向量組與矩陣(完整版)實(shí)用資料

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§41向量組與矩陣向量組與矩陣（完整版）實(shí)用資料(可以直接使用，可編輯完整版實(shí)用資料，歡迎下載）定義1n×1矩陣稱為n維列向量，1×n矩陣aT[a1a2a稱為n維行向量.n維列向量與n維行向量統(tǒng)稱為n維向量.數(shù)ai稱為n維向量的第i個(gè)分量(i=1,2,…,n)，分量全為實(shí)數(shù)的向量稱為實(shí)向量，分量為復(fù)數(shù)的向量稱為復(fù)向量.本書只討論實(shí)向量.若向量的所有分量都是零，則稱其為零向量，記為0=[0,0,…,0]T.向量[－a1,－a2,…,－an]T稱為向量[a1,a2,…,an]T的負(fù)向量.本書中討論的向量如不加說明的話，指的都是列向量.因?yàn)榱?行)向量是矩陣，所以向量的運(yùn)算規(guī)律與矩陣的運(yùn)算規(guī)律相同.例如：1.a=b（要求a與b是同型的，且對(duì)應(yīng)的分量一一相等.）2.a+b=+=3.ka=k=例1(1)設(shè)a=[1,－2,3]T，若2a+3b=0，則b=;(2)若a+b=[－1,3,2]T，a－b=[1,1,4]T，則a=；b=.解(1)2a=－3b，則b=a=(2)a+b+a－b=2a=[0,4,6]Ta=[0,2,3]T，b=[－1,1,－1]T下面討論n維向量組的概念.若干個(gè)同維列向量(或同維行向量)所組成的集合叫做向量組，常用大寫字母表示.m個(gè)n維列向量組成的向量組A：a1,a2,×××,am，可構(gòu)成n×A=[a1,a2,×××,a也可構(gòu)成m×n矩陣B==[a1,a2,×××,am]T=A其中矩陣A含有m個(gè)n維列向量，或含有n個(gè)m維行向量；矩陣B含有m個(gè)n維行向量，或含有n個(gè)m維列向量.總之，含有有限個(gè)同維向量的向量組可構(gòu)成矩陣，而矩陣也可看作含有有限個(gè)向量的向量組.矩陣與某個(gè)特定的向量組對(duì)應(yīng).下面討論：①向量組與單個(gè)向量之間的關(guān)系；②向量組與向量組之間的關(guān)系；③向量與向量之間的關(guān)系.定義2設(shè)有m個(gè)n維向量構(gòu)成的向量組A：a1,a2,×××,am，及任意k個(gè)常數(shù)k1,k2,×××,km，表達(dá)式k1a1+k2a2+×××+km稱為向量組A的一個(gè)線性組合，k1,k2,×××,km稱為這個(gè)線性組合的系數(shù).若n維向量b等于向量組A的某一個(gè)線性組合，即存在數(shù)，使b=1a1+2a2+×××+lmam，則稱向量b可由向量組A線性表示.例2設(shè)a1=a2=a3=b=試證向量b能向量組a1,a2,a3線性表示，并求表達(dá)式.解x1a1+x2a2+x3a3=b，即即解得即有b=a1+2a2－a總之，線性表示的關(guān)鍵是：x1a1+x2a2+x3a3=b是否有解，即R(A)=R(B)定理1n維向量b可由n維向量組a1,a2,×××,am線性表示的充分必要條件是n×m矩陣A=[a1,a2,×××,am]的秩等于n×(m+1)矩陣B=[a1,a2,×××,am,b]的秩.定義3若向量組B：b1,b2,×××,bt的每個(gè)向量都可由向量組A：a1,a2,×××,as線性表示，則稱向量組B可由向量組A線性表示；若向量組A與向量組B可相互線性表示，則稱向量組A與B等價(jià).所說的線性表示，也可用矩陣的乘法描述.向量bi能由向量組A：a1,a2,×××,as線性表示，即存在常數(shù)A：k1i,k2i,×××,ksi，使因此即B=AK其中B=[b1,b2,×××,bt]，A=[a1,a2,×××,as]，K是s×t矩陣.s×t矩陣K存在嗎？即B=AX中X有解嗎？其充分必要條件是R(A)=R(A，B).定理2設(shè)n維向量組A：a1,a2,×××,as及n維向量組B：b1,b2,×××,bt，則向量組B能由向量組A線性表示的充分必要條件是R(A)=R(A，B)推論向量組A與向量組B等價(jià)的充分必要條件是R(A)=R(B)=R(A，B)例3試證向量組A：a1,a2與向量組B：b1,b2,ba1=a2=b1=b2=b3=解矩陣[A，B]=可知R(A)=R(B)=R(A，B)=2即A與B等價(jià).例4兩個(gè)n維向量組A：a1,a2,×××,as及B：b1,b2,×××,bt.