《離心率的五種求法》

橢圓的離心率

離率五求，雙曲線的離心率，物線的離心率e．一直求、c，求已知圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程或

a

、

易求時(shí)，可利用率心率公式

e

ca

來解決。例1：已知雙曲線

a

22

2

（a）一條準(zhǔn)線與拋物線

y

2

的準(zhǔn)線重合，則該雙曲線的離心率為（）

36C.22

23解拋線

y

2

的準(zhǔn)線是

32

a22，即雙曲線的右準(zhǔn)線x，2c2c，2解得2

，a3，e

，故選Da變練1：橢圓經(jīng)過原點(diǎn)，且焦點(diǎn)為F（）12321B.432解由F3，∴，∵橢圓過原點(diǎn)，∴a，a，，1c1c，以離心率.選a變練2：如果曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)2，焦距為6，那么雙曲線的離心率為（）

362

C.

32

D

解由設(shè)

2

，

c

，則

c

，

cea

，因此選變練3：P（-3，）在橢圓

xa2

（0

）的左準(zhǔn)線上，過點(diǎn)且方向?yàn)閍光線，經(jīng)直線

y

反射后通過橢圓的左焦點(diǎn)，則這個(gè)橢圓的離心率為（）A

33

B

1CD3解由題意知，入射光線

y

52

y

的反射光線（對(duì)稱關(guān)系）y

，2則c解c0

a

，

c

，則

a3

，故選A二構(gòu)、的齊式解

e根據(jù)題設(shè)條件，借助a、、之的關(guān)系，構(gòu)造a、的系（特別是齊二次式），進(jìn)而得到關(guān)于的一元方程，從而解得離心率e

ccMFFFccMFFF例2：知

F

1

、

F2

x是雙曲線a2

ab

的焦點(diǎn)以段

FF12

為邊作正三角形

MFF12

，若邊MF的點(diǎn)在雙曲線上，則雙曲線的離心率是（）143

3

C.

32

3解如，設(shè)

MF1

的中點(diǎn)為P，的坐標(biāo)為

c2

，由焦半徑公式PF1

，即

ca2

，得，得e

a

3

（13舍），故選變練1：雙曲線

x2a

（

ab

）的半焦距為

，直線

L

過

兩點(diǎn)已知原點(diǎn)到直線的距離為

34

，則雙曲線的離心率()

3

C.

2

23解由知，直線

L

的方程為

0

，由點(diǎn)到直線的距離公式，得

a

ab

34

c

，又

c

22

4

c

2

兩邊平方，得

16a

2

2

4

，整理得

3e

4

2

0

，得

e2

或

e2

43

，又

ab

，∴

a22eaa2

，∴

e2

，∴

e2

，故選A變練2：曲線虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為，兩個(gè)焦點(diǎn)為F、，121為（）

0

，則雙曲線的離心率A

3

B

66CD23解如所示，不妨設(shè)

M1

2MF

，又

FFc1

，在

MF1

中，由余定理，得

MF2

MF

22122MFMF

即

cc2c

，∴

b21b2

，

AF2222222AF2222222∵

b

，∴

2c

2

12

，∴

3a2

，∴

e2

32

，∴

62

，故選B三采離率定以橢的義解例3：設(shè)橢圓的兩個(gè)點(diǎn)分別為

F1

、

F2

，過

F2

作橢圓長(zhǎng)軸的垂線交橢圓于點(diǎn)

P

，若

PF1

為等腰直角三角形，則橢圓的離心率________解

c2ccaPFPF1

2

四根圓曲的一義解例：橢圓

xy2（a2b2

）的右焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為l，過1

F1且垂直于

軸的弦的長(zhǎng)等于點(diǎn)

F1

到

l1

的距離，則橢圓的離心率是

解如圖所示，

AB

是過

F1

且垂直于

軸的弦，∵

l1

于

D

，∴

AD

為

F1

到準(zhǔn)線

l1

的距離，根據(jù)橢圓的第二定義，

e

1AB1ADAD變練：給定橢圓中，過焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為2，點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為離心率為（）

，則該橢圓的A解

2e

2BCD22422212五構(gòu)關(guān)的等，的取范例5：設(shè)

