2019版數(shù)學(xué)（文）教師用書：第二章 第七節(jié) 對數(shù)與對數(shù)函數(shù) 含答案

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第七節(jié)對數(shù)與對數(shù)函數(shù)1．對數(shù)概念如果ax＝N(a>0,且a≠1）,那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x＝logaN,其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)，logaN叫做對數(shù)式性質(zhì)對數(shù)式與指數(shù)式的互化:ax＝N?x＝logaNloga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N運算法則loga（M·N）＝logaM＋logaNa〉0，且a≠1,M>0，N〉0logaeq\f（M,N)＝logaM－logaNlogaMn＝nlogaM(n∈R)換底公式換底公式：logab＝eq\f(logcb，logca)(a>0，且a≠1，c>0,且c≠1,b〉0)2。對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)y＝logax(a＞0，且a≠1)圖象a＞10＜a＜1圖象特征在y軸右側(cè),過定點(1,0)當(dāng)x逐漸增大時，圖象是上升的當(dāng)x逐漸增大時，圖象是下降的性質(zhì)定義域（0，＋∞)值域R單調(diào)性在（0，＋∞)上是增函數(shù)在（0，＋∞）上是減函數(shù)函數(shù)值變化規(guī)律當(dāng)x＝1時，y＝0當(dāng)x>1時，y>0；當(dāng)0〈x〈1時,y<0當(dāng)x〉1時，y<0;當(dāng)0<x〈1時，y>01．判斷下面結(jié)論是否正確（請在括號中打“√”或“×”）（1）函數(shù)y＝log2（x＋1）是對數(shù)函數(shù)．（)(2）log2x2＝2log2x.（)(3）當(dāng)x＞1時，logax＞0.()（4）函數(shù)y＝lneq\f（1＋x,1－x）與y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定義域相同．（）答案:（1）×(2)×(3）×(4）√2．已知a>0，a≠1,函數(shù)y＝ax與y＝loga(－x）的圖象可能是(）解析:選B函數(shù)y＝loga(－x)的圖象與y＝logax的圖象關(guān)于y軸對稱，符合條件的只有B.3．函數(shù)y＝lg|x｜（)A．是偶函數(shù)，在區(qū)間（－∞，0)上單調(diào)遞增B．是偶函數(shù)，在區(qū)間（－∞，0）上單調(diào)遞減C．是奇函數(shù),在區(qū)間（0，＋∞)上單調(diào)遞減D．是奇函數(shù)，在區(qū)間（0，＋∞）上單調(diào)遞增解析：選By＝lg｜x|是偶函數(shù),由圖象知在(－∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，＋∞)上單調(diào)遞增．4．設(shè)a＝log2π，b＝logπ,c＝π－2,則a，b，c的大小關(guān)系是(）A．a(chǎn)＞b＞cB．b＞a＞cC．a(chǎn)＞c＞bD．c＞b＞a解析：選C因為a＝log2π＞1，b＝logπ＜0，c＝π－2＝eq\f(1，π2）＞0,但c＜1，所以b＜c＜a。5．函數(shù)y＝eq\r(log0。54x－3）的定義域為______．解析：要使函數(shù)有意義，須滿足eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（4x－3〉0，,log0.54x－3≥0，）)解得eq\f（3,4)<x≤1。答案:eq\b\lc\(\rc\］（\a\vs4\al\co1(\f(3，4），1))6．函數(shù)y＝loga（x－1）＋2(a＞0,且a≠1)的圖象恒過的定點是________．解析：當(dāng)x＝2時，函數(shù)y＝loga（x－1)＋2（a＞0，且a≠1)的值為2,所以圖象恒過定點（2,2)．答案:(2,2）eq\a\vs4\al（考點一對數(shù)式的化簡與求值）eq\a\vs4\al(基礎(chǔ)送分型考點—-自主練透)［考什么·怎么考］對數(shù)的運算在高考中常有考查,主要是考查對數(shù)運算法則或換底公式的應(yīng)用，均以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，難度比較低.1．（log29)·(log34）＝（）A。eq\f(1,4） B.eq\f（1,2）C．2 D．4解析：選D法一:原式＝eq\f(lg9,lg2）·eq\f(lg4,lg3)＝eq\f(2lg3·2lg2，lg2·lg3）＝4.法二:原式＝2log23·eq\f（log24,log23)＝2×2＝4.2．計算：eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(lg\f(1,4）－lg25）)÷100＝________.解析：原式＝lgeq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1,4)×\f(1,25)）)×100＝lg10－2×10＝－2×10＝－20.答案：－203．計算:log23·log38＋(eq\r(3))＝________.解析：原式＝eq\f(lg3，lg2)·eq\f(3lg2，lg3)＋3log34＝3＋3l＝3＋2＝5。答案:54．已知函數(shù)f(x）＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（log2x，x＞0，,3－x＋1,x≤0，))則f(f(1))＋feq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（log3\f(1，2）））的值是________．