2019版數(shù)學(xué)（理）高分計劃一輪高分講義：第10章　計數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布 10.7　離散型隨機(jī)變量及其分布列

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精10。7離散型隨機(jī)變量及其分布列[知識梳理]1．離散型隨機(jī)變量隨著試驗結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機(jī)變量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示．所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量，稱為離散型隨機(jī)變量．2．離散型隨機(jī)變量的分布列及性質(zhì)(1)一般地，若離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為x1，x2,…，xi，…，xn，X取每一個值xi(i＝1,2,…，n)的概率P（X＝xi)＝pi，則表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn稱為離散型隨機(jī)變量X的概率分布列，簡稱為X的分布列,有時為了表達(dá)簡單，也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n表示X的分布列．（2)離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)①pi≥0(i＝1,2，…，n）；②eq\a\vs4\al（\i\su（i＝1,n,p)i＝1）。3．常見離散型隨機(jī)變量的分布列（1)兩點分布若隨機(jī)變量X服從兩點分布，即其分布列為X01P1－pp，其中p＝P(X＝1）稱為成功概率．(2）超幾何分布在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則P（X＝k）＝eq\f（C\o\al(k,M)C\o\al（n－k，N－M)，C\o\al（n,N）)，k＝0，1,2，…,m，其中m＝min｛M，n}，且n≤N,M≤N，n,M，N∈N＊。X01…mPeq\f(C\o\al(0，M）C\o\al（n－0，N－M),C\o\al（n，N)）eq\f(C\o\al（1，M）C\o\al(n－1,N－M)，C\o\al(n，N）)…eq\f（C\o\al(m,M)C\o\al(n－m,N－M），C\o\al（n，N))如果隨機(jī)變量X的分布列具有上表的形式，則稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布．［診斷自測］1．概念思辨(1）隨機(jī)試驗的結(jié)果與隨機(jī)變量是一種映射關(guān)系，即每一個試驗結(jié)果都有唯一的隨機(jī)變量的值與之對應(yīng)。()(2）離散型隨機(jī)變量的各個可能值表示的事件是彼此互斥的．(）(3)離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和．（）（4)若隨機(jī)變量X的分布列由下表給出，X25P0。30。7則它服從兩點分布．()答案(1）√（2)√（3)√(4)×2．教材衍化（1)(選修A2－3P49A組T5）設(shè)離散型隨機(jī)變量ξξ1234Peq\f（1，10）eq\f(2,10)eq\f(3,10）eq\f(4，10）則Peq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1,2)<ξ<\f（5,2))）＝________.答案eq\f(3,10）解析Peq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1,2)<ξ〈\f（5，2)))＝P(ξ＝1）＋P（ξ＝2）＝eq\f(1，10）＋eq\f（2,10）＝eq\f(3,10)。(2）（選修A2－3P49T3)從一副52張（去掉兩張王）的撲克牌中任取5張,其中黑桃張數(shù)的概率分布公式是________，黑桃不多于1張的概率是________．答案P(ξ＝k)＝eq\f(C\o\al(k，13)C\o\al(5－k，39），C\o\al(5，52））（k＝0,1,2,3,4，5）0。633解析P（ξ＝k)＝eq\f（C\o\al(k,13)C\o\al(5－k,39），C\o\al（5，52））(k＝0，1，2,3，4，5)；P(ξ≤1）＝P(ξ＝0）＋P(ξ＝1）≈0.222＋0.411＝0。633.3．小題熱身（1）袋中有除標(biāo)號不同外其余均相同的5個鋼球，分別標(biāo)有1，2,3,4,5五個號碼．在有放回地抽取條件下依次取出2個球，設(shè)兩個球號碼之和為隨機(jī)變量ξ，則ξ所有可能值的個數(shù)是（)A．25B．10C．9D．5答案C解析第一次可取號碼為1，2,3，4,5中的任意一個,由于是有放回地抽取,第二次也可取號碼為1,2，3，4,5中的任何一個，兩個球的號碼之和可能為2，3,4，5,6,7,8，9,10。故選C。（2)（2018·安康質(zhì)檢)設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布列為X1234Peq\f(1,3)meq\f(1，4）eq\f（1，6)則P(｜X－3｜＝1)＝________.答案eq\f(5，12）解析由eq\f(1,3)＋m＋eq\f(1,4)＋eq\f（1,6）＝1，解得m＝eq\f（1,4），P（｜X－3｜＝1)＝P（X＝2)＋P（X＝4)＝eq\f（1，4)＋eq\f(1，6）＝eq\f（5,12）。