中考復(fù)習(xí) 圓的概念與性質(zhì)講義人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)

一次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)九年級(jí)年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)人教版中考第一輪復(fù)習(xí)講義課時(shí)21圓的有關(guān)概念和性質(zhì)知識(shí)梳理一、圓的有關(guān)概念及其對(duì)稱性1．圓的定義(1)圓是平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離等于定長的所有點(diǎn)組成的圖形．這個(gè)定點(diǎn)叫做圓心，定長叫做半徑(2)平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)繞一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周所形成的圖形叫做圓，定點(diǎn)叫做圓心，定點(diǎn)與動(dòng)點(diǎn)的連線段叫做半徑．2．圓的有關(guān)概念(1)連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦；(2)圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡稱?。?3)半徑相等的兩個(gè)圓是等圓；(4)在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等?。?．圓的對(duì)稱性(1)圓的軸對(duì)稱性：圓是軸對(duì)稱圖形，經(jīng)過圓心的每一條直線都是它的對(duì)稱軸；(2)圓的中心對(duì)稱性：圓是以圓心為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形；(3)圓是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形：圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，都能和原來的圖形重合．這就是圓的旋轉(zhuǎn)不變性．二、垂徑定理及推論1．垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．2．推論1(1)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧；(2)弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條??；(3)平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧．(高頻考點(diǎn))3．推論2圓的兩條平行弦所夾的弧相等．4．(1)過圓心；(2)平分弦(不是直徑)；(3)垂直于弦；(4)平分弦所對(duì)的優(yōu)弧；(5)平分弦所對(duì)的劣弧．若一條直線具備這五項(xiàng)中任意兩項(xiàng)，則必具備另外三項(xiàng)．三、圓心角、弧、弦之間的關(guān)系1．定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等．2．推論同圓或等圓中：(1)兩個(gè)圓心角相等；(2)兩條弧相等；(3)兩條弦相等．三項(xiàng)中有一項(xiàng)成立，則其余對(duì)應(yīng)的兩項(xiàng)也成立．四、圓心角與圓周角1．定義：頂點(diǎn)在圓心上的角叫做圓心角；頂點(diǎn)在圓上，角的兩邊和圓都相交的角叫做圓周角．2．性質(zhì)(1)圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)．(2)一條弧所對(duì)的圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)圓心角的度數(shù)的一半．（高頻考點(diǎn)）(3)同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，同圓或等圓中相等的圓周角所對(duì)的弧相等．(4)半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是90，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．（高頻考點(diǎn)）備考提示：1、在圓中，一條弦所對(duì)的圓心角只有一個(gè)，而它所對(duì)的圓周角有無數(shù)個(gè)，它們的關(guān)系是圓周角等于圓心角的一半；2作直弦所對(duì)的圓周角是圓中常作的輔助線.五、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)．典例探究和對(duì)點(diǎn)演練探究點(diǎn)1垂徑定理及其推論命題規(guī)律垂徑定理及其推理論是圓中的一個(gè)重要內(nèi)容，也是中考熱點(diǎn)問題。它揭示了弦、直徑及弦所對(duì)的弧之間的一種特殊的位置關(guān)系.解題時(shí)過圓心作已知弦的垂線是常用輔助線，其目的是應(yīng)用垂徑定理的有關(guān)結(jié)論.巧妙地應(yīng)用常用輔助線將會(huì)使你在解題過程中感受“山重水重疑無路，柳暗花明又一村”的驚喜，也會(huì)大大提高你的解題能力.如圖，CD為⊙O的直徑，弦AB⊥CD，垂足為M，若AB=12，OM：MD=5：8，則⊙O的周長為（）A．26π B．13π C． D．【解析】連接OA，根據(jù)垂徑定理得到AM=AB=6，設(shè)OM=5x，DM=8x，得到OA=OD=13x，根據(jù)勾股定理得到OA=×13，于是得到結(jié)論．∵CD為⊙O的直徑，弦AB⊥CD，∴AM=AB=6，∵OM：MD=5：8，∴設(shè)OM=5x，DM=8x，∴OA=OD=13x，∴AM=12x=6，∴x=，∴OA=×13，∴⊙O的周長=2OA?π=13π，故選B．【答案】B【總結(jié)】本題考查的是垂徑定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此題的關(guān)鍵。對(duì)點(diǎn)演練1.(

2022?荊門)如圖,

CD是圓0的弦，直徑AB⊥CD,垂足為E,若AB=12,

BE=3,則四邊形ACBD的面積為(

)A.B.C.

