2019版文科數(shù)學(xué)大第十一章 概率11.2 含答案

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精§11。2古典概型最新考綱考情考向分析1。理解古典概型及其概率計(jì)算公式.2.會(huì)計(jì)算一些隨機(jī)事件所包含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率。全國(guó)Ⅰ對(duì)古典概型每年都會(huì)考查,主要考查實(shí)際背景的可能事件，通常與互斥事件、對(duì)立事件一起考查．在高考中單獨(dú)命題時(shí)，通常以選擇題、填空題形式出現(xiàn)，屬于中低檔題；與統(tǒng)計(jì)等知識(shí)結(jié)合在一起考查時(shí),以解答題形式出現(xiàn)，屬中檔題。1．基本事件的特點(diǎn)（1）任何兩個(gè)基本事件是互斥的；(2）任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．2．古典概型具有以下兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型稱為古典概率模型，簡(jiǎn)稱古典概型．(1)試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)；（2)每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等．3．如果一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個(gè)，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個(gè)基本事件的概率都是eq\f(1,n）；如果某個(gè)事件A包括的結(jié)果有m個(gè)，那么事件A的概率P（A）＝eq\f（m,n）。4．古典概型的概率公式P(A)＝eq\f（A包含的基本事件的個(gè)數(shù)，基本事件的總數(shù)）.題組一思考辨析1．判斷下列結(jié)論是否正確（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)（1）“在適宜條件下,種下一粒種子觀察它是否發(fā)芽”屬于古典概型，其基本事件是“發(fā)芽”與“不發(fā)芽”．(×)（2)擲一枚硬幣兩次，出現(xiàn)“兩個(gè)正面"“一正一反”“兩個(gè)反面”，這三個(gè)結(jié)果是等可能事件．（×）(3)從市場(chǎng)上出售的標(biāo)準(zhǔn)為500±5g的袋裝食鹽中任取一袋測(cè)其重量，屬于古典概型．（×)（4)有3個(gè)興趣小組，甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個(gè)小組，每位同學(xué)參加各個(gè)小組的可能性相同，則這兩位同學(xué)參加同一個(gè)興趣小組的概率為eq\f(1,3).(√）(5）從1,2,3,4,5中任取出兩個(gè)不同的數(shù)，其和為5的概率是0.2.（√）（6）在古典概型中，如果事件A中基本事件構(gòu)成集合A,且集合A中的元素個(gè)數(shù)為n，所有的基本事件構(gòu)成集合I，且集合I中元素個(gè)數(shù)為m，則事件A的概率為eq\f(n,m）.(√）題組二教材改編2．[P127例3］一個(gè)盒子里裝有標(biāo)號(hào)為1，2，3,4的4張卡片,隨機(jī)地抽取2張，則取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的概率是(）A.eq\f(1，4） B.eq\f（1，3)C.eq\f（1，2) D.eq\f(2，3）答案D解析抽取兩張卡片的基本事件有：（1，2），(1，3)，(1，4)，（2,3)，（2,4），（3，4)，共6種,和為奇數(shù)的事件有:(1,2），（1,4）,（2，3)，(3，4）,共4種．∴所求概率為eq\f(4，6）＝eq\f（2,3）.3．［P145A組T5]袋中裝有6個(gè)白球，5個(gè)黃球，4個(gè)紅球，從中任取一球，則取到白球的概率為（）A.eq\f(2,5） B。eq\f（4，15）C.eq\f（3，5） D。eq\f（2,3）答案A解析從袋中任取一球，有15種取法,其中取到白球的取法有6種，則所求概率為P＝eq\f（6,15)＝eq\f（2，5）.4．[P133T4]同時(shí)擲兩個(gè)骰子，向上點(diǎn)數(shù)不相同的概率為_(kāi)_______．