2021年浙江三位一體自主招生數學測試試卷74有答案解析

2021年浙江省“三位一體”自主招生數學測試試卷（74）（有答案解析）2021年浙江省“三位一體”自主招生綜合測試試卷（74）一、選擇題（本大題共9小題，共36.0分）.“割圓術”是求圓周率的一種算法．公元263年左右，我國一位著名的數學家發(fā)現當圓的內接正多邊形的邊數無限增加時，多邊形面積可無限逼近圓面積，即所謂“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”請問上述著名數學家為劉徽祖沖之楊輝秦九昭.某校食堂有4元、5元、6元三種價格的飯菜供學生們選擇每人限購一份三月份銷售該三種價格飯菜的學生比例分別為、、，則該校三月份學生每餐購買飯菜的平均費用是元元5元元.在初中已學過的一次函數、反比例函數和二次函數等函數中，它們的圖象與任意一條直線是任意實數交點的個數為必有一個一個或兩個至少一個至多一個.同時擲兩個骰子，其中向上的點數之和是5的概率是A.B.C.D..給你一列數：1,l,2,6,24,請你仔細觀察這列數的排列規(guī)則，然后從四個供選擇單選項中選出一個你認為最合理的一項,來填補其中的空缺項,使之符合原數列的排列規(guī)律．4896120144.已知．二次函數是實數,當自變量任取,時,分別與之對應的函數值,滿足,則,應滿足的關系式是A.B.C.D..在8個銀元中混進了一個大小形狀顏色完全一樣的假銀元,已知7個真銀元的重量完全相同,而假銀元比真銀元稍輕點兒,你用一臺天平最少次就能找出這枚假銀元．l234.如圖，P是圓D的直徑AB的延長線上的一點，PC與圓D相切于點C,的平分線交AC于點Q,則C.D.9.十進制***-*****二進制***-********-**********觀察二進制為1位數、2位數、3位數時，對應的十進制的數，當二進制為6位數時，能表示十進制中的最大數是A.61B.626364二、填空題（本大題共7小題，共21.0分）10.某校去年投資2萬元購買實驗器材，預計今明2年的投資總額為8萬元．若該校這兩年購買的實驗器材的投資年平均增長率為x，則可列方程為．1L如圖，在平行四邊形ABCD中，于E,于F,且，則平行四邊形ABCD的周長是..在一個木制的棱長為3的正方體的表面涂上顏色，將它的棱三等分，然后從等分點把正方體鋸開，得到27個棱長為l的小正方體，將這些小正方體充分混合后，裝入口袋，從這個口袋中任意取出一個小正方體，則這個小正方體的表面恰好涂有兩面顏色的概率TOC\o"1-5"\h\z是 ．.已知關于x的一元二次方程與有一個公共實數根，則 ．.一個樣本為1、3、2、2、a,b,已知這個樣本的眾數為3,平均數為2，那么這個樣本的方差為 ．15如圖，在梯形ABCD中，一，，則該梯形的面積 ．.某計算機用戶計劃用不超過500元的資金購買單價分別為60元、70元的A類軟件和B類軟件，根據需要A類軟件至少買3片，B類軟件至少買2片，則不同的選購方式共有種.三、計算題（本大題共1小題，共10.0分）.已知，求的值．四、解答題（本大題共5小題，共53.0分）.在凸四邊形ABCD中，，且四個內角中有一個角為，求其余各角的度數．.某商店若將進價為100元的某種商品按120元出售，一天就能賣出300個．若該商品在120元的基礎上每漲價l元，一天就要少賣出10個，而每減價l完，一天贏可多賣出30個.問：為使一天內獲得最大利潤，商店應將該商品定價為多少？.如圖，，是等邊三角形，點，在函數的圖象上，點，在x軸的正半軸上，分別求，的面積..如圖，在中，O是內心，點E,F都在大邊BC上，已知，．求證：O是的外心；若，，求的大小．如圖，正三角形ABC的邊長為1,點M,N,P分別在邊BC,AB上，設，，，且.試用x,y,z表示的面積求面積的最大值．答案和解析.A解：上述著名數學家是劉徽．故選：A.根據數學史的了解進行選擇．此題考查了數學常識的知識，要多讀書，了解一些有關數學的故事等．2.B解：平均費用為元．故選：B.用加權平均數的計算方法計算即可．此題考查了加權平均數的知識，屬于簡單題目.