D.2.（2021?南充）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，CD＝2OE，則∠BCD的度數(shù)為（）A．15° B．22.5° C．30° D．45°3.（2021?廣安）如圖，公園內(nèi)有一個(gè)半徑為18米的圓形草坪，從A地走到B地有觀賞路（劣弧AB）和便民路（線段AB）．已知A、B是圓上的點(diǎn)，O為圓心，∠AOB＝120°，小強(qiáng)從A走到B，走便民路比走觀賞路少走（）米．A．6π﹣6 B．6π﹣9 C．12π﹣9 D．12π﹣184.（2021·廣西柳州）往水平放置的半徑為13cm的圓柱形容器內(nèi)裝入一些水以后，截面圖如圖所示，若水面寬度AB＝24cm，則水的最大深度為（）A．5cmB．8cmC．10cmD．12cm5.如圖所示，MN是⊙O的直徑，作AB⊥MN，垂足為點(diǎn)D，連接AM，AN，點(diǎn)C為上一點(diǎn)，且=，連接CM，交AB于點(diǎn)E，交AN于點(diǎn)F，現(xiàn)給出以下結(jié)論：AD=BD；②∠MAN=90°；③=；④∠ACM+∠ANM=∠MOB；⑤AE=MF．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．5探究點(diǎn)2圓心（周）角、弧、弦之間的關(guān)系命題規(guī)律這類題主要考查圓周角定理及其推論等幾何知識(shí)點(diǎn)及其應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用圓周角定理及其推論等幾何知識(shí)點(diǎn)來分析、判斷、推理或解答．如圖A，B，C是⊙O上的三個(gè)點(diǎn)，若∠AOC=100°，則∠ABC等于（）A．50° B．80° C．100° D．130°【解析】首先在上取點(diǎn)D，連接AD，CD，由圓周角定理即可求得∠D的度數(shù)，然后由圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，求得∠ABC的度數(shù)．∵∠AOC=100°，∴∠ADC=∠AOC=50°，∴∠ABC=180°﹣∠ADC=130°．故選D．【答案】D【總結(jié)】本題考查的是圓周角定理，熟知在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半是解答此題的關(guān)鍵．對(duì)點(diǎn)演練6.(

2022?巴中)如圖，AB為⊙0的直徑,弦CD交AB于點(diǎn)E,

eq\o(BC,\s\up5(⌒))=eq\o(BD,\s\up5(⌒)),∠CDB=30°,

AC=。則OE=

()A.B.C.1D.27.（2021?長沙）如圖，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，∠BAC＝54°，則∠BOC的度數(shù)為（）A．27° B．108° C．116° D．128°8.(2021·武漢)如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的弦，先將eq\o(BC,\s\up5(⌒))沿BC翻折交AB于點(diǎn)D，再將eq\o(BD,\s\up5(⌒))沿AB翻折交BC于點(diǎn)E．若eq\o(BE,\s\up5(⌒))＝eq\o(DE,\s\up5(⌒))，設(shè)∠ABC＝α，則α所在的范圍是（）．A．21.9°<α<22.3° B．22.3°<α<22.7° C．22.7°<α<23.1° D．23.1°<α<23.5°探究點(diǎn)3圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)命題規(guī)律這類題主要是綜合考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理及垂徑定理，熟知圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，DA=DC，∠CBE=50°，則∠DAC的大小為（）A．130° B．100° C．65° D．50°【解析】先根據(jù)補(bǔ)角的性質(zhì)求出∠ABC的度數(shù)，再由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出∠ADC的度數(shù)，由等腰三角形的性質(zhì)求得∠DAC的度數(shù)．∵∠CBE=50°，∴∠ABC=180°﹣∠CBE=180°﹣50°=130°，∵四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠D=180°﹣∠ABC=180°﹣130°=50°，∵DA=DC，∴∠DAC==65°，【答案】C．【總結(jié)】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)，即在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．對(duì)點(diǎn)演練9.(

