人教數(shù)學(xué)A版-3《分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理》要點精講

第一章計數(shù)原理§分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理1.分類加法計數(shù)原理(1)分類加法計數(shù)原理：完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法．(2)分類加法計數(shù)原理的推廣完成一件事有n類方法，在第1類辦法中有m1種不同的方法，在第2類辦法中有m2種不同的方法，…，在第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn種不同的方法(3)應(yīng)用分類加法計數(shù)原理應(yīng)注意的問題①明確題目中所指的“完成一件事”是什么事，完成這件事可以有哪些辦法，怎樣才算是完成這件事．②完成這件事的n類方法是相互獨立的，無論哪種方案中的哪種方法都可以獨立完成這件事，而不需要再用到其他的方法．③不同方案的任意兩種方法是不同的方法，也就是分類時必須做到既“不重復(fù)”也“不遺漏”．2．分步乘法計數(shù)原理(1)分步乘法計數(shù)原理：完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m×n種不同的方法．(2)分步乘法計數(shù)原理的推廣：完成一件事，需要分n個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，…，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m1×m2×…×mn種不同的方法．(3)應(yīng)用分步乘法計數(shù)原理要注意的問題①明確題目中所指的“完成一件事”是什么事，單獨用題目中所給的某種方法是不是能完成這件事，也就是說是否必須要經(jīng)過幾步才能完成這件事．②完成這件事要分若干個步驟，只有每個步驟都完成了，才算完成這件事，缺少哪一步，這件事都不可能完成．③根據(jù)題意正確分步，要求各步之間必須連續(xù)，只有按照這幾步逐步地去做，才能完成這件事，各步驟之間既不能重復(fù)，也不能遺漏．3．正確區(qū)分和理解兩個原理(1)分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理的區(qū)別在于：分類加法計數(shù)原理針對的是“分類”問題，其中各種方法相互獨立，用其中任何一種方法都可以做完這件事；分步乘法計數(shù)原理針對的是“分步”問題，各個步驟中的方法互相依存，只有各個步驟都完成才算做完這件事．(2)用兩個計數(shù)原理解決計數(shù)問題時，最重要的是在開始計算之前要進(jìn)行仔細(xì)分析，確定需要分類還是分步．①分類要做到“不重不漏”，分類后再分別對每一類進(jìn)行計數(shù)，最后用分類加法計數(shù)原理求和，得到總數(shù)．②分步要做到“步驟完整”——完成了所有步驟，恰好完成任務(wù)，當(dāng)然步與步之間要相互獨立．分步后再計算每一步的方法數(shù)，最后根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，把完成每一步的方法數(shù)相乘，得到總數(shù)．③對于較為復(fù)雜的既要用分類加法計數(shù)原理，又要用分步乘法計數(shù)原理的問題，我們可以根據(jù)題意恰當(dāng)合理地畫出示意圖或者列出表格，使問題的實質(zhì)直觀地顯現(xiàn)出來，從而便于我們解題．一、分類加法計數(shù)原理的應(yīng)用在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)共有多少個？解方法一按十位數(shù)上的數(shù)字分別是1,2,3,4,5,6,7,8的情況分成8類，在每一類中滿足題目條件的兩位數(shù)分別是8個，7個，6個，5個，4個，3個，2個，1個，由分類加法計數(shù)原理知，符合題意的兩位數(shù)的個數(shù)共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(個)．方法二按個位數(shù)字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8類，在每一類中滿足條件的兩位數(shù)分別是1個，2個，3個，4個，5個，6個，7個，8個，所以按分類加法計數(shù)原理共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(個)．二、分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用已知a∈{3,4,6}，b∈{1,2,7,8}，r∈{8,9}，求方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示多少個不同的圓．