已知向量組A可由向量組R(a1,a2,×××,as)=R(b1,b2,×××,b試證向量組B可由向量組A線性表示，即這兩個(gè)向量組等價(jià).證明向量組A可由向量組B線性表示，則R(B)=R(B，A)而R(a1,a2,×××,as)=R(b1,b2,×××,b即R(A)=R(B)R(A)=R(B)=R(B，A)所以向量組B可由向量組A線性表示，即向量組A與向量組B等價(jià).向量組A可由向量組B線性表示，A的秩要小于B的秩，即：A的秩不能大于B的秩.這是因?yàn)?，向量組A可由向量組B線性表示，則R(B)=R(B，A)而又知道R(B，A)≥R(A)即R(B)≥R(A)定理3n維向量組A：a1,a2,×××,as及B：b1,b2,×××,bt,向量組A可由向量組B線性表示，則R(B)≥R(A)推論若A=BK，則R(A)≤R(B)，R(A)≤R(K)例5設(shè)b1=a1+a2－a3，b2=a2+a3－a1，b3=a3+a1－a2試證R(a1，a2，a3)=R(b1，b2，b3)證明b1=a1+a2a3，b2=a2+a3a1，b3=a3+a1a2即[b1，b2，b3]=[a1，a2，a3]所以R(b1，b2，b3)≤R(a1，a2，a3)而=[a1，a2，a3]=[b1，b2，b3]所以R(a1，a2，a3)≤R(b1，b2，b3)綜上所述，R(a1，a2，a3)=R(b1，b2，b3)例6設(shè)b1=a1+a2，b2=a2+a3，b3=a3+a4，b4=a4+a1證明R(b1，b2，b3，b4)<4證明[b1，b2，b3，b4]=[a1，a2，a3，a4]記作B=AK，由知R(K)<4，所以R(b1，b2，b3，b4)≤R(K)<4第五章矩陣的特征值與特征向量第一講特征值與特征向量教學(xué)目的：通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，使學(xué)生理解特征值與特征向量及相似矩陣基本概念，掌握特征值與特征向量的求解方法及其主要性質(zhì)教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：特征值與特征向量的求解教學(xué)計(jì)劃時(shí)數(shù)：2課時(shí)教學(xué)過程：一、基本概念定義1設(shè)是階方陣，若對(duì)于數(shù)，存在維非零向量，使得（1）成立，則稱數(shù)為方陣的一個(gè)特征值，非零向量稱為的屬于特征值的一個(gè)特征向量.說明：（1）式可以等價(jià)地寫成：，（2）而（2）式存在非零列向量的充分必要條件是，（3）即.定義2設(shè)是一個(gè)未知量，矩陣稱為的特征矩陣，行列式稱為矩陣的特征多項(xiàng)式，方程稱為的特征方程，它的根稱為的特征根，的特征根即為的特征值.說明：1、特征方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)恒有解，其個(gè)數(shù)為方程的次數(shù)（重根按重?cái)?shù)計(jì)算），因此，階方陣在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有個(gè)特征值.2、若是的屬于特征值的特征向量，則的任何一個(gè)非零倍數(shù)也是的屬于特征值的特征向量.且可以推廣到有限個(gè)的情形().3、特征向量不是被特征值所唯一決定.相反，特征值卻是被特征向量所唯一決定，因?yàn)橐粋€(gè)特征向量只能屬于一個(gè)特征值.二、求解方法根據(jù)上述定義和討論，即可得出階方陣的特征值和特征向量的求法：1、計(jì)算的特征多項(xiàng)式，求出特征方程的全部根，即的全部特征值；2、對(duì)每個(gè)求出的特征值，求齊次線性方程組的一組基礎(chǔ)解系，則不全為是的屬于特征值的全部特征向量.例1：求矩陣的特征值和特征向量.[解]特征多項(xiàng)式為：,所以的特征值為.當(dāng)時(shí)，由,解得，求得基礎(chǔ)解系為.所以是的屬于特征值的一個(gè)特征向量，而是的屬于特征值的全部特征向量.當(dāng)時(shí)，由，解得，求得基礎(chǔ)解系為.所以是的屬于特征值的一個(gè)特征向量，而是的屬于特征值的全部特征向量.例2：求矩陣的特征值與特征向量.[解]的特征多項(xiàng)式為,所以的特征值為.當(dāng)時(shí)，解方程，由，求得基礎(chǔ)解系為：.所以是的屬于特征值的全部特征向量.當(dāng)時(shí)，解方程，由，求得基礎(chǔ)解系為:.所以是的屬于特征值的全部特征向量.