把所有數據相加后再除以數據的個數即得平均數..D解：任意一條直線是任意實數是平行于y軸的一條直線，在初中已學過的一次函數、反比例函數和二次函數等函數中，只有反比例函數與時，沒有交點，其他只有一個交點.它們的圖象與任意一條直線交點的個數至多有一個.故選：D.根據直線是任意實數的性質，得出一次函數、反比例函數和二次函數等函數中與它的關系，直接得出答案.此題主要考查了函數圖象與直線是任意實數的性質，根據已知得出任意一條直線是任意實數是平行于y軸的一條直線是解決問題的關鍵..C解：列表得：共有種等可能的結果，向上的點數之和是5的情況有4種，兩個骰子向上的一面的點數和為5的概率為.故選：C.列舉出所有情況，看點數之和為5的情況占總情況的多少即可.此題考查了樹狀圖法與列表法求概率.列表法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合于兩步完成的事件.樹狀圖法適用于兩步或兩步以上完成的事件.解題時還要注意是放回實驗還是不放回實驗.用到的知識點為：概率所求情況數與總情況數之比.5c解：觀察所給數字可知，第二個數，第三個數，第四個數，第五個數，故可知第六個數．故選：C觀察所給數字可知，第二個數，第三個數，第四個數，第五個數，故可知第六個數，繼而即可得出答案．本題考查規(guī)律型中的數字變化問題，仔細觀察題中所給數字，可知第n個數第個數．6.D解：，拋物線對稱軸為，開口向上，離對稱軸越遠，函數值越大，又，滿足，可得，故選：D.在利用二次函數的增減性解題時，對稱軸是非常重要的．根據、、，與對稱軸的大小關系，判斷、、的大小關系．本題主要考查了函數的對稱軸求法和函數的單調性，難度一般，解答本題的關鍵是正確尋找出對稱軸，這是解答本題的突破口．7.B解：8個銀元分成4組，將其中的兩組放在天平的兩邊進行第一次測量，天平平衡的一組沒有假銀元，天平不平衡，那么假銀元就在較輕的那組，再一次把較輕的一組分開放在天平的兩邊進行第二次測量，則較輕的是假銀元，所以用一臺天平最少2次就能找出這枚假銀元．故選：B.可以把8個銀元分成4組，將其中的兩組放在天平的兩邊進行第一次測量，天平平衡的一組沒有假銀元，天平不平衡，那么假銀元就在較輕的那組；再把這組分開用天平測，可找出假銀元.此題考查的知識點是推理與論證，關鍵是首先分成4組，先找出較輕的一組，再測即得.8.B解：連接BC交PQ于E,與圓D相切于點C,，為直徑，，平分，，，，.故選：B.首先連接BC交PQ于E,由PC與圓D相切于點C,根據弦切角定理，即可得，又由AB為直徑，即可得，然后由PQ平分與三角形外角的性質，即可證得，則可求得的度數.此題考查了圓的切線的性質，圓周角的性質，弦切角定理，等腰直角三角形的性質，以及三角形外角的性質等知識.此題綜合性較強，難度適中，解題的關鍵是注意數形結合思想的應用.9.C解：表示十進制中表示的數最大時，則二進制數是*****，能表示十進制是：.故選：C.根據表可以得到二進制的數轉化十進制的數，，，，；表示十進制中表示的數最大時，則二進制數是*****，根據規(guī)律即可求得十進制表示的數．本題考查了有理數的計算，關鍵是正確觀察圖表，理解二進制的數寫成十進制的數的方法．10.解：設該校這兩年購買的實驗器材的投資年平均增長率為X,今年的投資金額為：；明年的投資金額為：；所以根據題意可得出的方程：．故答案為：．本題為增長率問題，一般用增長后的量增長前的量增長率，如果該校這兩年購買的實驗器材的投資年平均增長率為X,根據題意可得出的方程．增長率問題，一般形式為，a為起始時間的有關數量，b為終止時間的有關數量．11.8要求平行四邊形的周長就要先求出AB、AD的長，利用平行四邊形的性質和勾股定理即可求出．解題關鍵是利用平行四邊形的性質結合等角對等邊、勾股定理來解決有關的計算和證明．解：,,,則,,設,則,在中,根據勾股定理可得,同理可得則平行四邊形ABCD的周長是故答案為8．解：在27個小正方體中，恰好有三個面都涂色有顏色的共有8個，恰好有兩個都涂有顏色的共12個，恰好有一個面都涂有顏色的共6個，表面沒涂顏色的1個．