數(shù)學史在數(shù)學教學中應用

數(shù)學史在數(shù)學教學中應用第一頁，共52頁。數(shù)學史在數(shù)學教學中的應用肖運鴻(贛南師范學院數(shù)學與計算機科學學院)“國培計劃”——江西省農(nóng)村中小學教師置換脫產(chǎn)研修項目

第二頁，共52頁。1數(shù)學史融入數(shù)學教學的背景

2數(shù)學史對數(shù)學教學的意義

3數(shù)學史融入數(shù)學教學的途徑和方法

4數(shù)學史在數(shù)學教學中的具體應用——幾個案例

5數(shù)學史融入數(shù)學教學中應注意的問題

第三頁，共52頁。1數(shù)學史融入數(shù)學教學的背景1.1有關(guān)國際機構(gòu)與組織1.1.1國際數(shù)學教育委員會——ICMI（International

Commission

on

Mathematical

Instru-ction

）ICMI是國際數(shù)學聯(lián)盟（International

Mathema-tical

Union

，以下簡稱IMU）的一個分支機構(gòu)。ICMI的活動接受IMU的指導，并由IMU提供活動經(jīng)費。它們都是國際非政府、非贏利性的科學組織。1908年在羅馬舉行的第四屆世界數(shù)學家大會上決定成立ICMI，目的是為了比較各國中學數(shù)學教學的差異。然而經(jīng)過近一個世紀以后，它的研究對象和研究范圍已經(jīng)發(fā)生了很大的改變，涉及到數(shù)學教學的各個水平，各個領(lǐng)域。第四頁，共52頁。1.1.2國際數(shù)學教育大會——ICME

（International

Congress

on

Mathematical

Education）國際數(shù)學教育大會(ICME)每四年召開一次，由國際數(shù)學教育委員會（ICMI）舉辦并提供贊助。自1969年在法國里昂召開第1次國際數(shù)學教育大會至今，ICMI已經(jīng)組織召開了12次國際數(shù)學教育大會。第五頁，共52頁。

第1－11屆ICME情況簡表

ICME時間地點

ICME11969[法]里昂

ICME21972[英]?？巳?/p>

ICME31976[德]卡爾斯魯厄

ICME41980[美]伯克利

ICME51984[澳]阿德萊德

ICME61988[匈]布達佩斯

ICME71992[加]魁北克

ICME81996[西]塞維利亞

ICME92000[日]東京

ICME102004[丹]哥本哈根ICME112008[墨]蒙特雷

ICME122012[韓]首爾第六頁，共52頁。ICMI的刊物1.《數(shù)學教育》（L’Enseignement

Mathématique）該刊物于1899年由Henri

Fehr

(瑞士日內(nèi)瓦人，ICMI第一任秘書長)

和Charles-Ange

Laisant

（法國巴黎人）在瑞士日內(nèi)瓦創(chuàng)辦。2.《數(shù)學教育研究》（Educational

Studies

in

Mathematics）

它是ICMI第8位主席（1967－1970）、著名數(shù)學家、數(shù)學教育家漢斯?弗賴登塔爾于1968年創(chuàng)辦的刊物。該刊物用英語刊登世界范圍內(nèi)與數(shù)學教育研究有關(guān)的文章。（網(wǎng)址：）第七頁，共52頁。

1.1.3國際數(shù)學教育的重要研究領(lǐng)域——HPM

（InternationalStudyGroupontheRelationsbetweenHistoryandPedagogyofMathematics）

1972年，在第二屆國際數(shù)學教育大會上，成立了數(shù)學史與數(shù)學教學關(guān)系國際研究小組（InternationalStudyGroupontheRelationsbetweenHistoryandPedagogyofMathematics,簡稱HPM），標志著數(shù)學史與數(shù)學教育關(guān)系作為一個學術(shù)研究領(lǐng)域的出現(xiàn)．通常把該研究領(lǐng)域稱作HPM．HPM成立以后，專門討論數(shù)學史在數(shù)學教育中作用的文獻日益增加。第八頁，共52頁。ICMI的附屬研究小組