題型1離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)eq\o（典例)設(shè)隨機(jī)變量ξ的分布列Peq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(ξ＝\f(k,5)）)＝ak（k＝1，2,3，4,5)．(1)求常數(shù)a的值;（2)求Peq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（ξ≥\f（3，5))）;（3)求Peq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1,10）<ξ<\f(7，10））).解由已知分布列為：ξeq\f(1,5)eq\f（2，5）eq\f（3,5)eq\f(4，5）eq\f(5，5)Pa2345（1）由a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，得a＝eq\f(1，15）(2）Peq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(ξ≥\f(3,5）)）＝Peq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（ξ＝\f（3,5）））＋Peq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(ξ＝\f（4，5）））＋P(ξ＝1)＝eq\f(3,15)＋eq\f（4,15）＋eq\f(5，15）＝eq\f(4,5)，或Peq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（ξ≥\f（3,5）)）＝1－Peq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（ξ≤\f(2,5)))＝1－eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1,15)＋\f（2，15）））＝eq\f（4,5）。(3)因為eq\f（1,10）<ξ〈eq\f(7，10）只有ξ＝eq\f（1,5),eq\f(2，5）,eq\f（3，5）滿足，故Peq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1,10）〈ξ<\f(7，10)））＝Peq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(ξ＝\f（1，5）)）＋Peq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（ξ＝\f(2,5)))＋Peq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(ξ＝\f（3,5))）＝eq\f(1,15)＋eq\f（2,15)＋eq\f(3,15)＝eq\f(2,5）.[條件探究1]若將典例條件“Peq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（ξ＝\f(k，5)））＝ak,k＝1,2，3，4，5”變?yōu)椤癙（ξ＝i）＝aeq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(2，3）)）i,i＝1，2，3”，求a的值．解∵P(ξ＝i)＝aeq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（2,3)））i(i＝1,2,3）∴eq\f（2，3)a＋eq\f（4,9）a＋eq\f(8，27）a＝1,得a＝eq\f(27,38）.［條件探究2]若將典例條件變?yōu)椤癙(ξ＝n)＝eq\f(a,nn＋1）（n＝1，2,3,4)．"求Peq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1,2)〈ξ<\f(5,2）））的值．解∵P（ξ＝n）＝eq\f（a，nn＋1)?！鄀q\f(a，2）＋eq\f（a，6)＋eq\f（a,12）＋eq\f（a,20)＝1，∴a＝eq\f(5,4)。Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1,2）〈ξ<\f（5,2)））＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2）＝eq\f(5,6).方法技巧1．分布列性質(zhì)的兩個作用(1)利用分布列中各事件概率之和為1可求參數(shù)的值及檢查分布列的正確性．(2)隨機(jī)變量X所取的值分別對應(yīng)的事件是兩兩互斥的,利用這一點可以求隨機(jī)變量在某個范圍內(nèi)的概率．提醒：求分布列中的參數(shù)值時，要保證每個概率值均為非負(fù)數(shù)．2．隨機(jī)變量X的線性組合的概率及分布列問題（1）隨機(jī)變量X的線性組合η＝aX＋b（a，b∈R）是隨機(jī)變量．（2)求η＝aX＋b的分布列可先求出相應(yīng)隨機(jī)變量的值，再根據(jù)對應(yīng)的概率寫出分布列．沖關(guān)針對訓(xùn)練1．隨機(jī)變量X的分布列如下：X－101Pabc其中a，b，c成等差數(shù)列,則P（|X|＝1）＝________.答案eq\f（2，3）解析a、b、c成等差數(shù)列,2b＝a＋c，又a＋b＋c＝1,∴b＝eq\f（1,3)，∴P（|X|＝1）＝a＋c＝eq\f(2,3）。2．設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為X01234P0。20.10。10.3m求：(1）2X＋1的分布列；(2）｜X－1｜的分布列．解由分布列的性質(zhì)知：0．2＋0。1＋0.1＋0。3＋m＝1，∴m＝0。3.首先列表為X012342X＋113579|X－1｜10123從而由上表得兩個分布列為（1)2X＋1的分布列2X＋113579P0.20。10。