答案eq\f（5，6)解析擲兩個(gè)骰子一次，向上的點(diǎn)數(shù)共6×6＝36(種）可能的結(jié)果,其中點(diǎn)數(shù)相同的結(jié)果共有6種，所以點(diǎn)數(shù)不相同的概率P＝1－eq\f（6，6×6）＝eq\f(5,6)。題組三易錯(cuò)自糾5．將2本不同的數(shù)學(xué)書(shū)和1本語(yǔ)文書(shū)在書(shū)架上隨機(jī)排成一行，則2本數(shù)學(xué)書(shū)相鄰的概率為（)A.eq\f(1，2) B.eq\f（1，3)C.eq\f(2,3） D.eq\f（5，6)答案C解析設(shè)兩本不同的數(shù)學(xué)書(shū)為a1，a2,1本語(yǔ)文書(shū)為b，則在書(shū)架上的擺放方法有a1a2b,a1ba2,a2a1b,a2ba1，ba1a2,ba2a1，共6種，其中數(shù)學(xué)書(shū)相鄰的有4種．因此2本數(shù)學(xué)書(shū)相鄰的概率P＝eq\f(4,6)＝eq\f(2，3）.6．將號(hào)碼分別為1，2,3,4的四個(gè)小球放入一個(gè)袋中，這些小球僅號(hào)碼不同，其余完全相同，甲從袋中摸出一個(gè)小球，其號(hào)碼為a，放回后，乙從此袋中再摸出一個(gè)小球,其號(hào)碼為b，則使不等式a－2b＋4<0成立的事件發(fā)生的概率為_(kāi)_______．答案eq\f(1,4)解析由題意知（a，b）的所有可能結(jié)果有4×4＝16（種），其中滿足a－2b＋4〈0的有(1,3)，（1，4)，(2，4）,（3，4)，共4種結(jié)果．故所求事件的概率P＝eq\f(4，16）＝eq\f(1，4）。題型一基本事件與古典概型的判斷1．下列試驗(yàn)中,古典概型的個(gè)數(shù)為(）①向上拋一枚質(zhì)地不均勻的硬幣，觀察正面向上的概率;②向正方形ABCD內(nèi)，任意拋擲一點(diǎn)P，點(diǎn)P恰與點(diǎn)C重合;③從1,2，3，4四個(gè)數(shù)中，任取兩個(gè)數(shù)，求所取兩數(shù)之一是2的概率；④在線段[0,5］上任取一點(diǎn),求此點(diǎn)小于2的概率．A．0B．1C．2D．3答案B解析①中，硬幣質(zhì)地不均勻，不是等可能事件，所以不是古典概型；②④的基本事件都不是有限個(gè)，不是古典概型；③符合古典概型的特點(diǎn)，是古典概型．2．(2018·沈陽(yáng)模擬)有兩個(gè)正四面體的玩具，其四個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3，4，下面做投擲這兩個(gè)正四面體玩具的試驗(yàn)：用(x，y)表示結(jié)果，其中x表示第1個(gè)正四面體玩具出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),y表示第2個(gè)正四面體玩具出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)．試寫(xiě)出：(1)試驗(yàn)的基本事件；(2)事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和大于3”包含的基本事件；（3）事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)相等”包含的基本事件．解(1)這個(gè)試驗(yàn)的基本事件為（1,1),(1，2)，(1,3）,（1,4），（2，1),（2,2),（2，3),(2，4)，（3,1），（3,2),（3,3)，（3，4),（4,1）,(4，2），（4,3)，（4，4)．（2）事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和大于3”包含的基本事件為（1，3)，（1,4）,(2,2）,（2，3），(2,4),(3,1），（3，2），(3,3），（3,4）,（4，1），（4，2），(4,3)，(4,4)．（3）事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)相等”包含的基本事件為(1,1），（2,2）,（3,3),（4，4）．3．袋中有大小相同的5個(gè)白球，3個(gè)黑球和3個(gè)紅球,每球有一個(gè)區(qū)別于其他球的編號(hào)，從中摸出一個(gè)球．(1）有多少種不同的摸法?如果把每個(gè)球的編號(hào)看作一個(gè)基本事件建立概率模型，該模型是不是古典概型?(2）若按球的顏色為劃分基本事件的依據(jù)，有多少個(gè)基本事件？以這些基本事件建立概率模型，該模型是不是古典概型?