2021年湖南省株洲市高考數(shù)學(xué)一模試卷(理科)及解析

3．已數(shù)是，3．已數(shù)是，）nS{a}的．13n16）共12個小每小題共60分.在每小題給個.1合{x|＜2，B={x|2x1}，則∩（）A．{x|0＜x＜2}B．x|＜2}C．{x|＞0}D{|x＜2分）已知單位，∈R，則（）A．﹣1B．．2D．﹣（5分{a遞數(shù)是n項a=4，則=（）A．31．32．D．644分）如圖所示三時代數(shù)學(xué)趙在周髀算經(jīng)》中用圖，給出了理的證．中含四個等的直三形一個?。幹苯侨切我粌?nèi)角為，若向圖內(nèi)隨機拋擲1000顆米粒（大忽略不計落在正方形（陰）的米粒數(shù)約為（）A．BC．D．5005分）知x）是定義在上奇函．當(dāng)x＞時，（x）=x2﹣x，則不等式（）0的解集用區(qū)間表為（）A，1））∪（1+∞），）（，）D10∪（1+∞）6分x﹣2）10展開中的系數(shù)為（）A．10．30．D．2107某三棱三圖如粗線每個單元格長為該三棱柱外接表積（）Bx，（，）Bx，（，）Cx，（點Dx，（A．4πB．π．πD168已知]表示不過的最整，[][1=1，]=2執(zhí)行圖示程框，輸出的為（）A．450BC．D9分）已知函數(shù)m，為整數(shù)）的圖象如圖所示，則n的值可能為（）A．m=2，﹣B．，．，n=1Dm=1，110分已知（）x＞）的圖象關(guān)于點

對稱，且x）在區(qū)間

上單調(diào)，則的值為（）A．1B．．．11分）知拋線

和圓，直線y=k（x1）與1，2依次相交于x1，1，（y2，）中112．已棱中112．已棱）三11，面柱棱111ijx＜x＜xx|AB?|CD的為（）A．1B．．（5分直柱ABCABC的側(cè)棱為且底是邊為的正三角形平棱側(cè)BBCC，分別交于三點N，若eq\o\ac(△,為)（）A．．題，滿分案填）5分是長為的等三角形E為邊的點則=

．）已實數(shù)y足+y的大值為．分）已知雙曲線經(jīng)過正方形的四個頂點，且雙曲線的焦距等于該正方形的長，雙曲線的離心為．16分）如表出個“等數(shù)”：中每行、每列都是等差數(shù)列，表示位于第行第列數(shù)．則在這“數(shù)陣現(xiàn)的數(shù)為．47a71217a101724a

jj

a

i1

a

i2

a

i3

a

ij

三解答題（本大題共小，共分.解答寫出文說明、明過程或演算步.）17分，點在邊，∠BCD為銳角，CD=2eq\o\ac(△,，)的面積為．（1）求cos∠的；（2）求邊的長．18分如圖，在幾何體中，四邊形為形，四邊形為梯形AB∥，平面CBE與平面垂直且⊥BE．（1）求：⊥平面；（2⊥AD與平面ADEF所的余為，求的．19分）某協(xié)對A，兩服務(wù)機構(gòu)進(jìn)行滿意度查，在B兩家服務(wù)機構(gòu)提供過服務(wù)市民中隨機抽取了人，每人分別對這兩家服務(wù)機構(gòu)行評分，滿分均為．整理評分?jǐn)?shù)據(jù)，將分?jǐn)?shù)以10為組成組[0，2030，[30，40，5050，，得到A服務(wù)機構(gòu)數(shù)的頻數(shù)布表，服務(wù)機構(gòu)分?jǐn)?shù)的率分布直方：A服務(wù)機構(gòu)數(shù)的頻數(shù)分表分?jǐn)?shù)區(qū)間

頻數(shù)[0，）[10，20）[20，30）[30，40）[40，50）[50，60]定義市服務(wù)評價的滿意度指數(shù)如下：分?jǐn)?shù)[30））滿意度

012（1）在抽樣的人中，對B服務(wù)機構(gòu)評價“滿意度指數(shù)”為的人數(shù)；00從在兩家服務(wù)機構(gòu)都提供過服務(wù)的市民中隨機抽取進(jìn)行調(diào)查，試估計其對務(wù)機構(gòu)評價的意指數(shù)對服務(wù)構(gòu)評價的意度指數(shù)高的概率；如果從B服務(wù)構(gòu)中選擇一家服務(wù)機構(gòu)，你會選擇哪家？說明理由．分）已橢圓