10.30。3（2)｜X－1|的分布列｜X－1|0123P0.10.30。30.3題型2超幾何分布eq\o(典例)（2017·山東高考）在心理學(xué)研究中，常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響,具體方法如下：將參加試驗的志愿者隨機(jī)分成兩組,一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評價兩種心理暗示的作用．現(xiàn)有6名男志愿者A1,A2，A3，A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3，B4,從中隨機(jī)抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示．（1)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率;（2)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望E（X）．解(1)記接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件為M，則P(M)＝eq\f(C\o\al（4,8），C\o\al（5，10))＝eq\f（5,18）.(2)由題意知X可取的值為0，1，2,3，4，則P（X＝0)＝eq\f(C\o\al(5,6）,C\o\al(5,10））＝eq\f(1，42)，P（X＝1)＝eq\f（C\o\al（4，6）C\o\al（1，4)，C\o\al(5，10))＝eq\f（5,21），P（X＝2）＝eq\f(C\o\al（3，6）C\o\al(2,4),C\o\al（5，10))＝eq\f（10，21），P(X＝3）＝eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(3,4),C\o\al（5，10)）＝eq\f(5,21）,P（X＝4)＝eq\f（C\o\al(1，6)C\o\al(4,4),C\o\al（5,10))＝eq\f（1,42）。因此X的分布列為X01234Peq\f（1,42）eq\f(5，21）eq\f(10，21)eq\f(5,21）eq\f(1,42）X的數(shù)學(xué)期望是E(X）＝0×P(X＝0）＋1×P(X＝1）＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3）＋4×P(X＝4）＝0＋1×eq\f(5,21)＋2×eq\f(10,21)＋3×eq\f(5,21）＋4×eq\f（1,42)＝2.方法技巧1．超幾何分布的兩個特點(1)超幾何分布是不放回抽樣問題．（2)隨機(jī)變量為抽到的某類個體的個數(shù)．2．超幾何分布的應(yīng)用條件及實質(zhì)（1）條件：①考察對象分兩類；②已知各類對象的個數(shù)；③從中抽取若干個個體,考察某類個體個數(shù)ξ的概率分布．(2）實質(zhì)：超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型，其實質(zhì)是古典概型．沖關(guān)針對訓(xùn)練(2015·重慶高考）端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習(xí)俗．設(shè)一盤中裝有10個粽子,其中豆沙粽2個，肉粽3個，白粽5個，這三種粽子的外觀完全相同，從中任意選取3個．(1)求三種粽子各取到1個的概率；(2)設(shè)X表示取到的豆沙粽個數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．解(1)令A(yù)表示事件“三種粽子各取到1個"，則由古典概型的概率計算公式有P（A)＝eq\f(C\o\al(1,2）C\o\al(1,3）C\o\al（1,5），C\o\al(3,10））＝eq\f（1,4)。(2)X的所有可能值為0,1，2，且P(X＝0）＝eq\f(C\o\al（3,8),C\o\al(3，10))＝eq\f（7，15)，P（X＝1）＝eq\f（C\o\al（1，2）C\o\al(2，8),C\o\al(3，10））＝eq\f（7，15），P（X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al（1,8),C\o\al（3，10）)＝eq\f（1,15）.綜上知，X的分布列為X012Peq\f(7，15）eq\f（7,15)eq\f（1,15)故E(X）＝0×eq\f(7,15）＋1×eq\f(7,15)＋2×eq\f(1,15)＝eq\f(3，5)(個）.題型3求離散型隨機(jī)變量的分布列角度1與互斥事件有關(guān)的分布列問題eq\o（典例)（2015·安徽高考)已知2件次品和3件正品混放在一起，現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分，每次隨機(jī)檢測一件產(chǎn)品,檢測后不放回，直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時檢測結(jié)束．（1）求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率；（2)已知每檢測一件產(chǎn)品需要費用100元,設(shè)X表示直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時所需要的檢測費用(單位：元),求X的分布列和均值（數(shù)學(xué)期望）．解(1）記“第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品"為事件A，則P(A)＝eq\f（A\o\al(1,2）A\o\al（1，3），A\o\al(2,5)）＝eq\f(3，10).