切線、公切線及切線法應(yīng)用【 考點(diǎn)深挖 多種考法 】 高考數(shù)學(xué)一輪高效備考 精講精練（全國通用）

切線、公切線與“切線法”應(yīng)用目錄TOC\o"1-3"\h\u【題型一】“在點(diǎn)”切線1：有切點(diǎn) 1【題型二】“在點(diǎn)”切線2：無切點(diǎn) 2【題型三】“在點(diǎn)”切線3：雙參型 3【題型四】“在點(diǎn)”切線4：分段函數(shù)切線 3【題型三】“過點(diǎn)”切線1 4【題型四】“過點(diǎn)”切線2：切線條數(shù) 5【題型五】“過點(diǎn)”切線3：最值與范圍 5【題型六】雙函數(shù)公切線 6【題型七】三角函數(shù)的切線 7【題型八】切線與傾斜角 7【題型九】“切線法應(yīng)用”題型1：直線上點(diǎn)到曲線距離 8【題型十】“切線法應(yīng)用”題型2：兩曲線上點(diǎn)距離最值 9【題型十一】“切線法應(yīng)用”題型3：恒成立與存在求參 10【題型十二】“切線法應(yīng)用”題型4：零點(diǎn)（交點(diǎn)）求參 10【題型十三】“切線法應(yīng)用”題型5：等式（不等式）整數(shù)解求參 11【題型十四】“切線法應(yīng)用”題型6：恒等式、不等式等 12【題型十五】綜合應(yīng)用 12二、真題再現(xiàn) 13三、模擬檢測(cè) 14【題型一】“在點(diǎn)”切線1：有切點(diǎn)【典例分析】已知函數(shù)（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的圖象在處的切線的斜率為8，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A．1 B．2 C．e D．3【提分秘籍】基本規(guī)律基本規(guī)律以曲線上的點(diǎn)(x0，f(x0))（已知x0為具體值）為切點(diǎn)的切線方程的求解步驟：①求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)；②求切線的斜率f′(x0)；③寫出切線方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化簡．【變式演練】1.已知函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B．C． D．2.已知函數(shù)在處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．1 B． C． D．33.已知函數(shù)，則的圖象在點(diǎn)處的切線的斜率為（

）A．3 B．3 C．5 D．5【題型二】“在點(diǎn)”切線2：無切點(diǎn)【典例分析】已知四條直線，，，從這三條直線中任取兩條，這兩條直線都與函數(shù)的圖象相切的概率為（

）A． B． C． D．【變式演練】1.以下曲線與直線相切的是（

）A． B． C． D．2.若曲線與y=2x+1相切，則實(shí)數(shù)a=（

）A．1 B．2 C．3 D．43.直線與曲線相切，則的值為（

）A．2 B．-2 C．-1 D．1【題型三】“在點(diǎn)”切線3：雙參型【典例分析】已知為正實(shí)數(shù)，直線與曲線相切，則的最小值為（

）A． B． C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律多參數(shù)，對(duì)應(yīng)方程恒成立求參【變式演練】1.若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則（

）A．3 B． C．2 D．2.已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線為，則的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．43.已知函數(shù)的圖象在處與直線相切，則函數(shù)在上的最大值為（

）A． B．0 C． D．1【題型四】“在點(diǎn)”切線4：分段函數(shù)切線【典例分析】已知函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則在處的切線方程為（

）A． B． C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律分類討論決定切點(diǎn)的位置和切點(diǎn)的個(gè)數(shù)。【變式演練】1.已知函數(shù)，曲線與直線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（

）A． B． C． D．2.已知函數(shù)滿足函數(shù)恰有5個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．3.已知函數(shù)的圖象上存在不同的兩點(diǎn)，使得曲線在這兩點(diǎn)處的切線重合，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.【題型三】“過點(diǎn)”切線1【典例分析】設(shè)，曲線在點(diǎn)處的切線經(jīng)過點(diǎn)，則（

