高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)及答案

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1、角的概念的推廣：平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一具位置旋轉(zhuǎn)到另一具位置所的圖形。按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角叫正角，按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角叫負(fù)角，一條射線沒(méi)有作任何旋轉(zhuǎn)時(shí)，稱它形成一具零角。射線的起始位置稱為始邊，終止位置稱為終邊。

2、象限角的概念：在直角坐標(biāo)系中，使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，角的終邊在第幾象限，就講那個(gè)角是第幾象限的角。假如角的終邊在坐標(biāo)軸上，就以為那個(gè)角別屬于任何象限。

3.終邊相同的角的表示：

(1)α終邊與θ終邊相同(α的終邊在θ終邊所在射線上)?2()kkαθπ=+∈Z，

注意：相等的角的終邊一定相同，終邊相同的角別一定相等.如與角

1825-的終邊相同，且絕對(duì)值最小的角的度數(shù)是＿＿＿，合＿＿＿弧度。弧度：一周的弧度數(shù)為2πr/r=2π，360°角=2π弧度，所以，1弧度約為57.3°，即57°17'44.806''，

1°為π/180弧度，近似值為0.01745弧度，周角為2π弧度，平角（即180°角）為π弧度，

直角為π/2弧度。（答：25-；5

36

π-

）(2)α終邊與θ終邊共線(α的終邊在θ終邊所在直線上)?()kkαθπ=+∈Z.(3)α終邊與θ終邊對(duì)于x軸對(duì)稱?2()kkαθπ=-+∈Z.(4)α終邊與θ終邊對(duì)于y軸對(duì)稱?2()kkαπθπ=-+∈Z.(5)α終邊與θ終邊對(duì)于原點(diǎn)對(duì)稱?2()kkαπθπ=++∈Z.(6)α終邊在x軸上的角可表示為：,kkZαπ=∈；

α終邊在y軸上的角可表示為：,2kkZπαπ=+∈；α終邊在坐標(biāo)軸上的角可表示為：,2

kkZπ

α=∈.

如α的終邊與

6

π

的終邊對(duì)于直線xy=對(duì)稱，則α＝____________。（答：Zkk∈+

,3

2π

π）

4、α與2α的終邊關(guān)系：由“兩等分各象限、一二三四”確定.如若α是第

二象限角，則2

α

是第_____象限角

（答：一、三）

5.弧長(zhǎng)公式：||lRα=，扇形面積公式：211||22

SlRRα==，1弧度

(1rad)57.3≈.如已知扇形AOB的周長(zhǎng)是6cm，該扇形的中心角是1弧度，求該扇形的面積。

（答：22cm）

6、任意角的三角函數(shù)的定義：設(shè)α是任意一具角，P(,)xy是α的終旁邊的任意一點(diǎn)（異于原點(diǎn)），它與原點(diǎn)的距離是220rxy=+>，這么

sin,cosyxrrαα==，()tan,0yxxα=≠，cotx

yα=(0)y≠，secrxα=()0x≠，

()csc0r

yy

α=≠。三角函數(shù)值只與角的大小有關(guān)，而與終旁邊點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān)。

如

（1）已知角α的終邊通過(guò)點(diǎn)P(5，－12)，則ααcossin+的值為＿＿。

（答：7

13

-）；

（2）設(shè)α是第三、四象限角，m

m--=43

2sinα，則m的取值范圍是_______

（答：（－1，)2

3

）；

（3）若0|

cos|cossin|sin|=+αα

αα，試推斷)tan(cos)cot(sinαα?的符號(hào)

（答：負(fù)）

7.三角函數(shù)線的特征是：正弦線MP“站在x軸上(起點(diǎn)在x軸上)”、余弦線OM“躺在x軸上(起點(diǎn)是原點(diǎn))”、正切線AT“站在點(diǎn)(1,0)A處