解(1）由于共有11個(gè)球，且每個(gè)球有不同的編號(hào)，故共有11種不同的摸法．又因?yàn)樗星虼笮∠嗤?因此每個(gè)球被摸中的可能性相等，故以球的編號(hào)為基本事件的概率模型為古典概型．（2)由于11個(gè)球共有3種顏色，因此共有3個(gè)基本事件，分別記為A：“摸到白球”，B：“摸到黑球”，C:“摸到紅球”，又因?yàn)樗星虼笮∠嗤?，所以一次摸球每個(gè)球被摸中的可能性均為eq\f（1,11),而白球有5個(gè)，故一次摸球摸到白球的可能性為eq\f（5,11),同理可知摸到黑球、紅球的可能性均為eq\f（3,11)，顯然這三個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性不相等，故以顏色為劃分基本事件的依據(jù)的概率模型不是古典概型．思維升華一個(gè)試驗(yàn)是否為古典概型,在于這個(gè)試驗(yàn)是否具有古典概型的兩個(gè)特點(diǎn)-—有限性和等可能性,只有同時(shí)具備這兩個(gè)特點(diǎn)的概型才是古典概型．題型二古典概型的求法典例（1)（2017·全國(guó)Ⅱ)從分別寫(xiě)有1，2,3,4,5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張,則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為（)A.eq\f(1，10) B.eq\f（1，5)C。eq\f(3，10） D.eq\f(2，5）答案D解析從5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張的情況如圖：基本事件總數(shù)為25，第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的事件數(shù)為10，∴所求概率P＝eq\f(10,25)＝eq\f(2,5)。（2)袋中有形狀、大小都相同的4個(gè)球，其中1個(gè)白球，1個(gè)紅球，2個(gè)黃球，從中一次隨機(jī)摸出2個(gè)球，則這2個(gè)球顏色不同的概率為_(kāi)_______．答案eq\f（5,6）解析設(shè)取出的2個(gè)球顏色不同為事件A,基本事件有:（白，紅），(白,黃)，(白，黃)，（紅，黃)，(紅,黃),(黃,黃),共6種，事件A包含5種，故P(A)＝eq\f(5,6）.(3）(2017·北京西城區(qū)期末)小波以游戲方式?jīng)Q定是去打球、唱歌還是去下棋．游戲規(guī)則為:以O(shè)為起點(diǎn)，從A1，A2，A3，A4，A5，A6（如圖)這6個(gè)點(diǎn)中任取2個(gè)點(diǎn)分別為終點(diǎn)得到兩個(gè)向量，記這兩個(gè)向量的數(shù)量積為X，若X〉0,就去打球，若X＝0,就去唱歌，若X<0，就去下棋，則小波不去唱歌的概率是________．答案eq\f（11,15)解析根據(jù)題意可知，X的所有可能取值為－2，－1，0，1.數(shù)量積為－2的有eq\o（OA2，\s\up6(→））·eq\o（OA5，\s\up6(→）），共1種；數(shù)量積為－1的有eq\o(OA1,\s\up6（→)）·eq\o(OA5,\s\up6(→)),eq\o（OA1,\s\up6(→)）·eq\o（OA6,\s\up6(→）），eq\o(OA2,\s\up6（→）)·eq\o（OA4,\s\up6（→）)，eq\o(OA2,\s\up6(→）)·eq\o(OA6,\s\up6（→）），eq\o（OA3,\s\up6（→）)·eq\o（OA4，\s\up6(→））,eq\o（OA3，\s\up6(→）)·eq\o（OA5,\s\up6（→）)，共6種;數(shù)量積為0的有eq\o(OA1，\s\up6(→）)·eq\o(OA3,\s\up6(→）），eq\o（OA1,\s\up6(→)）·eq\o(OA4，\s\up6（→))，eq\o(OA3，\s\up6（→)）·eq\o（OA6，\s\up6(→）)，eq\o(OA4，\s\up6(→）)·eq\o(OA6,\s\up6（→)），共4種；數(shù)量積為1的有eq\o（OA1，\s\up6(→)）·eq\o(OA2,\s\up6（→)），eq\o（OA2,\s\up6(→))·eq\o（OA3，\s\up6(→）)，eq\o(OA4，\s\up6(→))·eq\o（OA5，\s\up6(→）)，eq\o(OA5,\s\up6(→）)·eq\o（OA6,\s\up6（→）)，共4種，故所有可能的情況共有1＋6＋4＋4＝15(種)，其中X≠0的情況有1＋6＋4＝11(種）,故根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式知小波不去唱歌的概率P＝eq\f(11,15）。