任意角的概念-公開課

任意角的概念--公開課第一頁，共24頁。第5章三角函數(shù)第二頁，共24頁。第三頁，共24頁。第四頁，共24頁。5.1角的概念的推廣第五頁，共24頁。復習與回顧1.在初中學習的角的定義是什么？

角的范圍呢？

從一個點出發(fā)引出的兩條射線構(gòu)成的幾何圖形。

0o至360o

2.你以前學過哪些角？第六頁，共24頁。我們學過的角銳角直角鈍角第七頁，共24頁。思考1：時鐘慢了5分鐘，應如何校準？分針轉(zhuǎn)過了多少度？

時鐘快了1.25小時（1小時15分鐘），應如何校準？分針轉(zhuǎn)過了多少度？第八頁，共24頁。轉(zhuǎn)體三周你知道她旋轉(zhuǎn)了多少度？第九頁，共24頁。

生活中有很多實例如：

如在體操、花樣滑冰、跳臺跳水等比賽中，常常聽到“轉(zhuǎn)體1080°”、“轉(zhuǎn)體1260°”這樣的解說；

再如鐘表的指針、擰動螺絲的扳手等等按照不同方向旋轉(zhuǎn)所成的角。

這些例子不僅角范圍不在0o～360o，而且方向不同，有必要將角的概念推廣到任意角。第十頁，共24頁。1.任意角

任意角的定義：一條射線由原來的位置OA，繞著它的端點O按一定的方向旋轉(zhuǎn)到另一位置OB，就形成角α。

旋轉(zhuǎn)開始時的射線OA叫做角α的始邊，旋轉(zhuǎn)終止的射線OB叫做角α的終邊，射線的端點O叫做角α的頂點。

小寫希臘字母表示角：α、β、γ。。。OABα始邊終邊頂點第十一頁，共24頁。2.角的分類為了區(qū)別旋轉(zhuǎn)方向：

按逆時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫做正角；按順時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫做負角；如圖，以O(shè)A為始邊的角α=210°，β=-150°，γ=660°如果一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn)，稱它形成了一個零角。

說明：零角的終邊與始邊重合第十二頁，共24頁。用“旋轉(zhuǎn)”定義角之后，角的范圍大大地擴大了角有正負之分如：=210,

=-150,

=660。角可以任意大

體操動作：旋轉(zhuǎn)2周（360×2=720）、3周（360×3=1080）還有零角

一條射線，沒有旋轉(zhuǎn)。注意：正角和負角是表示具有相反意義的旋轉(zhuǎn)量，它的正負規(guī)定純屬于習慣，就好象與正數(shù)、負數(shù)的規(guī)定一樣，零角無正負，就好象數(shù)零無正負一樣。第十三頁，共24頁。用旋轉(zhuǎn)來描述角，需要注意三個要素：旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)量

旋轉(zhuǎn)中心：作為角的頂點；

旋轉(zhuǎn)方向：分為逆時針和順時針兩種；

旋轉(zhuǎn)量：當旋轉(zhuǎn)超過一周時，旋轉(zhuǎn)量即超過360o，角度的

絕對值可大于360o，于是就會出現(xiàn)720o，

-540o等角度。第十四頁，共24頁。3．象限角

為了研究方便，我們往往在平面直角坐標系中來討論角。角的頂點重合于坐標原點，角的始邊重合于x軸的非負半軸，那么，角的終邊落在第幾象限，就說這個角是第幾象限的角。

角的終邊落在坐標軸上，則此角不屬于任何一個象限，這樣的角叫做界限角。第十五頁，共24頁。xyo始邊終邊

終邊終邊終邊終邊40、-330

第一象限角

310、-60

第四象限角230、-120

第三象限角

135、-240

第二象限角等0、90、180、-90

界限角第十六頁，共24頁。想一想1.指出它們是第幾象限角：

420°、850°、-510°、-75°

一二三四2.銳角是第幾象限角？第一象限角一定是銳角嗎？

銳角是第一象限角30°、390°、-330°第十七頁，共24頁。xy

o3003900-3300390°=30°+360°=30°+1x360°-330°=30°+(-1)x360°

=30°─1x360°750°=30°+2x360°

;-690°=30°+(-2)x360°

;1110°=30°+3x3600

;-1050°=30°+(-3)x3600;......與30°終邊相同的角的一般形式為：

30°＋k·360°，（k∈Z）30°390°-330°第十八頁，共24頁。4.終邊相同的角

一般地，所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)所構(gòu)成的集合S可表示為，

S={β|β=α＋k·360°，k∈Z}

即任一與α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個周角的和。終邊相同的角不一定相等，但相等的角，終邊一定相同；終邊相同的角有無數(shù)多個，它們相差360o的整數(shù)倍。第十九頁，共24頁。例題分析：

【例1】在0°～360°間，找出與下列各角終邊相同的角，并判定它們是第幾象限角。（1）640°（2）-950°（3）-1180°

解：（1）因為640°=280°+360°，所以640°的角與280°的角的終邊相同，280°是第四象限角，所以640°是第四象限角。（2）因為-950°=130°+（-3）×360°，所以-950°的角與130°的角的終邊相同，130°是第二象限角，所以-950°是第二象限角。（3）因為-1180°=260°+（-4）×360°，所以-1180°的角與260°的角的終邊相同，260°是第三象限角，所以-1180°是第三象限角。第二十頁，共24頁。

【例2】寫出與下列各角終邊相同的角的集合S，并把S中在-360o～720o間的角寫出來：(1)60o；(2)-21o解：(1)

S={β|β=k·360o+60o,k∈Z}，

S中在-360o～720o間的角是-1×360o+60o=-280o；

0×360o+60o=60o；1×360o+60o=420o。(2)S={β|β=k·360o－21o,k∈Z}，

S中在-360o～720o間的角是

0×360o－21o=-21o；1×