（2)X的可能取值為200,300,400。P(X＝200)＝eq\f（A\o\al（2,2),A\o\al（2,5））＝eq\f（1，10）,P(X＝300)＝eq\f（A\o\al(3,3）＋C\o\al（1,2）C\o\al(1,3)A\o\al（2，2),A\o\al(3,5)）＝eq\f(3,10)，P(X＝400)＝1－P（X＝200）－P（X＝300）＝1－eq\f(1,10）－eq\f（3，10)＝eq\f(6，10)。故X的分布列為X200300400Peq\f(1,10)eq\f（3，10)eq\f（6,10）E（X）＝200×eq\f（1，10）＋300×eq\f（3,10）＋400×eq\f（6，10)＝350（元)．角度2與獨立事件（或獨立重復(fù)試驗）有關(guān)的分布列問題eq\o（典例)(2017·天津高考)從甲地到乙地要經(jīng)過3個十字路口，設(shè)各路口信號燈工作相互獨立,且在各路口遇到紅燈的概率分別為eq\f(1,2），eq\f（1，3），eq\f（1,4).(1)記X表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2）若有2輛車獨立地從甲地到乙地，求這2輛車共遇到1個紅燈的概率．解（1）隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2，3.P(X＝0）＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（1－\f（1,2）))×eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3））)×eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f（1，4))）＝eq\f（1,4），P（X＝1）＝eq\f(1,2）×eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(1－\f(1，3)))×eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（1－\f（1，4））)＋eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)））×eq\f(1,3）×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（1－\f（1,4)）)＋eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(1－\f（1,2））)×eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)）)×eq\f(1,4）＝eq\f(11,24），P（X＝2)＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(1－\f（1，2)))×eq\f（1,3）×eq\f(1,4）＋eq\f(1，2）×eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（1－\f(1,3)）)×eq\f（1，4）＋eq\f（1，2）×eq\f（1，3)×eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(1－\f（1，4）））＝eq\f（1，4），P(X＝3)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f（1,4)＝eq\f（1,24）。所以隨機(jī)變量X的分布列為X0123Peq\f(1，4）eq\f（11,24）eq\f(1,4)eq\f（1,24）隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝0×eq\f（1，4)＋1×eq\f(11,24）＋2×eq\f(1，4）＋3×eq\f（1,24）＝eq\f（13,12)。(2)設(shè)Y表示第一輛車遇到紅燈的個數(shù)，Z表示第二輛車遇到紅燈的個數(shù)，則所求事件的概率為P(Y＋Z＝1）＝P（Y＝0，Z＝1）＋P（Y＝1，Z＝0)＝P(Y＝0)P（Z＝1)＋P（Y＝1)P（Z＝0）＝eq\f(1，4)×eq\f(11,24）＋eq\f（11，24)×eq\f(1,4)＝eq\f（11,48）。所以這2輛車共遇到1個紅燈的概率為eq\f（11,48）。方法技巧離散型隨機(jī)變量分布列的求解步驟1．明取值：明確隨機(jī)變量的可能取值有哪些，且每一個取值所表示的意義．2．求概率：要弄清楚隨機(jī)變量的概率類型,利用相關(guān)公式求出變量所對應(yīng)的概率．3．畫表格:按規(guī)范要求形式寫出分布列．4．做檢驗:利用分布列的性質(zhì)檢驗分布列是否正確．提醒:求隨機(jī)變量某一范圍內(nèi)取值的概率，要注意它在這個范圍內(nèi)的概率等于這個范圍內(nèi)各概率值的和．沖關(guān)針對訓(xùn)練乒乓球臺面被球網(wǎng)分隔成甲、乙兩部分，如圖，甲上有兩個不相交的區(qū)域A,B，乙被劃分為兩個不相交的區(qū)域C，D，某次測試要求隊員接到落點在甲上的來球后向乙回球．規(guī)定：回球一次，落點在C上記3分,在D上記1分,其他情況記0分．對落點在A上的來球,隊員小明回球的落點在C上的概率為eq\f(1，2)，在D上的概率為eq\f(1,3）;對落點在B上的來球，小明回球的落點在C上的概率為eq\f(1，5),在D上的概率為eq\f(3，5)。假設(shè)共有兩次來球且落在A，B上各一次,小明的兩次回球互不影響．求：（1)小明兩次回球的落點中恰有一次的落點在乙上的概率；（2）兩次回球結(jié)束后,小明得分之和ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望．