例3：求矩陣的特征值與特征向量.三、主要性質(zhì)性質(zhì)1階矩陣與它的轉(zhuǎn)置矩陣的特征值相同.[證明]因?yàn)?所以與的特征多項(xiàng)式相同，從而它們的特征值相同.性質(zhì)2設(shè)階矩陣的特征值為，則有(1)；(2).推論n階矩陣A可逆的充分必要條件是A的任一特征值不為零.性質(zhì)3設(shè)是階矩陣A的特征值，則是的特征值；當(dāng)A可逆時(shí)，是的特征值.推論1設(shè)是階可逆矩陣A的特征值，則是的特征值.推論2設(shè)是A的特征值，則是的特征值；是的特征值，其中是的多項(xiàng)式，是矩陣A的多項(xiàng)式.例4：設(shè)3階矩陣A的特征值為，求.定理1設(shè)是方陣的屬于兩個(gè)不同特征值的特征向量，則線性無(wú)關(guān).定理2設(shè)是階矩陣的屬于互不相等的特征值的特征向量，則線性無(wú)關(guān).說明：屬于矩陣不同特征值的特征向量是線性無(wú)關(guān)的.另外，定理還可以進(jìn)一步推廣為:定理3設(shè)是階矩陣的不同特征值，而是的屬于特征值的線性無(wú)關(guān)的特征向量，則向量組也線性無(wú)關(guān).例5：設(shè)是方陣的兩個(gè)不同的特征值，是的分別屬于的特征向量，證明不是的特征向量..四、相似矩陣定義3設(shè)都是階矩陣，若存在一個(gè)階可逆矩陣，使得：成立，則稱與相似.對(duì)進(jìn)行運(yùn)算稱為對(duì)進(jìn)行相似變換，可逆矩陣稱為把變成的相似變換矩陣.例如矩陣與矩陣相似，因?yàn)榇嬖诳赡婢仃嚕沟?說明：1、若與相似，則也與相似.所以我們常說相似，也就是指對(duì)中的任一個(gè)矩陣總可以找到可逆矩陣，通過相似變換化為另一個(gè)矩陣.2、相似矩陣具有以下基本性質(zhì)：（1）相似矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣也相似；（2）相似矩陣的冪也相似；（3）相似矩陣的多項(xiàng)式也相似；（4）相似矩陣的秩相等；（5）相似矩陣的行列式相等；（6）相似矩陣具有相同的可逆性，當(dāng)它們都可逆時(shí)，它們的逆矩陣也相似.（7）若階矩陣相似，則與的特征多項(xiàng)式相同，從而與的特征值相同.（8）若階矩陣與對(duì)角矩陣相似，則即是的個(gè)特征值.3、若矩陣與對(duì)角矩陣相似，即有可逆矩陣，使，或，則，其中是的多項(xiàng)式.而對(duì)于對(duì)角矩陣，有，由此可方便地計(jì)算及的多項(xiàng)式.4、哈密爾頓－凱萊定理設(shè)是階矩陣的特征多項(xiàng)式，若與對(duì)角矩陣相似，則.事實(shí)上，若與對(duì)角矩陣相似，即有可逆矩陣，使，其中為的特征值，有.由得.哈密爾頓－凱萊（Hamilton-Cayley）定理：設(shè)是階矩陣，是的特征多項(xiàng)式，則.第二講矩陣相似對(duì)角化的條件教學(xué)目的：通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，使學(xué)生了解矩陣相似對(duì)角化的條件，并掌握矩陣對(duì)角化的過程.教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：矩陣相似對(duì)角化的條件教學(xué)計(jì)劃時(shí)數(shù)：2課時(shí)教學(xué)過程：由于相似的矩陣的特征值相同，且對(duì)角矩陣的特征值為其主對(duì)角線上的元素。因此，矩陣的特征值、行列式或秩等的研究，均可轉(zhuǎn)化為對(duì)它們的相似對(duì)角形矩陣的研究。但是，任一矩陣是否都能與對(duì)角矩陣相似呢？一、可相似對(duì)角化的概念與條件定義1：若階矩陣與對(duì)角矩陣相似，則稱是可相似對(duì)角化的，簡(jiǎn)稱可對(duì)角化，并稱是的相似標(biāo)準(zhǔn)形.問題：對(duì)階矩陣，尋求相似變換矩陣，使為對(duì)角形.定理1：階矩陣可相似對(duì)角化A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.推論：若階矩陣的個(gè)特征值互不相等，則可相似對(duì)角化.如：2階矩陣有兩個(gè)互不相等的特征值：，所以可對(duì)角化，又分別是屬于的特征向量，它們是線性無(wú)關(guān)的，若令，則有.