解確定一個圓的方程分三步：第1步確定a的值有3種方法，第2步確定b的值有4種方法，第3步確定r的值有2種方法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同的圓的個數(shù)為N＝3×4×2＝24(個)．三、兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用有一項活動需在3名老師，8名男同學(xué)和5名女同學(xué)中選人參加．(1)若只需一人參加，有多少種不同的選法？(2)若需一名老師，一名學(xué)生參加，有多少種不同的選法？(3)若只需老師，男同學(xué)，女同學(xué)各一人參加，有多少種不同的選法？解(1)“完成這件事”只需從老師、學(xué)生中選1人即可，共有3＋8＋5＝16(種)．(2)“完成這件事”需選2人，老師、學(xué)生各1人，分兩步進(jìn)行：選老師有3種方法，選學(xué)生有8＋5＝13(種)方法，共有3×13＝39(種)方法．(3)“完成這件事”需選3人，老師、男同學(xué)、女同學(xué)各一人，可分三步進(jìn)行，選老師有3種方法，選男同學(xué)有8種方法，選女同學(xué)有5種方法，共有3×8×5＝120(種)方法．四、計數(shù)時容易“漏”、“重”的問題某外語組有9人，每人至少會英語和日語中的一門，其中7人會英語，3人會日語，從中選出會英語和日語的各一人，有多少種不同的選法？解共分三類：第一類當(dāng)既會英語又會日語的參加英語時，只選會日語的一個既可，有2種選法；第二類既會英語又會日語的參加日語時只選出會英語的一個即可，有6種選法；第三類既會英語又會日語的既不參加英語也不參加日語時，則需從會日語和英語中各選一人，有2×6＝12種方法，故共有2＋6＋2×6＝20(種)選法．已知集合M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6，－7}，從兩個集合中各取一個元素作為點的坐標(biāo)，則在直角坐標(biāo)系第一、二象限中的不同的點的個數(shù)有()A．18個B．16個C．14個D．10個解析此問題可分兩類：①以集合M的元素作為橫坐標(biāo)，集合N的元素作為縱坐標(biāo)，集合M中任取一個元素的方法有3種，要使點在第一、第二象限內(nèi)，則集合N中只能取5,6兩個元素中的一個，有2種方法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理有3×2＝6個；②以集合N中的元素作為橫坐標(biāo)，集合M中的元素為縱坐標(biāo)，集合N中任取一個元素的方法有4種，要使點在第一、第二象限內(nèi)，則集合M中只能取1,3兩個元素中的一個，有2種方法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理有4×2＝8個．綜合以上兩類，利用分類加法計數(shù)原理，共有6＋8＝14個．故選C.答案C五、涂色問題用5種不同的顏色(給如圖所示的5個區(qū)域涂色)，相鄰部分不能用同一種顏色，但同一種顏色可以反復(fù)使用，所有不同的涂色方法有多少種？解第1步涂A區(qū)域有5種不同的涂法，第2步涂B區(qū)域有4種不同的涂法，依次第3、4、5步涂C、D、E區(qū)域，都有3種不同涂法．依據(jù)分步乘法原理，所有不同的涂色方法有5×4×3×3×3＝540(種)．用5種不同的顏色給圖中所給出的四個區(qū)域涂色，每個區(qū)域涂一種顏色，若要求相鄰(有公共邊)的區(qū)域不同色，那么共有多少種不同的涂色方法？1324解完成該件事可分步進(jìn)行．涂區(qū)域1，有5種顏色可選．涂區(qū)域2，有4種顏色可選．涂區(qū)域3和區(qū)域4可先分類：若區(qū)域3的顏色與2相同，則區(qū)域4有4種顏色可選；若區(qū)域3的顏色與2不同，則區(qū)域3有3種顏色可選，此時區(qū)域4有3種顏色可選．所以共有5×4×(1×4＋3×3)＝260(種)涂色方法．1．(全國Ⅰ高考)將1,2,3填入3×3的方格中，要求每行、每列都沒有重復(fù)數(shù)字，右面是一種填法，則不同的填寫方法共有()A．6種B．12種C．24種D．48種解析由于3×3方格中，每行、每列均沒有重復(fù)數(shù)字，因此可從中間斜對角線填起．如圖中的△，當(dāng)△全為1時，有2種(即第一行第2列為2或3，當(dāng)?shù)诙刑?時，第三列只能填3，當(dāng)?shù)谝恍刑钔旰?，其他行的?shù)字便可確定)；當(dāng)△全為2或3時，分別有2種，共有6種；當(dāng)△分別為1,2,3時，也共有6種．所以共12種．答案B2．(廣州模擬)現(xiàn)有4種不同顏色要對如圖所示的四個部分進(jìn)行著色，要求有公共邊界的兩塊不能用同一種顏色，則不同的著色方法共有()A．24種B．30種C．36種D．48種解析共有4×3×2×2＝48(種)．答案D3．(北京高考)用0到9這10個數(shù)字，可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)的個數(shù)為()A．324B．328C．360D．648解析分兩類：第一類末位為0，第二類末位不為0.