名師教案 高中數(shù)學(xué)人教B版 必修 第三冊(cè) 正弦函數(shù)的性質(zhì)與圖像

7.3.1正弦函數(shù)的性質(zhì)與圖像(二)教學(xué)目標(biāo)1.能用“五點(diǎn)法”畫正弦函數(shù)在[0,2π]上的圖像(重點(diǎn)).2.理解正弦曲線的意義(難點(diǎn))．知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)1正弦線如圖所示，設(shè)任意角α的頂點(diǎn)在原點(diǎn)O，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓O相交于點(diǎn)P(x，y)，過(guò)P點(diǎn)作x軸的垂線，垂足為M.我們稱MP為角α的正弦線，P叫正弦線的終點(diǎn)．知識(shí)點(diǎn)2正弦函數(shù)圖像的畫法(1)幾何法利用幾何法作正弦函數(shù)y＝sinx，x∈[0,2π]的圖像的過(guò)程如下：①作直角坐標(biāo)系，并在直角坐標(biāo)系y軸的左側(cè)畫單位圓，如圖所示．②把單位圓分成12等份(等份越多，畫出的圖像越精確)．過(guò)單位圓上的各分點(diǎn)作x軸的垂線，可以得到對(duì)應(yīng)于0，eq\f(π,6)，eq\f(π,3)，eq\f(π,2)，…，2π等角的正弦線．③找橫坐標(biāo)：把x軸上從0到2π(2π≈6.28)這一段分成12等份．④平移：把角x的正弦線向右平移，使它的起點(diǎn)與x軸上的點(diǎn)x重合．⑤連線：用光滑的曲線將這些正弦線的終點(diǎn)依次從左到右連接起來(lái)，即得y＝sinx，x∈[0,2π]的圖像．(2)“五點(diǎn)法”在函數(shù)y＝sinx，x∈[0,2π]的圖像上，起關(guān)鍵作用的點(diǎn)有以下五個(gè)：(0,0)，(eq\f(π,2)，1)，(π，0)，(eq\f(3π,2)，－1)，(2π，0)．事實(shí)上，找出這五個(gè)點(diǎn)后，函數(shù)y＝sinx，x∈[0,2π]的圖像形狀就基本上確定了．因此，在精確度要求不太高時(shí)，我們常常先找出這五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，再用光滑的曲線順次將它們連接起來(lái)，就可以得到函數(shù)的簡(jiǎn)圖．這種方法稱為“五點(diǎn)法”．教學(xué)案例題型一“五點(diǎn)法”作函數(shù)的圖像【例1】利用“五點(diǎn)法”作出y＝－1＋sinx(x∈[0,2π])的簡(jiǎn)圖．解按五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)列表：x0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πsinx010－10－1＋sinx－10－1－2－1描點(diǎn)并將它們用光滑的曲線連接起來(lái)(如圖所示)．規(guī)律方法“五點(diǎn)法”作圖的實(shí)質(zhì)是選取函數(shù)的一個(gè)周期，將其四等分，分別找出圖像的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)及圖像與x軸的交點(diǎn)等五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，由這五個(gè)點(diǎn)大致確定圖像的位置和形狀．【訓(xùn)練1】(1)作出函數(shù)y＝2sinx(0≤x≤2π)的圖像．(2)用“五點(diǎn)法”畫出函數(shù)y＝sin2x(0≤x≤π)的圖像．解(1)列表：x0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πsinx010－102sinx020－20描點(diǎn)作圖：(2)列表：x0eq\f(π,4)eq\f(π,2)eq\f(3π,4)π2x0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πsin2x010－10描點(diǎn)得y＝sin2x(0≤x≤π)的簡(jiǎn)圖，如圖：題型二正弦函數(shù)圖像的應(yīng)用方向1解不等式【例2－1】利用y＝sinx的圖像，在[0,2π]內(nèi)求滿足sinx≥－eq\f(1,2)的x的范圍．解列表：x0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πsinx010－10描點(diǎn)，連線如圖，同時(shí)作出直線y＝－eq\f(1,2)的圖像．由圖像可得sinx≥－eq\f(1,2)的范圍eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(7π,6)))∪eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(11π,6)，2π)).方向2判斷方程解的個(gè)數(shù)【例2－2】(1)方程|sinx|＝eq\f(1,2)的根中在[0,2]內(nèi)的有()A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)(2)求方程lgx＝sinx的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)．(1)【解析】如圖所示，在區(qū)間[0，π]內(nèi)|sinx|＝eq\f(1,2)的兩個(gè)根為eq\f(π,6)和eq\f(5π,6)，又因?yàn)?＜eq\f(5π,6)，所以在區(qū)間[0,2]內(nèi)|sinx|＝eq\f(1,2)只有一個(gè)根為eq\f(π,6).【答案】A(2)解作出y＝lgx，y＝sinx在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖像，則方程根的個(gè)數(shù)即為兩函數(shù)圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，由圖像知方程有三個(gè)實(shí)根．方向3求參數(shù)的取值范圍【例2－3】函數(shù)f(x)＝sinx＋2|sinx|，x∈[0,2π]的圖像與直線y＝k有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．解y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3sinx，0≤x≤π，,－sinx，π＜x≤2π.))作出圖像分析(右圖)，∵f(x)圖像與直線y＝k有且僅有兩個(gè)不同交點(diǎn)．∴1＜k＜3.故實(shí)數(shù)k的取值范圍是(1,3)．課堂達(dá)標(biāo)1．函數(shù)y＝sinx(x∈R)圖像的一條對(duì)稱軸是()A．x軸 B．y軸C．直線y＝x D．直線x＝eq\f(π,2)【答案】D2．用五點(diǎn)法畫y＝sinx，x∈[0,2π]的圖像時(shí)，下列哪個(gè)點(diǎn)不是關(guān)鍵點(diǎn)()A．(eq\f(π,6)，eq\f(1,2)) B．(eq\f(π,2)，1)C．(π，0) D．(2π，0)【解析】易知(eq\f(π,6)，eq\f(1,2))不是關(guān)鍵點(diǎn)．【答案】A3．在[0,2π]上滿足sinx≥eq\f(\r(2),2)的x的取值范圍為________．【解析】畫出y＝sinx的圖像（圖像略）可得．【答案】[eq\f(π,4)，eq\f(3π,4)]4．函數(shù)y＝sinx，x∈[0,2π]的圖像與直線y＝－eq\f(1,2)的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝________.【解析】如圖所示，x1＋x2＝2×eq\f(3π,2)＝3π.【答案】3π5．在[0,2π]內(nèi)，用五點(diǎn)法作出函數(shù)y＝2sinx－1的圖像．解(1)列表：x0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πsinx010－102sinx－1－11－1－3－1(2)描