探討循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)word

探討循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)李肖梅國際企業(yè)管理系摘要：循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)是一個令人玩味的主題，他的迷人處不下于質(zhì)數(shù)，可是如果用紙筆來計算循環(huán)節(jié)的長度，這又是一件極無聊且麻煩的事情，但是借著科技計算機(jī)或計算器的幫助，學(xué)生可以很快的找出分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換小數(shù)的結(jié)果，依據(jù)這些快速求出的答案，學(xué)生可以找尋規(guī)則、提出假設(shè)、及做出結(jié)論。本文是報告商科一年級學(xué)生及師范生如何利用計算器與計算機(jī)，經(jīng)由探討循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)，而發(fā)現(xiàn)一些早期數(shù)學(xué)家例如高斯等提出的有關(guān)「數(shù)論(NumberTheory)」的定理，讓理論抽象的「數(shù)論」中的數(shù)學(xué)概念，成為容易了解的學(xué)習(xí)活動及引人勇于探索的數(shù)學(xué)問題，本文嘗試解釋學(xué)生如何利用回答下列有關(guān)循環(huán)小數(shù)的相關(guān)問題，并藉計算器與計算機(jī)尋求出的解答，發(fā)現(xiàn)重要的高階數(shù)學(xué)定理。關(guān)鍵詞：計算器循環(huán)小數(shù)循環(huán)節(jié)數(shù)論科技教學(xué)壹、前言商科大一數(shù)學(xué)及師范生國小數(shù)學(xué)教材教法課程的學(xué)生，在利用計算器將分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)為小數(shù)的求解過程中，發(fā)現(xiàn)計算器的缺點(diǎn)，因?yàn)橛嬎闫鞯娘@示數(shù)字最多只能有12位數(shù)字，老師提供的計算器只有八位，因此學(xué)生提出二個問題，無循環(huán)小數(shù)概念的學(xué)生會問小數(shù)點(diǎn)后要有幾位有效數(shù)字，因?yàn)樗纳嵛迦牍罍y概念深植在學(xué)生腦中，有循環(huán)小數(shù)概念的學(xué)生會問這個答案的小數(shù)是否循環(huán)，如何求循環(huán)節(jié)長度？為了要讓學(xué)生對循環(huán)小數(shù)有深入的了解，作者設(shè)計了一些學(xué)習(xí)活動，讓學(xué)生如早期數(shù)學(xué)家一般，研討這個令人玩味的主題，循環(huán)小數(shù)的迷人處不下于質(zhì)數(shù)質(zhì)數(shù)有多長的存在探討歷史(Ore,1948)，循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)就有多久。在沒有計算器與計算機(jī)的時代，就有許多數(shù)學(xué)家，花費(fèi)很長的時間尋找循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)，因此很多有關(guān)循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)的定義與定理相對產(chǎn)生，「數(shù)論」也成了數(shù)學(xué)系一門很重要的課程，作者希望非數(shù)學(xué)系的學(xué)生及師范生了解小數(shù)循環(huán)節(jié)的由來。二十一世紀(jì)是一個科技時代，學(xué)生應(yīng)有科技知識的訓(xùn)練(李肖梅，民89,民91)，本文是報告學(xué)生如何利用計算器與計算機(jī)來探討循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)，讓理論抽象的「數(shù)論」中的數(shù)學(xué)定理，成為容易了解的學(xué)習(xí)活動的成果。貳、設(shè)計教學(xué)活動的學(xué)習(xí)理論科技的突飛猛進(jìn)，電算器的低價碼與普遍性，利用電算器，求數(shù)學(xué)的運(yùn)算結(jié)果，已是一般人日常生活的一部分，例如，報稅、算帳、出國時的專換匯率(Irwin,2001)等等，學(xué)校中利用科技輔助數(shù)學(xué)的教學(xué)與學(xué)習(xí)也是全球趨勢(李肖梅，民92)，因此，在小數(shù)教學(xué)中，使用科技產(chǎn)生的結(jié)果，造成學(xué)生的對循環(huán)小數(shù)的興趣(李肖梅，民94)，例如循環(huán)節(jié)的長度、如何找循環(huán)節(jié)(Lee,2005)、如何預(yù)測二數(shù)相除之結(jié)果的分類等等引人追求的問題，均因有了科技的輔助，而能一目了然。依據(jù)國科會補(bǔ)助之「圖形計算器輔助數(shù)學(xué)科技化教學(xué)之研究」，李肖梅（民89,民90，民91）研發(fā)出一個學(xué)習(xí)理論的架構(gòu)，讓科技輔助下的數(shù)學(xué)教學(xué)，使學(xué)生具備以下的能力。