(1)數(shù)學史與數(shù)學教學的關(guān)系國際研究小組(HPM）(International

Study

Group

on

the

Relations

between

the

History

and

Peda-gogy

of

Mathematics

）(2)數(shù)學教育心理學國際研究小組(PME）（International

Group

for

the

Psychology

of

Mathematics

Education

）(3)女性與數(shù)學教育國際研究機構(gòu)(IOWME）（International

Organization

of

Women

and

Mathematics

Education

）

(4)國際數(shù)學競賽聯(lián)盟數(shù)學建模與應用國際研究小組(WFNMC）（World

Federation

of

National

Mathematics

Competitions

）(5)數(shù)學建模與應用國際研究小組(ICTMA）（International

Study

Group

for

Mathematical

Modelling

and

Applications

）第九頁，共52頁。HPM的歷次衛(wèi)星會議(1984─2012)

2008ICME-11蒙特雷墨西哥

墨西哥城墨西哥2012ICME-12首爾韓國大田韓國第十頁，共52頁。HPM的目標

1.促進以下事項的國際間的接觸與交流：(1)大學與學院中的數(shù)學史課程；(2)數(shù)學教學中數(shù)學史的使用及其關(guān)聯(lián)；(3)不同層面中對于數(shù)學史與數(shù)學教育的觀點；2.促進數(shù)學家、數(shù)學史家、數(shù)學教師、社會科學家以及數(shù)學的使用者們之間的交流，來刺激各學科間的研究。3.對數(shù)學發(fā)展與對數(shù)學發(fā)展有所貢獻的事物，能夠有更深的了解。第十一頁，共52頁。HPM的目標

4.將數(shù)學教學和數(shù)學史教學以及數(shù)學的發(fā)展作連結(jié)，進而對于教學的改善和課程的建設(shè)發(fā)展有所幫助。5.為數(shù)學教師提供各種資源，并促進各種數(shù)學教學的研討與交流。6.促進數(shù)學史料及相關(guān)領(lǐng)域的更多接觸。7.讓數(shù)學家與數(shù)學教師對于數(shù)學史與數(shù)學教學之間的關(guān)聯(lián)有更深一層的認識。8.讓大家知道數(shù)學史在人類文化發(fā)展中具有相當重要的意義。第十二頁，共52頁。有關(guān)HPM的出版物

會議出版的專著和論文集[1]F.Swetz,J.Fauvel,O.Bekken,B.Johansson,V.Katz,(eds.),LearnfromtheMasters.Washington:MathematicalAssociationofAmerica,1995.[2]CALINGERR.VitaMathematica:HistoricalResearchandIntegrationwithTeaching.Washington:MathematicalAssociationofAmerica,HPM,1996.[3]LAGARTOMJ,VIEIRAA,VELOSOE.ProceedingsofSecondEuropeanSummerUniversityandSatelliteMeetingofICME-8.Brago:HPM,1996.[4]KATZV.UsingHistorytoTeachMathematics:anInternationalPerspective.Washington:MathematicalAssociationofAmerica,2000第十三頁，共52頁。有關(guān)HPM的出版物

會議出版的專著和論文集[5]FAUVELJ,VANMAANENJ.HistoryinMathematicsEducation:theICMIStudy.Dordrecht:KluwerAcademicPublishers,2000.[6]HORNGWS,LINFL.ProceedingsoftheHPM2000ConferenceHistoryinMathematicsEducation,ChallengesforaNewMillennium.ASatellitemeetingofICME-9.Taipei:NationalTaiwanUniversity,2000.[7]FURINGHETTIF,KAIJSERS,VRETBLADA.ProceedingsofHPM2004.Sweden:Uppsala,2004

第十四頁，共52頁。有關(guān)HPM的出版物

雜志與會刊[1]《數(shù)學學習》(FortheLearningofMathematics)[2]《中學數(shù)學》(MathematicsinSchool)[3]《數(shù)學教師》(MathematicsTeacher)第十五頁，共52頁。我國的HPM研究——四次全國性會議

第一屆全國數(shù)學史與數(shù)學教育(HPM)會議2005年5月1-4日西安西北大學第二屆數(shù)學史與數(shù)學教育研討會暨第七屆全國數(shù)學史會議2007年4月26-30日石家莊河北師范大學第三屆數(shù)學史與數(shù)學教育國際研討會暨白尚恕教授文集首發(fā)式2009年5月23-25日北京北京師范大學第四屆數(shù)學史與數(shù)學教育國際研討會暨第八屆全國數(shù)學史會2011年4月30-5月4日上海華東師范大學第十六頁，共52頁。