引申探究1．本例(2）中，若將4個(gè)球改為顏色相同，標(biāo)號(hào)分別為1，2,3，4的四個(gè)小球，從中一次取兩球，求標(biāo)號(hào)和為奇數(shù)的概率．解基本事件數(shù)仍為6.設(shè)標(biāo)號(hào)和為奇數(shù)為事件A，則A包含的基本事件為(1,2），（1,4)，（2,3），(3，4），共4種，所以P(A)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3）.2．本例(2)中，若將條件改為有放回地取球，取兩次，求兩次取球顏色相同的概率．解基本事件為（白，白）,(白，紅)，(白，黃）,（白，黃)，(紅，紅），(紅，白)，(紅，黃）,(紅，黃）,(黃，黃)，(黃，白），(黃,紅），(黃，黃)，（黃，黃），(黃，白）,（黃，紅）,（黃，黃），共16種，其中顏色相同的有6種，故所求概率P＝eq\f(6,16）＝eq\f(3,8)。思維升華求古典概型的概率的關(guān)鍵是求試驗(yàn)的基本事件的總數(shù)和事件A包含的基本事件的個(gè)數(shù)，這就需要正確列出基本事件,基本事件的表示方法有列舉法、列表法和樹(shù)狀圖法，具體應(yīng)用時(shí)可根據(jù)需要靈活選擇．跟蹤訓(xùn)練(2017·山東）某旅游愛(ài)好者計(jì)劃從3個(gè)亞洲國(guó)家A1,A2，A3和3個(gè)歐洲國(guó)家B1,B2，B3中選擇2個(gè)國(guó)家去旅游．（1）若從這6個(gè)國(guó)家中任選2個(gè)，求這2個(gè)國(guó)家都是亞洲國(guó)家的概率;（2）若從亞洲國(guó)家和歐洲國(guó)家中各任選1個(gè)，求這2個(gè)國(guó)家包括A1但不包括B1的概率．解(1）由題意知，從6個(gè)國(guó)家中任選2個(gè)國(guó)家，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有：｛A1，A2｝，{A1，A3｝，{A1，B1｝，{A1，B2},｛A1,B3}，｛A2,A3}，｛A2，B1｝，｛A2，B2｝,｛A2，B3｝，{A3，B1｝，｛A3，B2｝，｛A3,B3｝，｛B1，B2}，｛B1，B3}，{B2，B3｝，共15個(gè)．所選兩個(gè)國(guó)家都是亞洲國(guó)家的事件所包含的基本事件有:{A1，A2｝,{A1,A3},｛A2，A3}，共3個(gè),則所求事件的概率為P＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).（2)從亞洲國(guó)家和歐洲國(guó)家中各任選1個(gè)，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有:{A1,B1},{A1，B2｝，｛A1,B3}，｛A2,B1｝，{A2，B2｝,｛A2，B3},{A3,B1｝,｛A3,B2}，{A3，B3}，共9個(gè)．包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有：{A1，B2｝，｛A1，B3｝，共2個(gè)，則所求事件的概率為P＝eq\f(2,9).題型三古典概型與統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用典例（2017·鄭州模擬）空氣質(zhì)量指數(shù)（AirQualityIndex,簡(jiǎn)稱AQI)是定量描述空氣質(zhì)量狀況的指數(shù)，空氣質(zhì)量按照AQI大小分為六級(jí)：0～50為優(yōu)；51～100為良；101～150為輕度污染；151～200為中度污染；201~300為重度污染；>300為嚴(yán)重污染．一環(huán)保人士記錄了某地2016年某月10天的AQI的莖葉圖如圖所示．（1)利用該樣本估計(jì)該地本月空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良(AQI≤100）的天數(shù)；（按這個(gè)月總共有30天計(jì)算)（2)若從樣本中的空氣質(zhì)量不佳(AQI〉100)的這些天中，隨機(jī)地抽取兩天深入分析各種污染指標(biāo),求該兩天的空氣質(zhì)量等級(jí)恰好不同的概率．