一個(gè)階矩陣，若它有重特征值，則它應(yīng)具備什么條件才有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量呢？給出下面的一個(gè)結(jié)論：定理2：n階矩陣A可對(duì)角化屬于A的每個(gè)特征值的線性無(wú)關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)恰好等于該特征值的重?cái)?shù)，即對(duì)A的每個(gè)重特征值，矩陣的秩等于.說明：，則基礎(chǔ)解系所含的向量個(gè)數(shù)為：.例1：設(shè)，問為何值時(shí)，矩陣可對(duì)角化?[解]，得的特征值：.對(duì)應(yīng)，解方程，可求得1個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量（非零即無(wú)關(guān)）。故矩陣可對(duì)角化對(duì)應(yīng)重根有2個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量方程的系數(shù)矩陣的秩.即由因?yàn)?，則，即.故，當(dāng)時(shí)，矩陣可對(duì)角化.二、矩陣可對(duì)角化的判斷我們知道，并非每一個(gè)矩陣都可對(duì)角化，那么如何判斷階矩陣是否可對(duì)角化？我們可以采用如下具體步驟：1、求出的全部特征值，設(shè)為，且其相應(yīng)的重?cái)?shù)分別.2、對(duì)每個(gè)特征值，解齊次線性方程組：，可得屬于特征值的線性無(wú)關(guān)的特征向量，設(shè)為.3、若，則可對(duì)角化；若，則不可對(duì)角化.4、當(dāng)可對(duì)角化時(shí)，把個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量當(dāng)作矩陣的列向量，即令，則成為對(duì)角矩陣，其主對(duì)角線上的元素恰好是的所有互不相等的特征值，并且的列向量順序與對(duì)角元素順序?qū)?yīng).例2：判斷矩陣可否對(duì)角化，若能的話，將它化為標(biāo)準(zhǔn)形.[解]由求得的特征值為：.當(dāng)時(shí)，解方程可得一個(gè)線性無(wú)關(guān)特征向量（基礎(chǔ)解系）為；當(dāng)時(shí)，解方程，由可得兩個(gè)線性無(wú)關(guān)特征向量（基礎(chǔ)解系）為.由于線性無(wú)關(guān)，即有三個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，所以可對(duì)角化.令，則.第三講實(shí)對(duì)稱矩陣及其相似對(duì)角化教學(xué)目的：通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，使學(xué)生了解并掌握實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化方法.教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：相似對(duì)角化方法教學(xué)計(jì)劃時(shí)數(shù)：2課時(shí)教學(xué)過程：上一節(jié)我們討論了一般矩陣的相似對(duì)角化問題：，則.下面討論實(shí)對(duì)稱陣的特殊性質(zhì)及相似對(duì)角化問題.一、基本性質(zhì)性質(zhì)1實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值都是實(shí)數(shù).說明：對(duì)實(shí)對(duì)稱矩陣，因其特征值是實(shí)數(shù)，故齊次線性方程組：是實(shí)系數(shù)方程組，它有實(shí)的基礎(chǔ)解系，所以屬于特征值的特征向量可以取為實(shí)向量.性質(zhì)2屬于實(shí)對(duì)稱矩陣的不同特征值的特征向量是正交的.[證明]設(shè)是實(shí)對(duì)稱矩陣的屬于兩個(gè)不同特征值的特征向量，則有.因?yàn)?，所以有即。即向量與向量正交.性質(zhì)3設(shè)是階實(shí)對(duì)稱矩陣的重特征值，則矩陣的秩，從而對(duì)于特征值，恰有個(gè)屬于的線性無(wú)關(guān)的特征向量.性質(zhì)4實(shí)對(duì)稱矩陣一定可以對(duì)角化.