(起點(diǎn)是A)”.三角函數(shù)線的重要應(yīng)用是比較三角函數(shù)值的大小和解三角別等式。如（1）若08πθ-<<，則sin,cos,tanθθθ的大小關(guān)系為_(kāi)____(答：tansincosθθθ<<)；（2）若α為銳角，則,sin,tanααα的大小關(guān)系為_(kāi)______

（答：sintanααα<<）；

（3）函數(shù))3sin2lg(cos21+++=xxy的定義域是_______

（答：2(2,2]()33

kkkZππ

ππ-+

∈）8.特別角的三角函數(shù)值：

30°45°60°0°90°180°270°15°75°

sinα

2

1

222

3

010－1

62

4-62

4+cosα

232

22

110－1062

4

+62

4

-tanα3

313

02-32+3cotα

3

1

3

3

2+3

2-3

9.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：

（1）平方關(guān)系：222222sincos1,1tansec,1cotcscαααααα+=+=+=（2）倒數(shù)關(guān)系：sinαcscα=1,cosαsecα=1,tanαcotα=1,

（3）商數(shù)關(guān)系：sincostan,cotcossinαα

αααα

==同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的要緊應(yīng)用是，已知一具角的三角函數(shù)值，求此

y

T

Ax

α

B

S

O

MP

角的其它三角函數(shù)值。在運(yùn)用平方關(guān)系解題時(shí)，要依照已知角的范圍和三角函數(shù)的取值，盡量地壓縮角的范圍，以便舉行定號(hào)；在具體求三角函數(shù)值時(shí)，普通別需用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，而是先依照角的范圍確定三角函數(shù)值的符號(hào)，再利用解直角三角形求出此三角函數(shù)值的絕對(duì)值。如

（1）函數(shù)sintancoscotyαα

αα

+=+的值的符號(hào)為_(kāi)___

（答：大于0）；

（2）若π220≤≤x，則使xx2cos2sin12=-成立的x的取值范圍是____（答：[0,]

4π],4

3

[ππ）；

（3）已知53sin+-=mmθ，)2

(524cosπθπ

θ<<+-=mm，則θtan＝____

（答：12

5

-）；

（4）已知11tantan-=-αα，則α

αα

αcossincos3sin+-＝___；2cossinsin2++ααα＝____

（答：35-；5

13

）；

（5）已知a=200sin，則160tan等于

A、21aa

--B、21a

a

-C、aa21--D、aa2

1-

（答：B）；

（6）已知xxf3cos)(cos=，則)30(sinf的值為_(kāi)_____

（答：－1）。

10.三角函數(shù)誘導(dǎo)公式（2

k

πα+）的本質(zhì)是：奇變偶別變（對(duì)k而言，指k取

奇數(shù)或偶數(shù)），符號(hào)看象限（看原函數(shù)，并且可把α看成是銳角）.誘導(dǎo)公式的應(yīng)用是求任意角的三角函數(shù)值，其普通步驟：（1）負(fù)角變正角，再寫成2kπ+α,02απ≤<；(2)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)。如

（1）97costan()sin2146

ππ

π+-+的值為_(kāi)_______（答：2323

-）；（2）已知5

4

)540sin(-=+α，則=-)270cos(α______，

若α為第二象限角，則=+-+-)

180tan()]360cos()180[sin(2

ααα

________。（答：5

4-；1003

-）

隨堂練習(xí)

例1已知角的終旁邊一點(diǎn)P（－3，m），且sinθ=

2

4

m，求cosθ與tanθ的值．

分析已知角的終旁邊點(diǎn)的坐標(biāo)，求角的三角函數(shù)值，應(yīng)聯(lián)想到運(yùn)用三角函數(shù)的定義解題，由P的坐標(biāo)可知，需求出m的值，從而應(yīng)尋求m的方程．

解由題意知r=3＋m2，則sinθ=mr=m

3＋m2

．

又∵sinθ=

24m，∴m3＋m2

=2

4m．∴m=0，m=±

5．

當(dāng)m=0時(shí)，cosθ=－1，tanθ=0；當(dāng)m=5時(shí)，cosθ=－

64，tanθ=－153

；當(dāng)m=－5時(shí)，cosθ=－

64，tanθ=15

3

．點(diǎn)評(píng)已知一具角的終旁邊一點(diǎn)的坐標(biāo)，求其三角函數(shù)值，往往運(yùn)用定義法(三角函數(shù)