解析：因為f（1）＝log21＝0，所以f（f(1)）＝f(0）＝2。因為log3eq\f（1，2）＜0,所以feq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（log3\f(1,2)))＝3＋1＝3＋1＝2＋1＝3.所以f(f（1））＋feq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（log3\f（1，2)）)＝2＋3＝5。答案:5[怎樣快解·準(zhǔn)解］1．解題“2思路”（1）首先利用冪的運算把底數(shù)或真數(shù)進行變形，化成分數(shù)指數(shù)冪的形式,使冪的底數(shù)最簡，然后正用對數(shù)運算性質(zhì)化簡合并．(2)將對數(shù)式化為同底數(shù)對數(shù)的和、差、倍數(shù)運算，然后逆用對數(shù)的運算性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為同底對數(shù)真數(shù)的積、商、冪的運算．2．易錯“2提醒”(1）對數(shù)的運算性質(zhì)以及有關(guān)公式都是在式子中所有的對數(shù)符號有意義的前提下才成立的,不能出現(xiàn)log212＝log2［(－3）×（－4)]＝log2（－3）＋log2（－4）的錯誤．（2）利用換底公式將不同底的對數(shù)式轉(zhuǎn)化成同底的對數(shù)式，要注意換底公式的正用、逆用及變形應(yīng)用．eq\a\vs4\al（考點二對數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用)eq\a\vs4\al(重點保分型考點——師生共研)在掌握函數(shù)圖象變換的相關(guān)知識的基礎(chǔ)上,掌握對數(shù)函數(shù)的圖象或選擇利用圖象求交點問題，在高考中以選擇題、填空題的形式出現(xiàn),難度不大，屬中低檔題.[典題領(lǐng)悟]1．函數(shù)f（x)＝loga｜x｜＋1(0＜a＜1)的圖象大致為(）解析：選A由函數(shù)f（x)的解析式可確定該函數(shù)為偶函數(shù),圖象關(guān)于y軸對稱．設(shè)g（x）＝loga|x｜,先畫出x〉0時,g(x)的圖象，然后根據(jù)g（x)的圖象關(guān)于y軸對稱畫出x〈0時g(x)的圖象，最后由函數(shù)g（x)的圖象向上整體平移一個單位即得f(x）的圖象，結(jié)合圖象知選A.2．已知函數(shù)f（x）＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，x＞0，，3x，x≤0，））關(guān)于x的方程f(x）＋x－a＝0有且只有一個實根，則實數(shù)a的取值范圍是________．解析：問題等價于函數(shù)y＝f(x)與y＝－x＋a的圖象有且只有一個交點，結(jié)合函數(shù)圖象可知a＞1。答案：（1,＋∞)[解題師說]1．準(zhǔn)確審題是關(guān)鍵(1)要識別對數(shù)型函數(shù)f（x)＝loga|x|＋1的圖象，一般從最基本的對數(shù)函數(shù)y＝logax的圖象入手，抓住圖象上的三個關(guān)鍵點（a，1）,（1，0)，eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1，a)，－1）），函數(shù)的定義域及單調(diào)性,并利用平移、對稱變換等手段得到所要求的函數(shù)圖象，特別地要注意a＞1和0＜a＜1的兩種不同情況．(2)方程f(x）＋x－a＝0有且只有一實根，采用直接求解無法得到，常把這種問題轉(zhuǎn)化為y＝f(x)與y＝－x＋a兩函數(shù)圖象的關(guān)系問題,利用數(shù)形結(jié)合法求解．2．利用結(jié)論是捷徑對數(shù)函數(shù)圖象的特征(1)底數(shù)與1的大小關(guān)系決定了圖象的升降，即a＞1時，圖象上升；0＜a＜1時,圖象下降．（2）對數(shù)函數(shù)在同一直角坐標(biāo)系中的圖象如圖，其中圖象的相對位置與底數(shù)大小有關(guān)，圖中0＜c＜d＜1＜a＜b.在x軸上側(cè),圖象從左到右相應(yīng)的底數(shù)由小變大;在x軸下側(cè),圖象從右到左相應(yīng)的底數(shù)由小變大．（無論在x軸的上側(cè)還是下側(cè)，底數(shù)都按順時針方向變大)［沖關(guān)演練]1．函數(shù)f(x）＝ln|x－1|的圖象大致是（)解析：選B當(dāng)x〉1時,f(x)＝ln(x－1），又f(x)的圖象關(guān)于x＝1對稱，故選B。2.已知函數(shù)f(x)＝loga(2x＋b－1）（a＞0，且a≠1)的圖象如圖所示，則a,b滿足的關(guān)系是(）A．0＜a－1＜b＜1 B．0＜b＜a－1＜1C．0＜b－1＜a＜1 D．0＜a－1＜b－1＜1解析：選A令g(x)＝2x＋b－1，這是一個增函數(shù)，而由圖象可知函數(shù)f（x）＝loga（g（x)）是單調(diào)遞增的，所以必有a＞1.又由函數(shù)圖象與y軸交點的縱坐標(biāo)介于－1和0之間,即－1＜f(0)＜0，所以－1＜logab＜0，故a－1＜b＜1,因此0＜a－1＜b＜1。eq\a\vs4\al（考點三對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用)eq\a\vs4\al（題點多變型考點—-追根溯源）高考對對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用的考查，多以選擇題或填空題的形式考查，難度低、中、高檔都有.，常見的命題角度有：1比較對數(shù)值的大??