[證明]設(shè)實(shí)對(duì)稱矩陣的不同特征值為：，且重?cái)?shù)分別為：.由性質(zhì)3知：對(duì)于特征值，恰有個(gè)屬于的線性無(wú)關(guān)的特征向量：，則有個(gè)特征向量且線性無(wú)關(guān)。所以故可對(duì)角化，即存在可逆矩陣，使為對(duì)角矩陣.說明：如果把特征向量：正交單位化，得到個(gè)兩兩正交的單位特征向量：.令，則T為正交矩陣（）且.性質(zhì)5對(duì)階實(shí)對(duì)稱矩陣，必有正交矩陣，使：,其中是以的個(gè)特征值為主對(duì)角線上元素的對(duì)角矩陣.二、實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化方法實(shí)對(duì)稱矩陣，不僅存在可逆矩陣，使為對(duì)角矩陣，而且存在正交矩陣使為對(duì)角矩陣（稱可正交相似對(duì)角化）.步驟：1、求出的全部互不相等的特征值；2、對(duì)，由求出基礎(chǔ)解系：；3、將屬于每個(gè)的特征向量先單位正交化，可得到個(gè)兩兩正交的單位特征向量；4、令，則有，其中與的排列順序一致.注意：當(dāng)階實(shí)對(duì)稱矩陣有個(gè)互不相同特征值時(shí)，只需對(duì)其相應(yīng)的特征向量單位化，得：，令，則為所求正交矩陣.例1：設(shè)，求一個(gè)正交矩陣，使為對(duì)角矩陣.[解]由求得的特征值為：.當(dāng)時(shí)，解方程，由，得基礎(chǔ)解系，將單位化，得.當(dāng)時(shí)，解方程，由，得基礎(chǔ)解系，將單位化，得.當(dāng)時(shí)，解方程，由，得基礎(chǔ)解系，將單位化，得.令，則有且T為正交矩陣.例2：設(shè)，求一個(gè)正交矩陣，使為對(duì)角矩陣.[解]由求得的特征值為：.當(dāng)時(shí)，解方程，由，得基礎(chǔ)解系，將單位化得.當(dāng)時(shí)，解方程，由，得基礎(chǔ)解系.將正交化：取，.再將單位化，得.令，則有且T為一個(gè)正交矩陣.例3：設(shè)，求.[解]因是實(shí)對(duì)稱矩陣，故可對(duì)角化，即有可逆矩陣及對(duì)角矩陣，使.于是，從而.由,得的特征值為.于是，.當(dāng)時(shí)，由，得；當(dāng)時(shí)，由，得.令，從而.故.第四講習(xí)題課教學(xué)目的：通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，使學(xué)生對(duì)本章內(nèi)容有個(gè)較為全面的理解和掌握，同時(shí)通過練習(xí)來鞏固本章的相關(guān)知識(shí)點(diǎn).教學(xué)計(jì)劃時(shí)數(shù)：2課時(shí)教學(xué)過程：一、內(nèi)容總結(jié)1、矩陣的特征值與特征向量的定義：2、矩陣的特征值與特征向量的性質(zhì)：1）屬于不同特征值的特征向量線性無(wú)關(guān)；2）實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值都是實(shí)數(shù)；3）屬于實(shí)對(duì)稱矩陣的不同特征值的特征向量正交；4）對(duì)實(shí)對(duì)稱矩陣的重特征值，恰有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.3、求法：1）按定義求；2）解特征方程求出特征值，解齊次線性方程求特征向量.4、相似矩陣的定義：；5、相似矩陣可對(duì)角化的定義：與對(duì)角矩陣相似；6、矩陣可對(duì)角化的條件：1）充分條件；2）充要條件；3）實(shí)對(duì)稱矩陣一定可對(duì)角化，一定正交相似于對(duì)角陣；7、相似矩陣的應(yīng)用：二、作業(yè)講評(píng)三、練習(xí)1.設(shè)，則A的特征值為.2.設(shè)為階矩陣，若方程有非零解，則必有一個(gè)特征值為.3．設(shè)為階可逆矩陣，若為的一個(gè)特征值，則必有特征值.4.若4階矩陣與相似，的特征值為，則行列式.5．設(shè)．（1）試求矩陣的特征值；（2）利用（1）小題的結(jié)果，求矩陣的特征值．6．設(shè)矩陣可逆，向量是的伴隨矩陣的一個(gè)特征向量，是對(duì)應(yīng)的特征值，試求和的值．7．已知是矩陣的一個(gè)特征向量．（1）試確定參數(shù)及特征向量所對(duì)應(yīng)的特征值；（2）問能否相似于對(duì)角陣？