在第一類中可分三步完成，第一步確定末位數(shù)字有一種方法，第二步確定百位數(shù)字有9種方法，第三步確定十位數(shù)字有8種方法，共有9×8×1＝72(個)偶數(shù)；在第二類中也要分三步完成，第一步確定末位數(shù)字，只能從2,4,6,8四個數(shù)字中選一，有4種選法，第二步確定首位數(shù)字，有8種方法，第三步確定十位數(shù)字，也有8種方法，共有4×8×8＝256(個)偶數(shù)，因此共有72＋256＝328(個)偶數(shù)，故選B.答案B1．5位同學(xué)報名參加兩個課外活動小組，每位同學(xué)限報其中的一個小組，則不同的報名方法共有()A．10種B．20種C．25種D．32種答案D解析因為每人均有兩種選擇方法，所以不同的報名方法有25＝32(種)．2．某通訊公司推出一組手機(jī)卡號碼，卡號的前七位數(shù)字固定，從“×××××××0000”到“×××××××9999”共10000個號碼，公司規(guī)定：凡卡號的后四位中帶有數(shù)字“4”或“7”的一律作為優(yōu)惠卡，則這組號碼中“優(yōu)惠卡”A．2000B．4096C．5904D．8320答案C解析從反面考慮：后4位中不帶數(shù)字“4”和“7”的一共有8×8×8×8＝4096(個)，∴帶“4”或“7”的有10000－4096＝5904(個)．3.如圖所示，用五種不同的顏色分別給A、B、C、D四個區(qū)域涂色，相鄰區(qū)域必須涂不同顏色，若允許同一種顏色多次使用，則不同的涂色方法共有()A．180種B．120種C．96種D．60種答案A解析按區(qū)域分四步：第一步A區(qū)域有5種顏色可選；第二步B區(qū)域有4種顏色可選；第三步C區(qū)域有3種顏色可選；第四步由于D區(qū)域可以重復(fù)使用區(qū)域A中已有過的顏色，故也有3種顏色可選用．由分步乘法計數(shù)原理，共有5×4×3×3＝180(種)涂色方法．4．從6人中選4人分別到巴黎、倫敦、悉尼、莫斯科四個城市游覽，要求每個城市有一人游覽，每人只游覽一個城市，且這6人中甲、乙兩人不去巴黎游覽，則不同的選擇方案共有()A．300種B．240種C．144種D．96種答案B解析能去巴黎的有4個人，依次能去倫敦、悉尼、莫斯科的有5個、4個、3個．∴不同的選擇方案有4×5×4×3＝240(種)．∴選B.5．如圖所示，某電子器件是由三個電阻組成的回路，其中共有6個焊接點A、B、C、D、E、F，如果某個焊接點脫落，整個電路就會不通，現(xiàn)在電路不通了，那么焊接點脫落可能性共有()A．6種B．36種C．63種D．64種答案C解析每個焊點都有正常與脫落兩種情況，共有26種情況，但其中有一種情況是各焊點都正常的情況，所以共有26－1＝63(種)電路不通的情況．6．從集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取三個元素分別作為直線方程Ax＋By＋C＝0中的A、B、C，所得直線經(jīng)過坐標(biāo)原點的有________條．答案30解析因為直線過原點，所以C＝0，從1,2,3,5,7,11這六個數(shù)中任取2個作為A、B，分為兩步：第一步取一個數(shù)作為A有6種；第二步從剩下的5個數(shù)中取一個數(shù)作為B有5種，所以直線的條數(shù)為6×5＝30.7．在由數(shù)字0,1,2,3,4,5所組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，不能被5整除的數(shù)共有________個．答案192解由數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)共有5×5×4×3＝300(個)，其中能被5整除的共分兩類：末位為5，有4×4×3＝48(個)；末位為0，有5×4×3＝60(個)，故答案為300－108＝192(個)．8．某銀行儲蓄卡的密碼是一個4位數(shù)碼，某人采用千位、百位上的數(shù)字之積作為十位、個位上的數(shù)字(如2816)的方法設(shè)計密碼，積為一位數(shù)時，十位上數(shù)字選0，千位、百位上都能取0.這樣設(shè)計出來的密碼共有________個．答案100解析由于千位、百位確定下來后十位、個位就隨之確定，則只考慮千位、百位即可，千位、百位各有10種選擇，所以有10×10＝100(種)．9．已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)表示平面上的點(a，b∈M)，問：(1)P可表示平面上多少個不同的點？(2)P可表示平面上多少個第二象限的點？(3)P可表示多少個不在直線y＝x上的點？解(1)確定平面上的點P(a，b)可分兩步完成：第一步確定a的值，共有6種確定方法；第二步確定b的值，也有6種確定方法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，得到平面上的點數(shù)是6×6＝36.(2)確定第二象限的點，可分兩步完成：第一步確定a，由于a<0，所以有3種確定方法；第二步確定b，由于b>0，所以有2種確定方法．由分步乘法計數(shù)原理，得到第二象限點的個數(shù)是3×2＝6.(3)點P(a，b)