；2簡單對數(shù)不等式的解法；3對數(shù)函數(shù)的綜合問題.[題點全練]角度(一）比較對數(shù)值的大小1．已知a＝log29－log2eq\r(3），b＝1＋log2eq\r(7）,c＝eq\f(1，2）＋log2eq\r（13），則a，b,c的大小關(guān)系為()A．a(chǎn)〉b>c B．b〉a>cC．c>a>b D．c〉b〉a解析：選Ba＝log29－log2eq\r（3)＝log23eq\r(3)，b＝1＋log2eq\r(7)＝log22eq\r(7)，c＝eq\f(1，2)＋log2eq\r(13）＝log2eq\r（26)，因為函數(shù)y＝log2x在（0，＋∞）上是增函數(shù)，且2eq\r（7)〉3eq\r(3）〉eq\r(26)，所以b〉a>c。［題型技法]比較對數(shù)值大小的方法若底數(shù)為同一常數(shù)可由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接進行判斷；若底數(shù)為同一字母，則需對底數(shù)進行分類討論若底數(shù)不同，真數(shù)相同可以先用換底公式化為同底后，再進行比較若底數(shù)與真數(shù)都不同常借助1，0等中間量進行比較角度(二）簡單對數(shù)不等式的解法2．已知不等式logx(2x2＋1)〈logx（3x）〈0成立，則實數(shù)x的取值范圍是________．解析:原不等式?eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(0〈x<1，,2x2＋1>3x〉1))①或eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x>1,,2x2＋1〈3x〈1)）②，解不等式組①得eq\f(1，3）〈x〈eq\f（1，2)，不等式組②無解，所以實數(shù)x的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1，3）,\f（1,2）)）.答案:eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1，3)，\f(1,2)）)[題型技法］求解對數(shù)不等式的兩種類型及方法類型方法形如logax＞logab借助y＝logax的單調(diào)性求解，如果a的取值不確定，需分a＞1與0＜a＜1兩種情況討論形如logax＞b需先將b化為以a為底的對數(shù)式的形式，再借助y＝logax的單調(diào)性求解角度(三)對數(shù)函數(shù)的綜合問題3．若函數(shù)f（x）＝log(－x2＋4x＋5）在區(qū)間（3m－2，m＋2)內(nèi)單調(diào)遞增，則實數(shù)m的取值范圍為()A。eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1(\f（4,3），3）) B。eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1（\f（4，3)，2）)C.eq\b\lc\［\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（4,3)，2）） D.eq\b\lc\［\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(4，3)，＋∞)）解析：選C由－x2＋4x＋5＞0，解得－1＜x＜5.二次函數(shù)y＝－x2＋4x＋5的對稱軸為x＝2。由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可得函數(shù)f(x）＝log(－x2＋4x＋5）的單調(diào)遞增區(qū)間為(2,5)．要使函數(shù)f（x）＝log(－x2＋4x＋5）在區(qū)間(3m－2，m＋2）內(nèi)單調(diào)遞增,只需eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(3m－2≥2，，m＋2≤5，，3m－2＜m＋2，))解得eq\f(4，3）≤m＜2.[題型技法］解決與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的綜合問題單調(diào)性的步驟一求求出函數(shù)的定義域二判判斷對數(shù)函數(shù)的底數(shù)與1的關(guān)系，分a＞1與0＜a＜1兩種情況判斷內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)的單調(diào)性，運用復(fù)合函數(shù)“同增異減”原則判斷函數(shù)的單調(diào)性［題“根”探求]1．無論題型如何變化,都是圍繞對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，變換不同的角度來應(yīng)用．角度（一）與角度(二)是對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的直接應(yīng)用，利用單調(diào)性來比較大小、解不等式；角度(三)是對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的遷移應(yīng)用，根據(jù)單調(diào)性來求參數(shù)的范圍，所以弄清對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵，并注意有時需對底數(shù)字母參數(shù)進行討論．2．與對數(shù)型函數(shù)有關(guān)的恒成立問題多與其定義域和值域有關(guān)．對于函數(shù)y＝logaf（x）（a＞0，且a≠1），若定義域為R，則f（x）＞0在R上恒成立；若值域為R，則f(x）能取遍所有正實數(shù)．[沖關(guān)演練]1．若a＝log0。30。2，b＝logπ3，c＝log0。