第1章2節(jié)導數(shù)的應用

1 函數(shù)y

f(x在一點的導數(shù)值為0y

f(x在這點取極值的 【答案】f(x)x3,fx)3x2,f'(0)0f(xx02 函數(shù)f(x)(x3)ex的單調遞增區(qū)間是 (,【答案】

(0, D．(2,f'(xx3)'exx3)(exx2)exf'(x)0x23 設函數(shù)f(x)2x11(x0)，則f(x)x有最大 2【答案】2 2

2

1 2x2x

2x0f(x在

f(x)2

2 2在2，0上單調遞減，故在x 2 函數(shù)f(x)的定義域為開區(qū)間(a，b)，導函數(shù)f(x)在(a，b)內的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)內有極小值點（）B．2C．3個D．4yybaOx【答案】值點（從左到右A．5 已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，那么函數(shù)f(x)的圖象最有可能的【答案】f(x的圖象知0和2f(xx0f(x6 函數(shù)yx44x3在區(qū)間2,3上的最小值為 B. 【答案】y'4x34,令y'04x340x1,當x1時y'0;當x1時y'y極小值y|x10y|x227y|x372ymin7 若函數(shù)f(x)【答案】

x2ax

在x1處取極值，則a (x2a)'(x1)(x2a)(x1) 2x(x1)(x2 x22x

f'(x)

(x

(x

(x

f(xx1

1221

a38 已知函數(shù)f(x)(x2x1)ex，求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間【答案】(3f'(xx(x3)exf(x)0x0x3f(x)0得3xf(x單調增區(qū)間為(3和(0，單調減區(qū)間為(39 已知函數(shù)f(x)x22lnx，求證：f(x)在(1,)上是增函數(shù)f(xx22lnx

(x)

2(x2x

f 所所 已知函數(shù)f(x)lnxx2bx（其中b為常數(shù)在x1處取得極值，求f(x)的單調fx的單調遞增區(qū)間為(011 【解析】函 定義域 f(x)lnxx2 【解析】函 定義域 f(xlnxx2bxf'(x12xbxf(xlnxx2bxx1f'(112b02x23xb3，f(x) xfx),fxxx21221f00ffx的單調遞增區(qū)間為(011,1 11 已知函數(shù)f(x)(2xx2)ex，求函數(shù)f(x)的極值點f(x(2x2exf(x)0x2f(xf(xxx(,(2,2(2,f—0+0—f22由上表可知，x 是函數(shù)f(x)的極小值點，x 是函數(shù)f(x)的極大值點2212 已知函數(shù)f(x)xlnx,求f(x)在[e,e2]（e2.718

）f(x)1

11

x，令f(x)0，

x1f(x在(1f(x在[e,e2f(ee1f(e2e22f(x[e,e2上的值域為[e1,e213 若f(x)1x2bln(x2)在(1，)上是減函數(shù)，則b的取值范圍是2【答案】

(

( x22x

f'(x)≤【解析】f(x)x x

x

x1

x20故x22xb0，故bx22xx1)21x(1，成立，故b1 已知對任意實數(shù)x有f(x)f(x)，g(x)g(x)則x0時（）

x0時，f(x0，g(x0f(x)0，g(x)C．f(x)0，g(x)【答案】

f(x)0，g(x)D．f(x)0，g(x)f(xg(x為偶函數(shù)，由奇偶函數(shù)圖象的對稱性知，奇函數(shù)在其對稱區(qū)間 已知函數(shù)fx是偶函數(shù)，在0,上導數(shù)fx0恒成立，則下列不等式成立的A．f3f1fC．f2f3f【答案】

B．f1f2fD．f2f1f【解析】由題意fx在0,

fxf1f1f2f3f3 已知函數(shù)yxf(x)的圖象如右圖所（其中f(x)是函數(shù)f(x)的導函數(shù)下面四個圖象中yf(x)的圖象大致是（）y21y21-2- O1x--y1 O 2yyy212121-2- O1 -2- O1 -2- O1 - - -- - - 【答案】

f(1)f(1)0x1f(x)1)要注意，若P(x0，y0yf(x)的極值點，則有f(x0)0，但是若f(x0)0，則點P(x0，y0yf(xP的17 定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(4)1，f'(x)為f(x)的導函數(shù)已知yf'(x)的圖abf(2ab1b1的取值范圍是a1,1