連結(jié)性：了解數(shù)學(xué)概念由哪里來往哪里去。發(fā)展性：由已知的概念去發(fā)展未知的知識。擴(kuò)張性：除了水平的發(fā)展外，仍可擴(kuò)張為垂直的發(fā)展。例行性：哪些數(shù)學(xué)知識是例行必須的，哪些是偶而才會需要的。重建性：因了解而能建構(gòu)出新的知識，或在既有的架構(gòu)下，往深與廣面再建或重建。學(xué)生的學(xué)習(xí)是自我成長、發(fā)現(xiàn)事實(shí)、找出關(guān)連性、經(jīng)由猜測、加以推論而獲得知識，而非記憶老師說的話，為了驗(yàn)證學(xué)習(xí)理論之有效性、學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣、及學(xué)習(xí)成效，及找出計算器無法顯示藏在機(jī)器里面的小數(shù)循環(huán)節(jié)長度的現(xiàn)實(shí)問題，作者設(shè)計了學(xué)習(xí)活動，活動設(shè)計的理念與學(xué)習(xí)步驟如下：呈現(xiàn)例題：借著科技輔助快速呈現(xiàn)量化的例題。觀察異同：觀察例題的相同與相異處做出分類。分析歸類：分析類組相同范例的特征。猜測推理：做出猜測與推理。形成結(jié)論：依據(jù)推理做出結(jié)論。讓學(xué)生能依據(jù)呈現(xiàn)例題、觀察異同、分析歸類、猜測推理、及形成結(jié)論，探討循環(huán)小數(shù)的相關(guān)問題，及藉由計算器與計算機(jī)的輔助尋求出的解答，達(dá)成了解有關(guān)循環(huán)小數(shù)概念的認(rèn)知，學(xué)習(xí)活動包含以下五個循環(huán)小數(shù)的概念探討。循環(huán)小數(shù)學(xué)習(xí)活動一：小數(shù)的表征類型。循環(huán)小數(shù)學(xué)習(xí)活動二：質(zhì)數(shù)分母的無限循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)的產(chǎn)生。循環(huán)小數(shù)學(xué)習(xí)活動三：質(zhì)數(shù)分母的無限循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)的長度的決定。循環(huán)小數(shù)學(xué)習(xí)活動四：質(zhì)數(shù)分母與合數(shù)分母的循環(huán)節(jié)長度的關(guān)系。循環(huán)小數(shù)學(xué)習(xí)活動五：利用計算器求循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)長度。參、教學(xué)活動一、循環(huán)小數(shù)學(xué)習(xí)活動一：小數(shù)的表征類型（一）呈現(xiàn)例題利用計算器求出分母為20以內(nèi)所得結(jié)果之小數(shù)的類型huimimMmniww1/19huimimMmniww1/190.052S31S73951^20a.sseaeswaesMiiiall（二）觀察異同與推論由圖一運(yùn)算結(jié)果顯示，學(xué)生可找出小數(shù)之種類，第一類分?jǐn)?shù)為1/2,1/4,1/5,1/8,1/10,1/16及1/20等分?jǐn)?shù)均可轉(zhuǎn)為有限小數(shù)第二類分?jǐn)?shù)為1/3,1/7,1/9,1/11,及1/13等小數(shù)的展開式為無限循環(huán)小數(shù)第三類分?jǐn)?shù)為1/12,1/14,1/15,及1/18等為混和小數(shù)；第四類分?jǐn)?shù)是1/17及1/19的小數(shù)類型為無法判斷，因?yàn)橛嬎闫髦荒艹尸F(xiàn)十一位數(shù)字，其它隱藏在計算器內(nèi)的數(shù)字，無法判斷是否有重復(fù)的數(shù)字，這成為學(xué)生需要進(jìn)一步探討的對象。（三）利用計算機(jī)求出分母為1/17及1/19之小數(shù)的類型雖然計算器無法判斷，學(xué)生用功能較強(qiáng)的計算機(jī)來求小數(shù)長度，由計算機(jī)mircalc.zip計算可求出1/17的結(jié)果有重復(fù)數(shù)字，重復(fù)數(shù)字的長度為16,亦即循環(huán)節(jié)長度為16，因此，1/17=0.0588235294117647，同理可求出1/19=0.052631578947368421，因此可將1/17與1/19歸類為無限循環(huán)小數(shù)。（四）結(jié)論求分?jǐn)?shù)化小數(shù)的過程中，發(fā)現(xiàn)小數(shù)的種類有三類型（Lady,2004），第一類為有限小數(shù)，第二類為無限循環(huán)小數(shù)和第三類為混和無限循環(huán)小數(shù)。第一類有限小數(shù)分母的質(zhì)因子分解式，僅含2與5的二個質(zhì)因子，第二類無限循環(huán)小數(shù)的分母，除了9之外均為質(zhì)因子，而9是3的倍數(shù)，第三類混和循環(huán)小數(shù)分母的質(zhì)因子分解式含2與5及其它質(zhì)因子的乘積，混和小數(shù)中含循環(huán)及不循環(huán)數(shù)字，而不循環(huán)數(shù)字的個數(shù)稱為延遲數(shù)，小數(shù)中重復(fù)的數(shù)字或循環(huán)的數(shù)字稱為循環(huán)節(jié)，重復(fù)數(shù)字或循環(huán)節(jié)的個數(shù)稱為循環(huán)節(jié)的長度。