解(1）從莖葉圖中發(fā)現(xiàn)該樣本中空氣質(zhì)量?jī)?yōu)的天數(shù)為1，空氣質(zhì)量良的天數(shù)為3，故該樣本中空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的頻率為eq\f(4，10)＝eq\f(2，5），估計(jì)該月空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的頻率為eq\f（2，5)，從而估計(jì)該月空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的天數(shù)為30×eq\f（2,5）＝12。（2)該樣本中為輕度污染的共4天，分別記為a1，a2，a3,a4；為中度污染的共1天，記為b;為重度污染的共1天，記為c.從中隨機(jī)抽取兩天的所有可能結(jié)果有：（a1，a2)，（a1，a3）,（a1，a4），（a1，b），(a1,c),(a2，a3），(a2，a4)，（a2，b）,（a2，c)，(a3，a4），(a3，b)，（a3，c）,（a4，b），（a4,c），(b，c),共15個(gè)．其中空氣質(zhì)量等級(jí)恰好不同的結(jié)果有(a1，b），(a1，c），(a2,b），（a2,c),(a3，b)，（a3，c)，（a4,b)，（a4，c），(b，c)，共9個(gè)．所以該兩天的空氣質(zhì)量等級(jí)恰好不同的概率為eq\f(9,15)＝eq\f（3，5）。思維升華有關(guān)古典概型與統(tǒng)計(jì)結(jié)合的題型是高考考查概率的一個(gè)重要題型，已成為高考考查的熱點(diǎn)，概率與統(tǒng)計(jì)結(jié)合題，無(wú)論是直接描述還是利用概率分布表、頻率分布直方圖、莖葉圖等給出信息，準(zhǔn)確從題中提煉信息是解題的關(guān)鍵．跟蹤訓(xùn)練從某學(xué)校2016屆高三年級(jí)共800名男生中隨機(jī)抽取50名測(cè)量身高，被測(cè)學(xué)生身高全部介于155cm和195cm之間,將測(cè)量結(jié)果按如下方式分成八組：第一組[155，160）,第二組［160,165），…，第八組[190，195］，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分,已知第六組比第七組多1人，第一組和第八組人數(shù)相同．(1)求第六組、第七組的頻率并補(bǔ)充完整頻率分布直方圖;（2）若從身高屬于第六組和第八組的所有男生中隨機(jī)抽取兩名，記他們的身高分別為x,y,求|x－y｜≤5的概率．解(1）由頻率分布直方圖知，前五組的頻率為（0。008＋0.016＋0。04＋0.04＋0。06)×5＝0.82,所以后三組的頻率為1－0。82＝0.18，人數(shù)為0.18×50＝9，由頻率分布直方圖得第八組的頻率為0.008×5＝0。04,人數(shù)為0。04×50＝2，設(shè)第六組人數(shù)為m，則第七組人數(shù)為m－1,又m＋m－1＋2＝9，所以m＝4，即第六組人數(shù)為4,第七組人數(shù)為3，頻率分別為0.08，0。06，頻率除以組距分別等于0。016,0。012，則完整的頻率分布直方圖如圖所示：(2)由（1）知身高在［180，185)內(nèi)的男生有四名，設(shè)為a，b，c，d，身高在［190,195］的男生有兩名，設(shè)為A,B。若x，y∈［180，185），有ab，ac，ad，bc，bd,cd共6種情況；若x，y∈［190,195］,只有AB1種情況；若x，y分別在［180，185），［190,195］內(nèi)，有aA，bA，cA,dA，aB，bB，cB，dB共8種情況，所以基本事件的總數(shù)為6＋8＋1＝15，事件|x－y|≤5包含的基本事件的個(gè)數(shù)為6＋1＝7，故所求概率為eq\f（7，15)。六審細(xì)節(jié)更完善典例（12分)一個(gè)袋中裝有四個(gè)形狀大小完全相同的球，球的編號(hào)分別為1,2,3,4.(1)從袋中隨機(jī)取兩個(gè)球，求取出的球的編號(hào)之和不大于4的概率；（2)先從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，該球的編號(hào)為m，將球放回袋中,然后再?gòu)拇须S機(jī)取一個(gè)球，該球的編號(hào)為n，求n〈m＋2的概率．