1.2數(shù)學課程改革的新理念——數(shù)學文化教育

《義務教育數(shù)學課程標準》（2011年版）第一部分前言

“數(shù)學是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學。數(shù)學與人類發(fā)展和社會進步息息相關(guān)，隨著現(xiàn)代信息技術(shù)的飛速發(fā)展，數(shù)學更加廣泛應用于社會生產(chǎn)和日常生活的各個方面。數(shù)學作為對于客觀現(xiàn)象抽象概括而逐漸形成的科學語言與工具，不僅是自然科學和技術(shù)科學的基礎(chǔ)，而且在人文科學與社會科學中發(fā)揮著越來越大的作用。數(shù)學是人類文化的重要組成部分，數(shù)學素養(yǎng)是現(xiàn)代社會每一個公民應該具備的基本素養(yǎng)。作為促進學生全面發(fā)展教育的重要組成部分，數(shù)學教育既要要使學生掌握現(xiàn)代生活和學習中所需要的數(shù)學知識與技能，更要發(fā)揮數(shù)學在培養(yǎng)人的思維能力和創(chuàng)新能力方面的不可替代的作用?！钡谑唔?，共52頁。

《普通高中數(shù)學課程標準》第一部分前言

……

“數(shù)學是人類文化的重要組成部分。數(shù)學課程應適當反映數(shù)學的歷史、應用和發(fā)展趨勢，數(shù)學對推動社會發(fā)展的作用，數(shù)學的社會需求，社會發(fā)展對數(shù)學發(fā)展的推動作用，數(shù)學科學的思想體系，數(shù)學的美學價值，數(shù)學家的創(chuàng)新精神。數(shù)學課程應幫助學生了解數(shù)學在人類文明發(fā)展中的作用，逐步形成正確的數(shù)學觀。為此，高中數(shù)學課程提倡體現(xiàn)數(shù)學的文化價值，并在適當?shù)膬?nèi)容中提出對“數(shù)學文化”的學習要求，設(shè)立“數(shù)學史選講”等專題。”

第十八頁，共52頁。

2數(shù)學史對數(shù)學教學的意義

第十九頁，共52頁。

“知道重大發(fā)明特別是那些決非偶然的、經(jīng)過深思熟慮而得到的重大發(fā)明的真正起源是很有益的。這不僅在于歷史可以給每一個發(fā)明者以應有的評價，從而鼓舞其他人去爭取同樣的榮譽，而且還在于通過一些光輝的范例可以促進發(fā)現(xiàn)的

藝術(shù)，揭示發(fā)現(xiàn)的方法?！保℅.Leibniz,1646—1716）第二十頁，共52頁。

“任何試圖將一門學科與它的歷史割裂開來的話,我們確信沒有哪一門學科比數(shù)學會損失得更多”

(J.W.L.Glaisher,1848—1928)(J.W.L.Glaisher,1848—1928)第二十一頁，共52頁。

“如果我們想要預見數(shù)學的將來,適當?shù)耐緩绞茄芯窟@門科學的歷史和現(xiàn)狀”

（HenriPoincaré,1854—1912）第二十二頁，共52頁。

“除了天文學以外,數(shù)學是所有學科中最古老的一門科學。如果不去追溯自古希臘以來各個時代所發(fā)現(xiàn)與發(fā)展起來的概念、方法和結(jié)果,我們就不能理解前50年數(shù)學的目標,也不能理解它的成就”。

(H.Weyl1885—1955)第二十三頁，共52頁。

“數(shù)學史家的主要任務，同時又是他最鐘愛的特權(quán)，就是詮釋數(shù)學的人文成分，顯示數(shù)學的偉大、優(yōu)美和尊嚴，描述歷代的人如何以不斷的努力和積累的才華去建立這座令我們自豪的壯麗紀念碑，也使我們每個人對著它嘆為奇觀，感到謙遜而謝天。學習數(shù)學史倒不一定產(chǎn)生更出色的數(shù)學家，但它產(chǎn)生更溫雅的數(shù)學家。學習數(shù)學史能豐富他們的思想，撫慰他們的心靈，并且培植他們的高雅品質(zhì)?！盙..Sarton(1884—1956)第二十四頁，共52頁。

“每一位中學和大學數(shù)學教師都應該知道數(shù)學史,有許多理由,但最重要的一條理由或許是:數(shù)學史是教學的指南”。

“數(shù)學絕對不是課程中或教科書里所指的那種膚淺觀察和尋常詮釋。換言之,它并不僅僅是從敘述鮮明的公理推演出無庸置疑的結(jié)論來”