二、循環(huán)小數(shù)學(xué)習(xí)活動二：質(zhì)數(shù)分母的循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)如何產(chǎn)生？（一）呈現(xiàn)例題請學(xué)生分成小組利用紙筆，用長除法求質(zhì)數(shù)分母的分?jǐn)?shù)1/7,2/7,3/7,4/7,5/7,6/7,1/13,2/13,3/13,4/13,…,12/13等的余數(shù)，并將其列出，下圖三為計算1/7,1/13和2/13的長除法（Lichtenberg,1978）的算式。0.1428570.0769230.153846\100000'.100000■■.2000007131131，?—711/—911_3309070287865201205014117396030110562610440406045395250180497812圖二：長除法（二）觀察異同與推論由圖二1/7的算式，可看出分?jǐn)?shù)1/7經(jīng)由長除法得余數(shù)1,3,2,6,4和5,當(dāng)余數(shù)1與被除數(shù)1相同時，表計算結(jié)束因?yàn)樵儆嬎阆氯a(chǎn)生相同的商與余數(shù)。其它分母為七的分?jǐn)?shù)2/7,3/7,4/7,5/7和6/7,經(jīng)長除法求得的余數(shù)與1/7相同。由圖二1/13和2/13的長除法的算式可看出分?jǐn)?shù)1/13經(jīng)由長除法得余數(shù)1,10,9,12,3和4,當(dāng)余數(shù)1與被除數(shù)1相同時，表計算結(jié)束，但是余數(shù)只有六個，少了余數(shù)2,5,6,7,8,和11。而分?jǐn)?shù)2/13經(jīng)由長除法得余數(shù)2,7,5,11,6和8當(dāng)余數(shù)2與被除數(shù)2相同時，表計算結(jié)束，而余數(shù)也是只有六個，少了余數(shù)1,10,9,12,3和4。其它分母為13的真分?jǐn)?shù)，經(jīng)長除法求得的余數(shù)分成兩組，一組余數(shù)與1/13同另一組與2/13同，兩組答案的聯(lián)集為一組12個數(shù)字為1~12的余數(shù)集合。（三）結(jié)論循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)的長度與經(jīng)由長除法所產(chǎn)生的余數(shù)個數(shù)有關(guān)。分母為七的真分?jǐn)?shù)的循環(huán)節(jié)長度與余數(shù)個數(shù)相同，為7-1=6。分母為十三的真分?jǐn)?shù)的循環(huán)節(jié)長度與余數(shù)個數(shù)不相同，但分成兩組，兩組的余數(shù)個數(shù)6均為余數(shù)13-1=12的一半，亦即2x6=12,滿足與余數(shù)相同的概念。三、循環(huán)小數(shù)學(xué)習(xí)活動三：循環(huán)節(jié)長度的決定（一）思考問題：由前一節(jié)活動的結(jié)論可知，循環(huán)節(jié)的長度與余數(shù)個數(shù)相同，例如質(zhì)因子7,或可由不同的循環(huán)節(jié)2個組成與余數(shù)12個數(shù)相同，例如質(zhì)因子13,但是為何13的循環(huán)節(jié)長度為6而不是其它數(shù)字呢？這是個值得探討的問題。

（二）呈現(xiàn)例題：觀察以下幾個循環(huán)小數(shù)的結(jié)果，顯示無限循環(huán)小數(shù)轉(zhuǎn)為分?jǐn)?shù)，未化為最簡分?jǐn)?shù)前，分母全是由數(shù)字9組成，為什么？0.142857142857142857…=142957/999999=1/70.0024570.142857142857142857…=142957/999999=1/70.002457002457002457…0.149877149877149877…=2457/999999=1/407=149877/999999=61/4070.135135135135135135…0.135135135135135…=135135/999999=55/407=5/37=135/999=5/37（三）活動二：將無限循環(huán)小數(shù)N=0.358974轉(zhuǎn)為分?jǐn)?shù)。（四）觀察異同與推論幾個數(shù)字的循環(huán)節(jié)就會產(chǎn)生幾個分母中的9,可是這項(xiàng)推論正確嗎？請觀察下列計算器將分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)為無限循環(huán)小數(shù)的結(jié)果。b-3-33333333333E1/9miiiiin1/110.09090909091段網(wǎng)熊遂遂凌魅HOME箴魅遂凌綴鐮籍1.--370.0270270270836--379.972972972971-101U.0099009901E1x4070.002457092-M。.汕914。明瀏4M/4B76.99754295754405,407磯99巽海笑g圖三：循環(huán)節(jié)的長度（五）結(jié)論由圖三循環(huán)節(jié)的長度中的數(shù)值，可看出小數(shù)的循環(huán)節(jié)的長度與分子無關(guān)，與分母為全含數(shù)字九的因子有關(guān)循環(huán)節(jié)的長度是能使分母q整除數(shù)字10k-1的最小的k值。