（1）基本事件為取兩個(gè)球↓(兩球一次取出，不分先后，可用集合的形式表示）把取兩個(gè)球的所有結(jié)果列舉出來(lái)↓{1,2｝,｛1，3｝，{1，4｝,{2,3}，｛2，4},｛3,4｝↓兩球編號(hào)之和不大于4(注意：和不大于4，應(yīng)為小于4或等于4）↓{1，2｝，{1,3｝↓利用古典概型概率公式求解P＝eq\f(2,6)＝eq\f（1,3）(2）兩球分兩次取，且有放回↓（兩球的編號(hào)記錄是有次序的,用坐標(biāo)的形式表示)基本事件的總數(shù)可用列舉法表示↓(1,1），(1，2），（1，3），(1,4)，（2，1），(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3，1)，（3,2),（3，3)，（3，4）,(4，1)，(4,2)，（4，3），(4，4）↓(注意細(xì)節(jié)，m是第1個(gè)球的編號(hào)，n是第2個(gè)球的編號(hào))n<m＋2的情況較多,計(jì)算復(fù)雜↓（將復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題）計(jì)算n≥m＋2的概率↓n≥m＋2的所有情況為（1，3），（1,4），(2,4）↓P1＝eq\f（3,16)↓注意細(xì)節(jié)，P1＝eq\f(3，16）是n≥m＋2的概率，需轉(zhuǎn)化為其對(duì)立事件的概率n<m＋2的概率為1－P1＝eq\f(13,16)。規(guī)范解答解（1)從袋中隨機(jī)取兩個(gè)球，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有{1，2}，{1，3｝，｛1,4}，｛2,3}，{2，4｝，｛3，4}，共6個(gè)．從袋中取出的球的編號(hào)之和不大于4的事件有｛1,2}，｛1，3｝，共2個(gè)．因此所求事件的概率P＝eq\f（2，6)＝eq\f（1，3).［4分](2）先從袋中隨機(jī)取一個(gè)球,記下編號(hào)為m，放回后,再?gòu)拇须S機(jī)取一個(gè)球，記下編號(hào)為n，其一切可能的結(jié)果有(1，1）,（1，2），（1，3)，(1，4),(2,1),（2,2),（2,3),（2，4)，（3，1）,(3,2)，（3，3）,（3，4），(4，1），(4,2)，（4,3），(4,4),共16個(gè)．[6分]又滿足條件n≥m＋2的事件為（1，3)，（1,4)，（2,4），共3個(gè),所以滿足條件n≥m＋2的事件的概率P1＝eq\f（3,16)。[10分］故滿足條件n<m＋2的事件的概率為1－P1＝1－eq\f(3,16）＝eq\f(13,16）。［12分］1．(2016·全國(guó)Ⅰ）為美化環(huán)境，從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個(gè)花壇中，余下的2種花種在另一個(gè)花壇中，則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是()A.eq\f(1，3)B.eq\f(1,2)C.eq\f（2，3)D.eq\f（5，6)答案C解析將4種顏色的花任選2種種在一個(gè)花壇中，余下2種種在另一個(gè)花壇中，有（（紅黃）、（白紫）），(（白紫）、（紅黃))，（（紅白)、（黃紫）),（(黃紫）、(紅白）),（(紅紫)、（黃白)），(（黃白)、（紅紫))，共6種種法，其中紅色和紫色不在一個(gè)花壇的種法有(（紅黃）、(白紫)),（(白紫）、（紅黃)），（（紅白)、(黃紫)），((黃紫），(紅白))，共4種,故所求概率為P＝eq\f(4,6)＝eq\f（2，3）.2．(2016·全國(guó)Ⅲ)小敏打開(kāi)計(jì)算機(jī)時(shí),忘記了開(kāi)機(jī)密碼的前兩位，只記得第一位是M,I，N中的一個(gè)字母，第二位是1,2,3,4，5中的一個(gè)數(shù)字,則小敏輸入一次密碼能夠成功開(kāi)機(jī)的概率是()A。eq\f（8，15）B。eq\f(1,8)C.eq\f（1，15）D。eq\f（1,30)答案C解析第一位是M，I，N中的一個(gè)字母,第二位是1,2，3，4,5中的一個(gè)數(shù)字，所以總的基本事件的個(gè)數(shù)為15,密碼正確只有一種，概率為eq\f（1,15），故選C.3．（2017·山東)從分別標(biāo)有1,2,…,9的9張卡片中不放回地隨機(jī)抽取2次，每次抽取1張,則抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率是（)A.eq\f（5，18)B。eq\f（4,9)C。eq\f(5,9）D.eq\f（7，9）答案C解析∵9張卡片中有5張奇數(shù)卡片，4張偶數(shù)卡片，且為不放回地隨機(jī)抽取,∴P(第一次抽到奇數(shù),第二次抽到偶數(shù))＝eq\f(5,9)×eq\f(4，8)＝eq\f（5,18），P（第一次抽到偶數(shù)，第二次抽到奇數(shù))＝eq\f(4,9）×eq\f（5,8）＝eq\f(5，18），∴P（抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同）＝eq\f（5，18）＋eq\f(5,18)＝eq\f(5,9)。