）A．e B． C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律曲線切線方程的求法：(1)以曲線上的點(diǎn)(x0，f(x0))為切點(diǎn)的切線方程的求解步驟：①求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)；②求切線的斜率f′(x0)；③寫出切線方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化簡．(2)如果已知點(diǎn)(x1，y1)不在曲線上，則設(shè)出切點(diǎn)(x0，y0)，解方程組得切點(diǎn)(x0，y0)，進(jìn)而確定切線方程．【變式演練】1.寫出a的一個(gè)值，使得直線是曲線的切線，則a=______.2.已知直線與曲線相交于兩點(diǎn)，則a的取值范圍是___________3.函數(shù)過原點(diǎn)的切線方程是_______.【題型四】“過點(diǎn)”切線2：切線條數(shù)【典例分析】若過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則（

）A． B． C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律“過點(diǎn)”切線條數(shù)，可以通過設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，寫出切線方程，轉(zhuǎn)化為求切點(diǎn)橫坐標(biāo)的根的個(gè)數(shù)或者根的范圍。【變式演練】1.已知函數(shù)，過點(diǎn)M（1，t）可作3條與曲線相切的直線，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（

）A． B． C． D．2.若過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則（

）A． B． C． D．3.過點(diǎn)作曲線的切線有且只有兩條，則b的取值范圍為（

）A． B． C． D．【題型五】“過點(diǎn)”切線3：最值與范圍【典例分析】已知函數(shù)的一條切線為，則的最小值為（

）A． B． C． D．【變式演練】1.已知曲線在點(diǎn)與處的切線互相垂直且相交于點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．2.若曲線有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則a的取值范圍是________________．3.過直線上一點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【題型六】雙函數(shù)公切線【典例分析】若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有公切線，且直線與直線互相垂直，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C．或 D．或【提分秘籍】基本規(guī)律公切線,要注意從以下兩方面考慮1.兩個(gè)曲線有公切線，且切點(diǎn)是同一點(diǎn)2.兩個(gè)曲線有公切線，但是切點(diǎn)不是同一點(diǎn)?！咀兪窖菥殹?.若函數(shù)與的圖象存在公共切線，則實(shí)數(shù)a的最大值為（

）A． B． C． D．2.若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則（

）A．2 B．4 C． D．3.．若曲線與曲線：=有公切線，則實(shí)數(shù)的最大值為（

）A．+ B．- C．+ D．【題型七】三角函數(shù)的切線【典例分析】函數(shù)在處的切線在軸上的截距為（

）A． B． C． D．【變式演練】1.設(shè)函數(shù)，若為奇函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線斜率為（

）A．3 B．2 C．1 D．2.過曲線上一點(diǎn)且與曲線在點(diǎn)處的切線垂直的直線的方程為（

）A． B．C． D．3.已知函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B． C． D．【題型八】切線與傾斜角【典例分析】設(shè)點(diǎn)是曲線上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)處切線傾斜角為，則角的取值范圍是______.【提分秘籍】基本規(guī)律切線與傾斜角：切線斜率三種形式：切線與斜率的關(guān)系，多為求函數(shù)值域與范圍。【變式演練】1.函數(shù)的圖象在處的切線對(duì)應(yīng)的傾斜角為，則sin2=（

）A． B．± C． D．±2.已知P是曲線上的一動(dòng)點(diǎn)，曲線C在P點(diǎn)處的切線的傾斜角為，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．3.已知是曲線上的任一點(diǎn)，若曲線在點(diǎn)處的切線的傾斜角均是不小于的銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【題型九】“切線法應(yīng)用”題型1：直線上點(diǎn)到曲線距離【典例分析】已知，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律直線與曲線最短距離，方法主要是“切線平行法”【變式演練】1.曲線上到直線的距離為的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（

）A．4 B．3 C．2 D．12.曲線上的點(diǎn)到直線的最短距離是（

）A． B． C． D．3.已知實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足：，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則的最小值是（

）A．7 B．8 C．9 D．10【題型十】“切線法應(yīng)用”題型2：兩曲線上點(diǎn)距離最值【典例分析】設(shè)P為曲線上一點(diǎn)，Q為曲線上一點(diǎn)，則|PQ|的最小值為（