例如，分母為3或9,循環(huán)節(jié)的長度是一位數(shù)字，因?yàn)闉?或9均可整除9=101-1，最小的k值為一。分母為11，循環(huán)節(jié)的長度是二位數(shù)字，因?yàn)闉?1可整除99=102-1，最小的k值為二，99可以被11整除或1/11=9/99。分母為37，循環(huán)節(jié)的長度是三位數(shù)字，因?yàn)闉?7可整除999=103-1，999可以被37整除或1/37=27/999，雖然37可以整除999,999999或99999999，但是需要的循環(huán)節(jié)長度是最小可整除全是9的數(shù)字而999含9的個數(shù)為3是最小的個數(shù)最小的k值為三。分母為101循環(huán)節(jié)的長度是四位數(shù)字，因?yàn)闉?01可整除9999=104-1,最小的k值為四|。分母為41而41可整除99999或1/41=2439/999999有五個，故1/41的循環(huán)節(jié)為5。1/7的循環(huán)節(jié)為6，因?yàn)?99999可以被7整除或1/7=142857/999999。圖四：質(zhì)因子的倍數(shù)圖四：質(zhì)因子的倍數(shù)將無限循環(huán)小數(shù)N=0.頑祈轉(zhuǎn)為分?jǐn)?shù)。解：令N=0.358974358974358974358974(1)1000000N=358974.358974358974358974(2)-(1)999999N=358974-358974.?N=999999經(jīng)整理在計算器的最大容量范圍內(nèi)，求出質(zhì)因子的倍數(shù)是全有數(shù)碼九所組成的數(shù)字，列表如下。表二：由不同個數(shù)的9組成的數(shù)字的質(zhì)因子分解式數(shù)字全是9質(zhì)因子分解式9329932X1199933x37999932X11X1019999932X41X27199999933X7X11X13X37999999932X239X46499999999932X11X73X101X13799999999934X37X333667999999999932X11X41X271X909199999999999(2-3-3-5-11-41-271-9091錯誤值)因計算器程序會產(chǎn)生四舍五入的誤差值，無法給予正確因子分解32X21649X513239（正確值）99999999999932X7X11X13X37X101X9901四、循環(huán)小數(shù)學(xué)習(xí)活動四：質(zhì)數(shù)分母與合數(shù)分母的循環(huán)節(jié)長度的關(guān)系（一）呈現(xiàn)例題、觀察異同與推理觀察將分?jǐn)?shù)分母為數(shù)字二十以內(nèi)的小數(shù)展開式分類并將小數(shù)分類i）小數(shù)的種類ii）循環(huán)節(jié)的長度iii）延遲數(shù)的個數(shù)，填入下表三：觀察圖一循環(huán)小數(shù)類型，第三類分?jǐn)?shù)為1/12,1/14,1/15,及1/18等混和循環(huán)小數(shù)中，分母質(zhì)因子分解式2與5的最高次方，再比較延遲數(shù)的個數(shù)，找出兩者的關(guān)系。觀察圖一第三類分?jǐn)?shù)為1/12,1/14,1/15,及1/18等混和循環(huán)小數(shù)中，在分母的質(zhì)因子分解式中，利用含非2與5的質(zhì)因子的循環(huán)節(jié)長度，求一個、二個或多個質(zhì)因子循環(huán)節(jié)長度的最小公倍數(shù)，比較此公倍數(shù)與混和循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)，找出兩者的關(guān)系。（二）結(jié)論1.分母質(zhì)因子分解式2與5的最高次方，與延遲數(shù)的個數(shù)相同，例如1/12=0.082

的延遲數(shù)字為2,分母12的質(zhì)因子分解式：12=22X3中質(zhì)因子2的最高次方亦為2。分母的質(zhì)因子分解式中，利用含非2與5的質(zhì)因子的循環(huán)節(jié)長度，求一個、二個或多個質(zhì)因子循環(huán)節(jié)長度的最小公倍數(shù)，此公倍數(shù)與混和循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)兩者的關(guān)系亦相同。例如1/14=0.0714285分母14的質(zhì)因子分解式：14=2X7中質(zhì)因子7的循環(huán)節(jié)為6,1/14的循環(huán)節(jié)亦為6,又因此分解式中有質(zhì)因子2,而其次方為1，固有延遲數(shù)為1。