3e，則a，b，c的大小關(guān)系為（A．a(chǎn)>b〉c B．b〉a〉cC．c>a〉b D．b>c>a解析：選A由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得a＝log0。30.2〉log0。30。3＝1，b＝logπ3∈（0，1)，c＝log0。3e〈0，所以a>b〉c2．設(shè)函數(shù)f（x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（41－x,x≤1,,1－logx，x＞1，))則滿足不等式f(x）≤2的實數(shù)x的取值集合為________．解析：原不等式等價于eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x≤1,，41－x≤2))或eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＞1，,1－logx≤2，））解得eq\f(1,2)≤x≤1或1＜x≤4，即實數(shù)x的取值集合為eq\b\lc\｛\rc\}（\a\vs4\al\co1（x\b\lc\｜\rc\（\a\vs4\al\co1(,,，））\f（1，2)≤x≤4）)。答案:eq\b\lc\｛\rc\}（\a\vs4\al\co1（x\b\lc\｜\rc\（\a\vs4\al\co1（，，,)）\f(1,2）≤x≤4))3．已知函數(shù)f(x）＝loga(8－ax)（a＞0，且a≠1)，若f(x)＞1在區(qū)間[1,2]上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為________．解析：當(dāng)a＞1時，f（x)＝loga(8－ax）在［1，2]上是減函數(shù)，由f（x）＞1在［1,2]上恒成立,則f（x）min＝loga（8－2a）＞1解得1＜a＜eq\f(8,3），當(dāng)0＜a＜1時,f（x)在［1，2］上是增函數(shù),由f（x)＞1在［1,2]上恒成立，則f（x)min＝loga(8－a)＞1，且8－2a＞0，故不存在實數(shù)a綜上可知，實數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(1，\f（8，3))）。答案：eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(1，\f（8,3））)(一）普通高中適用作業(yè)A級—-基礎(chǔ)小題練熟練快1．函數(shù)y＝eq\r（log32x－1＋1)的定義域是()A．［1，2］ B．［1,2)C.eq\b\lc\［\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（2,3),＋∞）） D。eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(2，3），＋∞)）解析：選C由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（log32x－1＋1≥0,，2x－1＞0，））即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（log32x－1≥log3\f(1,3)，，x＞\f（1，2），)）解得x≥eq\f(2,3）.2．若函數(shù)y＝f(x)是函數(shù)y＝ax(a〉0，且a≠1）的反函數(shù)，且f（2)＝1，則f(x）＝()A．log2x B。eq\f(1,2x）C．logeq\f（1，2）x D．2x－2解析：選A由題意知f(x)＝logax（a>0，且a≠1），∵f(2)＝1,∴l(xiāng)oga2＝1，∴a＝2。∴f（x）＝log2x.3．如果logx〈logy<0，那么()A．y〈x<1 B．x<y〈1C．1<x〈y D．1<y〈x解析：選D∵logx〈logy<log1，∴x〉y>1。4．若函數(shù)y＝a｜x｜（a＞0，且a≠1)的值域為{y|0＜y≤1}，則函數(shù)y＝loga|x｜的圖象大致是()解析:選A由函數(shù)y＝a|x|(a＞0,且a≠1）的值域為{y|0＜y≤1}，知0＜a＜1，由此可知y＝loga｜x|的圖象大致是A.5．設(shè)函數(shù)f(x）＝loga｜x｜（a〉0，且a≠1）在（－∞，0)上單調(diào)遞增,則f（a＋1)與f(2)的大小關(guān)系是（）A．f（a＋1)〉f（2） B．f（a＋1）<f（2）C．f(a＋1)＝f(2） D．不能確定解析：選A由已知得0〈a<1，所以1<a＋1<2，又易知函數(shù)f(x)為偶函數(shù),故可以判斷f(x）在（0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以f（a＋1)〉f（2)．6．(2018·鄭州模擬)已知函數(shù)f(x)＝lgeq\f(1－x，1＋x),若f(a）＝eq\f(1,2），則f（－a）＝()A．2 B．－2C。eq\f（1，2) D．－eq\f（1,2）解析：選D∵f(x)＝lgeq\f（1－x,1＋x)的定義域為－1〈x〈1，∴f(－x）＝lgeq\f(1＋x，1－x）＝－lgeq\f（1－x，1＋x)＝－f(x）,∴f（x)為奇函數(shù)，∴f(－a)＝－f（a）＝－eq\f(1，2)。7．lgeq\r(2)＋lgeq\r(5)＋20＋eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(5)）2×eq\r（3，5)＝________。解析：原式＝lgeq\r（10）＋1＋5×5＝eq\f(3,2）＋5＝eq\f(13,2)。答案：eq\f（13,2）8．已知函數(shù)f(x）＝loga(x＋b）(a＞0,且a≠1）的圖象過兩點（－1，0）和(0,1），則logba＝________.解析:f（x)的圖象過兩點(－1,0)和(0，1）．