( A．53

yyox【答案】

af(2abf(4，又2ab0，所以b2ab

ba可看做點ab和點111b1 a18 直線xt(t0)與函數(shù)f(x)x21，g(x)lnx的圖象分別交于A、B兩點當（．1 B．

2

3【答案】

ABt21ln

2 2t，令f(t)t1lnt(t0)，f'(t)2t 2t f'(t0得t

2f(t在區(qū)間2

2上單調遞減，在區(qū)間上2

22f(tf

231ln20ABt

2219 已知f(x)，g(x)都是定義在R上的函數(shù)，且滿足以下條件①f(x)axgx（a0，a1）；②g(x)0；

f(xg(xf(xg(x)．若f(1f(1)5，則使

x1x的取值范圍是（． 1

1

1A．，

B．0，

C．，

D．2， 2

2【答案】

f(x)axf(1)f(1)5a15a2a1g

2又f(xf(xg(xf(xg(x)0a1，由log1x1得0x1 2g(x)

g

20 已知函數(shù)f(x)1x3x2ax5，若f(x)的單調遞減區(qū)間是(3，1)，則a的值是3f(xx22xa為二次函數(shù)，故原函數(shù)的遞減區(qū)間是(3，13，1xf(x0所以3，1是方程x22xa0的兩個實數(shù)根， 定理，31a，∴a321 已知函數(shù)f(x)sinx1x,x[0,],cos

1

[0,])3

①f(x)的最大值為f(x0 ②f(x)的最小值為f(x0③f(x)在[0,x0]上是減函 ④f(x)在[x0,]上是減函【解析】f'(x)cosx13

f'(x)0xx0

0x

時，f'(x)0

x0xf'(x0f(x在[0x0上是增函數(shù)，在[x0f(x的最大值為f(x0，①④正確.x26xe25e2,x22 已知函數(shù)f(x)

（e為自然對數(shù)的底數(shù)，且x2ln

xe2.718f(6a2f(a，則實數(shù)a3ax26xe25e2,x 【解析】Qfxx2lnx,x

，xeyx

e25e7xexey120xexQfee2e2lne，R上為增函數(shù)．f6a2fa得6a2a，解得3a2．故答案為3a2．23、dx應是多少？hh2d2x2f(xkxh2，所以f(x)kxd2x20xd．x0df(x)k(d23x20x3d（舍負3當0x

3df(x0；當3dx

f(x)0f(x在定義域(0,dx

3d3f(xx

3d3即當斷面的寬為3d324 已知函數(shù)f(x)

x當a1時,f(x在(0,f(0f(x

a1

f(x)x1

f'(x)

ex(x(x1)2

f(0)

f'(0)2f(x在(0,f(0)y2xeax[ax(a （Ⅱ）f'(x)

(x

f(x的單調遞減區(qū)間為(,1),(1)當a0f'(x)0axa1)0xa1a①當a0xa11af'(xfxx a所以fx的單調遞減區(qū)間為(,1)， )，單調遞增區(qū)間為 ②當a0xa1af'(xfxxx,a1 a aaa 1f'+0-ff(x的單調遞增區(qū)間為(a1)，單調遞減區(qū)間為a1,1)(1 25 已知函數(shù)f(x)(x2ax2a23a)ex(xR)，其中a當a0yf(x在點(1,f(1a2f(x3（1）a0f(xx2ex，f'(xx22x)exf'(1)yf(x在點(1,f(1處的切線的斜率為f'(x0x2axa2a22aa3a2，則2aa2xf'(x)，f(x3x2a,aaa2.f'+00+f2ax2a,aaa2.f'+00+ffxxa2f(a2f(a2(4a2，則2aa2xf'(x)，f(x3x,aaa2,f'+00+ff(x)xa2f(a2f(a2)(43a)ea2；f(xx2af(2af(2a3ae2a26 已知函數(shù)f(x)(xa)lnx，aRa0f(xf(x在(0a（Ⅰ）定義域(0a0f(xxlnxf(xlnx1f(x0x1ex