解(1）記Ai為事件“小明對落點在A上的來球回球的得分為i分”（i＝0,1，3）,則P(A3）＝eq\f(1,2），P(A1)＝eq\f(1,3)，P(A0）＝1－eq\f（1,2）－eq\f(1，3）＝eq\f(1，6).記Bi為事件“小明對落點在B上的來球回球的得分為i分"(i＝0，1，3）,則P(B3)＝eq\f（1,5），P（B1）＝eq\f（3，5），P（B0）＝1－eq\f（1,5）－eq\f（3，5）＝eq\f(1,5)。記D為事件“小明兩次回球的落點中恰有1次的落點在乙上”．由題意,D＝A3B0＋A1B0＋A0B1＋A0B3，由事件的獨立性和互斥性，P(D)＝P（A3B0＋A1B0＋A0B1＋A0B3）＝P（A3B0）＋P（A1B0）＋P(A0B1)＋P（A0B3)＝P（A3)P（B0）＋P（A1）P(B0)＋P（A0）P（B1）＋P（A0)P(B3)＝eq\f（1,2）×eq\f（1，5）＋eq\f(1，3)×eq\f(1,5）＋eq\f(1，6)×eq\f（3,5)＋eq\f（1，6)×eq\f(1，5)＝eq\f（3，10),所以小明兩次回球的落點中恰有1次的落點在乙上的概率為eq\f（3，10）.(2）由題意，隨機(jī)變量ξ可能的取值為0，1，2,3，4，6，由事件的獨立性和互斥性，得P（ξ＝0)＝P（A0B0）＝eq\f（1，6）×eq\f(1,5)＝eq\f（1,30），P(ξ＝1)＝P（A1B0＋A0B1）＝P(A1B0）＋P(A0B1）＝eq\f（1,3)×eq\f（1,5)＋eq\f(1,6）×eq\f(3，5)＝eq\f（1,6），P(ξ＝2)＝P(A1B1)＝eq\f（1，3）×eq\f(3，5)＝eq\f(1，5)，P(ξ＝3）＝P(A3B0＋A0B3)＝P（A3B0)＋P（A0B3）＝eq\f（1，2)×eq\f（1,5）＋eq\f(1，5)×eq\f（1,6)＝eq\f(2,15），P（ξ＝4）＝P（A3B1＋A1B3）＝P(A3B1)＋P（A1B3）＝eq\f（1，2)×eq\f(3,5)＋eq\f（1,3）×eq\f(1,5）＝eq\f(11，30），P（ξ＝6）＝P（A3B3）＝eq\f（1,2）×eq\f（1，5)＝eq\f(1,10）.可得隨機(jī)變量ξ的分布列為ξ012346Peq\f（1,30）eq\f(1，6）eq\f(1,5）eq\f（2,15）eq\f（11,30）eq\f（1,10）所以數(shù)學(xué)期望E（ξ）＝0×eq\f(1，30)＋1×eq\f（1,6)＋2×eq\f(1,5）＋3×eq\f(2,15）＋4×eq\f（11，30）＋6×eq\f(1,10）＝eq\f(91,30）。1．(2016·天津高考)某小組共10人，利用假期參加義工活動,已知參加義工活動次數(shù)為1,2,3的人數(shù)分別為3,3，4?，F(xiàn)從這10人中隨機(jī)選出2人作為該組代表參加座談會．（1)設(shè)A為事件“選出的2人參加義工活動次數(shù)之和為4",求事件A（2）設(shè)X為選出的2人參加義工活動次數(shù)之差的絕對值，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．解（1）由已知,有P(A）＝eq\f（C\o\al(1，3)C\o\al（1，4)＋C\o\al(2，3)，C\o\al(2,10))＝eq\f(1,3)。所以，事件A發(fā)生的概率為eq\f（1，3).（2）隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1，2。P（X＝0)＝eq\f(C\o\al（2，3）＋C\o\al(2，3)＋C\o\al（2,4),C\o\al(2，10））＝eq\f（4，15），P(X＝1）＝eq\f（C\o\al（1,3)C\o\al(1,3)＋C\o\al(1，3)C\o\al(1,4），C\o\al（2，10））＝eq\f（7，15），P(X＝2)＝eq\f（C\o\al（1,3）C\o\al(1,4）,C\o\al(2,10))＝eq\f（4,15）。所以，隨機(jī)變量X的分布列為X012Peq\f（4,15)eq\f(7，15)eq\f(4,15)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E（X)＝0×eq\f(4，15）＋1×eq\f（7,15)＋2×eq\f（4，15）＝1.2．（2018·山西八校聯(lián)考）某大型汽車城為了了解銷售單價(單位：萬元）在［8，20]內(nèi)的轎車的銷售情況，從2016年上半年已經(jīng)銷售的轎車中隨機(jī)抽取100輛，獲得的所有樣本數(shù)據(jù)按照[8,10）,[10，12)，［12,14），［14,16）,[16，18）,[18,20］分成6組，制成如圖所示的頻率分布直方圖．已知樣本中銷售單價在[14,16）內(nèi)的轎車數(shù)是銷售單價在［18,20]內(nèi)的轎車數(shù)的2倍．(1）求出x與y，再根據(jù)頻率分布直方圖估計這100輛轎車銷售單價的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表);(2）若將頻率視為概率，從這批轎車中有放回地隨機(jī)抽取3輛，求至少有1輛轎車的銷售單價在［14,16)內(nèi)的概率;（3）用分層抽樣的方法從銷售單價在［8,20]內(nèi)的轎車中共抽取20輛，再從抽出的20輛轎車中隨機(jī)抽取2輛，X表示這2輛轎車中銷售單價在［10，12）內(nèi)的轎車的數(shù)量，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X）．解(1）樣本中轎車的銷售單價在［14,16）內(nèi)的轎車數(shù)是x×2×100＝200x，樣本中轎車的銷售單價在［18，20］內(nèi)的轎車數(shù)是y×2×100＝200y，依題意，有200x＝2×200y，即x＝2y，①根據(jù)頻率分布直方圖可知（0。1×2＋0。025＋x＋0.05＋y）×2＝1，②由①②得x＝0。