說明理由．8．設(shè)矩陣．問當(dāng)為何值時(shí)，存在可逆矩陣，使得為對(duì)角矩陣？并求出和相應(yīng)的對(duì)角矩陣．9．設(shè)是奇數(shù)階正交矩陣，且，試證明:是的特征值.10．設(shè)階實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值相同，證明：存在階矩陣和正交矩陣，使得．矩陣特征值和特征向量的幾何意義（---by小馬哥整理）從定義來理解特征向量的話，就是經(jīng)過一個(gè)矩陣變換后，空間沿著特征向量的方向上相當(dāng)于只發(fā)生了縮放，比如我們考慮下面的矩陣：(列向量特征值為：1λ=1.81，2λ=0.69注意，這里U是正交矩陣，根據(jù)正交矩陣的性質(zhì)，我們有1TUU-=。用一個(gè)形象的例子來說明一下幾何意義，我們考慮下面笑臉圖案：圖1.1的變換，也就是用這個(gè)圖案中的每個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)和這個(gè)矩陣做乘法，得到下面圖案：圖1.1可以看到就是沿著兩個(gè)正交的，特征向量的方向進(jìn)行了縮放。根據(jù)特征向量的定義，我們知道1UAU-=Λ，也即，TUAU=Λ，那么：TAUU=Λ假設(shè)我們把笑臉圖案也看作某一個(gè)矩陣C，那么，矩陣A*C，即把矩陣A作用于C，可以理解為：TUUCΛ我們從這個(gè)式子就可以看出來，A矩陣是從旋轉(zhuǎn)和沿軸縮放的角度來作用于C，分成三步：第一步，把特征向量所指的方向分別轉(zhuǎn)到橫軸和縱軸，這一步相當(dāng)于用U的轉(zhuǎn)置，也就是TU進(jìn)行了變換圖1.2第二步，然后把特征值作為縮放倍數(shù)，構(gòu)造一個(gè)縮放矩陣1.810.69??????，矩陣分別沿著橫軸和縱軸進(jìn)行縮放：圖1.3第三步，很自然地，接下來只要把這個(gè)圖案轉(zhuǎn)回去，也就是直接乘U就可以了圖1.4所以，從旋轉(zhuǎn)和縮放的角度，一個(gè)矩陣變換就是，旋轉(zhuǎn)-->沿坐標(biāo)軸縮放-->轉(zhuǎn)回來，的三步操作。多提一句，這里給的是個(gè)(半正定矩陣的例子，對(duì)于不鎮(zhèn)定的矩陣，也是能分解為，旋轉(zhuǎn)-->沿坐標(biāo)軸縮放-->旋轉(zhuǎn)，的三步的，只不過最后一步和第一步的兩個(gè)旋轉(zhuǎn)不是轉(zhuǎn)回去的關(guān)系了，表達(dá)如下：TTUV=∑這個(gè)就是SVD分解，就不詳細(xì)說了。另外，這個(gè)例子是二維的，高維類似，但是形象理解需要腦補(bǔ)。矩陣特征值和特征向量解法的研究周雪嬌（德州學(xué)院數(shù)學(xué)系，山東德州253023）摘要：對(duì)矩陣特征值和特征向量的一些方法進(jìn)行了系統(tǒng)的歸納和總結(jié).在比較中能夠更容易發(fā)現(xiàn)最好的方法，并提高問題的解題效率.關(guān)鍵詞：矩陣；特征值；特征向量；解法引言矩陣是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要的基本概念，是代數(shù)學(xué)的一個(gè)主要研究對(duì)象，也是數(shù)學(xué)研究和應(yīng)用的一個(gè)重要工具.矩陣計(jì)算問題是很多科學(xué)問題的核心.在很多工程計(jì)算中，常常會(huì)遇到特征值和特征向量的計(jì)算問題，如：機(jī)械、結(jié)構(gòu)或電磁振動(dòng)中的固有值問題；物理學(xué)中的各種臨界值等，這些特征值的計(jì)算往往意義重大.很多科學(xué)問題都要?dú)w結(jié)為矩陣計(jì)算的問題，在這里主要研究矩陣計(jì)算中三大問題之——特征值問題.1矩陣特征值與特征向量的概念及性質(zhì)1.1矩陣特征值與特征向量的定義設(shè)是階方陣，如果存在數(shù)和維非零向量，使得成立，則稱為的特征值，為的對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量.1.2矩陣特征值與特征向量的性質(zhì)矩陣特征值與特征向量的性質(zhì)包括：（1）若重特征值，則個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，其中.