則f(－1)＝loga（－1＋b)＝0，且f（0）＝loga（0＋b)＝1，所以eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(b－1＝1,，b＝a，))即eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（b＝2，,a＝2.))所以logba＝1.答案：19．(2018·安徽兩校階段性測試）已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＜0時，f(x)＝2x,則f（log49)＝________.解析:因為log49＝log23＞0，又f(x）是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x＜0時，f(x)＝2x，所以f（log49）＝f（log23)＝－2＝－2＝－eq\f(1,3)。答案：－eq\f(1,3)10．設(shè)函數(shù)f(x）滿足f（x）＝1＋feq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1,2))）·log2x，則f(2)＝________.解析：因為f（x）＝1＋feq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1，2））)·log2x,所以feq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1,2）))＝1＋feq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1，2))）·log2eq\f（1,2)，得feq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1，2）））＝eq\f(1，2），所以f(x)＝1＋eq\f(1,2)log2x，所以f(2）＝1＋eq\f(1,2)log22＝eq\f（3，2）.答案：eq\f（3,2）B級——中檔題目練通抓牢1．已知a＝log23＋log2eq\r（3），b＝log227－log23eq\r(3），c＝log32，則a，b，c的大小關(guān)系是(）A．a(chǎn)＝b＜c B．a(chǎn)＝b＞cC．a(chǎn)＜b＜c D．a(chǎn)＞b＞c解析：選B因為a＝log23＋log2eq\r（3)＝log23eq\r（3）＝eq\f(3,2）log23＞1,b＝log227－log23eq\r(3)＝log23eq\r(3)＝a，c＝log32＜log33＝1，所以a＝b>c。2.已知函數(shù)y＝loga(x＋c）（a，c為常數(shù)，其中a>0,a≠1）的圖象如圖，則下列結(jié)論成立的是(）A．a(chǎn)〉1，c〉1 B．a(chǎn)〉1,0〈c<1C．0<a<1,c〉1 D．0〈a<1,0〈c<1解析：選D由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得0＜a＜1，因為函數(shù)y＝loga（x＋c）的圖象在c＞0時是由函數(shù)y＝logax的圖象向左平移c個單位得到的,所以根據(jù)題中圖象可知0＜c＜1.3．若函數(shù)f(x）＝logaeq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（x2＋\f(3，2)x）)（a＞0,且a≠1）在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(1,2），＋∞））內(nèi)恒有f（x)＞0，則f（x)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A．(0，＋∞) B．（2，＋∞）C．（1，＋∞) D.eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1，2），＋∞）)解析：選A令M＝x2＋eq\f（3，2)x,則M>0，所以x＞0或x＜－eq\f（3,2）.當(dāng)x∈eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1，2)，＋∞))時，M∈（1，＋∞),f(x)＞0,所以a＞1，又M＝x2＋eq\f(3，2）x圖象的對稱軸為x＝－eq\f（3,4），且開口向上，故由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,＋∞）．4．設(shè)2a＝5b＝m,且eq\f(1，a）＋eq\f（1，b)＝2,則m＝________.解析：因為2a＝5b＝m所以a＝log2m，b＝log5所以eq\f(1，a)＋eq\f（1,b）＝eq\f（1，log2m)＋eq\f（1，log5m)＝logm2＋logm5＝logm10＝2，所以m2＝10，m＝eq\r（10）.答案:eq\r(10)5．設(shè)函數(shù)f（x）＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，x＞0，,log－x，x＜0，)）若f（a)＞f(－a）,則實數(shù)a的取值范圍是________________．解析：由f（a)＞f（－a）得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0，,log2a＞loga)）或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＜0，，log－a＞log2－a，））即eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（a＞0，，log2a＞－log2a））或eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(a＜0，,－log2－a＞log2－a.)）解得a＞1或－1＜a＜0.