八種解法解決不等式恒成立問題

PAGE八種解法解決不等式恒成立問題1最值法例1．已知函數(shù)在處取得極值，其中為常數(shù)．（=1\*ROMANI）試確定的值；（=2\*ROMANII）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（=3\*ROMANIII）若對于任意，不等式恒成立，求的取值范圍．分析：不等式恒成立，可以轉(zhuǎn)化為解：（=1\*ROMANI）（過程略）．（=2\*ROMANII）（過程略）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為．（=3\*ROMANIII）由（=2\*ROMANII）可知，函數(shù)在處取得極小值，此極小值也是最小值．要使（）恒成立，只需，解得或．所以的取值范圍為．評注：最值法是我們這里最常用的方法．恒成立；恒成立．2分離參數(shù)法例2．已知函數(shù)（=1\*ROMANI）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（=2\*ROMANII）若不等式對于任意都成立（其中是自然對數(shù)的底數(shù)），求的最大值．分析：對于（=2\*ROMANII）不等式中只有指數(shù)含有，故可以將函數(shù)進(jìn)行分離考慮．解：（=1\*ROMANI）（過程略）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，的單調(diào)減區(qū)間為（=2\*ROMANII）不等式等價(jià)于不等式，由于，知；設(shè)，則．由（=1\*ROMANI）知，，即；于是，，即在區(qū)間上為減函數(shù)．故在上的最小值為．所以的最大值為．評注：不等式恒成立問題中，常常先將所求參數(shù)從不等式中分離出來，即：使參數(shù)和主元分別位于不等式的左右兩邊，然后再巧妙構(gòu)造函數(shù)，最后化歸為最值法求解．3數(shù)形結(jié)合法例3．已知當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是＿＿＿．分析：本題若直接求解則比較繁難，但若在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)與函數(shù)在上的圖象，借助圖形可以直觀、簡捷求解．解：在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)與函數(shù)在上的圖象（如右），從圖象中容易知道：當(dāng)且時(shí)，函數(shù)的圖象恒在函數(shù)上方，不合題意；當(dāng)且時(shí)，欲使函數(shù)的圖象恒在函數(shù)下方或部分點(diǎn)重合，就必須滿足，即．故所求的的取值范圍為．評注：對不等式兩邊巧妙構(gòu)造函數(shù)，數(shù)形結(jié)合，直觀形象，是解決不等式恒成立問題的一種快捷方法．4變更主元法例4．對于滿足不等式的一切實(shí)數(shù)，函數(shù)的值恒大于，則實(shí)數(shù)的取值范圍是＿＿＿．分析：若審題不清，按習(xí)慣以為主元，則求解將非常煩瑣．應(yīng)該注意到：函數(shù)值大于對一定取值范圍的誰恒成立，則誰就是主元．解：設(shè)，，則原問題轉(zhuǎn)化為恒成立的問題．故應(yīng)該有，解得或．所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．評注：在某些特定的條件下，若能變更主元，轉(zhuǎn)換思考問題的角度，不僅可以避免分類討論，而且可以輕松解決恒成立問題．5特殊化法例5．設(shè)是常數(shù)，且（）．（=1\*ROMANI）證明：對于任意，．（=2\*ROMANII）假設(shè)對于任意有，求的取值范圍．分析：常規(guī)思路：由已知的遞推關(guān)系式求出通項(xiàng)公式，再根據(jù)對于任意有求出的取值范圍，思路很自然，但計(jì)算量大．可以用特殊值探路，確定目標(biāo)，再作相應(yīng)的證明．解：（=1\*ROMANI）遞推式可以化歸為，，所以數(shù)列是等比數(shù)列，可以求得對于任意，．（=2\*ROMANII）假設(shè)對于任意有，取就有解得；下面只要證明當(dāng)時(shí)，就有對任意有由通項(xiàng)公式得當(dāng)（）時(shí)，當(dāng)（）時(shí)，，可見總有．故的取值范圍是評注：特殊化思想不僅可以有效解答選擇題，而且是解決恒成立問題的一種重要方法．6分段討論法例6．已知，若當(dāng)時(shí)，恒有＜0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：（=1\*romani）當(dāng)時(shí)，顯然＜0成立，此時(shí)，（=2\*romanii）當(dāng)時(shí)，由＜0，可得＜＜，令則＞0，∴是單調(diào)遞增，可知＜0，∴是單調(diào)遞減，可知此時(shí)的范圍是（—1，3）綜合=1\*romani、=2\*romanii得：的范圍是（—1，3）．例7．若不等式對于恒成立，求的取值范圍．解：（只考慮與本案有關(guān)的一種方法）解：對進(jìn)行分段討論，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，所以，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，不等式就化為，此時(shí)的最小值為，所以；當(dāng)時(shí)，不等式就化為，此時(shí)的最大值為，所以；由于對上面的三個(gè)范圍要求同時(shí)滿足，則所求的的范圍應(yīng)該是上三個(gè)的范圍的交集即區(qū)間說明：這里對變量進(jìn)行分段來處理，那么所求的對三段的要同時(shí)成立，所以，用求交集的結(jié)果就是所求的結(jié)果．評注：當(dāng)不等式中左右兩邊的函數(shù)具有某些不確定的因素時(shí)，應(yīng)該用分類或分段討論方法來處理，分類（分段）討論可使原問題中的不確定因素變化成為確定因素，為問題解決提供新的條件；但是最后綜合時(shí)要注意搞清楚各段的結(jié)果應(yīng)該是并集還是別的關(guān)系．7單調(diào)性法例8．若定義在的函數(shù)滿足，且時(shí)不等式成立，若不等式對于任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是＿＿＿．解：設(shè)，則，有．這樣，，則，函數(shù)在為減函數(shù)．因此；而（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號），又，所以的取值范圍是．評注：當(dāng)不等式兩邊為同一函數(shù)在相同區(qū)間內(nèi)的兩個(gè)函數(shù)值時(shí)，可以巧妙利用此函數(shù)的單調(diào)性，把函數(shù)值大小關(guān)系化歸為自變量的大小關(guān)系，則問題可以迎刃而解．8判別式法例9．若不等式對于任意恒成立．則實(shí)數(shù)的取值范圍是＿＿＿．分析：此不等式是否為一元二次不等式，應(yīng)該先進(jìn)行分類討論；一元二次不等式任意恒成立，可以選擇判別式法．解：當(dāng)時(shí)，不等式化為，顯然對一切實(shí)數(shù)恒成立；當(dāng)時(shí)，要使不等式一切實(shí)數(shù)恒成立，須有，解得．綜上可知，所求的實(shí)數(shù)的取值范圍是．不等式恒成立問題求解策略一般做法就是上面幾種，這些做法是通法，對于具體問題要具體分析，要因題而異，如下例．例10．關(guān)于的不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．通法解：用變量與參數(shù)分離的方法，然后對變量進(jìn)行分段處理；∵，∴不等式可以化為；下面只要求在時(shí)的最小值即可，分段處理如下．當(dāng)時(shí)，，，再令，，它的根為；所以在區(qū)間上有，遞增，