15，y＝0。075。根據(jù)頻率分布直方圖估計這100輛轎車銷售單價的平均數(shù)為eq\f（8＋10,2）×0。025×2＋eq\f(10＋12，2)×0.05×2＋eq\f（12＋14,2）×0.1×2＋eq\f（14＋16，2)×0。15×2＋eq\f（16＋18,2）×0.1×2＋eq\f（18＋20，2)×0.075×2＝0。45＋1。1＋2.6＋4。5＋3.4＋2.85＝14.9（萬元）．（2)若將頻率視為概率,從這批轎車中有放回地隨機(jī)抽取3輛,則至少有1輛轎車的銷售單價在［14，16）內(nèi)的概率為1－Ceq\o\al(0，3)（0.3）0×(0.7）3＝1－0.343＝0.657.（3）因為銷售單價在[8，10)，［10，12)，[12，14），［14,16），［16，18），［18，20］的轎車的分層抽樣比為1∶2∶4∶6∶4∶3，故在抽取的20輛轎車中，銷售單價在［10，12)內(nèi)的轎車有20×eq\f（2,20)＝2(輛),X的所有可能取值為0，1，2，則P（X＝0）＝eq\f(C\o\al（0，2)C\o\al(2,18),C\o\al（2,20））＝eq\f（153,190)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1，2)C\o\al(1，18），C\o\al(2,20）)＝eq\f(36，190)＝eq\f（18，95），P(X＝2）＝eq\f（C\o\al(2，2），C\o\al（2,20））＝eq\f(1，190)。所以X的分布列為X012Peq\f（153,190)eq\f(18，95)eq\f(1,190）E(X)＝0×eq\f(153,190)＋1×eq\f(18,95）＋2×eq\f（1,190）＝eq\f(1，5).［重點保分兩級優(yōu)選練］A級一、選擇題1．設(shè)某項試驗的成功率是失敗率的2倍，用隨機(jī)變量X去描述1次試驗的成功次數(shù),則P（X＝0）等于（)A．0B。eq\f（1，2)C.eq\f（1，3)D.eq\f(2,3)答案C解析P（X＝1)＝2P(X＝0),且P（X＝1）＋P（X＝0）＝1。所以P(X＝0)＝eq\f（1，3).故選C。2．若某一隨機(jī)變量X的概率分布如下表，且m＋2n＝1.2,則m－eq\f（n，2)的值為(）X0123P0。1mn0.1A．－0.2B．0.2C．0。1D．－0.1答案B解析由m＋n＋0.2＝1，又m＋2n＝1.2,可得m＝n＝0。4，m－eq\f（n，2)＝0.2.故選B。3．袋中有大小相同的紅球6個、白球5個,從袋中每次任意取出1個球,直到取出的球是白球時為止,所需要的取球次數(shù)為隨機(jī)變量ξ,則ξ的可能值為()A．1，2，…，6 B．1，2,…,7C．1,2，…,11 D．1,2，3,…答案B解析除白球外,其他的還有6個球，因此取到白球時取球次數(shù)最少為1次,最多為7次．故選B。4．設(shè)X是一個離散型隨機(jī)變量，其分布列為：X－101P0。51－2qq2則q等于（）A．1B．1±eq\f(\r(2），2)C．1－eq\f（\r（2）,2）D．1＋eq\f(\r（2),2）答案C解析由分布列的性質(zhì)得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤1－2q〈1，，0≤q2<1,,0.5＋1－2q＋q2＝1）)?eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(0<q≤\f（1,2)，，q＝1±\f（\r(2），2），））∴q＝1－eq\f（\r(2）,2)，故選C。5．已知某一隨機(jī)變量X的概率分布如下，且E（X)＝6。9，則a的值為（）X4a9Pm0.20。5A．5B．6C．7D．8答案B解析因為在分布列中，各變量的概率之和為1，所以m＝1－（0.2＋0.5）＝0。3，由數(shù)學(xué)期望的計算公式，可得4×0。3＋a×0。2＋9×0.5＝6。9，a＝6，故選B。6．已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為X012P0.51－2qeq\f(1，3)q則P（eq\r（X）∈Z)＝(）A．0。9B．0。8C．0。7D．0。6答案A解析由分布列性質(zhì)得0。5＋1－2q＋eq\f（1，3）q＝1,解得q＝0.3，∴P(eq\r（X)∈Z）＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝0.5＋1－2×0。3＝0.9，故選A。7．(2017·泰安模擬)若P(X≤x2）＝1－β，P（X≥x1）＝1－α，其中x1〈x2，則P(x1≤X≤x2)等于（)A．（1－α）（1－β) B．1－（α＋β)C．1－α（1－β) D．1－β（1－α)答案B解析顯然P（X＞x2)＝β,P(X〈x1）＝α。由概率分布列的性質(zhì)可知P（x1≤X≤x2）＝1－P（X〉x2）－P(X<x1）＝1－α－β.故選B。8．（2018·濰坊模擬）若隨機(jī)變量X的分布列為X－2－10123P0。10。20。20.30.10.1則當(dāng)P(X〈a）＝0.8時，實數(shù)a的取值范圍是（）A．(－∞，2］B．[1，2]C．（1，2]D．（1,2）答案C解析由隨機(jī)變量X的分布列,知P（X<－1）＝0。1,P（X〈0)＝0。3，P(X<1)＝0。5，P(X<2)＝0.8,則當(dāng)P（X〈a）＝0.8時，實數(shù)a的取值范圍是（1，2］．故選C。9．（2017·煙臺模擬）一只袋內(nèi)裝有m個白球，n－m個黑球，連續(xù)不放回地從袋中取球，直到取出黑球為止，設(shè)此時取出了ξ個白球，下列概率等于eq\f(n－mA\o\al（2，m),A\o\al（3，n)）的是（）A．P（ξ＝3)B．P（ξ≥2)C．P(ξ≤3）D．P(ξ＝2）答案D解析依題意知，eq\f(n－mA\o\al(2，m)，A\o\al（3，n))是取了3次，所以取出白球應(yīng)為2個．