答案：（－1,0)∪(1,＋∞）6．設(shè)f（x）＝loga（1＋x）＋loga(3－x）(a＞0，且a≠1)，且f（1）＝2。(1)求a的值及f（x）的定義域;（2）求f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f（3,2)））上的最大值．解：（1)∵f(1）＝2，∴l(xiāng)oga4＝2（a＞0，且a≠1)，∴a＝2.由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(1＋x＞0，,3－x＞0，））得－1＜x＜3，∴函數(shù)f（x）的定義域為(－1，3）．（2）f（x）＝log2（1＋x）＋log2(3－x)＝log2［（1＋x）（3－x)]＝log2[－(x－1）2＋4］，∴當(dāng)x∈（－1，1］時，f(x）是增函數(shù)；當(dāng)x∈(1，3)時，f（x)是減函數(shù)，故函數(shù)f(x）在eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1(0，\f（3,2）））上的最大值是f(1）＝log24＝2.7．已知函數(shù)f（x）＝loga(a2x＋t），其中a＞0且a≠1.（1)當(dāng)a＝2時，若f(x)＜x無解，求t的取值范圍；(2）若存在實數(shù)m，n(m＜n）,使得x∈［m，n］時,函數(shù)f（x)的值域也為［m，n］,求t的取值范圍．解：(1）∵log2（22x＋t）＜x＝log22x，∴22x＋t＜2x無解，等價于22x＋t≥2x恒成立，即t≥－22x＋2x＝g(x）恒成立，即t≥g(x)max，∵g(x）＝－22x＋2x＝－eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（2x－\f(1,2)))2＋eq\f（1,4),∴當(dāng)2x＝eq\f（1,2)，即x＝－1時，g（x)取得最大值eq\f（1,4)，∴t≥eq\f（1,4)，故t的取值范圍為eq\b\lc\［\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1,4)，＋∞))。(2）由題意知f（x)＝loga(a2x＋t)在［m，n]上是單調(diào)增函數(shù),∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（fm＝m，，fn＝n，）)即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2m＋t＝am，，a2n＋t＝an，))問題等價于關(guān)于k的方程a2k－ak＋t＝0有兩個不相等的實根,令ak＝u＞0，則問題等價于關(guān)于u的二次方程u2－u＋t＝0在u∈（0，＋∞）上有兩個不相等的實根，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(u1＋u2＞0，,u1·u2＞0,,Δ＞0，）)即eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（t＞0，,t＜\f(1，4)，)）得0＜t＜eq\f(1,4）?！鄑的取值范圍為eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（0，\f(1,4）））。C級-—重難題目自主選做1．（2018·廣東省級名校模擬）已知函數(shù)f（x)＝（ex－e－x）x，f（log5x）＋f(logx）≤2f（1），則x的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1(\f(1，5），1)) B．［1，5]C。eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1，5)，5)） D.eq\b\lc\(\rc\]（\a\vs4\al\co1（－∞，\f（1，5））)∪[5,＋∞）解析：選C∵f(x）＝（ex－e－x）x，∴f(－x)＝－x(e－x－ex）＝（ex－e－x）x＝f(x)，∴函數(shù)f（x)是偶函數(shù)．∵f′（x)＝（ex－e－x）＋x(ex＋e－x)＞0在(0,＋∞）上恒成立．∴函數(shù)f（x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．∵f(log5x)＋f(logx)≤2f（1)，∴2f(log5x)≤2f(1），即f（log5x）≤f∴｜log5x｜≤1，∴eq\f(1,5)≤x≤5。故選C。2．（2018·沈陽質(zhì)檢）已知函數(shù)f（x)＝|log3x｜，實數(shù)m，n滿足0＜m＜n,且f(m)＝f(n)，若f(x)在［m2，n］上的最大值為2，則eq\f(n，m)＝________。解析:f（x）＝|log3x｜＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(－log3x，0＜x＜1,,log3x，x≥1,))所以f（x）在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,＋∞）上單調(diào)遞增，由0＜m＜n且f(m)＝f(n），可得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(0＜m＜1，，n＞1，,log3n＝－log3m，）)則eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(0＜m＜1，，n＞1,,mn＝1，))所以0＜m2＜m＜1,則f(x)在[m2,1)上單調(diào)遞減，在(1,n]上單調(diào)遞增，所以f（m2)＞f(m)＝f（n)，則f(x）在[m2，n]上的最大值為f（m2）＝－log3m2＝2,解得m＝eq\f（1，3），則n＝3，所以eq\f(n,m）＝9.