多維隨機(jī)變量和其分布

多維隨機(jī)變量和其分布一.隨機(jī)向量及其分布函數(shù)定義1

設(shè)是定義在概率空間上的n個(gè)隨機(jī)變量，則稱是上的一個(gè)n維隨機(jī)向量。定義2

設(shè)是上的一個(gè)n維隨機(jī)向量，則稱n元函數(shù)是隨機(jī)向量的分布函數(shù)或n個(gè)隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)。下面以二維隨機(jī)向量為例，給出聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)。(x1,y1)(x1,y2)(x2,y2)(x2,y1)oⅠⅢⅡⅣxy二維隨機(jī)向量聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)二維隨機(jī)向量邊緣分布函數(shù)可推廣到n維隨機(jī)向量的邊緣分布函數(shù).二.離散型隨機(jī)向量的概率分布二維離散型隨機(jī)向量(X,Y)的分布律表XY012

邊緣概率分布的計(jì)算也可以在(X,Y)的概率分布表上進(jìn)行:XY012

二維離散型隨機(jī)向量聯(lián)合分布律的性質(zhì)性質(zhì)1證因?yàn)?所以

性質(zhì)2證

證

解P{X=i,Y=j}=P{X=i}P{Y=j|X=i}=(1/4)(1/i)(i≥j),于是(X,Y)的分布律為隨機(jī)向量的聯(lián)合分布函數(shù)

例:設(shè)二維隨機(jī)向量(X,Y)具有概率密度(1)求分布函數(shù)F(x,y);(2)求概率P{Y≤X}.

解:(1)(2)將(X,Y)看著平面上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo).G是xoy平面上直線y=x下方的部分.例3.3(均勻分布)Gxyy=x011邊緣分布與邊緣概率密度邊緣分布函數(shù)完全由聯(lián)合分布函數(shù)確定.(1)(X,Y)關(guān)于X的邊緣分布律(2)(X,Y)關(guān)于Y的邊緣分布律邊緣密度函數(shù)邊緣密度函數(shù)由聯(lián)合密度函數(shù)決定.

設(shè)連續(xù)型二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度函數(shù)為f(x,y)則從而得到X和Y的概率密度函數(shù)分別為解（X，Y）的聯(lián)合密度函數(shù)則（X，Y）關(guān)于X的邊緣密度函數(shù)（X，Y）關(guān)于Y的邊緣密度函數(shù)（1）（X,Y）關(guān)于X的邊緣密度函數(shù)（2）（X，Y）關(guān)于Y的邊緣密度函數(shù)1.二元正態(tài)分布的邊緣分布必為正態(tài)分布2.相同的邊緣分布未必能確定唯一的聯(lián)合分布.相關(guān)系數(shù)為0時(shí),有聯(lián)合密度等于兩個(gè)邊緣密度之積.作業(yè)P84:3,4,5,6.§3.2條件分布與隨機(jī)變量的獨(dú)立性

條件分布是條件概率的推廣.本節(jié)主要討論關(guān)于二維離散型隨機(jī)變量的條件分布律和關(guān)于二維連續(xù)型隨機(jī)變量的條件密度函數(shù).XYXY01

0.120.180.280.42三.連續(xù)型隨機(jī)變量的條件密度與獨(dú)立性xy011Dy=x例:設(shè)隨機(jī)向量(X,Y)的概率密度函數(shù)為試證X和Y相互獨(dú)立.解于是有

p(x,y)=pX(x)pY(y)所以X和Y相互獨(dú)立.解(1)X與Y的密度函數(shù)分別為因?yàn)閄與Y相互獨(dú)立,所以(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)解

(2)因?yàn)樗宰C關(guān)于X與Y的邊緣密度函數(shù)分別為則X與Y相互獨(dú)立的充分必要條件是

即

P941,5,13§3.3隨機(jī)向量的函數(shù)的分布與數(shù)學(xué)期望一.離散型隨機(jī)向量的函數(shù)的分布XY00.10.2010.30.050.120.1500.1P0.10.50.20.10.1P0.150.30.350.10.1x+y=z(>0)x0yxy0解:因?yàn)閄與Y相互獨(dú)立顯然Z~N(0,2).定理表明：相互獨(dú)立且都服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量的線性組合也服從正態(tài)分布.例3.16商的情況例：設(shè)二維隨機(jī)向量的密度函數(shù)為求的密度函數(shù)。解于是Z的密度函數(shù)為例3.18積的情況xy011y=x

證明(1)設(shè)離散型隨機(jī)向量(X,Y)的聯(lián)合分布列和邊際分布列分別為P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,…P{X=xi}=pi.,i=1,2,…P{Y=yj}=p.j,j=1,2,…則(2)設(shè)連續(xù)型隨機(jī)向量(X,Y)的聯(lián)合概率密度和邊際概率密度分別為p(x,y)和pX(x),pY(y)則性質(zhì)(2):設(shè)X,Y是互相獨(dú)立的隨機(jī)變量,則有