結(jié)論填入表三表三：單位分?jǐn)?shù)分母為數(shù)字二十以內(nèi)的小數(shù)展開式K刀母小數(shù)展開式小數(shù)類型：T表有限、P表循環(huán)、M表混和，數(shù)字表延遲數(shù)及循環(huán)節(jié)長度2%=0.5T（有限）:1（小數(shù)個數(shù)）31/3=0.3P（循環(huán)）：1（循環(huán)節(jié)長度）4%=0.25T:251/5=0.2T:161/6=0.16M（混和）:1,1（延遲數(shù)及循環(huán)節(jié)）71/7=0.142857P:681/8=0.125T:391/9=0.1P:1101/10=0.1T:1111/11=0.09P:2121/12=0.083M:2,1131/13=0.076923P:6141/14=0.0714285M:1,6151/15=0.06-M:1,1161/16=0.0625T:4171/17=0.0588235294117647P:16181/18=0.05-M:1,1191/19=0.052631578947368421P:18201/20=0.05T:2五、循環(huán)小數(shù)學(xué)習(xí)活動五：計算器求循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)長度提供以下范例讓學(xué)生可利用最簡單、便宜的八位的計算器，自由探討任意真分?jǐn)?shù)的小數(shù)類型與循環(huán)節(jié)的長度，求解步驟如下：（一）了解電算器：若要找出分?jǐn)?shù)N/D的小數(shù)表征，需要知道電算器的顯示數(shù)字的個數(shù)是幾位。例如：求分?jǐn)?shù)7/23之小數(shù)循環(huán)節(jié)，使用一個呈現(xiàn)八位數(shù)字的電算器，則令分子N=7，分母D=23，對任意數(shù)字A而言，令#（A）表數(shù)字A的位數(shù)，例如，23是二位數(shù)字#（23）=2，且#（.123456789012）=12。令B=#（電算器顯示數(shù)字C的個數(shù)）-#（分母D的個數(shù)）。若要知道#C電算器顯示數(shù)字的個數(shù)，只需輸入數(shù)字123456789012并數(shù)幾位即可。圖十：電算器的呈現(xiàn)數(shù)字位數(shù)（此電算器的呈現(xiàn)數(shù)字的位數(shù)為12）4.B=#（電算器的呈現(xiàn)數(shù)字的位數(shù)C）-#（D）=12-2=10。（二）紀(jì)錄分子除以分母產(chǎn)生的小數(shù)值，需依B長度區(qū)塊做紀(jì)錄。經(jīng)過起始的紀(jì)錄，小數(shù)點(diǎn)前的數(shù)字依是否為真分?jǐn)?shù)來決定（N是否大于D）；（1）若N<D，則起始于記錄為0。（2）若N>D，則將假分?jǐn)?shù)N/D轉(zhuǎn)變?yōu)榛旌戏謹(jǐn)?shù)a+號'，然后記錄起始數(shù)字a，再執(zhí)行運(yùn)算過程。范例：若分?jǐn)?shù)是40/23,則起始記錄為整數(shù)1，求小數(shù)點(diǎn)后分?jǐn)?shù)17/23的循環(huán)節(jié)，因?yàn)樗?1+17。2323過程步驟步驟一：記錄N/D的起始數(shù)字。步驟二：清除電算器內(nèi)部或外部任何記憶內(nèi)容。步驟三：計算N-D之值，例如：17-23=0.739130434783。步驟四：配合電算器的顯示個數(shù)，如果B=12-2=10，則下一個該記錄的B區(qū)塊數(shù)字為0.7391304347。步驟五：判斷若未觀察出任何循環(huán)數(shù)值的跡象，表仍需求更多的小數(shù)表征，則繼續(xù)執(zhí)行步驟六，否則就表示循環(huán)節(jié)已求出，結(jié)束運(yùn)算算則。步驟六：清除電算器。步驟七：小數(shù)點(diǎn)后輸入步驟四的B區(qū)塊數(shù)字，例：輸入.7391304347。步驟八：乘以分母D，例如，7391304347X23=16.9999999981。步驟九：求N-16.9999999981（步驟八的結(jié)果）的差值。例如：17-16.9999999981=0.0000000019步驟十：將步驟十的結(jié)果改為整數(shù)，小數(shù)點(diǎn)后向右移動B位（或乘以10的B次方），得整數(shù)19。步驟十一：將步驟十所得整數(shù)當(dāng)成新的分子，然后重新執(zhí)行步驟二及其它過程。第一次回路：求下一個分?jǐn)?shù)19/23的商，需重復(fù)步驟二至十一：步驟二：清除電算器內(nèi)部或外部任何記憶內(nèi)容。步驟三：計算N-D之值，現(xiàn)在N=19,19-23=0.826086956522。步驟四：記錄新求出的數(shù)字，現(xiàn)17/23為0.73913043478260869565。步驟五：仍未能看出循環(huán)數(shù)字的跡象，決定需更多小數(shù)，繼續(xù)步驟六。步驟六：清除電算器。步驟七：輸入.8260869565。步驟八：乘以分母D，例如，.8260869565X23=18.9999999995。步驟九：求差值：N-（步驟八結(jié)果）19-18.9999999995=0.0000000005。步驟十：將小數(shù)點(diǎn)向右移動B區(qū)塊（或乘以10的B次方），得整數(shù)5。步驟十一：重新訂定N=5，轉(zhuǎn)回步驟二至十一如下：第二次計算回路步驟二：清除電算器內(nèi)部或外部任何記憶內(nèi)容。步驟三：計算5-23=0.217391304348。順意醐需牒"-——