與直線﹣都過點．直線與平行，且與圓交于B兩點，直線，MB與x于F．圓的；證為腰三形．21）已函數(shù)x）=lnx+（x﹣1）2（a＞0．討論fx）單調(diào)性；若fx）區(qū)間0，1）內(nèi)有唯一的零點，證明：．請在、23題任題多則第題分.[選修4-4：坐標(biāo)系與參]22分）已知曲線極標(biāo)程是θ以為平面角標(biāo)系的點，軸為x軸的軸平直，直線的數(shù)方程是（t數(shù)．（1）線的方程直方程；（2）若直線與曲線相交于B點，且角的值．[選修4-5：不等式選講]23已知數(shù)x）=|+1﹣|x|+，若﹣1，求不等式x）0的解；若方程（）有三同解求的取值范．3．已數(shù)是，）nS{a}的3．已數(shù)是，）nS{a}的．13n16解：q，是數(shù)．nn1311且a＞＞a2a0又12362018湖南洲市數(shù)學(xué)試卷科）參考答案解析共12個小每小題共60分.在每小題給個.1合{x|＜2，B={x|2x1}，則∩（）A．{x|0＜x＜2}B．x|＜2}C．{x|＞0}D{|x＜【解答】解：∵{x|2x＞={x|x＞0，∴A∩B={|0x＜2}，故選A2分）已知單位，∈R，則（）A．﹣1B．．2D．﹣【解】解：由，得2=1i+i=a+（1a）i，∴．故選：B．（5分列{a遞增數(shù)是項a=4，則=（）A．31．32．D．64【解為遞增的＞﹣因為+a=a+aq2

=5，，，

=4，所以得a，a=2a=4，，則=（1q6）=q﹣1=64﹣．故選4分）如圖所示三時代數(shù)學(xué)趙在周髀算經(jīng)》中用圖，給出了勾股定理的絕妙證明．圖中包含四個全等的直角三角形及一個小正方形（陰影直角三形有一內(nèi)為，若向弦圖內(nèi)隨機拋擲顆粒（大忽略不計落在正方形（陰）的米粒數(shù)約為（）A．BC．D．500【解】解：設(shè)大正方的邊為則小正方邊長為，向弦內(nèi)隨拋擲顆米粒大小忽略不計，設(shè)落在小正形（陰影）內(nèi)的米粒數(shù)大約為，則，解得（．故選：．5分）知x）是定義在上奇函．當(dāng)0時，（x）2﹣x，則不等式（）＞的集用區(qū)間表示為（）A11））∪（+∞），）（，）D10∪（1+∞）【解】：根據(jù)題意，當(dāng)0時，fx）2﹣x，若x）＞，有﹣＞0，可得1，即在1，∞）上，（）＞，反之在（0，1），（＜0，又由函數(shù)為奇函數(shù)，則在（，﹣，（x＞0，（∞，﹣1）（x）＜0，則不等式x）＞0的（﹣0∪（+∞故選：D．【解】解x﹣x2=[1+（【解】解x﹣x2=[1+（）展通為（開項x=x102對于）公【棱柱的得柱是一放的﹣11116分x﹣2）10展開中的系數(shù)為（）A．10．30．D．210）﹣的的式﹣x）r．（﹣為=?xrmx2）m，+令，根據(jù)≤≤r，rm為然，得或．∴（1+x﹣x2）10展式中項系數(shù)為

=﹣+．故選：．7某三棱三圖如粗線每個單格長為則三棱柱外接表積（）A．4B．8C．12D16解答】三圖該棱直三棱ABC，其eq\o\ac(△,中)ABC是等直角角形AB=AC=2，AB⊥AC，⊥面ABC，=2，如圖，∴該棱外球半徑==∴三棱柱外接球的表面積：S=42=4=12．故選：．

，8分）已知[x]表示不超過的最大整，[][1=1，]=2執(zhí)行圖示程框，輸出的為（）A．450BC．D【解答】解：模擬程序的運行，可得程序框圖的功能是計算并輸出S=[]+[]+[]+]的值，S=[]+[]++[]+[]×0+10×+×10×9++2030+90+10=460．故選：．9分）已知函數(shù)m，為整數(shù)）的圖象如圖所示，則n的值可能為（）A．m=2﹣B．，n=1．，n=1Dm=1，﹣1解：根據(jù)圖象可得1）∈（，﹣1時不滿足，故排除A，D；當(dāng)時，（x）=，故函數(shù)fx）無極值故不合意，故選：B10分已知（）ωx＞）的圖象關(guān)于點

