2.振動(dòng)和波考試重點(diǎn)和習(xí)題答案

第八章振動(dòng)和波下面重點(diǎn)要考試內(nèi)容：1.掌握簡諧振動(dòng)的基本概念、簡諧振動(dòng)的余弦表達(dá)式2.掌握旋轉(zhuǎn)矢量表示法、振幅、相位概念、掌握振動(dòng)能量的公式3.掌握同方向同頻率諧振動(dòng)的合成4.掌握平面簡諧波的表達(dá)式及其意義、掌握波的能流密度和波的干涉5.理解機(jī)械波的產(chǎn)生和傳播、惠更斯原理、波的衰減;；理解拍、相互垂直諧振動(dòng)的合成8-1試解釋下列名詞:簡諧振動(dòng)、振幅、頻譜分析、基頻、頻譜圖、波動(dòng)、橫波、縱波、波陣面、波的強(qiáng)度。答:①簡諧振動(dòng):質(zhì)點(diǎn)在彈性力（或準(zhǔn)彈性力）作用下所作的振動(dòng)叫簡諧振動(dòng)，其加速度與離開平衡位置的位移成正比，且方向相反。②振幅:振動(dòng)物體離開平衡位置的最大距離稱為振幅。頻③譜分析④基頻:一個(gè)復(fù)雜的振動(dòng)可以分解低的頻率，它與原振動(dòng)的頻率相同。⑤頻譜圖:將組成一個(gè)復(fù)雜振動(dòng)的各分振動(dòng)的頻率和振幅找出來，按振幅與頻率關(guān)系列出譜線，這種圖稱為頻譜圖。⑥波動(dòng):振動(dòng)在介質(zhì)中的傳播現(xiàn)象叫波動(dòng)中簡諧振動(dòng)在介質(zhì)中傳播所形成的波時(shí)，如果介質(zhì)中各質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的方向與波的傳播方向垂直，則該波叫:將任一周期性振動(dòng)分解為多個(gè)簡諧振動(dòng)之和的過程，稱為頻譜分析。為若干個(gè)頻率不同的簡諧振動(dòng)之和，這些分振動(dòng)頻率中最稱為基頻，它也是一種重要的能量傳播過程。其叫簡諧波。⑦橫波:波在介質(zhì)中傳播做橫波。⑧縱波⑨波陣面:在波傳播的⑩波的強(qiáng)度:單位時(shí)間內(nèi)通過垂直:如果介質(zhì)中各質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的方向介質(zhì)中，質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)相位相同的于波的傳播方向單位面積上的平與波的傳播方向相互平行，則這種波稱為縱波。各點(diǎn)連成的面均能量稱為波陣面。，稱為波的強(qiáng)度。8-2有一質(zhì)點(diǎn)作簡諧振動(dòng)，試分析它在下列位大小和方向:①置時(shí)的位移、速度、加速度的平衡位置，向正方向運(yùn)動(dòng);②平負(fù)方向運(yùn)動(dòng);正③方向的端點(diǎn);④負(fù)方向的端點(diǎn)。衡位置，向解:設(shè)該質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程為:xAcos(t)將它對(duì)時(shí)間t分別求一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)，可得到速度v和加速度a的表達(dá)式:dxAsin(t)Acos(tvdt)2dx2adt2A2cos(t)A2cos(t)由此可以看出，速度的相位超前位移，加速度2與位移的相位相反。下面根據(jù)上面三式來回答本題中的四個(gè)問題。①質(zhì)點(diǎn)在平衡位置，向正方向運(yùn)動(dòng)時(shí):x=0，v=Aω，a=0②質(zhì)點(diǎn)在平衡位置，向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)時(shí):x=0，v=-Aω，a=0③質(zhì)點(diǎn)在正方向的端點(diǎn)時(shí):x=A，v=0，a=-Aω2④質(zhì)點(diǎn)在負(fù)方向的端點(diǎn)時(shí):x=-A，v=0，a=Aω28-3一個(gè)作簡諧振動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，在t=0時(shí)，離開平衡位置6cm處，速度為零，振動(dòng)周期為2s，求該簡諧振動(dòng)的位移、速度、加速度的表達(dá)式。