故選C.4．（2016·北京)從甲、乙等5名學(xué)生中隨機(jī)選出2人，則甲被選中的概率為()A.eq\f(1,5） B.eq\f(2，5）C.eq\f(8,25） D。eq\f(9,25）答案B解析從甲、乙等5名學(xué)生中隨機(jī)選2人共有10種情況，甲被選中有4種情況，則甲被選中的概率為eq\f(4,10）＝eq\f(2,5）。5．在集合A＝｛2，3}中隨機(jī)取一個(gè)元素m，在集合B＝｛1，2,3}中隨機(jī)取一個(gè)元素n，得到點(diǎn)P（m，n），則點(diǎn)P在圓x2＋y2＝9內(nèi)部的概率為（)A。eq\f(1，2） B。eq\f(1,3）C.eq\f（3,4) D.eq\f(2,5)答案B解析點(diǎn)P（m，n)的情況為(2，1)，(2，2），（2,3）,（3,1)，（3，2)，（3，3)，共6種，只有(2，1）,（2，2)這2個(gè)點(diǎn)在圓x2＋y2＝9的內(nèi)部，所求概率為eq\f(2,6)＝eq\f(1,3）。6．設(shè)m，n分別是先后拋擲一枚骰子得到的點(diǎn)數(shù)，則在先后兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)中有5的條件下，方程x2＋mx＋n＝0有實(shí)根的概率為(）A。eq\f（11，36） B.eq\f(7,36)C。eq\f(7,11） D.eq\f(7，10)答案C解析先后兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)中有5的情況有：(1，5),(2，5)，(3,5），(4,5）,（5，5）,(6,5）,(5,1)，（5,2），（5,3），（5,4），(5,6)，共11種，其中使方程x2＋mx＋n＝0有實(shí)根的情況有：（5，5），（6,5)，(5,1)，（5，2），(5,3），(5,4），(5,6）,共7種．故所求事件的概率P＝eq\f(7，11)。7．（2016·四川)從2，3，8,9中任取兩個(gè)不同的數(shù)字,分別記為a，b,則logab為整數(shù)的概率是________．答案eq\f(1,6)解析從2,3，8，9中任取2個(gè)不同的數(shù)字，記為（a，b)，則有(2，3），(3,2)，(2,8)，（8,2）,（2,9),（9,2),（3,8），（8，3），（3,9)，(9，3），（8,9），（9，8)，共有12種情況，其中符合logab為整數(shù)的有l(wèi)og39和log28兩種情況,∴P＝eq\f(2,12）＝eq\f(1，6）。8。如圖所示的莖葉圖是甲、乙兩人在4次模擬測(cè)試中的成績(jī)，其中一個(gè)數(shù)字被污損，則甲的平均成績(jī)不超過(guò)乙的平均成績(jī)的概率為_(kāi)_______．答案0.3解析依題意,記題中被污損的數(shù)字為x，若甲的平均成績(jī)不超過(guò)乙的平均成績(jī)，則有（8＋9＋2＋1)－（5＋3＋x＋5）≤0，x≥7，即此時(shí)x的可能取值是7,8,9，因此甲的平均成績(jī)不超過(guò)乙的平均成績(jī)的概率P＝eq\f(3，10)＝0。3。9．在集合eq\b\lc\｛\rc\｝(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝\f(nπ,3），n＝1，2，3，…，10)）））中任取一個(gè)元素，所取元素恰好滿足方程cosx＝eq\f（1，2）的概率是________．答案eq\f（3,10）解析基本事件總數(shù)為10,滿足方程cosx＝eq\f(1,2)的基本事件數(shù)為3，故所求概率P＝eq\f(3，10）。10．在3張獎(jiǎng)券中有一、二等獎(jiǎng)各1張，另1張無(wú)獎(jiǎng)．甲、乙兩人各抽取1張，則兩人都中獎(jiǎng)的概率是________．答案eq\f(1,3)解析設(shè)中一、二等獎(jiǎng)及不中獎(jiǎng)分別記為1，2,0，那么甲、乙抽獎(jiǎng)結(jié)果有（1，2)，(1，0），(2，1)，(2，0），(0,1），（0，2),共6種．其中甲、乙都中獎(jiǎng)有（1,2），(2,1），共2種，所以P（A)＝eq\f(2，6）＝eq\f(1,3）。11．設(shè)連續(xù)拋擲兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別為m，n，令平面向量a＝（m，n),b＝(1，－3)．