答案：9(二）重點高中適用作業(yè)A級——保分題目巧做快做1．若函數(shù)y＝f（x）是函數(shù)y＝ax(a〉0，且a≠1）的反函數(shù),且f(2)＝1,則f(x）＝(）A．log2x B。eq\f(1,2x)C．logx D．2x－2解析:選A由題意知f（x)＝logax(a>0，且a≠1),∵f（2)＝1，∴l(xiāng)oga2＝1，∴a＝2?！鄁（x)＝log2x.2.若函數(shù)f（x）＝lg(x2－2ax＋1＋a)在區(qū)間(－∞,1］上遞減，則a的取值范圍為（）A．[1,2） B．[1,2］C．[1,＋∞) D．［2，＋∞）解析：選A令函數(shù)g（x）＝x2－2ax＋1＋a＝（x－a)2＋1＋a－a2，對稱軸為x＝a，要使函數(shù)在（－∞，1］上遞減，則有eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(g1〉0，,a≥1，））即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－a〉0，,a≥1,)）解得1≤a〈2，即a∈［1,2）．3。（2018·廣東韶關(guān)南雄模擬）函數(shù)f（x）＝xa滿足f(2）＝4,那么函數(shù)g（x）＝|loga（x＋1）｜的圖象大致為（)解析：選C∵f(2)＝4，∴2a＝4，解得a＝2，∴g（x）＝｜log2(x＋1）｜＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（log2x＋1，x≥0,，－log2x＋1，－1<x〈0,）)∴當(dāng)x≥0時，函數(shù)g（x)單調(diào)遞增，且g（0)＝0；當(dāng)－1〈x<0時,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減．故選C。4．已知a＝log23＋log2eq\r(3），b＝log227－log23eq\r（3)，c＝log32，則a，b，c的大小關(guān)系是(）A．a(chǎn)＝b＜c B．a(chǎn)＝b＞cC．a(chǎn)＜b＜c D．a(chǎn)＞b＞c解析：選B因為a＝log23＋log2eq\r（3)＝log23eq\r（3)＝eq\f(3,2）log23＞1，b＝log227－log23eq\r(3）＝log23eq\r（3）＝a，c＝log32＜log33＝1,所以a＝b>c.5。已知函數(shù)f（x）＝loga(2x－a）在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1（\f(1,2），\f(2,3）））上恒有f(x）>0，則實數(shù)a的取值范圍是（)A.eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1，3）,1)) B。eq\b\lc\［\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(1,3),1））C。eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（2,3），1）) D.eq\b\lc\［\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（2，3），1))解析：選A當(dāng)0〈a<1時,函數(shù)f(x)在區(qū)間eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1（\f（1,2)，\f(2,3）)）上是減函數(shù)，所以logaeq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(4,3)－a））〉0,即0<eq\f（4，3)－a〈1，解得eq\f(1，3)〈a<eq\f(4,3)，故eq\f(1,3)<a〈1；當(dāng)a〉1時,函數(shù)f（x）在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1（\f(1，2），\f(2,3））)上是增函數(shù),所以loga(1－a)〉0，即1－a>1，解得a<0,此時無解．綜上所述,實數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1，3)，1)）.6．已知函數(shù)f（x）＝loga（x＋b)（a＞0，且a≠1)的圖象過兩點（－1,0）和（0,1），則logba＝________.解析：f（x）的圖象過兩點(－1,0）和(0，1)．則f(－1）＝loga(－1＋b)＝0,且f（0）＝loga（0＋b）＝1，所以eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(b－1＝1，，b＝a,))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（b＝2，,a＝2.））所以logba＝1.答案：17.函數(shù)f（x)＝log2eq\r（x）·logeq\r（2)(2x)的最小值為________．解析：依題意得f（x）＝eq\f(1,2）log2x·(2＋2log2x)＝(log2x）2＋log2x＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（log2x＋\f(1,2)))2－eq\f（1，4）≥－eq\f(1，4),當(dāng)且僅當(dāng)log2x＝－eq\f(1,2），即x＝eq\f（\r(2),2）時等號成立，因此函數(shù)f（x)的最小值為－eq\f(1,4)。答案：－eq\f(1，4)8．設(shè)函數(shù)f（x）＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(log2x，x＞0,，log－x，x＜0，））若f(a)＞f（－a）,則實數(shù)a的取值范圍是________________．