解:根據(jù)題意，t=0時(shí)，質(zhì)點(diǎn)速度為零，離開平衡位置6cm，這說明該振動(dòng)的振幅為A=6cm，這時(shí)質(zhì)點(diǎn)可能位于平衡點(diǎn)右側(cè)6cm處，或位于平衡點(diǎn)左側(cè)6cm處。下面分這兩種情況進(jìn)行討論，設(shè)該振動(dòng)方程為:xAcos(t)（a）t=0，A=6cm，x=6cm代①第一種情況:位于平衡點(diǎn)右側(cè)6cm處，這時(shí)位移x=6cm，將入（a）式得66cos62，將解之得，=0。已知T=2秒，則A、ω、值代入（a）式可得第一種情況2的位移表達(dá)式為x6cost（cm）（b）再將（b）式對(duì)時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)，可分別得第一種情況的速度、加速度表達(dá)式dxv6sint（cm·s-1）dtdx26cost（cm·s2-2）adt2②第二種情況:位于平衡點(diǎn)左側(cè)6cm處，這時(shí)位移x=-6cm，將t=0，A=6cm，x=-6cm代入（a）式得-6=6cosφ=π，ω=π，A=6cm，代入（解之得，=π。已知a）式可得第二種情況的位移表達(dá)式x6cos(t)6cost（c）再將（c）式對(duì)時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)，可分別得第二種情況的速度、加速度表達(dá)式dxv6sint（cm·s-1）dtd2x62cost（cm·sadt-2）28-4兩個(gè)物體的位移為0.1m，另一位移各是多少?解:①已知A=0.1m，T=2s，則物體作簡諧振動(dòng)，它們的振幅相同、周期相同，分別是0.1m和2s，當(dāng)t=0時(shí)，一物體的位移為-0.1m，問兩者的相位差是多少?當(dāng)t=1s時(shí)，它們的ω=2πT=πrad·s-1，設(shè)它們的振動(dòng)方程分別為xAcos(t)（a）11xAcos(t)（b）22已知t=0時(shí)，x=0.1m，x2=-0.1m，則由（a）式和（b）式可得1x1=0.1cosφ1=0.1x2=0.1cosφ2=-0.1分別解上面兩式得φ=0，φ2=π，因此兩者的相位差φ-φ=π。兩振動(dòng)的方程分別為121x1=0.1cos（πt）（c）x2=0.1cos（πt+π）（d）②當(dāng)t=1s，由上面的（c）式和（d）式可得到它們的位移分別為x1=0.1cos（π+0）m=-0.1mx2=0.1cos（π+π）m=0.1m8-5兩個(gè)同頻率、同方向的簡諧振動(dòng)，周期為20ms，振幅分別為1.0cm和3.0cm，求;②當(dāng)兩者的相位差分別為0、π3、π2、π時(shí)，合振動(dòng)的振幅各是多少解:①由于是兩個(gè)同頻率、同方向的振動(dòng)合成，所以合振動(dòng)的頻率不變，即其圓頻率為:①兩者合振動(dòng)的圓頻率?23.142rad·s-10.0212T=100πrad·s-1≈314rad·s-1A1=1.0cm，A2=3.0cm，合振動(dòng)的振幅φ-φ有以下關(guān)系:②已知分振動(dòng)的振幅A與兩個(gè)分振動(dòng)的振幅A、1A2及相位差122AA2A22AAcos()12121當(dāng)相位差φ-φ=0時(shí)，兩個(gè)分振動(dòng)同相位，合振動(dòng)的振幅為21A=A1+A2=（1.0+3.0）cm=4.0cm3時(shí)，合振動(dòng)的振幅為當(dāng)相位差21A1232213cos()cm=13cm≈3.6cm3φ-φ=時(shí)，合振動(dòng)的振幅為212當(dāng)相位差A(yù)1232213cos()cm=10cm≈3.2cm2當(dāng)相位差φ-φ=π時(shí)，兩個(gè)分振動(dòng)相位相反，合振動(dòng)的振幅為21A=|A1-A2|=|1.0-3.0|cm=2.0cm8-6有三個(gè)同方向的簡諧振動(dòng)，它們的頻率分別為100Hz、200Hz、300Hz，問:①三者合成?②合振動(dòng)的周期是多少解:①由于分振動(dòng)的頻率不同，所以它們合成后將不是簡諧振動(dòng)。