi)電影中獲得好評(píng)的部數(shù)與該類(lèi)電影的部數(shù)的比

值.假設(shè)全部電影是否獲得好評(píng)相互獨(dú)立.

⑴從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部，求這部電影是獲得好評(píng)的第四類(lèi)電影的概率；

⑵從第四類(lèi)電影和第五類(lèi)電影中各隨機(jī)選取1部，估量恰有1部獲得好評(píng)的概率；

⑶假設(shè)每類(lèi)電影得到人們寵愛(ài)的概率與表格中該類(lèi)電影的好評(píng)率相等.用“4=1”表示第2類(lèi)電

影得到人們寵愛(ài)，“點(diǎn)=0”表示第k類(lèi)電影沒(méi)有得到人們寵愛(ài)優(yōu)=1,2,3,4,5,6).寫(xiě)出方差

￡>脩),￡>?),。片J，叫)，哪)，。備)的大小關(guān)系.

【解】⑴由題意知，樣本中電影的總部數(shù)是140+50+300+200+800+510=2000,第四類(lèi)電影

50

中獲得好評(píng)的電影部數(shù)是200x0.25=50.故所求概率為=0.025.

2000

⑵設(shè)大事4為“從第四類(lèi)電影中隨機(jī)選出的電影獲得好評(píng)”，大事B為“從第五類(lèi)電影中隨機(jī)選出

的電影獲得好評(píng)故所求概率為P(AB+AB)=P(AB)+P(AB)=P(A)^-P(B))+(1由

題意知：凡4)估量為0.25,P(B)估量為0.2.故所求概率估量為0.25x0.8+0.75x0.2=0.35.

(3)由題意可知，定義隨機(jī)變量如下：《=|°'第"類(lèi)電影沒(méi)有得到人們寵愛(ài)'則E明顯聽(tīng)從兩點(diǎn)分

k[1,第4類(lèi)電影得到人們寵愛(ài)，&

布，故。(。)=0.4x(1—0.4)=0.24,。(或)=0.2x(1-0.2)=0.16,D(c3)=0.15x(1-0.15)

=0.1275,D圖=0.25x(1-0.25)=0.1875,。喝)=0.2x(—0.2)=0.16,%)=0.1*(1

-0.1)=0.09.

綜上所述,。侑)>%)>￡>?)=%)>。仁J>%).

18.設(shè)函數(shù)J[x}=[ar2—(4a+1)x+4a+3]e.r.

(I)假設(shè)曲線y=yw在點(diǎn)(1,w))處的切線與軸平行，求“；

(II)假設(shè)_/(x)在x=2處取得微小值，求a的取值范圍.

【解析】(])因./(刀尸⑷?一(4a+1)x+4a+3]e、，故/'(x)=[2at—(44+1)]e.r+[am—(4〃+1)x+4a+3]

ex(xeR)=[o?—(2“+1)x+2]er.廣(l)=(1-a)e.由題設(shè)知廣⑴=0,即(1-a)e=0,解得a=1.此

時(shí)/⑴=3eW0.故a的值為1.

11

(H)由(1)得/a)=[ax2-(2a+1)x+2]e、=(ar-1)(x-2)e\.假設(shè)則當(dāng)2)時(shí)，/((x)<0；

1

當(dāng)XG(2,+oo)時(shí)，/(x)>0.故y(x)V0在x=2處取得微小值.假設(shè)a%e(0,2)時(shí)，x-2

則當(dāng)

1N

<0,ax-1-KO,故/(x)>0.故2不是/(x)的微小值點(diǎn).

綜上可知，。的取值范圍是00).

(2'+

19.拋物線C：y2=2px經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,2).過(guò)點(diǎn)Q(0,1)的直線/與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)

A,B,且直線PA交y軸于M,直線PB交y軸于N.

⑴求直線/的斜率的取值范圍；

⑵設(shè)。為原點(diǎn)，_=2_，11

QMQOQNQ0,求證：”啰定值.

【解析】⑴因拋物線*=2px過(guò)點(diǎn)(1,2),故2P=4,即p=2.故拋物線C的方程為*=4x.由題

意知，直線/的斜率存在且不為0.設(shè)直線/的方程為y=kx+Uk/O).由尸"八'得k2x2+(2k-4)x

[y=Ax+1

+1=0,依題意A=(2A—4)2—4x31>0,解得k<1,又原0,故k<Q或0<攵<1.又PA,PB與

y軸相交，故直線/不過(guò)點(diǎn)(1,-2).從而后一3.故直線I斜率的取值范圍是(一8,—3)U(—3,

0)U(0,1).

⑵證明設(shè)A(x,y),B(x,y).由⑴知x+x2k—4xx=1L直線PA的方程為丁一2=乜v—二2

1'12212Q12QX—1

1

21

(x-1).令x=0,得點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為y--.Vi++2-~^+,2.同理得點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為

'M_丸一〔"一X〔rN

11

舊”.由西=)譏>,旗=〃無(wú)>得41-y/N=f.故!+3與+，^="L；.

2'MN1

2_1_2A—4

,x,_112xx—(x+x.)1孩"""韓""c故1+1=2

+___￡_____=____-12_捋后/__t__=____.[=2.為定值.

(it—1)x2AT12-1

la

20.設(shè)〃為正整數(shù)，集合A={a|a=《，力…，口，4G{。，1}，&=1，2,???,n}.對(duì)于集合A

中的任意元素a=(x,x，…，x)和0={y,y,…，y)，記M(a,⑼_x+y—\x—y|)+(x+

12?12"=2【(11112

y2-\x2—y^}-\----+%一|七一％I)].

(I)當(dāng)”=3時(shí),假設(shè)a=(1,1,0),(=(0,1,1),求M(a,a)和M(a,￡)的值;

(11)當(dāng)"=4時(shí)，設(shè)B是A的子集，且滿(mǎn)足：對(duì)于B中的任意元素a,p,當(dāng)a,/?一樣時(shí)，M(a,⑶

是奇數(shù)；當(dāng)a,￡不同時(shí)，M(a,⑶是偶數(shù).求集合B中元素個(gè)數(shù)的最大值;

（山）給定不小于2的n,設(shè)B是4的子集，且滿(mǎn)足：對(duì)于B中的任意兩個(gè)不同的元素a,夕，M（?,⑼

=0.寫(xiě)出一個(gè)集合8,使其元素個(gè)數(shù)最多，并說(shuō)明理由.

1

【解析】(I)Ha=(1>1>0),￡=(0,1>1)(故M(a,a)+1—11—1|)+(1+1—11—1|)+(0