一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)（2種類型4大技巧）初中數(shù)學(xué)（含答案）

一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)（2種類型4大技巧考點1：一次函數(shù)增減性應(yīng)用考點2：一次函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系判斷直線經(jīng)過象限的方法：k的符號決定直線經(jīng)過第一、三象限還是第二、四象限（k＞0，圖像經(jīng)過第一、三象限；k＜0，圖像經(jīng)過第二、四象限）；b的符號決定直線與y軸交點位置（b＞0，圖像與y軸的正半軸相交；b=0,圖像經(jīng)過原點；b＜0，圖像與y軸的負(fù)半軸相交）的大小決定直線的傾斜程度，即越大，直線與x軸正方向的夾角越大，越小，直線與y軸正方向的夾角越小?！究键c1：一次函數(shù)的增減性的應(yīng)用】【典例1】（2021秋?商河縣期末）點P1（﹣1，y1），點P2（2，y2）是一次函數(shù)y＝kx+b（k＜0）圖象上兩點，則y1與y2的大小關(guān)系是（）A．y1＞y2 B．y1＝y(tǒng)2 C．y1＜y2 D．不能確定【答案】A【解答】解：∵k＜0，∴y隨x的增大而減小，又∵點P1（﹣1，y1），點P2（2，y2）是一次函數(shù)y＝kx+b（k＜0）圖象上兩點，且﹣1＜2，∴y1＞y2．故選：A．【變式1-1】（2021秋?金寨縣期末）函數(shù)y＝﹣3x+1圖象上有兩點A（1，y1），B（3，y2），則y1與y2的大小關(guān)系是（）A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y(tǒng)2 D．無法確定【答案】A【解答】解：∵k＝﹣3＜0，∴y隨x的增大而減小，又∵點A（1，y1），B（3，y2）在一次函數(shù)y＝﹣3x+1圖象上，且1＜3，∴y1＞y2．故選：A．【變式1-2】（2021秋?西安期末）一次函數(shù)y＝x+1的圖象如圖所示，下列說法正確的是（）A．y的值隨著x的增大而減小 B．函數(shù)圖象經(jīng)過第二、三、四象限 C．函數(shù)圖象與x軸的交點坐標(biāo)為（1，0） D．函數(shù)圖象與y軸的交點坐標(biāo)為（0，1）【答案】D【解答】解：A、一次函數(shù)y＝x+1中，k＝1＞0，所以y隨x的增大而增大，故錯誤；B、由圖象可知，函數(shù)圖象經(jīng)過一、二、三象限，故錯誤；C、令y＝0，則x＝﹣1，所以直線與x軸的交點為（﹣1，0），故錯誤；D、令x＝0，則y＝1，所以直線與y軸的交點為（0，1），故正確．故選：D．【變式1-3】（2021秋?柯橋區(qū)期末）已知點A（﹣2，y1），B（3，y2）在一次函數(shù)y＝﹣2x+b的圖象上，則y1，y2的大小關(guān)系是（）A．y1＞y2 B．y1＝y(tǒng)2 C．y1＜y2 D．以上都不對【答案】A【解答】解：∵k＝﹣2＜0，∴y隨x的增大而減小，又∵點A（﹣2，y1），B（3，y2）在一次函數(shù)y＝﹣2x+b的圖象上，且﹣2＜3，∴y1＞y2．故選：A．【典例2】（2021秋?畢節(jié)市期末）直線y＝mx﹣n經(jīng)過二、三、四象限，則直線y＝nx+m的圖象只能是圖中的（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：∵直線y＝mx﹣n經(jīng)過二、三、四象限，∴m＜0，n＞0，∴直線y＝nx+m的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，故選：A．【變式2-1】（2022?長興縣開學(xué)）直線y＝kx+b經(jīng)過二、三、四象限，則直線y＝﹣bx+k的圖象只能是圖中的（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：∵直線y＝kx+b經(jīng)過二、三、四象限，∴k＜0，b＜0，∴直線y＝﹣bx+k的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，故選：D．