4.999959.卻73機(jī)：S加g鬢四?就11步驟四：紀(jì)錄增加17/23為0.73913043478260869565217391304348。步驟五:決定繼續(xù)或終止，一日立的循環(huán)節(jié)清晰可知，算則即可終止，因、23為23為質(zhì)數(shù)而質(zhì)數(shù)的最長循環(huán)節(jié)為P-1=23-1=22，而小數(shù)值到達(dá)22位數(shù)時，以看見重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字，故終止運(yùn)算算則。肆、循環(huán)小數(shù)學(xué)習(xí)活動啟發(fā)出數(shù)論概念一、兩整數(shù)a與b稱為對n同余（Congruentforthemodulusn），當(dāng)兩數(shù)之差a-b可被n整除，符號記為aM?（modn）。

練習(xí)一：數(shù)字1與8對數(shù)字7而言是同余，因此1/7=0.142857與8/7=1.142857除了整數(shù)部分不同外，均有相同的小數(shù)循環(huán)節(jié)。二、若q為質(zhì)數(shù)，則循環(huán)節(jié)的長度是(q-1)的因子(Price,2004;Lady,2004)。練習(xí)二：13為質(zhì)數(shù)，則循環(huán)節(jié)的長度是(13-1)的因子嗎？已知質(zhì)數(shù)13的循環(huán)節(jié)的長度是6,而6是13-1=12的因子。三、對任一分母q而言，若其能化為為質(zhì)因子分解式p：1Xp；2…，則循環(huán)節(jié)的長度是蟲q)=(p-1)pa1-1X(p-1)Pa2-1X...的因子。12練習(xí)三：1求91的循環(huán)節(jié)的長度。解：因?yàn)?1可分解為91=7X13，故需求7與13的循環(huán)節(jié)長度，7的循環(huán)節(jié)長度為屯7)=6，而13的循環(huán)節(jié)長度為巾(13)=6，因此兩循環(huán)節(jié)的長度的最小公倍數(shù)是LCM(《7)=6,衣13)=6)=6。練習(xí)四：：探討3的次方的循環(huán)節(jié)的長度。解：太練習(xí)四：：探討3的次方的循環(huán)節(jié)的長度。解：太3)=1太9)=1太27)=3太81)=9巾243)=271Z243計算器無法顯示所有的循環(huán)節(jié)數(shù)字可利用活動五的方法求循環(huán)節(jié)或可利用計算機(jī)程序，得1/243=0.004115226337448559670781893的循環(huán)節(jié)長度為27。能由1/3,1/8,1/27,1/81,1/243推論1/729的循環(huán)節(jié)長度嗎？能推論1/3n的循環(huán)節(jié)長度嗎？《3)=1《9=32)=30衣27=33)=31衣81=34)=9=32《243)=27=33...《3〃)=3n-2四、%與q2最小公倍數(shù)的循環(huán)節(jié)長度是兩循環(huán)節(jié)長度的最小公倍數(shù)。練習(xí)五：求9997的循環(huán)節(jié)的長度。解：因?yàn)?997可因子分解為9997=13X769，故9997的循環(huán)節(jié)長度應(yīng)為12X768=9216的因子，利用計算機(jī)求出769重復(fù)的數(shù)字的循環(huán)節(jié)為192，1/769=0.001300390117035110533159947984395318595578673602080624187256176853055916775032509752925877763328998699609882964889466840052015604681404421326397919375812743823146944083224967490247074122236671。已知*13)=6同時也求出*769)=192，因此13的循環(huán)節(jié)長度為6，而769的循環(huán)節(jié)長度為192,因此兩循環(huán)節(jié)的長度的最小公倍數(shù)LCM(6,192)=192。1/9997=0.000100030009002700810243072921876562968890667200160048014404321296388916675002500750225067520256076823046914074222266680004001200360108032409722916875062518755626688006401920576172851855556667,事實(shí)上此循環(huán)節(jié)的長度是192。

五、若p是質(zhì)數(shù)且1/p的循環(huán)節(jié)長度為k,則1/p會有二個長度為k的不同循環(huán)節(jié);k若循環(huán)數(shù)字為m，則其乘積mp會有k個九。練習(xí)六：探討1/41循環(huán)節(jié)長度k為何？有幾個長度為k的不同循環(huán)節(jié)？解：海4判2

