微積分上課件6-1微分中值定理

定義函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點稱為極值點.一、羅爾(Rolle)定理費馬引理

費馬Fermat,(法)1601-1665有定義,如果對有那么證對于有內(nèi)的某鄰域在點設(shè)函數(shù))()(00xUxxf,)(0存在且xf￠

由極限的保號性

函數(shù)的駐點(Stationarypoint),穩(wěn)定點,臨界點(Criticalpoint).例如,點擊圖片任意處播放\暫停物理解釋:變速直線運動在折返點處,瞬時速度等于零.幾何解釋:證注意:若羅爾定理的三個條件中有一個不滿足,其結(jié)論可能不成立.例如,又例如,例證(1)(2)定理的假設(shè)條件滿足結(jié)論正確驗證羅爾定理的正確性.羅爾定理肯定了的存在性,一般沒必要知道究竟等于什么數(shù),只要知道存在即可.,)2,1(內(nèi)可導在-例證由介值定理即為方程的小于1的正實根.矛盾,例試證方程分析注意到:證設(shè)且

羅爾定理即試證方程二、拉格朗日(Lagrange)中值定理幾何解釋:證法一分析:弦AB方程為作輔助函數(shù)拉格朗日中值公式證法二:分析定理的結(jié)論就轉(zhuǎn)化為函數(shù)化為羅爾定理.利用逆向思維找出一個滿足羅爾定理條件的函數(shù).證作輔助函數(shù)由此得且易知拉格朗日中值定理又稱有限增量定理.拉格朗日中值公式又稱有限增量公式.微分中值定理它表明了函數(shù)在兩點處的函數(shù)值的單調(diào)性及某些等式與不等式的證明.在微分學中占有極重要的地位.與導數(shù)間的關(guān)系.今后要多次用到它.尤其可利用它研究函數(shù)定理6.1證有由條件,即在區(qū)間I中任意兩點的函數(shù)值都相等,所以,例證例證

如果f(x)在某區(qū)間上可導,要分析函數(shù)在該區(qū)間上任意兩點的函數(shù)值有何關(guān)系,通常就想到微分中值定理.記利用微分中值定理,得例證由上式得三、柯西(Cauchy)中值定理幾何解釋:證作輔助函數(shù)這兩個錯!柯西中值定理(1)(2)使得柯西定理的下述證法對嗎?討論不一定相同x

前面對拉格朗日中值定理的證明,構(gòu)造了

現(xiàn)在對兩個給定的函數(shù)

f(x)、F(x),構(gòu)造即可證明柯西定理.輔助函數(shù)輔助函數(shù)

用類比法其它證法:例證分析:結(jié)論可變形為應(yīng)用三個中值定理常解決下列問題(1)驗證定理的正確性;(2)證明方程根的存在性;(3)引入輔助函數(shù)證明等式;(4)證明不等式;(5)綜合運用中值定理(幾次運用).

關(guān)鍵逆向思維,找輔助函數(shù)例分析將結(jié)論交叉相乘得輔助函數(shù)F(x))()()()()()(),,(xxxxxgfbggfafba￠￠=--?$使得)()()()()()()()(bgfgfgfgafxxxxxx￠-￠=￠-￠0)()()()()()()()(=￠+￠-￠-￠bgfgfgfgafxxxxxx0)]()()()()()()()([=￠+￠-￠-￠=xxbgxfxgxfxgxfxgaf證設(shè)輔助函數(shù)因此F(x)滿足Rolle定理的條件.)()()(xgafxF￠=￠)()(bgxf￠+)()(xgxf￠-)()(xgxf￠-即得證畢.)()()()()()(xxxxxgfgfgaf￠-￠-￠)()(bgxf￠+)()()(xgafxF￠=￠)()(xgxf￠-)()(xgxf￠-0)()(=￠+bgfx練習

分析且內(nèi)可導在上連續(xù)在設(shè),),(,],[)(babaxf證即且內(nèi)可導在上連續(xù)在設(shè),),(,],[)(babaxf).,(,0)(,0)()(baxxfbfaf?1==定理由Rolle四、小結(jié)Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理羅爾定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之間的關(guān)系；注意定理成立的條件；注意利用中值定理證明等式與不等式的步驟.37考研數(shù)學(一、二、三)11分

證明:證對于任意的函數(shù)f(x)在[0,t