E(XY)=E(X)E(Y)證明(1)設(shè)離散型隨機(jī)向量(X,Y)的聯(lián)合分布列和邊際分布列分別為P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,…P{X=xi}=pi.,i=1,2,…P{Y=yj}=p.j,j=1,2,…則(2)設(shè)連續(xù)型隨機(jī)向量(X,Y)的聯(lián)合概率密度和邊際概率密度分別為p(x,y)和pX(x),pY(y)則※

例:一民航送客車載有20位旅客自機(jī)場(chǎng)開(kāi)出,旅客有10個(gè)車站可以下車.如到達(dá)一個(gè)車站沒(méi)有旅客下車就不停車.以X表示停車的次數(shù),求E(X).

解:引入隨機(jī)變量易知X=X1+X2+…+X10任一旅客在第i站不下車的概率為9/10.因此20位旅客都不在第i站下車的概率為(9/10)20,在第i站有人下車的概率為1-(9/10)20.即P{Xi=0}=(9/10)20,P{Xi=1}=1-(9/10)20所以E(Xi)=1-(9/10)20,i=1,2,…,10進(jìn)而E(X)=E(X1+X2+…+X10)=E(X1)+E(X2)+…+E(X10)=10[1-(9/10)20]=8.784

注:本題的特點(diǎn)是將X分解為數(shù)個(gè)隨機(jī)變量的和,再求數(shù)學(xué)期望.此種方法具有普遍意義.P103:3,7,11§3.4隨機(jī)向量的數(shù)字特征

對(duì)于二維隨機(jī)向量(X,Y)來(lái)說(shuō),數(shù)學(xué)期望E(X)、E(Y)只反映了X與Y各自的平均值,方差只反映了X與Y各自離開(kāi)均值的偏離程度,它們對(duì)X與Y之間相互關(guān)系不提供任何信息.

但二維隨機(jī)向量(X,Y)的概率密度p(x,y)或分布列pij全面地描述了(X,Y)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律,也包含有X與Y之間關(guān)系的信息.我們希望有一個(gè)數(shù)字特征能夠在一定程度上反映這種聯(lián)系.一.協(xié)方差X340.40.320.20.1Yxy110y=x

定理:Cov(X,Y)=Cov(Y,X)證明

Cov(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]=E[(Y-E(Y))(X-E(X))]=Cov(Y,X)

定理:

Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),a,b是常數(shù)證明

Cov(aX,bY)=E[(aX-E(aX))(bY-E(bY))]=E{[a(X-E(X))][b(Y-E(Y))]}=abE{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=abCov(X,Y)

定理:Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z)證明Cov(X+Y,Z)=E{[(X+Y)-E(X+Y)][Z-E(Z)]=E{[(X-E(X))+(Y-E(Y))][Z-E(Z)]}=E{[X-E(X)][Z-E(Z)]+[Y-E(Y)][Z-E(Z)]}=E{[X-E(X)][Z-E(Z)]}+E{[Y-E(Y)][Z-E(Z)]}=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z)

定理:設(shè)X,Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,則有D(X+Y)=D(X)+D(Y)證明D(X+Y)=E{[(X+Y)-E(X+Y)]2}=E{[(X-E(X))+(Y-E(Y))]2}=E{[X-E(X)]2}+E{[Y-E(Y)]2}+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}

由于X,Y相互獨(dú)立,知X-E(X)與Y-E(Y)也相互獨(dú)立,從而有2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=2E{[X-E(X)]}E{[Y-E(Y)]}=0.

于是得D(X+Y)=D(X)+D(Y)XY00.300.310.10.20.1

協(xié)方差的數(shù)值在一定程度上反映了X與Y相互間的聯(lián)系,但它受X與Y本身數(shù)值大小的影響.如令X*=kX,Y*=kY,這時(shí)X*與Y*間的相互聯(lián)系和X與Y的相互聯(lián)系應(yīng)該是一樣的,但是Cov(X*,Y*)=k2Cov(X,Y)

為了克服這一缺點(diǎn),在計(jì)算X與Y的協(xié)方差之前,先對(duì)X與Y進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化:

再來(lái)計(jì)算X*和Y*的協(xié)方差，這樣就引進(jìn)了相關(guān)系數(shù)的概念.3.相關(guān)系數(shù)或標(biāo)準(zhǔn)協(xié)方差.

性質(zhì)1:隨機(jī)變量X和Y的相關(guān)系數(shù)滿足|ρXY|≤1.證明令則從而|ρXY|≤1.相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)

性質(zhì)2:|ρXY|=1的充要條件是,存在常數(shù)a,b使得

P{Y=aX+b}=1

性質(zhì)3:若X與Y相互獨(dú)立,則ρXY=0.證明若X與Y相互獨(dú)立,則E(XY)=E(X)E(Y),又Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y),所以

定義:(1)當(dāng)ρXY=1時(shí),稱X與Y正線性相關(guān);(2)當(dāng)ρXY=-1時(shí),稱X與Y負(fù)線性相關(guān);(3)當(dāng)ρXY=0時(shí),稱X與Y不相關(guān).