故選D.10．袋中有20個大小相同的球，其中記上0號的有10個,記上n號的有n個（n＝1，2,3,4）．現(xiàn)從袋中任取一球,ξ表示所取球的標(biāo)號．若η＝aξ－2，E(η)＝1，則a的值為()A．2B．－2C．1。5D．3答案A解析由題意知ξ的可能取值為0,1，2,3，4，則ξ的分布列為ξ01234Peq\f（1，2)eq\f（1，20)eq\f（1,10）eq\f（3,20）eq\f（1,5)∴E（ξ）＝0×eq\f（1,2)＋1×eq\f（1,20)＋2×eq\f(1,10)＋3×eq\f（3，20)＋4×eq\f（1，5)＝eq\f(3,2)，∵η＝aξ－2，E（η)＝1，∴aE(ξ)－2＝1,∴eq\f（3，2)a－2＝1,解得a＝2。故選A。二、填空題11．設(shè)隨機(jī)變量X等可能取值1，2,3，…，n，如果P(X〈4）＝0。3,那么n＝________.答案10解析由于隨機(jī)變量X等可能取1，2，3,…，n。所以取到每個數(shù)的概率均為eq\f（1,n)。∴P(X〈4)＝P(X＝1）＋P(X＝2）＋P(X＝3)＝eq\f（3,n)＝0。3，∴n＝10。12．（2018·臨汾聯(lián)考）口袋中有5只球,編號為1,2,3，4,5，從中任意取3只球,以X表示取出的球的最大號碼，則X的分布列為________．答案X345P0.10.30.6解析X的取值為3,4,5.又P（X＝3）＝eq\f（1，C\o\al（3,5）)＝eq\f（1，10）,P（X＝4)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(3，5））＝eq\f(3，10），P（X＝5）＝eq\f(C\o\al（2，4），C\o\al(3，5））＝eq\f（3，5)?！嚯S機(jī)變量X的分布列為X345P0。10。30。613．已知甲盒內(nèi)有大小相同的1個紅球和3個黑球,乙盒內(nèi)有大小相同的2個紅球和4個黑球，現(xiàn)從甲、乙兩個盒內(nèi)各任取2個球．設(shè)ξ為取出的4個球中紅球的個數(shù)，則P(ξ＝2)＝________.答案eq\f(3,10)解析ξ可能取的值為0，1，2,3，P(ξ＝0）＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(2，4)，C\o\al（2，4）C\o\al（2，6））＝eq\f（1，5），P（ξ＝1)＝eq\f（C\o\al(1，3）C\o\al（2，4)＋C\o\al(2，3）C\o\al(1,2)C\o\al（1，4),C\o\al（2,4）C\o\al(2,6）)＝eq\f(7,15)，又P（ξ＝3)＝eq\f（C\o\al(1，3),C\o\al(2，4)C\o\al（2，6))＝eq\f（1,30)，∴P（ξ＝2)＝1－P（ξ＝0）－P(ξ＝1）－P(ξ＝3）＝1－eq\f（1，5）－eq\f(7，15)－eq\f（1，30)＝eq\f(3，10)。14．如圖所示，A,B兩點5條連線并聯(lián),它們在單位時間內(nèi)能通過的最大信息量依次為2,3,4,3,2?，F(xiàn)記從中任取三條線且在單位時間內(nèi)都通過的最大信息總量為ξ，則P(ξ≥8）＝________.答案eq\f(4,5）解析解法一：由已知，ξ的取值為7,8，9,10,∵P（ξ＝7)＝eq\f(C\o\al(2,2）C\o\al（1，2)，C\o\al（3,5)）＝eq\f（1，5)，P（ξ＝8）＝eq\f(C\o\al(2,2）C\o\al（1,1)＋C\o\al（1,2）C\o\al(2，2),C\o\al（3，5））＝eq\f（3,10)，P（ξ＝9）＝eq\f（C\o\al（1，2）C\o\al(1,2）C\o\al（1，1),C\o\al（3，5））＝eq\f（2，5)，P（ξ＝10）＝eq\f（C\o\al(2,2）C\o\al(1，1)，C\o\al(3，5)）＝eq\f(1,10），∴ξ的概率分布列為ξ78910Peq\f(1，5)eq\f(3,10)eq\f（2，5）eq\f（1,10）∴P（ξ≥8)＝P(ξ＝8）＋P(ξ＝9)＋P（ξ＝10)＝eq\f(3,10)＋eq\f(2，5)＋eq\f(1，10)＝eq\f（4,5）。解法二：P（ξ≥8)＝1－P(ξ＝7）＝eq\f(4，5).B級三、解答題15．（2018·太原模擬）根據(jù)某電子商務(wù)平臺的調(diào)查統(tǒng)計顯示,參與調(diào)查的1000位上網(wǎng)購物者的年齡情況如圖所示．（1)已知［30，40)，[40,50)，［50,60)三個年齡段的上網(wǎng)購物者人數(shù)成等差數(shù)列，求a，b的值；(2)該電子商務(wù)平臺將年齡在［30,50）內(nèi)的人群定義為高消費人群,其他年齡段的人群定義為潛在消費人群，為了鼓勵潛在消費人群的消費，該平臺決定發(fā)放代金券，高消費人群每人發(fā)放50元的代金券，潛在消費人群每人發(fā)放100元的代金券，現(xiàn)采用分層抽樣的方式從參與調(diào)查的1000位上網(wǎng)購物者中抽取10人，并在這10人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行回訪，求此3人獲得的代金券總和X(單位:元）的分布列與數(shù)學(xué)期望．解(1）由題意可知eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(2b＝a＋0。015，，0.01＋0.015×2＋b＋a×10＝1，))解得a＝0。035，b＝0。025.（2)利用分層抽樣從樣本中抽取10人，易知其中屬于高消費人群的有6人，屬于潛在消費人群的有4人．