由題意知本題是一個等可能事件的概率，試驗發(fā)生包含的事件是從27個小正方體中選一個正方體，共有27種結果，滿足條件的事件是選出的是恰好涂有兩面顏色的正方體，有12種結果，故概率為．故答案為．本題是一個等可能事件的概率，試驗發(fā)生包含的事件是從27個小正方體中選一個正方體，共有27種結果，滿足條件的事件是選出的是表面恰好涂有兩面顏色的正方體，有12種結果，根據等可能事件的概率得到結果．本題考查等可能事件的概率，考查計數原理，考查正方體的結構特征，是一個綜合題目，在解題時注意分割后的小正方體一定要數清楚，本題是一個易錯題．解：與有一個公共實數根，有一個實數根，，把代入得：．故答案為：．本題需先根據與有一個公共實數根，求出x的值，再把x的值代入原方程即可求出m的值.本題主要考查了一元二次方程的解的概念，在解題時要能夠靈活應用解的概念求出結果是本題的關鍵．解：因為眾數為3,可設，，c未知平均數，解得根據方差公式故填．因為眾數為3，表示3的個數最多，因為2出現的次數為二，所以3的個數最少為三個，則可設a,b,c中有兩個數值為另一個未知利用平均數定義求得，從而根據方差公式求方差．本題考查了眾數、平均數和方差的定義．15.18解：取CD的中點￡，連接BE，,是菱形,,,,,,,．四邊形ABCD的面積是18.故答案為18．取CD的中點￡,連接BE,從而得到進而判定四邊形ABED是菱形,得到,從而得到然后得到：.本題考查了梯形的性質,解題的關鍵是正確地作出輔助線,熟記梯形中常用輔助線的作法對解決此類題目有很大的幫助.16.7解：設購買A、B類軟件分別為x,y片，根據題意得：，，，當，時，，當，時，，當，時，，當，時，，當，時，，當，時，舍去，當，時，，當，時，舍去，當，時，舍去，當，時，，當，時，舍去，當，時，舍去，不同的選購方式共有7種．故答案為：7．首先設購買A、B類軟件分別為x,y片，根據題意即可得不等式組：，解此不等式組,然后根據分類討論的思想求解即可求得答案．此題考查了不等數組的實際應用問題．此題難度較大,解題的關鍵是注意理解題意,根據題意求得方程組,然后根據其性質解題,注意分類討論思想的應用．.解：,,原式．先化簡,再代入求值即可．本題考查了二次根式的化簡與求值，將二次根式的化簡是解此題的關鍵．.解：設，則，，，，．1、時，，，，；2、時，，，，，．3、時，，，，，4、，，，，，．可設，根據四邊形內角和等于，分四種情況進行討論，從而求解．本題考查了多邊形內角與外角，四邊形內角和等于，由于四個內角中有一個角為，不確定，故應該分類討論．.解：按120元出售，一天就能賣出300個，可獲得利潤：元；設漲價為x元，則可賣出個，設利潤為y元，則*；若設降價x元，則可以賣出個，設利潤為y元，則：*；，所以當售價定為115元獲得最大為6750元．綜上所述，當定價為115元時，商店可獲得最大利潤6750元．分別以120元為基礎，當漲價時，大于120元，當降價時，小于120元，利用每個商品的利潤賣出數量總利潤分別寫出函數關系式；利用配方法求得兩個函數解析式的最大值，比較得出答案．此題主要考查了二次函數在實際問題中的運用，根據利潤售價進價賣的件數，列出函數解析式，求最值是解題關鍵．.解：分別過、作x軸的垂線，垂足分別為D、E,如圖，設，．，是等邊三角形，，，，，的坐標為，的坐標為，又點在函數的圖象上，，解得舍去，，．點在函數的圖象上，，解得，舍去，，，的面積，的面積．分別過、作x軸的垂線，垂足分別為D、E,設，根據等邊三角形的性質和含30度的直角三角形三邊的關系得到，，，得到的坐標為，的坐標為，然后先把的坐標代入反比例解析式求得m的值，再把的坐標代入反比例解析式得到n的值，這樣就確定兩等邊三角形的邊長，然后根據等邊三角形的面積等于其邊長的平方的倍計算即可．本題考查了點在反比例函數圖象上，則點的橫縱坐標滿足其解析式．也考查了含30度的直角三角形三邊的關系以及等邊三角形的性質．.解：證明：連接OA、OB、OC、OE、OF,是的內心，，在和中S，，同理，，是的外心．是的外心，，在等腰三角形，，同理，，答：的度數是．連接OA、OB、OC、OE、OF,證經，推出，即可；根據三角形的內角和定理求出，，再根據三角形的內