(0,e

f(x0f(xx(1f(x)0f(xef(xf(1)1 f(x)lnxxaxf(x在(0f(x0x(0f(x0得lnxxa0xlnxxax(0xg(x)xlnxx，要使“xlnxxax(0恒成立”ag(x)ming(xlnx2g(x0x1x(0,1g(x0gxx(1g(x0gxg(x在0

上的最小值是 ) f(x在(0a的取值范圍是(127 已知函數(shù)f(x)

x

(aR,a0)a1yf(x在點1,f(1)f(xx0f(x)1恒成立，求a

f(x)

axex

aex(x

,x0 ex(x 當 1時，f(x) f(10x1處切線的斜率為0exe把x1代入f(x) 中，x

f(xx1yef

xx

axex

aex(x函 的定義域為 ．f(x) （1）若a0f(x)0x1f(xf(x)0x0和0x1f(x（2）若a0f(x)0x0和0x1f(x為增函數(shù)；當f(x)0x1時，函數(shù)f(x)為減函數(shù)．a0f(x的單調增區(qū)間為1單調減區(qū)間為,00,1a0時,f(x的單調增區(qū)間為,00,11x0f(x)aex1xa

x0g(x)

g(x)1x可知在0x1g(x)0gxx1g(x)0gxg(x)

g(1)1a1 （1）a0f(aea1f（2）當a0x0時，由（Ⅱ）

1f(x的單調增區(qū)間為1，單調減區(qū)間為0,1f(xf(1aef(1aea1a1 28 已知函數(shù)：f(x)x(a1)lnxa(aR)，g(x)1x2ex x1ef(x當a1xe，e2

立，求a

（1）f(x的定義域為(0,

f'(x)(x1)(xa)(aR)x2,f

faaa1lna

feea1ea1fxmin1當1aefxminaa1lna1當aef

ea1e1212

f(x1)ming(x211fx1

feea1aeg'(x)xexxexexx1ex2x22,0g(x0gx2'

e(a1)a1,ae22e

e2

e

(e

29 若函數(shù)f(x)kxlnx在區(qū)間(1，)單調遞增，則k的取值范圍是A．, D．1,【解析】函 在區(qū) 單調遞增等價 在區(qū) 上f(x)kxln f【解析】函 在區(qū) 單調遞增等價 在區(qū) 上 x【難度】201430 當x[2,1]時，不等式ax3x24x3≥0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是A．[5,

B．[6,98

C．[6,

D．[4,【解析】當x0ax3x24x30對任意aR0x≤1時，ax3x24x3≥a1

4

f(x1

4

f'(x

8

(x9)(x1)

當0x≤1f'(x0f(x在(0,1f(x)maxf(1)6a6 f'(x0f(x1x0f'(x0f(xf(x)minf(12，a≤2a的取值范圍是[62]C.【來源】2014 已知函數(shù)f(x)ax33x21，若（．

f(xx0x00，則a2,

1：由已知a0f'(x3ax26xf'(x0x0x2aa0x(0f'(x0x(0,2)f'(x0ax2,f'(x0f(0)10f(x有小于零的零點，不符合題意aa0x,2f'(x0x20)f'(x0 x(0f'(x0f(xxx0f2)0a24 a22a0，f(xax33x21a3

令t1at33tyayt33txyg(tt33tg'(t3t23g'(t0，得t1，當t(g'(t0，當t(11g'(t0，當t1g'(t0，at33tag(1)2C.【來源】201432 已知函數(shù)f(x)aln(x1)x2，在區(qū)間(0,1)內任取兩個實數(shù)p,q，且pq，fp1f(q1)1恒成立，則實數(shù)app1mq1n

f(m)f(n)1m,n(1,2);mmmnf(mf(nmn,f(mmf(nmnf(mf(nmn,f(mmf(nF(x)f(x