②合振動(dòng)的頻率為100Hz，后是否仍為簡諧振動(dòng)?1周期T=s=0.01s。1008-7彈簧振子作簡諧振動(dòng)時(shí)，若其振幅增為原來的兩倍，而頻率降為原來的一半，它們的能量怎樣改變?1答:彈簧振子作簡諧振動(dòng)時(shí)，其能量為Em2A2，若其振幅A增為原來的兩倍，而頻2率降為原來的一半，結(jié)果能量沒有改變。8-8什么叫阻尼振動(dòng)、受迫振動(dòng)、共振?在受迫振動(dòng)中振子受到哪三個(gè)力的作用?受迫振動(dòng)達(dá)到穩(wěn)定時(shí)有什么特點(diǎn)?答:①在振動(dòng)中，由于各種因素的影響，能量會(huì)減少，振幅也隨之減小，這種振幅隨時(shí)間而減小的振動(dòng)，稱為阻尼振動(dòng)。②振動(dòng)系統(tǒng)在周期性外力的持續(xù)作用下發(fā)生的振動(dòng)，叫做受迫振動(dòng)。在受迫振動(dòng)中，振子同時(shí)受到三個(gè)力的作用:彈性力、阻尼力、周期性外力。受迫振動(dòng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，振幅保持一定，如果外力是按簡諧運(yùn)動(dòng)規(guī)律變化，則穩(wěn)定后的受迫振動(dòng)也是簡諧振動(dòng)，且振動(dòng)頻率等于外力變化的頻率。③在受迫振動(dòng)中，當(dāng)周期性外力的頻率接近系統(tǒng)的固有頻率時(shí)，振動(dòng)的振幅急劇增大，這種現(xiàn)象叫做共振。8-9要產(chǎn)生機(jī)械波必須具備哪兩個(gè)條件?當(dāng)波動(dòng)在通過不中哪些會(huì)發(fā)生變化?哪些不會(huì)改變?答:①要產(chǎn)生機(jī)械波必須具備兩個(gè)條件:第一，要有作機(jī)械振動(dòng)的物體能夠傳播這種機(jī)械振動(dòng)的彈性介質(zhì)②當(dāng)波動(dòng)通過不同的介質(zhì)時(shí)，波長和波速會(huì)發(fā)生變化，而頻率不會(huì)改變。同介質(zhì)時(shí)，它的波長、頻率、速度，即波源;第二，要有。8-10已知波動(dòng)方程式y(tǒng)=Msin（bt-ax），試求該波的振幅、波速、頻率和波長。變換:解:先將題目給的波動(dòng)方程進(jìn)行axaxyMsin(btax)Msinb(t)Mcos[b(t)]（a）（b）bb2而波動(dòng)方程的用通形式為xyAcos(t)c將（a）式和（b）式比較可得bu振幅:A=M波速:ab2a頻率:f2波長:。yAcos2t，已知的簡諧波，在原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程為8-11有一沿X軸正方向傳播TA=0.02m，T=3s，波速u=2m·s-1。求:①波動(dòng)方程離原點(diǎn)5m處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程;③當(dāng)t=2.5s時(shí)，原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的位移;④當(dāng)t=2.5s時(shí)，在X軸正方向的位移。解:①已知A=0.02m，T=3s，則ω=2πT=2π3，根據(jù)題;②在X軸正方向離原點(diǎn)5m處質(zhì)點(diǎn)意，可得原點(diǎn)的振動(dòng)方程為223yAcost0.02costT已知波速c=2m·s，由上式可進(jìn)一步得到波動(dòng)方程為-12xy0.02cos(t)（1）32②已知x=5m，可得在X軸正方向離原點(diǎn)5m處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程為t53y0.02cos2(t5)0.02cos(2)3230.02cos(2t)33③已知在（1）式中，t=2.5s，x=0，則有5y0.02cos0.02cos(2)m=0.01m33④已知在（1）式中，t=2.5s，x=5m，有25y0.02cos(2.5)m=0.02m328-12在空氣中P點(diǎn)聲波的強(qiáng)度為2.0×105W·m-2，振動(dòng)幅度為2mm，空氣的密度為1.29kg·m-3，波速為344m·s-1。