從該10人中抽取3人，此3人所獲得的代金券的總和為X(單位：元），則X的所有可能取值為150，200，250，300.P（X＝150)＝eq\f(C\o\al（3,6）,C\o\al（3,10)）＝eq\f(1，6），P(X＝200)＝eq\f(C\o\al（2,6)C\o\al(1,4），C\o\al(3，10)）＝eq\f(1,2)，P(X＝250)＝eq\f（C\o\al(1,6）C\o\al(2,4)，C\o\al（3，10))＝eq\f（3,10）,P（X＝300)＝eq\f（C\o\al（3，4),C\o\al（3,10）)＝eq\f(1，30）.X的分布列為X150200250300Peq\f（1，6)eq\f(1，2）eq\f(3，10)eq\f(1,30)E（X)＝150×eq\f（1,6)＋200×eq\f(1,2）＋250×eq\f（3，10)＋300×eq\f（1，30)＝210。16．一批產(chǎn)品需要進(jìn)行質(zhì)量檢驗,檢驗方案是:先從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗，這4件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)記為n.如果n＝3，再從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗，若都為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過檢驗；如果n＝4，再從這批產(chǎn)品中任取1件作檢驗，若為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過檢驗;其他情況下，這批產(chǎn)品都不能通過檢驗．假設(shè)這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為50%，即取出的每件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的概率都為eq\f（1,2）,且各件產(chǎn)品是否為優(yōu)質(zhì)品相互獨立．（1)求這批產(chǎn)品通過檢驗的概率；(2）已知每件產(chǎn)品的檢驗費用為100元，且抽取的每件產(chǎn)品都需要檢驗，對這批產(chǎn)品作質(zhì)量檢驗所需的費用記為X(單位：元),求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．解(1)設(shè)第一次取出的4件產(chǎn)品中恰有3件優(yōu)質(zhì)品為事件A1，第一次取出的4件產(chǎn)品全是優(yōu)質(zhì)品為事件A2，第二次取出的4件產(chǎn)品都是優(yōu)質(zhì)品為事件B1，第二次取出的1件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品為事件B2，這批產(chǎn)品通過檢驗為事件A,依題意有A＝(A1B1）∪（A2B2)，且A1B1與A2B2互斥，所以P(A）＝P(A1B1)＋P（A2B2）＝P（A1)P（B1｜A1）＋P(A2）P（B2｜A2）＝eq\f(4，16）×eq\f(1,16）＋eq\f(1,16）×eq\f（1，2）＝eq\f(3,64）。（2)X可能的取值為400,500,800，并且P(X＝400）＝1－eq\f（4，16）－eq\f(1,16）＝eq\f（11,16)，P（X＝500)＝eq\f（1,16)，P(X＝800）＝eq\f(1,4).所以X的分布列為X400500800Peq\f（11，16）eq\f(1,16）eq\f（1，4)E（X）＝400×eq\f（11，16)＋500×eq\f（1,16）＋800×eq\f(1,4)＝506.25.17．(2018·廣州測試)班主任為了對本班學(xué)生的考試成績進(jìn)行分析，決定從本班24名女同學(xué)，18名男同學(xué)中隨機(jī)抽取一個容量為7的樣本進(jìn)行分析．（1)如果按照性別比例分層抽樣，可以得到多少個不同的樣本?(寫出算式即可,不必計算出結(jié)果）（2)如果隨機(jī)抽取的7名同學(xué)的數(shù)學(xué)、物理成績(單位：分）對應(yīng)如下表：學(xué)生序號i1234567數(shù)學(xué)成績xi60657075858790物理成績yi70778085908693①若規(guī)定85分以上(包括85分）為優(yōu)秀，從這7名同學(xué)中抽取3名同學(xué)，記3名同學(xué)中數(shù)學(xué)和物理成績均為優(yōu)秀的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；②根據(jù)上表數(shù)據(jù)，求物理成績y關(guān)于數(shù)學(xué)成績x的線性回歸方程（系數(shù)精確到0。01)；若班上某位同學(xué)的數(shù)學(xué)成績?yōu)?6分，預(yù)測該同學(xué)的物理成績?yōu)槎嗌俜郑扛剑壕€性回歸方程y＝eq\o(b，\s\up16(^)）x＋eq\o(a,\s\up16（^）），其中eq\o(b，\s\up16(^))＝eq\f（\o(∑，\s\up16（n）,\s\do10（i＝1)）xi－\x\to（x)yi－\x\to(y),\o(∑,\s\up16(n），\s\do10（i＝1））xi－\x\to（x)2），eq\o(a,\s\up16（^))＝eq\o（y，\s\up16（－)）－eq\o（b，\s\up16(^))eq\x\to（x).eq\x\to（x）eq\x\to（y)eq\o（∑,\s\up16（7),\s\do10（i＝1)）（xi－eq\x\to(x))2eq\o(∑,\s\up16（7）,\s\do10(i＝1）)(xi－eq\x\to(x）)（yi－eq\x\to(y))7683812526解(1)依據(jù)分層抽樣的方法,24名女同學(xué)中應(yīng)抽取的人數(shù)為eq\f(7,42)×24＝4名,18名男同學(xué)中應(yīng)抽取的人數(shù)為eq