2(1).隨機變量應用學習

第二章隨機變量第一節(jié)隨機變量及其分布函數第二節(jié)離散型隨機變量及其分布第三節(jié)連續(xù)型隨機變量及其分布第一節(jié)隨機變量及其分布函數定義1:稱為隨機變量X的分布函數。定義2:設X是一隨機變量，x為任意實數，函數上一頁下一頁返回證明：上一頁下一頁返回上一頁下一頁返回由概率的連續(xù)性得：上一頁下一頁返回例1：口袋里裝有3個白球2個紅球，從中任取三個球，求取出的三個球中的白球數的分布函數解：設X表示取出的3個球中的白球數。X的可能取值為1，2，3。而且由古典概率可算得上一頁下一頁返回于是，X的分布函數為：上一頁下一頁返回例2:考慮如下試驗：在區(qū)間[0，1]上任取一點，記錄它的坐標X。那么X是一隨機變量，根據試驗條件可以認為X取到[0，1]上任一點的可能性相同。求X的分布函數。當x<0時解：由幾何概率的計算不難求出X的分布函數所以：上一頁下一頁返回上一頁下一頁返回第二節(jié)離散型隨機變量及其分布分布律常用表格形式表示如下：Xx1x2

…

xk…pk

p1p2

…

pk…

如果隨機變量所有的可能取值為有限個或可列無限多個，則稱這種隨機變量為離散型隨機變量。設離散型隨機變量X的可能取值為xk

(k=1,2,…),事件發(fā)生的概率為pk,即稱為隨機變量X的概率或分布律。上一頁下一頁返回分布律的兩條基本性質：上一頁下一頁返回（１）確定常數a的值;（２）求Ｘ的分布函數因此解：（１）由分布律的性質知Ｘ０１２pa上一頁下一頁返回（2）由分布函數計算公式易得Ｘ的分布函數為：上一頁下一頁返回兩點分布若在一次試驗中X只可能取x1

或x2

兩值(x1<x2),它的概率分布是則稱X服從兩點分布。當規(guī)定x1=0,x2=1時兩點分布稱為（0－1）分布。簡記為X~(0-1)分布。X01pk1-pp上一頁下一頁返回若離散型隨機變量X的分布律為二項分布其中0<p<1,稱X服從參數為n,p的二項分布，記為X~b(n,p)。上一頁下一頁返回當n=1時，二項分布化為：P{X=k}=pk(1-p)1-kk=0,1在n重貝努里試驗中，假設A在每次試驗中出現的概率為p，若以X表示n次試驗中A出現的次數。那么由二項概率公式得X的分布律為：即X服從二項分布。（0－1）分布可用b(1，p)表示。即為（0－1）分布上一頁下一頁返回例４：某交互式計算機有10個終端，這些終端被各個單位獨立使用，使用率均為0.7，求同時使用的終端不超過半數的概率。在涉及二項分布的概率計算時，直接計算很困難時，采用了近似計算。下面給出近似公式：解：設X表示10個終端中同時使用的終端數，則X~b(10,0.7)。所求的概率為：上一頁下一頁返回泊松定理設λ>0是一常數，n是任意整數，設npn=λ，則對任意一固定的非負整數k，有證明上一頁下一頁返回定理的條件npn=λ，意味著n很大時候pn必定很小。因此當n很大，p很小時有近似公式其中λ=np。在實際計算中，當時用（λ=np）作為的近似值效果很好。而當時效果更佳。的值有表可查。從而上一頁下一頁返回例5：有同類設備300臺，各臺工作狀態(tài)相互獨立。已知每臺設備發(fā)生故障的概率為0.01，若一臺設備發(fā)生故障需要一人去處理，問至少需要配備多少工人，才能保證設備發(fā)生故障而不能及時修理的概率小于0.01？查表可知，滿足上式最小的N是8。至少需配備8個工人才能滿足要求。解：設X表示同一時刻發(fā)生故障的設備臺數，依題意知X~(300,0.01)，若配備N位維修人員，所需解決的問題是確定最小的N，使得：P{X>N}<0.01（λ=np=3）上一頁下一頁返回泊松(Poisson)分布上式給出的概率滿足：pk=P{X=k}

0,且設隨機變量X的所有可能取值為0,1,2…,而取各值的概率為其中λ>0為常數,則稱X服從參數為的泊松分布，記為X~()。上一頁下一頁返回例6:放射性物質在規(guī)定的一段時間內，其放射的粒子數X服從泊松分布。羅瑟福和蓋克觀察與分析了放射性物質放出的粒子個數的情況。他們做了2608次觀察（每次時間為7.5秒），整理與分析如表所示:上一頁下一頁返回0.0070.006161.0000.9992608總計0.0110.0102790.0260.0174580.0540.05313970.0970.10527360.1510.15640850.1950.20453240.2010.20152530.1560.14738320.0810.07820310.0210.022570按泊松分布計算的概率頻率觀察到的次數Mk粒子數k上一頁下一頁返回設想把體積為V的放射性物質分割為n份相同體積△V