【變式2-2】（2021秋?玉門市期末）已知正比例函數(shù)y＝kx的圖象經(jīng)過第一、三象限，則一次函數(shù)y＝kx﹣k的圖象可能是如圖中的（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：∵正比例函數(shù)y＝kx的圖象經(jīng)過第一、三象限，∴k＞0，∴一次函數(shù)y＝kx﹣k的圖象經(jīng)過第一、三、四象限．故選：D．【變式2-3】（2021秋?鄞州區(qū)期末）一次函數(shù)y＝（m﹣3）x+m+2的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，則m的取值范圍在數(shù)軸上表示為（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：由題意：由題意：，解得﹣2＜x＜3故選：C．【考點2一次函數(shù)中的規(guī)律探究題】【典例3】（2021春?鄂州期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l：y＝x+1交x軸于點A，交y軸于點A1，A2，A3，…在直線l上，點B1，B2，B3，…在x軸的正半軸上，若△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3，…，依次均為等腰直角三角形，直角頂點都在x軸上，則第10個等腰直角三角形是A10B9B10，其點B10的橫坐標(biāo)為（）A．512 B．1023 C．2047 D．2048【答案】B【解答】解：直線y＝x+1與x軸、y軸的交點分別為（﹣1，0），（0，1），∴OA1＝1，∵△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3，…，依次均為等腰直角三角形，∴B1（1，0），∴A2（1，2），∴A2B1＝2，∴B2（3，0），∴A3（3，4），∴A3B2＝4，∴B3（7，0），……∴頂點Bn的坐標(biāo)為Bn（2n﹣1，0），∴點B10的橫坐標(biāo)為：210﹣1＝1023．故選：B．【變式3-1】（2020秋?南海區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A1，A2，A3，…，都在x軸正半軸上，點B1，B2，B3，…，都在直線y＝x上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…，都是等邊三角形，且OA1＝1，則點B6的縱坐標(biāo)是．【答案】16【解答】解：過B1作B1C⊥x軸于C，過B2作B2D⊥x軸于D，過B3作B3E⊥x軸于E，如圖所示：設(shè)△BnAnAn+1的邊長為an，則A1C＝A2C＝A1A2，A2D＝A3D＝A2A3，…，∴B1C＝a1，B2D＝a2，B3E＝a3，…，∵點B1，B2，B3，…是直線y＝x上的第一象限內(nèi)的點，∴∠AnOBn＝30°，又∵△AnBnAn+1為等邊三角形，∴∠BnAnAn+1＝60°，∴∠OBnAn＝30°，∠OBnAn+1＝90°，∴BnBn+1＝OBn＝an，∵OA1＝1，∴點A1的坐標(biāo)為（1，0），∴a1＝1，a2＝1+1＝2，a3＝1+a1+a2＝4，a4＝1+a1+a2+a3＝8，…，∴an＝2n﹣1，∴a6＝32，∴點B6的縱坐標(biāo)為a6＝×32＝16，故答案為：16．【變式3-2】（2015?東營）如圖放置的△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3，…都是邊長為1的等邊三角形，點A在x軸上，點O，B1，B2，B3，…都在直線l上，則點A2015的坐標(biāo)是．【答案】（，）【解答】解：過B1向x軸作垂線B1C，垂足為C，由題意可得：A（1，0），AO∥A1B1，∠B1OC＝30°，∴CB1＝OB1cos30°＝，∴B1的橫坐標(biāo)為：，則B1的縱坐標(biāo)為：，∴點B1，B2，B3，…都在直線y＝x上，∴B1（，），等邊三角形邊長為1可得出：A的橫坐標(biāo)為：1，∴y＝，∴A2（2，），…An（1+，）．∴A2015（，）．故答案為（，）．【典例4】（2021春?