（2）若線性無(wú)關(guān)的向量都是矩陣的對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量，則當(dāng)不全為零時(shí)，仍是的對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量.（3）若的互不相同的特征值，其對(duì)應(yīng)的特征向量分別是，則這組特征向量線性無(wú)關(guān).（4）若矩陣的特征值分別為，則，.（5）實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值都是實(shí)數(shù)，且對(duì)應(yīng)不同特征值的特征向量正交.（6）若是實(shí)對(duì)稱矩陣的重特征值，則對(duì)應(yīng)特征值恰有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.（7）設(shè)為矩陣的特征值，為多項(xiàng)式函數(shù)，則為矩陣多項(xiàng)式的特征值.2普通矩陣特征值與特征向量的求法2.1傳統(tǒng)方法確定矩陣的特征值和特征向量的傳統(tǒng)方法可以分為以下幾步：求出矩陣特征多項(xiàng)式的全部特征根；把所求得的特征根逐個(gè)代入線性方程組，對(duì)于每一個(gè)特征值，解方程組，求出一組基礎(chǔ)解系，這樣，我們也就求出了對(duì)應(yīng)于每個(gè)特征值的全部線性無(wú)關(guān)的特征向量.例1已知矩陣求矩陣的特征值和特征向量.解==所以，由知的特征根.當(dāng)時(shí)，由，即=0得，因此，屬于特征值的特征向量為.當(dāng)時(shí)，由,即=0得，因此，屬于特征值的特征向量為.2.2列行互逆變換法把矩陣的下列三種變換稱為列行互逆變換：（1）互換兩列，同時(shí)互換兩行；（2）第列乘以非零數(shù),同時(shí)第行乘；（3）第列倍數(shù)加到第列，同時(shí)第行倍加到第行.例2已知矩陣求的特征值和特征向量.解所以，特征值，對(duì)應(yīng)特征值的特征向量為， 對(duì)應(yīng)特征值的特征向量為.2.3列初等變換法列初等變換法計(jì)算特征值與特征向量的步驟是：（1）將經(jīng)過一系列初等變化變成，其中為含的下三角矩陣，為經(jīng)過初等變換得到的矩陣；（2）令主對(duì)角線元素之積為零，求出根即為特征值；（3）將求出的代入中為，在進(jìn)行列初等變換，當(dāng)化為列階梯形，且當(dāng)非零列向量個(gè)數(shù)為時(shí)，中后的個(gè)列向量即為對(duì)應(yīng)的特征向量.例3已知矩陣求矩陣的特征值和特征向量.解==由知的特征根.當(dāng)時(shí)，,特征向量為.當(dāng)時(shí)，=,特征向量為.3矩陣特征值與特征向量在線性變換中的應(yīng)用例4設(shè)是數(shù)域上的維線性空間，線性變換在的基下的矩陣為求線性變換在的基下的矩陣；求線性變換的特征值與特征向量.解（1）因?yàn)?所以由基到基的過渡陣為而在下的矩陣為所以在下的陣為=（2）計(jì)算可得====所以有3個(gè)相同的特征值，代入特征方程，有可得，故的屬于特征值的線性無(wú)關(guān)的特征向量為.4正互反陣特征值與特征向量的求法4.1正互反陣的定義矩陣（，）稱為正互反陣，其中元素與須互為倒數(shù)，即.4.2和法：；；；.這個(gè)方法實(shí)際上是將的列向量歸一化后取平均值，作為的特征向量.因?yàn)楫?dāng)為一致陣時(shí)，它的每一列向量都是特征向量，所以若得不一致性不嚴(yán)重，則取的列向量（歸一化后）的平均值作為近似特征向量是合理的.例5運(yùn)用和法求矩陣的特征值和特征向量.解==； ==.則特征根為.因此，運(yùn)用和法計(jì)算的特征向量，特征值為.4.3根法將A的每一列向量歸一化得；將按行求積并開次方，即；將歸一化，；計(jì)算，作為最大特征值的近似值.例6運(yùn)用根法計(jì)算的特征值與特征向量.解=====因此，特征向量為.根據(jù)以上兩種方法，不難發(fā)現(xiàn)和法較為簡(jiǎn)便.和法和根法都是采用平均值來計(jì)算特征向量，只是和法是求列向量的算術(shù)平均值，而根法是求幾何平均值.兩種方法都比定義法計(jì)算高階矩陣特征向量簡(jiǎn)便得多，是正互反陣最大特征根和特征向量的實(shí)用算法.5小結(jié)本文給出了矩陣特征值與特征向量的定義及性質(zhì)，并且對(duì)一般矩陣及特殊矩陣正互反陣特征值與特征向量的解法進(jìn)行了歸納總結(jié)，最后給出了這些解法的具體實(shí)現(xiàn)步驟.