恒成，對稱，且（x）在區(qū)間

上單調(diào)，則ω的值為（）A．1B．．．【解】解fx）的關(guān)于（，∴cos，∴ω=

+π，k∈Z，解得+，∈Z令kπ≤≤+kπ，解得+，k∈；∴fx）在[0，，∵fx）在（0，，∴≤得；又∵ω0，∴．Bx，（，）其Cx，（Bx，（，）其Cx，（四Dx，（中1】點）由：A同理：AD12．已棱柱ABC﹣5分直11111故選：D．11分）知拋線

和圓，直線（﹣）與，2依相交于x1，，（y，）x＜x＜xx|AB|CD|的值為（）A．1B．．【解答2，焦，準(zhǔn)線：﹣1．定得+1，又∵|AF|=|+1∴|AB|=x，|CD|=x，由題可直線的斜率存且等于，則線的方程：（x﹣代入物方程得：2x2﹣（2k2+4）x+2，∴xx=1則|||CD|=1．綜上述，||CD|=1，故：．（知ABC的側(cè)長為且面邊長為的正三角形，一面此柱與棱AABBCC，分別于三點NQ，若△角該角最（）A．．【解】解：如不妨設(shè)N在B處，，CQ=m，則有MB2=h2

+4，BQ=m+4MQ2=（m）+由2=，2+MQ2

?2

﹣+2=0．eq\o\ac(△,8)﹣h2≥8該角角斜邊故：．

．題，滿分案填）13分）是邊長為的等邊三形，E為邊的點，則3

．【解答】：E為邊三角形中，∠BAE=30°，AE=，∴|cos30°=2××cos30°=3，故答案為：．14）已實數(shù)，y滿足則+y的最值為．【答】解：作出不等式組應(yīng)平面域如圖影．由+得y=﹣+，平移線﹣2x+z，由圖象當(dāng)線2x+z經(jīng)點時直線y=﹣2x+z的截最大，此時z最．由）將20的坐標(biāo)入目函數(shù)z=2x+，121122112121122112得2+0=4．即z=2x+的最值為．故答為：15分）已雙曲線經(jīng)過正方形的四個頂點且雙線的距等該正方形的長，雙曲線E的離心率為．【解解根據(jù)意如圖設(shè)雙曲線E經(jīng)過的方形四個點為ABC、D其A在第一象限，雙曲的兩焦點為F、F，連接AF，若雙曲線的焦距等于正方形邊長，有FF|=2c，|AF|=c，則有|AF|=c，則2a=||﹣|AF|（﹣1c，則雙曲線的離心率e==故答為

；5分“等5分“等中數(shù)陣數(shù)數(shù)ij16（表出個其每差表位于第行第j列的數(shù)則112在這“差數(shù)陣現(xiàn)的次為7．47a71217a101724a

jj

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【答】解：根據(jù)圖象和每行、每列都是等數(shù)列，該差數(shù)首為4，公差為3的等差+3（j﹣第二是首為7，公為5的差=7+j﹣1）第i行是首項為+3（﹣1為+1的等數(shù)列，因此a=43（i﹣1）+（+1﹣1=2ij+i+j，要找在該等差數(shù)陣中的位置，也就是要找整數(shù)j，使得2iji+j=112，所以j=

，當(dāng)i=1時，j=37，當(dāng)時，，當(dāng)i=4時，j=12，當(dāng)i=7時，當(dāng)i=12時，當(dāng)i=22時，當(dāng)時，．∴這差數(shù)陣現(xiàn)的為．故答：．三解答題（本大題共小，共分.解答寫出文說明、明過程或演算步.）17分，點在邊，∠BCD為銳角，CD=2eq\o\ac(△,，)的面積為．求cos∠的值；求邊的．【解答解）∵，則：，∴．∴；2）中，，由余定理得DB2=CD2+BC﹣2CD?BC?cos∠，即，∵DB2