(MorrisKline,1908─1992)第二十五頁，共52頁。

“什么東西的發(fā)展都有歷史的程序，了解歷史的變化是了解這門科學的一個步驟?！?/p>

陳省身（1911-2004）第二十六頁，共52頁。

“假如你對數(shù)學的歷史發(fā)展，對一個領(lǐng)域的發(fā)生和發(fā)展，對一個理論的興旺與衰落，對一個概念的來龍去脈，對一種重要思想的產(chǎn)生和影響等這許多歷史因素都弄清楚了，我想，對數(shù)學就會了解得多，對數(shù)學的現(xiàn)狀就會知道得更清楚、深刻，還可以對數(shù)學的未來起一種指導作用，也就是說，可以知道數(shù)學應該按怎樣的方向發(fā)展可以收到最大的效益?！?/p>

吳文俊第二十七頁，共52頁。

（1）引發(fā)學習動機，從而使學生（及教師本人）保持對數(shù)學的興趣與熱情。

（2）為數(shù)學平添人情味，使它易于親近。也使學生明白前人創(chuàng)業(yè)的艱辛，并且明白到不應把自己碰到的學習困難歸咎于自己愚笨。同時，教師也可以從歷史發(fā)展中的絆腳石了解學生的學習困難，可以參考歷史發(fā)展作為計劃課題安排的指引。（在這兒要提醒一點，參考歷史發(fā)展作為指引，絕不等同完全按歷史發(fā)展去講授，因為真正的歷史發(fā)展有時非常迂回曲折，后人視之往往難于理解！）

（3）了解數(shù)學發(fā)展過程，能增進理解。對比古今，能更好明白現(xiàn)代理論和技巧的優(yōu)點。

（4）對數(shù)學整體有較全面的看法和認識。

（5）滲透多元化觀點，了解數(shù)學與社會發(fā)展的關(guān)系，并提供跨科合作的通識教育

（6）數(shù)學史提供學生進一步探索的機會和素材。蕭文強第二十八頁，共52頁。

（1）有利于幫助學生加深對數(shù)學概念、方法和思想的理解;

（2）有利于幫助學生體會活的數(shù)學創(chuàng)造過程,培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維能力;

（3）有利于幫助學生了解數(shù)學的應用價值和文化價值,明確學習數(shù)學的目的,增強學習數(shù)學的動力;

（4）有利于幫助學生樹立科學品質(zhì),培養(yǎng)良好的精神。李文林第二十九頁，共52頁。

3數(shù)學史融入數(shù)學教學的途徑和方法

英國學者JuneBarrow-Green和JohnFauvel在論文Historyasaresourceforthemathematicsteacher中列舉了應用數(shù)學史的12種不同的具體做法.第三十頁，共52頁。1Mentionpastmathematiciansanecdotally

簡述數(shù)學家的奇聞逸事

2Providehistoricalintroductionstoconceptswhicharenewtostudents

對學生所學的新概念從歷史角度加以介紹3Encouragestudentstounderstandthehistoricalcontext;inotherwords,thehistoricalproblemswhichwereansweredbytheconceptstheyarelearning

鼓勵學生去理解歷史文本的含義；換言之，用所學的概念去解答歷史上的（數(shù)學）問題。第三十一頁，共52頁。4Usetheskillsspecifictohistory-learningtobroa-denstudents；repertoireofskills(libraryuse,essay-writing)

用學習歷史的技能（如使用圖書館的技能、撰寫論文的技能）拓展學生的能力5Encouragestudentsdevelopcriticalunderstan-dingofwhattheyarelearning

鼓勵學生提高對所學知識的評判能力6Challengecomputeruseandcriticallyevaluatesearchresults

對使用計算機提出質(zhì)疑，對網(wǎng)絡(luò)搜尋的結(jié)果進行甄別第三十二頁，共52頁。7Devisehomeworkexercisesusingmathe-maticaltextsfromthepast

利用歷史上的數(shù)學文獻設(shè)計家庭作業(yè)8Deviseclassroomexercisesusingmathe-maticaltextsfromthepast利用歷史上的數(shù)學文獻設(shè)計課堂作業(yè)9Promotedramaticactivitywhichreflectsmathematicalinteraction

鼓勵開展反映數(shù)學活動的戲劇活動第三十三頁，共52頁。10Setprojectsaboutlocalmathematicalactivityinthepast