注:(1)X與Y不相關(guān),只是意味著X與Y不線性相關(guān),但可能存在著別的函數(shù)關(guān)系;(2)若ρXY存在,則當(dāng)X與Y獨(dú)立時(shí),X與Y一定不相關(guān);但X與Y不相關(guān)時(shí),X與Y不一定獨(dú)立.

例:設(shè)隨機(jī)變量Θ在[-π,π]上服從均勻分布,又X=sinΘ,Y=cosΘ試求X與Y的相關(guān)系數(shù)ρ.解這時(shí)有這時(shí)有Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0,即ρ=0.從而X與Y不相關(guān),沒(méi)有線性關(guān)系;但是X與Y存在另一個(gè)函數(shù)關(guān)X2+Y2=1,從而X與Y是不獨(dú)立的.YX-10100.070.180.1510.080.320.20解

X與Y的分布律分別為X-101P0.150.50.35Y01P0.40.6于是解

則于是定理:

隨機(jī)變量X與Y不相關(guān)與下列結(jié)論之一等價(jià).

1.2.3.XY

012

顯然，若記h(y)=E[X|Y=y],則隨著y的變化，它是y的一個(gè)函數(shù)。因此可以由此定義隨機(jī)變量Y的函數(shù)h(Y)=E[X|Y],稱之為隨機(jī)變量X關(guān)于隨機(jī)變量Y的條件期望。(1’)(2’)(3’)如果X與Y獨(dú)立，則(4)全期望公式

例3.28例3.29

五.條件數(shù)學(xué)期望的預(yù)測(cè)含義作業(yè)P113:1,6“概率是頻率的穩(wěn)定值”。前面已經(jīng)提到，當(dāng)隨機(jī)試驗(yàn)的次數(shù)無(wú)限增大時(shí)，頻率總在其概率附近擺動(dòng)，逼近某一定值。大數(shù)定理就是從理論上說(shuō)明這一結(jié)果。正態(tài)分布是概率論中的一個(gè)重要分布，它有著非常廣泛的應(yīng)用。中心極限定理闡明，原本不是正態(tài)分布的一般隨機(jī)變量總和的分布，在一定條件下可以漸近服從正態(tài)分布。這兩類定理是概率統(tǒng)計(jì)中的基本理論，在概率統(tǒng)計(jì)中具有重要地位?！?.5大數(shù)定理與中心極限定理一.依概率收斂定義設(shè)是一列隨機(jī)變量，如果對(duì)任意則稱{Xn}依概率收斂到X,記作二.大數(shù)定律第i次試驗(yàn)事件A發(fā)生第i次試驗(yàn)事件A不發(fā)生

定理3.9（契比雪夫(Chebyshev)大數(shù)定律）:設(shè){Xk}是兩兩不相關(guān)的隨機(jī)變量序列,具有數(shù)學(xué)期望E(Xk)和方差D(Xk)[k=1,2,...].若存在常數(shù)C,使得D(Xk)≤C(k=1,2,…),則對(duì)于任意給定的ε>0,恒有證明推論設(shè){Xk},k=1,2,…,n,…獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，其數(shù)學(xué)期望和方差均存在。記，則有上述推論要求方差存在，此條件去掉則變成:定理3.10（辛欽大數(shù)定律）設(shè){Xk},k=1,2,…,n,…獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，其數(shù)學(xué)期望存在。記，則有伯努利大數(shù)定律與辛欽大數(shù)定律含義區(qū)別.解所以,滿足切比雪夫大數(shù)定理的條件,可使用大數(shù)定理.三.中心極限定理

在一定條件下,許多隨機(jī)變量的極限分布是正態(tài)分布:“若一個(gè)隨機(jī)變量X可以看著許多微小而獨(dú)立的隨機(jī)因素作用的總后果,每一種因素的影響都很小,都有不起壓倒一切的主導(dǎo)作用,則X一般都可以認(rèn)為近似地服從正態(tài)分布.”

例如對(duì)某物的長(zhǎng)度進(jìn)行測(cè)量,在測(cè)量時(shí)有許多隨機(jī)因素影響測(cè)量的結(jié)果.如溫度和濕度等因素對(duì)測(cè)量?jī)x器的影響,使測(cè)量產(chǎn)生誤差X1;測(cè)量者觀察時(shí)視線所產(chǎn)生的誤差X1;測(cè)量者心理和生理上的變化產(chǎn)生的測(cè)量誤差X3;…顯然這些誤差是微小的、隨機(jī)的,而且相互沒(méi)有影響.測(cè)量的總誤差是上述各個(gè)因素產(chǎn)生的誤差之和,即∑Xi.

一般地,