的小塊，并假定：在1秒內放出兩個或兩個以上粒子的概率為0分析推導放射的粒子數為何服從泊松分布考慮單位時間1秒內放射出的粒子數X。（1）對于每個小塊，在1秒內放出一個粒子數的概率p為其中μ>0是常數（與n無關且與每小塊的位置無關）。（2）各小塊是否放出粒子,是相互獨立的。上一頁下一頁返回在這兩條假定下，1秒內這一放射性物質放出k個粒子這一事件，可近似看作該物質的n個獨立的小塊中，恰有k小塊放出粒子。其中P{X=k}是隨n而變的，它是一個近似式。放出k個粒子的概率：把物質無限細分，得到P{X=k}

的精確式，即由泊松定理知其中上一頁下一頁返回第三節(jié)連續(xù)隨機變量及其分布（4）若x為f(x)的連續(xù)點，則有概率密度f(x)具有以下性質：定義3:

設隨機變量X的分布函數為F(x)，若存在非負函數f(t),使得對于任意實數x，有則稱X為連續(xù)型隨機變量，稱f(t)為X的概率密度函數，簡稱概率密度或分布密度。上一頁下一頁返回由性質（2）知：介于曲線y=f(x)與Ox軸之間的面積等于1（見圖1）。由性質（3）知：X落在區(qū)間（x1,x2）的概率等于區(qū)間（x1,x2）上曲線y=f(x)之下的曲邊梯形的面積（見圖2）。由性質（4）知：若已知連續(xù)型隨機變量X的分布函數F(x)求導得概率密度f(x)。圖１圖２上一頁下一頁返回(1)若X為具有概率密度f(x)的連續(xù)型隨機變量。則有如果x0為f(x)的連續(xù)點，有f(x)在x0處的函數值f(x0)反映了概率在x0點處的“密集程度”，而不表示X在x0處的概率。設想一條極細的無窮長的金屬桿，總質量為1，概率密度相當于各點的質量密度。（2）若X為連續(xù)型隨機變量，由定義知X的分布函數F(x)為連續(xù)函數（注意：反之不然）。X取一個點a的概率為零，事實上兩點說明在計算連續(xù)型隨機變量X落在某一區(qū)間的概率時，可以不必區(qū)分該區(qū)間是開區(qū)間或閉區(qū)間或半開半閉區(qū)間，即有事件{X=a}并非不可能事件概率為零的事件不一定是不可能事件；概率為1的事件不一定是必然事件。

上一頁下一頁返回求：（1）常數a；（2）（3）X的分布函數F（x）（1）由概率密度的性質可知所以a＝1/2

例1：設隨機變量X具有概率密度解：上一頁下一頁返回上一頁下一頁返回則稱X在區(qū)間(a,b)上服從均勻分布，記為X~U(a,b)，均勻分布設連續(xù)型隨機變量X的概率密度函數為X的分布函數為：上一頁下一頁返回概率密度函數f(x)與分布函數F(x)的圖形可用圖示上一頁下一頁返回設連續(xù)型隨機變量X具有概率密度則稱X服從參數為的指數分布。指數分布X的分布函數為上一頁下一頁返回f(x)和F(x)可用圖形表示上一頁下一頁返回利用可以證明，正態(tài)分布設隨機變量X的概率密度為其中,(>0)為常數,則稱X服從參數為,

的正態(tài)分布或高斯分布,記為X~N(,2).X的分布函數為上一頁下一頁返回（1）最大值在x=μ處，最大值為;（3）曲線y=f(x)在處有拐點；正態(tài)分布的密度函數f(x)的幾何特征：（2）曲線y=f(x)關于直線x=μ對稱，于是對于任意h>0，有（4）當時，曲線y=f(x)以x軸為漸近線上一頁下一頁返回當固定，改變的值，y=f(x)的圖形沿Ox軸平移而不改變形狀，故又稱為位置參數。若固定，改變的值，y=f(x)的圖形的形狀隨的增大而變得平坦。越小，X落在附近的概率越大。上一頁下一頁返回參數=0，=1的正態(tài)分布稱為標準正態(tài)分布，記為X~N(0,1)。其概率密度函數和分布函數分別用和表示，即和的圖形如圖所示。上一頁下一頁返回由正態(tài)密度函數的幾何特性易知一般的正態(tài)分布，其分布函數F(x)可用標準正態(tài)分布的分布函數表達。若X~,X的分布函數F(x)為因此，對于任意的實數a,b(a<b)，有函數寫不出它的解析表達式，人們已編制了它的函數表，可供查用。上一頁下一頁返回例2：設X~(0,1),求P{1<X<2},P{}.例3：某儀器需安裝一個電子元件，要求電子元件的使用壽命不低于1000小時即可?，F有甲乙兩廠的電子元件可供選擇，甲廠生產的電子元件的壽命服從正態(tài)分布N(1100,502),乙廠生產的電子元件的壽命分布服從正態(tài)分布N(1150,802)。問應選擇哪個廠生產的產品呢？若要求元件的壽命不低于1050小時，又如何？上一頁下一頁返回比較兩個概率的大小就知應選甲廠的產品