+CD

=BC2

，∴∠，eq\o\ac(△,即)ACD為角角形，∵，∴AC=2CD=4．18分如圖，在幾何體中四邊形為矩形，邊形ABCD為梯形AB∥，平面CBE與平面垂直且⊥BE．求證ED⊥平面；若AB⊥BCE與平ADEF所成銳二余為，求的．【解答】證明）因為平面與平面垂直，且⊥BE，平面與面的交線為，所以⊥面，又?面BDE，所，CB⊥，在形中，ED⊥，又四邊形為梯形，AB∥所以與相，故平面．解）（1）知，垂直，垂直，又垂直，AB平行，所以直，如圖，以為坐標(biāo)點、、DE為，，z系又⊥，∠，所以，設(shè)則（11，（0，2，0（0，a，=﹣1，﹣a，10）設(shè)面的向量為，則令x=1，則面法向量為，平面的法向量為，因平面與平面所成銳二面角余弦值為，則，即得，即．19分）某協(xié)對B兩服務(wù)機構(gòu)進(jìn)行滿意調(diào)查，在B兩家服機構(gòu)提供過服務(wù)市民中隨機抽取了人，每人分別這兩家服務(wù)構(gòu)進(jìn)行評分，滿分均為．整理評分?jǐn)?shù)據(jù)，將分?jǐn)?shù)以組距成組[0，102030，[30，40，5050，，得到服務(wù)機構(gòu)數(shù)的頻數(shù)分表，服務(wù)機構(gòu)分?jǐn)?shù)的率分布直方：A服務(wù)機構(gòu)數(shù)的頻數(shù)分表分?jǐn)?shù)區(qū)間數(shù)[0，）[10，20）[20，30）[30，40）[40，50）[50，60]定義對服構(gòu)評價的滿意度指數(shù)如下：分?jǐn)?shù)））滿意數(shù)

012（1）在抽樣的人，求對服務(wù)機構(gòu)評價“滿意度指數(shù)”為的人數(shù)；（2）從在B兩服務(wù)機構(gòu)提供過服務(wù)的市中機抽取人進(jìn)行調(diào)查，務(wù)價指12務(wù)價指01”務(wù)價指12務(wù)價指01”為12率率01ij=PBA+BA+BA），試估計其對務(wù)機構(gòu)評價的意指數(shù)對服務(wù)構(gòu)評價的意度指數(shù)高的概率；（3）如從B服務(wù)構(gòu)中選擇一家服務(wù)機構(gòu)，你會選擇哪一家說明理由．【解答】）由對服務(wù)機的頻率分布直方圖，得：對服務(wù)構(gòu)“滿意指數(shù)”為的頻率為（0.003+0.0050.012）×，所以對服機構(gòu)“滿意度”為的人數(shù)為×0.2=200人．（2）設(shè)對服務(wù)構(gòu)評‘滿意指’比對服機構(gòu)‘滿意度指’高”為事件．記“對服評度事件B對服務(wù)構(gòu)評價滿指數(shù)’為為件B；“對服評度為事件對A服務(wù)機構(gòu)評價滿度指數(shù)’為．所以P（B）=（0.02+）×10=0.4，（B），由用頻概（A），A）=0.55，因為事件與B相互獨立，其中2，j=0，1．所以P（）201所以該生對服機構(gòu)價的意度指數(shù)對服務(wù)機評價的意度指數(shù)”的概為．（3）果從學(xué)對B兩服務(wù)機構(gòu)評價的滿度指數(shù)的望角度看：B服務(wù)機“滿意度數(shù)”X的布列為：X012（：為（）211（：為（）2111212斜率為MAMAMBMAMBP0.20.40.4A服務(wù)機構(gòu)“滿意度指的分布：Y012P0.10.55因為X）×0.2+1×0.420.4=1.2；（Y）=0×0.1+1×0.55+2×所以E（X）＜EY選擇A服務(wù)機構(gòu)．分）已知圓

與直線：﹣ay=0都經(jīng)過點．直線m與l平行，且橢圓交于B兩點，線，MB與x軸別于，F(xiàn)兩求圓C方證eq\o\ac(△,：)MEF為等腰角形．【解】）由直線：﹣ay=0都經(jīng)過點，則a=2b將

代入橢圓方：b2=4，2=16，∴橢圓C方程為2證設(shè)直：x，y，B（x，y）聯(lián)立：x∴x+x=﹣xx=2t2﹣

++2t

2

﹣，設(shè)直線，的要eq\o\ac(△,證)eq\o\ac(△,)MEF為等三形只需k+k=0由，k+k=所以△為等腰角形．

，

=001212001212021）已數(shù)（）=lnx+（x﹣1）（a＞0．討論x）單調(diào)性；若x）區(qū)間0，1）內(nèi)有唯一的零點，證明：．【解答解），①當(dāng)a≤2時，（≥（x）（，+∞上單遞，②當(dāng)時設(shè)2ax﹣2ax+的兩個