設(shè)立關(guān)于過去某項數(shù)學活動的課題

11Devisethepedagogicalapproachtoato-picinsympathywithitshistoricaldevelopm-ent

依據(jù)歷史發(fā)展的順序設(shè)計某個主題的教學路徑12Giveorrecommendabooktoastudentforprivatestudy

為學生的個人學習提供或推薦一本書第三十四頁，共52頁。

3數(shù)學史融入數(shù)學教學的途徑和方法

香港大學的蕭文強(Man-KeungSiu)對各種做法進行了概括，提出了應用數(shù)學史的8種具體方法和途徑:(1)在教學中穿插數(shù)學家的故事和言行;(2)在講授某個數(shù)學概念時，先介紹它的歷史發(fā)展;(3)應用數(shù)學歷史名題講授數(shù)學概念，根據(jù)數(shù)學史上典型的錯誤幫助學生克服學習困難;(4)指導學生制作富有數(shù)學史趣味的壁報、專題研究、劇本、錄像等;(5)應用數(shù)學歷史文獻設(shè)計課堂教學;(6)在課堂內(nèi)容里滲透歷史發(fā)展的觀點;(7)以數(shù)學史作指引設(shè)計整體課程;(8)講授數(shù)學史的課.第三十五頁，共52頁。

3數(shù)學史融入數(shù)學教學的途徑和方法

蕭文強(Man-KeungSiu)又在另一篇文獻中把它濃縮成為應用數(shù)學史的ABCD。

A(Anecdotes)：關(guān)于數(shù)學家的奇聞逸事作為活躍課堂氣氛的調(diào)料。

B(BroadOutline)：用于敘述數(shù)學某一分支學科的概貌。

C(Content)：有助于學生理解數(shù)學的內(nèi)容。

D(DevelopmentofMathematicalIdeas)：有助于教師安排教學內(nèi)容的先后秩序。

第三十六頁，共52頁。

3數(shù)學史融入數(shù)學教學的途徑和方法

臺灣師范大學的洪萬生指出教師應用數(shù)學史至少可以分為三個層次:(1)說故事;(2)在歷史脈絡(luò)中比較數(shù)學家所提供的不同方法，拓寬學生的視野，培養(yǎng)全方位的認知能力和思考彈性;(3)從歷史的角度注入數(shù)學活動的文化意義，在數(shù)學教育過程中實踐多元文化關(guān)懷的理想.第三十七頁，共52頁。

3數(shù)學史融入數(shù)學教學的途徑和方法

1995年在美國國家科學基金資助下成立的、由美國數(shù)學協(xié)會主管的數(shù)學史及其在教學中的運用研究所（IHMT）的重要工作之一是“歷史模塊項目”（HistoricalModuleProject），由HPM學者V.Katz和K.D.Michalowicz領(lǐng)導，來自大中學的約三十名數(shù)學教師參加，分下列模塊進行融入數(shù)學史的教學設(shè)計：阿基米德、組合學、指數(shù)與對數(shù)、函數(shù)、幾何證明、長度、面積和體積、線性方程、負數(shù)、多項式、統(tǒng)計、三角等．他們的做法是學習單的設(shè)計。第三十八頁，共52頁。4數(shù)學史在數(shù)學教學中的具體應用——幾個案例

第三十九頁，共52頁。

案例一：一元二次方程概念的引入

矩形面積問題：

已知矩形面積為60，長比寬多7，問該矩形的長為多少，列出矩形的長所滿足的方程.（巴比倫）

改編：已知矩形面積為60，長寬之和為17，問該矩形的長為多少.列出矩形的長所滿足的方程.

第四十頁，共52頁。

案例一：一元二次方程概念的引入

“梯子問題”（巴比倫、中國、意大利、美國）

改編：在巴比倫的“梯子問題”中，如果梯子的頂端沿墻再一次向下滑動6英尺，那么底端將再一次滑動多遠?試列出底端再一次滑動的距離所滿足的方程.

第四十一頁，共52頁。

第四十二頁，共52頁。

案例一：一元二次方程概念的引入

“邑方問題”（《九章算術(shù)》勾股章）“今有邑方不知大小，各中開門.出北門二十步有木，出南門一十四步，折而西行一千七百七十五步見木.問邑方幾何.”

第四十三頁，共52頁。

案例一：一元二次方程概念的引入

改編：如圖，有一所正方形的學校，南門和北門各開在南、北面圍墻正中間.在北門的正北方20米處有一棵大榕樹.一個學生從南門出來，朝正南方走14米，然后轉(zhuǎn)向西走1775米，恰好見到學校北面的大榕樹.問這所學校每一面圍墻的長度是多少，試列出方程.第四十四頁，共52頁。

案例二：勾股定理的