的定義)解決．

例2已知集合E=｛θ｜c(diǎn)osθ＜sinθ，0≤θ≤2π}，F(xiàn)=｛θ｜tanθ＜sinθ}，求集合E∩F．

分析關(guān)于三角別等式，可運(yùn)用三角函數(shù)線解之．

解E=｛θ｜π4＜θ＜5π4}，F(xiàn)=｛θ｜π2＜θ＜π，或3π

2

＜θ＜2π}，

∴E∩F=｛θ｜π

2

＜θ＜π}．

例1化簡(jiǎn)

sin(2π-α)tan(π+α)cot(-α-π)

cos(π-α)tan(3π-α)

．

分析式中含有較多角和較多三角函數(shù)名稱，若能減少它們的個(gè)數(shù)，則式子可望簡(jiǎn)化．解原式=

（-sinα）tanα［-cot(α+π)］(-cosα)tan(π-α)=(-sinα)tanα(-cotα)

(-cosα)(-tanα)

=

sinα2cosαsinα

cosα

=1．

點(diǎn)評(píng)將別同角化同角，別同名的三角函數(shù)化成同名的三角函數(shù)是三角變換中常用的辦法．

例2若sinθcosθ=1

8，θ∈(π4，π2

)，求cosθ－sinθ的值．

分析已知式為sinθ、cosθ的二次式，欲求式為sinθ、cosθ的一次式，為了運(yùn)用條

件，須將cosθ－sinθ舉行平方．

解(cosθ－sinθ)2=cos2θ+sin2θ－2sinθcosθ=1－14=3

4

．

∵θ∈(

π4，π

2

)，∴cosθ＜sinθ．∴cosθ－sinθ=－

3

2

．變式1條件同例，求cosθ+sinθ的值．

變式2已知cosθ－sinθ=－

3

2

，求sinθcosθ，sinθ+cosθ的值．點(diǎn)評(píng)sinθcosθ，cosθ+sinθ，cosθ－sinθ三者關(guān)系密切，由其中之一，可求其余

之二．

例3已知tanθ=3．求cos2

θ+sinθcosθ的值．

分析因?yàn)閏os2θ+sinθcosθ是對(duì)于sinθ、cosθ的二次齊次式，因此可轉(zhuǎn)化成tanθ的式子．

解原式=cos2

θ+sinθcosθ=cos2θ+sinθcosθcos2θ+sin2θ=1+tanθ1+tan2

θ=2

5

．點(diǎn)評(píng)1．對(duì)于cosθ、sinθ的齊次式可轉(zhuǎn)化成tanθ的式子．2．注意1的作用:1=sin2

θ+cos2

θ等．

例1已知sinα－sinβ=－13，cosα－cosβ=1

2，求cos(α－β)的值．

分析由于cos(α－β)=cosαcosβ+sinαsinβ的右邊是對(duì)于sinα、cosα、sinβ、cosβ的二次式，而已知條件是對(duì)于sinα、sinβ、cosα、cosβ的一次式，因此將已知式兩邊平方．

解∵sinα－sinβ=－13，①cosα－cosβ=1

2

，②

①2

＋②2，得2－2cos(α－β)=13

36

．∴cos(α－β)=

72

59

．點(diǎn)評(píng)審題中要善于尋覓已知和欲求的差異，設(shè)法消除差異．例2求

2cos10°-sin20°

cos20°

的值．

分析式中含有兩個(gè)角，故需先化簡(jiǎn)．注意到10°=30°－20°，由于30°的三角函數(shù)值已知，則可將兩個(gè)角化成一具角．

解∵10°=30°－20°，

∴原式=

2cos(30°-20°)-sin20°

cos20°

=

2(cos30°cos20°+sin30°sin20°)-si