）A． B．1 C． D．2【提分秘籍】基本規(guī)律兩曲線最短距離數(shù)學(xué)思想，可以借鑒如下“雙飛燕”思維圖【變式演練】1.已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于某一條直線對(duì)稱，若P，Q分別為它們上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則這兩點(diǎn)之間距離的最小值為______．2.已知點(diǎn)P為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．當(dāng)最小時(shí)，直線OP恰好與曲線相切，則實(shí)數(shù)a＝___．3.若，則的最小值是A．1 B．2 C．3 D．4【題型十一】“切線法應(yīng)用”題型3：恒成立與存在求參【典例分析】已知函數(shù)，若關(guān)于的不等式（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）在上恒成立，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律【變式演練】1.已知函數(shù)在上有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．2.已知P是曲線上的一動(dòng)點(diǎn)，曲線C在P點(diǎn)處的切線的傾斜角為，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．3.若曲線過點(diǎn)的切線恒在函數(shù)的圖象的上方，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________．【題型十二】“切線法應(yīng)用”題型4：零點(diǎn)（交點(diǎn)）求參【典例分析】若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律零點(diǎn)思維：1.分參，水平線法2.分離函數(shù)，切線法3.移項(xiàng)到一側(cè)求導(dǎo)討論法【變式演練】1.已知函數(shù)，若函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B．C． D．2.已知函數(shù)，.若的圖象與軸有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．3.函數(shù)，，若函數(shù)與的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（

）A． B． C． D．【題型十三】“切線法應(yīng)用”題型5：等式（不等式）整數(shù)解求參【典例分析】已知函數(shù)，若有且只有兩個(gè)整數(shù)解，則k的取值范圍是（

）A． B．C． D．【變式演練】1.已知函數(shù)，若有且僅有兩個(gè)正整數(shù)，使得成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A．B．C． D．2.．已知不等式的解集中僅有2個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C． D．3.若關(guān)于x的不等式（其中），有且只有兩個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【題型十四】“切線法應(yīng)用”題型6：恒等式、不等式等【典例分析】已知直線與曲線相交于?兩點(diǎn)，若，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．【變式演練】1.已知m，n為實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則的最小值為______．2.若直線l與函數(shù)，的圖象分別相切于點(diǎn)，，則______.3.若曲線在點(diǎn)處的切線與曲線相切于點(diǎn)，則__________.【題型十五】綜合應(yīng)用【典例分析】過點(diǎn)有條直線與函數(shù)的圖像相切，當(dāng)取最大值時(shí)，的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式演練】1.已知函數(shù)，若方程有且僅有三個(gè)實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．2.已知函數(shù)，，若存在使得，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．3.已知方程有且僅有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，，則以下有關(guān)兩根關(guān)系的結(jié)論正確的是A． B． C． D．1.若過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則（

）A． B．C． D．2021年全國新高考I卷數(shù)學(xué)試題2.若直線l與曲線y=和x2+y2=都相切，則l的方程為（

）A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)Ⅲ）3.函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B．C． D．2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)Ⅰ）4.曲線在點(diǎn)處的切線方程為__________．2021年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題5.曲線在點(diǎn)處的切線方程為__________.2019年天津市高考數(shù)學(xué)試卷（文科）6.已知曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則A． B． C． D．2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)Ⅲ）7.設(shè)函數(shù)．若為奇函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為()A． B． C． D．2018年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（新課標(biāo)I卷）8.在平面直角坐標(biāo)系中，P是曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線x+y=0的距離的最小值是_____.2019年江蘇省高考數(shù)學(xué)試卷9.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在曲線y=lnx上，且該曲線在點(diǎn)A處的切線經(jīng)過點(diǎn)（-e，-1)(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則點(diǎn)A的坐標(biāo)是____.2019年江蘇省高考數(shù)學(xué)試卷10.設(shè)直線l1，l2分別是函數(shù)f(x)=圖象上點(diǎn)P1，P-2處的切線，l1與l2垂直相交于點(diǎn)P，且l1，l2分別與y軸相交于點(diǎn)A，B，則△PAB的面積的取值范圍是A．(0,1) B．(0,2) C．(0,+∞) D．(1,+∞)2016年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（四川卷精編版）11.已知函數(shù)，函數(shù)的圖象在點(diǎn)和點(diǎn)的兩條切線互相垂直，且分別交y軸于M，N兩點(diǎn)，則取值范圍是_______．2021年全國新高考II卷數(shù)學(xué)試題1.函數(shù)存在與直線平行的切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．2.如圖所