10000-4H24S由上計算器的顯示可看出1/41的循環(huán)節(jié)長度為k=5而根據(jù)同余概念可求出對應(yīng)余數(shù)分別為1,10,18,16和37等五個，因此質(zhì)因子41會對應(yīng)虹1=8個不5同的循環(huán)節(jié)，因無余數(shù)2,可用計算器求解對應(yīng)余數(shù)分別為2,20,36,32和33等五個。同理可求出其它的循環(huán)節(jié)，對應(yīng)的余數(shù)分別為余數(shù)3開始的3,30,13,7和29；對應(yīng)的余數(shù)分別為余數(shù)4開始的4,40,31,23和25；對應(yīng)的余數(shù)分別為余數(shù)5開始的5,9,8,39和21；對應(yīng)的余數(shù)分別為余數(shù)6開始的6,19,26,14和17；對應(yīng)的余數(shù)分別為余數(shù)11開始的11,28,34,12和38；對應(yīng)的余數(shù)分別為余數(shù)15開始的15,27,24,35和22。練習(xí)七：探討1/41循環(huán)節(jié)數(shù)值為何？若循環(huán)數(shù)字為m，則其乘積mp會有幾個九。解：由練習(xí)六可知循環(huán)節(jié)長度為5，1-41=0.02439且2439X41=99999。故得知乘積會有五個九。伍、由數(shù)論引出之循環(huán)小數(shù)趣味游戲一、圓形排列：活動一的后續(xù)發(fā)展分?jǐn)?shù)1/7的小數(shù)展開式的循環(huán)節(jié)數(shù)字可以形成環(huán)狀，以順時鐘方向旋轉(zhuǎn)，立刻可以看出無限循環(huán)的可能性。首先將分1/7,2/7,3/7,4/7,5/7,與6/7一一列出如下，比較組成循環(huán)節(jié)數(shù)字的同異處。

1/7=0.1428574/7=0.5714282/7=0.2857145/7=0.7142853/7=0.42857161/7=0.1428574/7=0.5714282/7=0.2857145/7=0.7142853/7=0.4285716/7=0.8571421X142857=1428572x142857=2857143X142857=4285711X142857=1428572x142857=2857143X142857=4285714x142857=5714285X142857=7142856X142857=85714222/2/7學(xué)生的第三個發(fā)現(xiàn)是兩分?jǐn)?shù)1/7+6/7相加的和是一，而循環(huán)小數(shù)部分的和卻是數(shù)字九的無限循環(huán)，因此兩者不同表征，數(shù)值是否相同，「0.99999.....=1」是否相等的敘述受到熱烈的討論。+6=0.142857+0.857142=0.99999977+5=0.285714+0.714285=0.99999977+4=0.4285+0.571428=0.9977學(xué)生的第四個發(fā)現(xiàn)是組成數(shù)字1,4,2,8,5與7形成環(huán)狀排列(Seydel,1979;Lady,2004)如下圖五所示：1/7=.142857....15/74/756/7圖五：1/7的圓形排列學(xué)生的第五個發(fā)現(xiàn)是在圓形排列中，除了可看出對應(yīng)圓環(huán)外的分?jǐn)?shù)和為一，且對應(yīng)圓環(huán)外的小數(shù)和為九，分子大于7的數(shù)字化為帶分?jǐn)?shù)之后，依順時鐘產(chǎn)生相同小數(shù)數(shù)碼，再一次驗(yàn)證modn的概念。圖六：分母為七的帶分?jǐn)?shù)之小數(shù)異同

學(xué)生的第六個發(fā)現(xiàn)是圖五環(huán)狀排列分?jǐn)?shù)出現(xiàn)的次序，與活動二的長除法求余數(shù)時，余數(shù)的次序相同，為什么呢？有了以上的發(fā)現(xiàn)，小數(shù)變的沒那么枯燥乏味，而是更有創(chuàng)意與巧思。二、圓內(nèi)數(shù)字與圓外分?jǐn)?shù)的再探討活動一：圖五小數(shù)點(diǎn)依順時鐘方向移動，就會形成另一個同分母分?jǐn)?shù)的循環(huán)小數(shù)，令a表圈內(nèi)的小數(shù)點(diǎn)后的數(shù)字，令n/7表a所對應(yīng)圈外的分?jǐn)?shù)，若將小數(shù)點(diǎn)移動a180°，此時小數(shù)點(diǎn)后的數(shù)字令為b，令nb/7表b所對應(yīng)圈外的分?jǐn)?shù)，則觀察下列數(shù)值為何？a+b=?若a=1小數(shù)點(diǎn)移動180°后會落在數(shù)字b=8前此二數(shù)之和1+8會等于9(Price,2004).若a=4小數(shù)點(diǎn)移動180°后會落在數(shù)字b=5前，此二數(shù)之和4+5會等于9.若a=2小數(shù)點(diǎn)移動180°后會落在數(shù)字b=7前，此二數(shù)之和2+7會等于9.na+nb=?若a=1對應(yīng)圈外的分?jǐn)?shù)na/7=1/7，小數(shù)點(diǎn)移動180°后數(shù)字b=8對應(yīng)圈外的分?jǐn)?shù)nb/7=6/7前此二數(shù)之和na+nb=1+6=7.若a=4對應(yīng)圈外的分?jǐn)?shù)na/7=3/7，小數(shù)點(diǎn)移動180°后數(shù)字b=5對應(yīng)圈外的分?jǐn)?shù)nb/7=4/7前此二數(shù)之和na+nb=3+4=7.若a=2對應(yīng)圈外的分?jǐn)?shù)na/7=2/7，小數(shù)點(diǎn)移動180°后數(shù)字b=7對應(yīng)圈外的分?jǐn)?shù)nb/7=5/7前此二數(shù)之和na+nb=2+5=7.活動二：若環(huán)狀是由分母為13的分?jǐn)?shù)組成，則前述兩個問題是否仍然成立？分母為13的分?jǐn)?shù)，有幾個環(huán)狀排列？為什么？