解析：由f(a）＞f(－a）得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a＞0，，log2a＞loga））或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＜0,,log－a＞log2－a，)）即eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（a＞0，,log2a＞－log2a))或eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(a＜0，,－log2－a＞log2－a.)）解得a＞1或－1＜a＜0.答案：（－1,0）∪(1，＋∞)9.已知函數(shù)f（x）＝log2eq\f（1＋ax,x－1)(a為常數(shù))是奇函數(shù)．(1）求a的值與函數(shù)f(x)的定義域；（2）若當(dāng)x∈（1,＋∞）時，f(x）＋log2(x－1）〉m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．解：（1）∵函數(shù)f（x)＝log2eq\f(1＋ax,x－1）是奇函數(shù)，∴f（－x）＝－f（x）,∴l(xiāng)og2eq\f(1－ax，－x－1)＝－log2eq\f(1＋ax,x－1），即log2eq\f(ax－1，x＋1)＝log2eq\f(x－1，1＋ax),∴a＝1，f(x）＝log2eq\f(1＋x，x－1).令eq\f（1＋x，x－1）>0，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋x>0，,x－1>0,）)或eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（1＋x<0，,x－1〈0，）)解得x〈－1或x〉1。∴函數(shù)f（x）的定義域為{x|x〈－1或x>1}．（2)∵f（x）＋log2(x－1)＝log2（1＋x），當(dāng)x〉1時，x＋1>2,∴l(xiāng)og2（1＋x)>log22＝1?！弋?dāng)x∈（1,＋∞)時，f(x)＋log2（x－1)〉m恒成立，∴m≤1?！鄊的取值范圍是（－∞，1］．10。已知函數(shù)f（x)是定義在R上的偶函數(shù)，f(0）＝0，當(dāng)x〉0時，f（x）＝logeq\f（1,2)x。(1）求函數(shù)f（x）的解析式；（2)解不等式f(x2－1）>－2.解：（1)當(dāng)x〈0時，－x〉0，則f(－x)＝logeq\f(1，2）(－x）．因為函數(shù)f（x)是偶函數(shù)，所以f（－x）＝f（x）．所以函數(shù)f(x)的解析式為f(x）＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（logx，x〉0，，0，x＝0，，log－x,x<0.））（2）因為f（4）＝logeq\f（1,2)4＝－2，f（x)是偶函數(shù),所以不等式f(x2－1）>－2可化為f（｜x2－1｜）〉f(4)．又因為函數(shù)f（x）在（0，＋∞）上是減函數(shù)，所以｜x2－1｜<4，解得－eq\r(5)〈x〈eq\r(5),即不等式的解集為{x|－eq\r(5)〈x<eq\r（5)}．B級——拔高題目穩(wěn)做準(zhǔn)做1．若函數(shù)f(x）＝logaeq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(x2＋\f（3,2)x）)（a＞0，且a≠1)在區(qū)間eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1，2），＋∞）)內(nèi)恒有f（x)＞0，則f（x)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A．(0，＋∞) B．(2，＋∞）C．（1，＋∞） D.eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1，2)，＋∞））解析：選A令M＝x2＋eq\f（3,2）x,則M>0，所以x＞0或x＜－eq\f（3,2)。當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1,2）,＋∞））時，M∈(1，＋∞），f(x)＞0，所以a＞1,又M＝x2＋eq\f（3，2）x圖象的對稱軸為x＝－eq\f(3,4)，且開口向上，故由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知,函數(shù)f(x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，＋∞)．2.設(shè)方程10x＝|lg(－x）｜的兩個根分別為x1,x2，則（)A．x1x2＜0 B．x1x2＝0C．x1x2＞1 D．0＜x1x2＜1解析：選D作出y＝10x與y＝｜lg（－x)｜的大致圖象如圖所示．顯然x1＜0，x2＜0。不妨設(shè)x1＜x2，則x1＜－1,－1＜x2＜0,所以10x1＝lg(－x1)，10x2＝－lg（－x2），此時10x1＜10x2，即lg(－x1）＜－lg（－x2），由此得lg（x1x2）＜0,所以0＜x1x2＜1.3．設(shè)2a＝5b＝m，且eq\f(1，a)＋eq\f（1,b）＝2,則m＝________.解析:因為2a＝5b＝m所以a＝log2m，b＝log5所以eq\f（1,a)＋eq\f（1,b)＝eq\f(1,log2m）＋eq\f（1，log5m)＝logm2＋logm5＝logm10＝2，所以m2＝10，m＝eq\r(10)。答案：eq\r(10）4．（2018·沈陽質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x）＝｜log3x|，實數(shù)m，n滿