求:①聲波的波長;②P點(diǎn)的解:①求波長:已知I=2.0×10W·m，A=2mm=2×10m，ρ=1.29kg·m平均能量密度。5-2-3-3，由聲波強(qiáng)1度公式Iu2A2，可得角頻率ω22I22.01051.29344(2103)2rad·s-1uA2=1.5×104rad·s-1由ω=2πf，可得f=ω/2π=1.5×10/6.28=2.39×10Hz。由u=fλ，可得聲波的波長為m≈0.144m43u344f2.391031A22②求P點(diǎn)平均能量密度:比較平均能量密度公式w和波的強(qiáng)度公式2I1u2A2，可得P點(diǎn)的平均能量密度w為2I2.0105wJ·m-3≈581J·m-3u3448-13一物體作周期為0.005s的諧振動(dòng)，振度傳播的;②該波的強(qiáng)度幅為0.2cm，該振動(dòng)在空氣中形成以332m·s-1速密度為1.29kg·m。求①該平面波的波-3平面波（設(shè)波在傳播中無衰減），空氣的動(dòng)方程。22解:①波動(dòng)方程:已知T0.005=400πrad·s-1，A=0.2cm=2×10-3m，c=332m·s-1，則該平面波的波動(dòng)方程為yAcos(tx)2103cos400(tx)u332，將ω、A、u、值代入波的強(qiáng)度公式得②波的強(qiáng)度:又知=1.29kg·m-312AIu22=12×1.29×332×（400π）×（2×10-3）2W·m-22≈1351W·m-28-14已知波源O的振動(dòng)方程為y0.06cos9t（單位為m），以2m·s-1的無衰減地向x軸正方向傳播。求:①x=10m處的振動(dòng)方程;②10m處質(zhì)點(diǎn)與波源O的振動(dòng)相位差。解:①已知波源O的振動(dòng)方程為y0.06cos9t，則其振幅為A=0.06m，角頻率，9又知u=2m·s-1，則該波的波動(dòng)方程為s0.06cos9(tx)2由它可得x=10m處的質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方程為y0.06cos9(t5)）②由上式和波源的振動(dòng)方程可得波源O與x=10m處質(zhì)點(diǎn)的相位差為5t9(t5)99x)cm，求在波線上x等于一個(gè)波長處的8-15設(shè)某列波的波動(dòng)方程為y10sin10(t100質(zhì)點(diǎn)位移方程。解:由本題的波動(dòng)方程可知ω=10π，f=5Hz，u=100cm·s-1，由u=fλ可得波長為u100cm=20cmf5在x=λ=20cm處的質(zhì)點(diǎn)位移方程為y10sin10(t1)10sin(10t2)=10sin10πt（cm）58-16什么叫波的干涉、相干波?初相位相同的兩列相干波發(fā)生干涉時(shí)，合振動(dòng)的振幅什么時(shí)候最大?什么時(shí)候最小?答:①當(dāng)頻率相同、振動(dòng)方向相同、相位相同或相位差恒定的兩列波在空間相遇時(shí)，使得某些點(diǎn)的振動(dòng)始終加強(qiáng)，而另一些點(diǎn)的振動(dòng)始終減弱或完全抵消，這種現(xiàn)象叫做波的干涉。能產(chǎn)生干涉現(xiàn)象的兩列波叫做相干波。②初相位相同的兩列相干波發(fā)生干涉時(shí)，如果兩波的波程差等于半波長的偶數(shù)倍（或波長的整數(shù)倍），則合振動(dòng)的振幅最大;如果波程差等于半波長的奇數(shù)倍，則合振動(dòng)的振幅最小。8-17O1和O2是兩個(gè)同方向、同頻率、同相位、同振幅的波源所在處，設(shè)它們?cè)诮橘|(zhì)中產(chǎn)生的波列的波長為λ，O1、O2之間的距離為1.5λ，P是O1、O2線連上O2點(diǎn)外側(cè)的任意點(diǎn)。求:①O1、O2兩點(diǎn)發(fā)出的波到達(dá)P點(diǎn)時(shí)的相位差;②P點(diǎn)的振幅。解:1.5λxO1O2PX習(xí)題8-17附圖①已知，A1=A2=A，ω1=ω2=ω，1=2=，設(shè)P點(diǎn)到O2的距離為x，那么O1到P