4

，則二次曲線

x22

的離心率的取值范圍為（）

12

2C.,2

另由

x2

2

，

a

2

tan

，

b

2

cot

∴

catan∴e

atan

2

∵

2

,e2，2，選D

022022例：圖，已知梯形

中AB

，點(diǎn)分向段AC所的為，雙曲線過

、D

、E

三點(diǎn)，且以

A

、

B

為焦點(diǎn)．當(dāng)

23

時(shí)，求雙曲線離心率

e

的取值范圍。解以

AB

的垂直平分線為

y

軸，直線

AB

為

軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則軸因?yàn)殡p曲線經(jīng)過點(diǎn)、D，以、為點(diǎn)，由雙曲線的對(duì)稱性知

、

D

關(guān)于

y

軸對(duì)稱．依題意，記

C

Ey0

其中

c

12

為雙曲線的半焦距，

是梯形的高．由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得

1

2

，y21

，設(shè)雙曲線的方程為

xy2a2b2

，則離心率

e

a

，由點(diǎn)、在曲線上，所以，將點(diǎn)的坐代入雙曲線方程得

2242b2

①將點(diǎn)

E

的坐標(biāo)代入雙曲線方程得

4

hb

②再將

e

a

①、②得

e2222，∴4bb4

③24

hb

④將③式代入④式，整理得

e24

3e2

，由題設(shè)

23

得：23332

，解得

710

，所以雙曲線的離心率的取值范圍為

配練設(shè)曲線

x2a

的離心率為它的一條準(zhǔn)線與拋物線

y

4

的準(zhǔn)線重合，則此雙曲線的方程為（）

x1224

xy4896

C.

2y23

x3．已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍則橢圓的離心率等于（）A

13

B

33

C．

12

D．

32．已知雙曲線

x2a

的一條漸近線方程為

4x3

，則雙曲線的離心率為（）A

54B33

C

D

32．在給定橢圓中，過焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為

2

，焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為，則該橢圓的離率為A

2

B

22

C

12

D

24．在給定雙曲線中，過焦點(diǎn)垂直于實(shí)軸的弦長(zhǎng)為率為（）

1，焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為，則該雙曲線的離心2A

22

B

C

2

D

22如圖F和F分是雙曲線

x20a2

的兩個(gè)焦點(diǎn)，和是為圓心OF1為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個(gè)交點(diǎn)，且

是等邊三角形，則雙曲線的離心率為（）A

3

B

5

C

52

D

3設(shè)

F

、

F

分別是橢圓

x2（a2b

a0

）的左、右焦點(diǎn)P

是其右準(zhǔn)線上縱坐標(biāo)為

3

（

為半焦距）的點(diǎn)，且

FFFP1

，則橢圓的離心率是（）A

32

B

12

C

52D22

2222．設(shè)

F

、

F

分別是雙曲線

x2ab

的左、右焦點(diǎn)，若雙曲線上存在點(diǎn)

A

，使

AF901

0

，且AF12

，則雙曲線離心率為（）A

52

B

102

C

152

D

5．已知雙曲線

x2（aba

）的右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F且斜角為60的線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍是（）A

B

C

D

．圓

xy2a2b

（

a0

）的焦點(diǎn)為

FF

，兩條準(zhǔn)線與

軸的交點(diǎn)分別為

M

、

，若MNFF12

，則該橢圓離心率的取值范圍是（）A2

B

C．

D．

2,1

222參考答案：2221.由

3,可得ab6,a

故選D已橢的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，∴

b

，橢圓的離心率

32

，選D。雙線點(diǎn)在x,由漸近線方程可得

425可3a33

故選A不設(shè)圓方程為

2y22b22（且a2b2a

，據(jù)此求出＝

不設(shè)曲線方程為

2y（b2且a2b2

，據(jù)此解得e＝

2

，選C解析：如圖，和F分別是雙曲線

ra0,0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，A和B以為圓心，以a2OF

為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個(gè)交點(diǎn)F是等邊三角形AFF|=c，2|AF2

3

c，∴c

，雙曲線的離心率為

1

，選Da7.由已知P（3c以c

22)c

化簡(jiǎn)得

2

c

2

c2

．設(shè)F分是雙曲線1

2ya2b2

的左焦雙線上存在點(diǎn)A∠FAF|，12設(shè)，|AF|=3，雙曲線中21，選

2aAF|，2AFAF|121

，∴離心率雙線

2ba2b2

的右焦點(diǎn)為F，若