饒平縣校級期末）如圖，正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按其所示放置，點A1，A2，A2，…和C1，C2，C3，…分別在直線y＝x+1和x軸上，則點B2020的橫坐標(biāo)是．【答案】22020﹣1【解答】解：當(dāng)x＝0時，y＝x+1＝1，∴A（0，1），∴直線與x軸的交點（﹣1，0），∵四邊形A1OC1B1是正方形，∴OC1＝C1B1＝1，∠OC1B1＝90°，∴B1（1，1），易得△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、△A4B4A5……均是等腰直角三角形，可得：每一個正方形的邊長都是它前一個正方形邊長的2倍，因此：B2的橫坐標(biāo)為1+1×2＝1+2＝20+21＝3＝22﹣1，B3的橫坐標(biāo)為1+1×2+2×2＝1+2+4＝20+21+22＝7＝23﹣1，B4的橫坐標(biāo)為24﹣1，B5的橫坐標(biāo)為25﹣1，……B2020的橫坐標(biāo)為22020﹣1，故答案為：22020﹣1．【變式4-1】（2021春?汝陽縣期末）在平面直角坐標(biāo)系中，直線l：y＝x﹣1與x軸交于點A1，如圖所示，依次作正方形A1B1C1O，正方形A2B2C2C1，…，正方形AnBn?nCn﹣1，使得點A1，A2，A3，…，在直線l上，點C1，C2，C3，…，在y軸正半軸上，則點B2021的坐標(biāo)為（）A．（22020，22021﹣1） B．（22021，22021） C．（22021，22022﹣1） D．（22020，22021+1）【答案】A【解答】解：當(dāng)y＝0時，有x﹣1＝0，解得：x＝1，∴點A1的坐標(biāo)為（1，0）．∵四邊形A1B1C1O為正方形，∴點B1的坐標(biāo)為（1，1）．同理，可得出：A2（2，1），A3（4，3），A4（8，7），A5（16，15），…，∴B2（2，3），B3（4，7），B4（8，15），B5（16，31），…，∴Bn（2n﹣1，2n﹣1）（n為正整數(shù)），∴點B2021的坐標(biāo)為（22020，22021﹣1）．故選：A．【變式4-2】（2021?興安盟）如圖，點B1在直線l：y＝x上，點B1的橫坐標(biāo)為1，過點B1作B1A1⊥x軸，垂足為A1，以A1B1為邊向右作正方形A1B1C1A2，延長A2C1交直線l于點B2；以A2B2為邊向右作正方形A2B2C2A3，延長A3C2交直線l于點B3；…；按照這個規(guī)律進行下去，點B2021的坐標(biāo)為．【答案】（，）【解答】解：∵點B1在直線l：y＝x上，點B1的橫坐標(biāo)為1，過點B1作B1A1⊥x軸，垂足為A1，∴A1（1，0），B1（1，），∵四邊形A1B1C1A2是正方形，∴A2（，0），B2（，），A3（，0），B3（，），A4（，0），B4（，），……An（，0），Bn（，），∴點B2021的坐標(biāo)為（，），故答案為：（，）．1．（2021秋?西湖區(qū)校級期末）已知（﹣3，y1）（﹣1，y2），（，y3）是直線y＝﹣x+2上的三個點，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是（）A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y1＞y2【答案】A【解答】解：∵k＝﹣＜0，∴y隨x的增大而減小，又∵（﹣3，y1）（﹣1，y2），（，y3）是直線y＝﹣x+2上的三個點，﹣3＜﹣1＜，∴y1＞y2＞y3．故選：A．2．（2021秋?合肥期末）若點A（x1，y1）和B（x2，y2）都在一次函數(shù)y＝（k﹣1）x+2（k為常數(shù)）的圖象上，且當(dāng)x1＜x2時，y1＞y2，則k的值可能是（）A．k＝0 B．k＝1 C．k＝2 D．k＝3【答案】A【解答】解：∵點A（x1，y1）和B（x2，y2）都在一次函數(shù)y＝（k﹣1）x+2（k為常數(shù)）的圖象上，且當(dāng)x1＜x2時，y1＞y2，即y隨x的增大而減小，∴k﹣1＜0，∴k＜1，∴k的值可能是0．故選：A．3．（2021秋?