（1）求事件“a⊥b”發(fā)生的概率;（2)求事件“｜a｜≤|b|”發(fā)生的概率．解（1)由題意知，m∈｛1,2，3,4,5,6}，n∈{1,2，3,4，5,6},故（m，n）所有可能的情況共36種．因?yàn)閍⊥b,所以m－3n＝0，即m＝3n，有（3，1），（6,2),共2種，所以事件“a⊥b”發(fā)生的概率為eq\f(2，36)＝eq\f（1,18).（2）由|a｜≤|b｜，得m2＋n2≤10，有（1，1)，(1,2），(1，3），(2，1），（2，2)，（3，1），共6種，其概率為eq\f（6，36）＝eq\f(1，6).所以事件“|a｜≤|b｜”發(fā)生的概率為eq\f（1,6)。12．某中學(xué)調(diào)查了某班全部45名同學(xué)參加書(shū)法社團(tuán)和演講社團(tuán)的情況，數(shù)據(jù)如下表：（單位：人）參加書(shū)法社團(tuán)未參加書(shū)法社團(tuán)參加演講社團(tuán)85未參加演講社團(tuán)230（1)從該班隨機(jī)選1名同學(xué)，求該同學(xué)至少參加上述一個(gè)社團(tuán)的概率；（2）在既參加書(shū)法社團(tuán)又參加演講社團(tuán)的8名同學(xué)中，有5名男同學(xué)A1，A2，A3,A4，A5,3名女同學(xué)B1,B2，B3?，F(xiàn)從這5名男同學(xué)和3名女同學(xué)中各隨機(jī)選1人，求A1被選中且B1未被選中的概率．解（1）由調(diào)查數(shù)據(jù)可知，既未參加書(shū)法社團(tuán)又未參加演講社團(tuán)的同學(xué)有30人，故至少參加上述一個(gè)社團(tuán)的同學(xué)共有45－30＝15(人）,所以從該班隨機(jī)選1名同學(xué)，該同學(xué)至少參加上述一個(gè)社團(tuán)的概率P＝eq\f（15，45)＝eq\f(1,3）。（2）從這5名男同學(xué)和3名女同學(xué)中各隨機(jī)選1人，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有:{A1，B1},{A1,B2｝，{A1，B3}，｛A2，B1｝，{A2，B2｝,{A2，B3}，｛A3，B1},{A3，B2},{A3，B3｝，｛A4,B1｝,{A4,B2}，{A4，B3｝,｛A5，B1｝，{A5，B2｝,｛A5,B3｝，共15個(gè)．根據(jù)題意，這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的，事件“A1被選中且B1未被選中”所包含的基本事件有:｛A1，B2}，{A1，B3｝，共2個(gè)．因此，A1被選中且B1未被選中的概率P＝eq\f（2,15).13．連續(xù)2次拋擲一枚骰子（六個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2,3,4,5,6)，記“兩次向上的數(shù)字之和等于m”為事件A，則P(A）最大時(shí)，m＝________。答案7解析1＋1＝2，1＋2＝3，1＋3＝4,1＋4＝5，1＋5＝6，1＋6＝7,2＋1＝3,2＋2＝4，2＋3＝5，2＋4＝6,2＋5＝7，2＋6＝8，…，依次列出m的可能取值，知7出現(xiàn)次數(shù)最多．14.（2016·山東)某兒童樂(lè)園在“六一”兒童節(jié)推出了一項(xiàng)趣味活動(dòng)．參加活動(dòng)的兒童需轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示的轉(zhuǎn)盤(pán)兩次，每次轉(zhuǎn)動(dòng)后，待轉(zhuǎn)盤(pán)停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),記錄指針?biāo)竻^(qū)域中的數(shù)．設(shè)兩次記錄的數(shù)分別為x,y。獎(jiǎng)勵(lì)規(guī)則如下:①若xy≤3,則獎(jiǎng)勵(lì)玩具一個(gè);②若xy≥8，則獎(jiǎng)勵(lì)水杯一個(gè)；③其余情況獎(jiǎng)勵(lì)飲料一瓶．假設(shè)轉(zhuǎn)盤(pán)質(zhì)地均勻,四個(gè)區(qū)域劃分均勻，小亮準(zhǔn)備參加此項(xiàng)活動(dòng)．（1)求小亮獲得玩具的概率;(2）請(qǐng)比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小，并說(shuō)明理由．解（1)用數(shù)對(duì)（x，y）表示兒童參加