活動三：令p表分?jǐn)?shù)的分母，若將小數(shù)點(diǎn)移動120°，令a表圈內(nèi)的小數(shù)點(diǎn)后的第一數(shù)字，令na/p表a所對應(yīng)圈外的分?jǐn)?shù)，令為b表圈內(nèi)的小數(shù)點(diǎn)移動后的第二數(shù)字，nb/p表b所對應(yīng)圈外的分?jǐn)?shù)，令。表圈內(nèi)的小數(shù)點(diǎn)后的第三數(shù)字，nc/p表c所對應(yīng)圈外的分?jǐn)?shù)，則觀察下列數(shù)值為何？a+b+c=?na+nb+nc=?三、若已知某分?jǐn)?shù)的環(huán)狀排列循環(huán)小數(shù)展開式，可求其環(huán)內(nèi)數(shù)值對應(yīng)的環(huán)外分?jǐn)?shù)嗎？若循環(huán)節(jié)的長度為奇數(shù)時，則小數(shù)點(diǎn)移動180°與120°上述結(jié)果仍成立嗎？

1/13=.076923100000/13=4/1310000/13=3/1310/13100/13=9/131000/13=12/13圖七：1/13的圓形排列1/13=.07692310/13100/13=9/13圖八：1/13的循環(huán)小數(shù)之排列發(fā)現(xiàn)一：若依順時鐘移動小數(shù)點(diǎn)一位，則兩位分?jǐn)?shù)分子na與％關(guān)系是nb=10na(modp)(Ore,1948)。例如na/13=1/13=0.076923…，則nb=1*10=10ib/13=10/13=0.769230…。例如nb=10,則nc=10*nb=100=(7*13)+9三9(mod13),而9/13=0.692307…，依此類推可找出對應(yīng)移動環(huán)內(nèi)1/13小數(shù)點(diǎn)位置的環(huán)外分圖八：1/13的循環(huán)小數(shù)之排列發(fā)現(xiàn)二：若循環(huán)小數(shù)的長度是奇數(shù)，且為3的倍數(shù)，則小數(shù)點(diǎn)可作120°移動但是無法作180°移動。發(fā)現(xiàn)三：質(zhì)數(shù)分母13的循環(huán)節(jié)長度為6，6可整除(13-1)=12，且12/6=2，故分母為13的循環(huán)節(jié)有兩個，每個循環(huán)節(jié)的長度為6。陸、結(jié)語小數(shù)教學(xué)一直是停留在四則運(yùn)算與比較大小的計算方面，有了科技的幫助，學(xué)生可以揭開循環(huán)小數(shù)的面貌，了解循環(huán)小數(shù)的基本原理，對數(shù)概念有進(jìn)一步的認(rèn)知，最重要的是科技與學(xué)校教學(xué)只提供一個方法，讓學(xué)生對無限循環(huán)小數(shù)這個耐人玩味的數(shù)學(xué)概念，也能像古代數(shù)學(xué)家一樣勇于追求，借著現(xiàn)代的科技輔助，發(fā)現(xiàn)出很多「數(shù)論」中的定理定義，認(rèn)識循環(huán)小數(shù)之淵博，本文僅能介紹作者設(shè)計出的幾個活動，讓學(xué)生從事無限循環(huán)小數(shù)的有趣的發(fā)現(xiàn)，利用計算器或計算機(jī)探討循環(huán)小數(shù)也只是井中觀天，因?yàn)閿?shù)論的海闊天空，非有限制的計算器或計算機(jī)能一覽無遺的，但是這已經(jīng)能讓抽象的「數(shù)論」概念中的定理定義，變的易懂易學(xué)。最重要的是讓過去學(xué)過的數(shù)學(xué)知識得以發(fā)揮，讓數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)具有意義，讓數(shù)學(xué)概念得以向高階數(shù)學(xué)概念挑戰(zhàn)，讓連結(jié)性、發(fā)展性、擴(kuò)張性、例行性及重建性的學(xué)習(xí)理念，從數(shù)學(xué)概念由哪里來往哪里去，將已知的概念去發(fā)展未知的知識，除了水平的發(fā)展外，仍可擴(kuò)張為垂直的發(fā)展，了解哪些數(shù)學(xué)知識是例行必須的，哪些是偶而才會需要的，最后藉既有數(shù)學(xué)知識，去了解而能建構(gòu)出新的知識，或在既有的架構(gòu)下，往深與廣面再建或重建數(shù)學(xué)新知識。柒、參考書籍英文參考書籍Devi,S.(1977).Figuring:TheJoyofNumbers.Harper&Row,Publishers:NewYork.Irwin,K.(2001).Usingeverydayknowledgeofdecimaltoenhanceunderstanding.JournalforresearchinMathematicsEducation,vol.,32,no.,4,p.399-420.Kaprekar,D.R.(1948).DemloNumbers.PriceRupeesSix.Lee,B.(2005).Repeatingdecimalshowdotheyrepeat?PaperpresentedatNCTMAnnualMeeting.Lady,E.L.(2004).ThePeriodforthedecimalexpansionofafraction.Lecturepaperfromtheauthor.Lichtenberg,D.R.(1978).Mini-calculatorsandrepeatingdecimals.MathematicsTeacher,p.524-530.Maxfield,J.E.