陽山縣期末）若直線y＝kx+b經(jīng)過第一、二、四象限，則函數(shù)y＝bx﹣k的大致圖象是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：∵一次函數(shù)y＝kx+b的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，∴k＜0，b＞0，∴b＞0，﹣k＞0，∴一次函數(shù)y＝bx﹣k圖象第一、二、三象限，故選：B．4．（2021秋?三水區(qū)期末）若一次函數(shù)y＝kx+b的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，則一次函數(shù)y＝bx+k的圖象大致是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：一次函數(shù)y＝kx+b過一、二、四象限，則函數(shù)值y隨x的增大而減小，因而k＜0；圖象與y軸的正半軸相交則b＞0，因而一次函數(shù)y＝bx﹣k的一次項系數(shù)b＞0，y隨x的增大而增大，經(jīng)過一三象限，常數(shù)項k＜0，則函數(shù)與y軸負(fù)半軸相交，因而一定經(jīng)過一三四象限，故選：D．5.（2021秋?蘇州期末）若一次函數(shù)y＝（m﹣1）x﹣1的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，則m的值可能為（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2【答案】D【解答】解：∵一次函數(shù)y＝（m﹣1）x﹣1的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，∴m﹣1＞0，∴m＞1，∴m的值可能為2．故選：D．6．（2021秋?亳州月考）已知一次函數(shù)y＝kx﹣k，當(dāng)k＜0時，圖象過第幾象限？（）A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限【答案】B【解答】解：∵kB＜0，∴﹣k＞0，∴a＜0，b＞0，∴一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、四象限．故選：B．7．（2021春?永年區(qū)期末）已知一次函數(shù)y＝ax+b，ab＞0，且y隨x的增大而增大，則此圖象不經(jīng)過（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解答】解：∵一次函數(shù)y＝ax+b，ab＞0，且y隨x的增大而增大，∴a、b同號且a＞0，∴a＞0，b＞0，∴該函數(shù)圖象經(jīng)過第一、二、三象限，不經(jīng)過第四象限，故選：D．8．（2021秋?東陽市期末）請你寫出一個圖象過點（0，2）且y隨x的增大而減小的一次函數(shù)的表達(dá)式：．【答案】y＝﹣x+2（答案不唯一）【解答】解：設(shè)函數(shù)y＝kx+b（k≠0，k，b為常數(shù)），∵圖象經(jīng)過點（0，2），∴b＝2，又∵y隨x的增大而減小，∴k＜0，可取k＝﹣1．這樣滿足條件的函數(shù)可以為：y＝﹣x+2．故答案為：y＝﹣x+2（答案不唯一）9．（2015?六盤水）正方形A1B1C1O和A2B2C2C1按如圖所示方式放置，點A1，A2在直線y＝x+1上，點C1，C2在x軸上．已知A1點的坐標(biāo)是（0，1），則點B2的坐標(biāo)為．【答案】（3，2）【解答】解：∵直線y＝x+1，當(dāng)x＝0時，y＝1，當(dāng)y＝0時，x＝﹣1，∴OA1＝1，OD＝1，∴∠ODA1＝45°，∴∠A2A1B1＝45°，∴A2B1＝A1B1＝1，∴A2C1＝C1C2＝2，∴OC2＝OC1+C1C2＝1+2＝3，∴B2（3，2）．故答案為（3，2）．10．（2020?北碚區(qū)模擬）如圖，已知直線l：，過點A（0，1）作y軸的垂線交直線l于點B，過點B作直線l的垂線交y軸于點A1；過點A1作y軸的垂線交直線l于點B1，過點B1作直線l的垂線交y軸于點A2；…；按此作法繼續(xù)下去，則點A4的坐標(biāo)為（）A．（0，128） B．（0，256） C．（0，512） D．（0，1024）【答案】B【解答】解：∵直線l的