通過文章的梳理總結(jié)，在比較中讓人們更好更快的確定解題方法，提高解題效率.參考文獻(xiàn)：[1]向以華.矩陣特征值與特征向量的研究[J].重慶三峽學(xué)院報(bào)，2021（02）：1-2.[2]王萼芳，石生明.高等代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，2003.[3]錢吉林，劉丁酉.高等代數(shù)題解精粹[M].北京：中央民族大學(xué)出版社，2005.[4]黃金偉.矩陣的特征值與特征向量的簡(jiǎn)易求法[J].福建信息技術(shù)教育，2006（05）：34.[5]孟道驥.高等代數(shù)與解析幾何[M].北京：科學(xué)出版社，1988.[6]施勁松，劉劍平.矩陣特征值、特征向量的確定[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2003（01）：5.[7]趙院娥，李順琴.矩陣的特征值與特征向量[J].江西科學(xué)，2021（05）：2.[8]徐樹方.矩陣計(jì)算的理論與方法[M].北京：北京大學(xué)出版社，1992.[9]何翼.求矩陣特征值與特征向量的新方法[J].銅仁學(xué)院報(bào)，2021（03）：1.TheResearchonEigenvaluesandEigenvectorsofMatrix

ZhouXue-jiao(DepartmentofMathematics,DezhouUniversity,DezhouShandong253023)

Abstract:Inthispaper,somesolutionmethodsforthematrixeigenvaluesandeigenvectorsareinducted.Incomparison,peopleareeasytofindthebestsolutionandimproveproblemssolvingefficiencythroughthearticle'ssumming.Keywords:Matrix;Eigenvalue;Eigenvector;solution謝辭本研究及學(xué)位論文是在我的導(dǎo)師劉耀斌的親切關(guān)懷和悉心指導(dǎo)下完成的。他嚴(yán)肅的科學(xué)態(tài)度，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)精神，精益求精的工作作風(fēng)，深深地感染和激勵(lì)著我。從課題的選擇到項(xiàng)目的最終完成，劉老師都始終給予我細(xì)心的指導(dǎo)和不懈的支持。劉老師不僅在學(xué)業(yè)上給我以精心指導(dǎo)，同時(shí)還在思想、生活上給以無(wú)微不至的關(guān)懷，在此謹(jǐn)向劉老師致以誠(chéng)摯的謝意和崇高的敬意。

在此，我還要感謝在一起愉快的度過大學(xué)生活的同學(xué)和舍友，正是由于你們的幫助和支持，我才能克服一個(gè)一個(gè)的困難和疑惑，直至本文的順利完成。在論文即將完成之際，我的心情無(wú)法平靜，從開始進(jìn)入課題到論文的順利完成，有多少可敬的師長(zhǎng)、同學(xué)、朋友給了我無(wú)言的幫助，在這里請(qǐng)接受我誠(chéng)摯的謝意!最后我還要感謝培養(yǎng)我長(zhǎng)大含辛茹苦的父母，謝謝你們!愿把我的幸福和快樂都送給關(guān)心和支持過我的人，也愿你們一切如意。第三章向量的內(nèi)積與正交矩陣本章將介紹n維向量的內(nèi)積，向量的長(zhǎng)度，向量的夾角，標(biāo)準(zhǔn)正交組，正交矩陣等概念及其基本性質(zhì)。n維向量的內(nèi)積、長(zhǎng)度、夾角等概念可以看成是空間解析幾何中向量的數(shù)量積、長(zhǎng)度、夾角的推廣，這些在自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)中都有直接的應(yīng)用。向量組的正交規(guī)范化是本章的難點(diǎn)。3.1向量的內(nèi)積向量的內(nèi)積為理解內(nèi)積的直觀背景，從力學(xué)中功的計(jì)算開始。如圖3.1，力F和位移S都是向量，兩者的夾角是θ,用║F║和║S║分別表示力的大小和位移的長(zhǎng)度。根據(jù)中學(xué)的物理知識(shí)，力F所做的功為：FFθS圖3.1θS