2022?淮安)如圖,四邊形ABCD是⊙0的內(nèi)接四邊形,若∠AOC=

160°,則∠ABC的度數(shù)是(

)A.80°B.100°C.140°D.160°10.(2021·海南)如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，BE是⊙O的直徑，連接AE．若∠BCD＝2∠BAD，則∠DAE的度數(shù)是（）A．30° B．35° C．45° D．60°11.（2021?吉林?。┤鐖D，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)P為邊AD上任意一點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A，D重合）連接CP．若∠B＝120°，則∠APC的度數(shù)可能為（）A．30° B．45° C．50° D．65°重難點(diǎn)攻略攻略1利用垂徑定理求線段長度例1.如圖是“明清影視城”的一扇圓弧形門，小紅到紅安縣影視城游玩，他了解到這扇門的相關(guān)數(shù)據(jù)：這扇圓弧形門所在的圓與水平地面是相切的，AB=CD=0.25米，BD=1.5米，且AB、CD與水平地面都是垂直的．根據(jù)以上數(shù)據(jù)，請(qǐng)你幫小紅計(jì)算出這扇圓弧形門的最高點(diǎn)離地面的距離是（）A．2米 B．2.5米 C．2.4米 D．2.1米【分析】連接OF，交AC于點(diǎn)E，設(shè)圓O的半徑為R米，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可．解：連接OF，交AC于點(diǎn)E，∵BD是⊙O的切線，∴OF⊥BD，∵四邊形ABDC是矩形，∴AD∥BD，∴OE⊥AC，EF=AB，設(shè)圓O的半徑為R，在Rt△AOE中，AE===0.75米，OE=R﹣AB=R﹣0.25，∵AE2+OE2=OA2，∴0.752+（R﹣0.25）2=R2，解得R=1.25．1.25×2=2.5（米）．答：這扇圓弧形門的最高點(diǎn)離地面的距離是2.5米．故選：B．【方法技巧】本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用，掌握平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦是解題的關(guān)鍵，注意勾股定理的靈活運(yùn)用．類題拓展1．(2022?鄂州)工人師傅為檢測該廠生產(chǎn)的一種鐵球的大小是否符合要求，設(shè)計(jì)了一個(gè)如圖(1)所示的工件槽，其兩個(gè)底角均為90°,將形狀規(guī)則的鐵球放入槽內(nèi)時(shí).若同時(shí)具有圖(1)所示的A、B、E三個(gè)接觸點(diǎn),該球的大小就符合要求。圖(2)是過球心及A、B、E三點(diǎn)的截面示意圖，已知⊙O的直徑就是鉄球的直徑,

AB是⊙O的弦,

CD切⊙O于點(diǎn)E,

AC⊥CD、BD⊥CD,若CD=16cm,AC=BD=4cm,則這種鐵球的直徑為(

)A.

10cmв.15cmC.

20cmD.24cm2．（2021?自貢）如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)F，OE⊥AC于點(diǎn)E，若OE＝3，OB＝5，則CD的長度是（）A．9.6 B．45 C．53 D．103.(2021·恩施)《九章算術(shù)》被尊為古代數(shù)學(xué)“群經(jīng)之首”，其卷九勾股篇記載：今有圓材埋于壁中，不知大?。凿忎徶钜淮?，鋸道長一尺．問徑幾何？如圖，大意是，今有一圓柱形木材，埋在墻壁中，不知其大小，用鋸去鋸這木材，鋸口深CD等于1寸，鋸道AB長1尺，問圓形木材的直徑是多少？（1尺＝10寸）答：圓材直徑寸．4.(

2022·青海)如圖是一個(gè)隧道的橫截面，它的形狀是以點(diǎn)0為圓心的圓的一部分,如果C是⊙0中弦AB的中點(diǎn),

CD經(jīng)過圓心0交⊙0于點(diǎn)D,并且AB=4m,CD=6m,則⊙0的半徑長為m.攻略二利用圓心角、圓周角關(guān)系求角的大小例2.如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，D，E在⊙O上，若∠AED=20°，則∠BCD的度數(shù)為（）A．100° B．110° C．115° D．120°【分析】連接AC，根據(jù)圓周角定理，可分別求出∠ACB=90°，∠ACD=20°，即可求∠BCD的度數(shù)．解：連接AC，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∵∠AED=20°，∴∠ACD=20°，∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=110°，故選B．【方法技巧】1）圓心角與圓周角的比較方法名稱圓心角圓周角區(qū)別頂點(diǎn)在圓心頂點(diǎn)在圓上在同圓中，一條弧所對(duì)的圓心角是唯一的在同圓中，一條弧所對(duì)的圓周角有無數(shù)個(gè)聯(lián)系兩邊都和圓相交（2）一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。類題拓展5.（2022·阜新）如圖，A,B,C是⊙O上的三點(diǎn)，則∠ABO的度數(shù)是（）A．35° B．55° C．60° D．70°6.（2021·荊州）如圖，矩形OABC的邊OA，OC分別在x軸、y軸的正半軸上，點(diǎn)D在OA的延長線上，若A（2，0），D（4，0），以O(shè)為圓心、OD長為半徑的弧經(jīng)過點(diǎn)B，交y軸正半軸于點(diǎn)E，連接DE，BE，則∠BED的度數(shù)是（）A．15° B．22.5° C．30° D．45°7.(2021·黃石).如圖，、是上的兩點(diǎn)，，交于點(diǎn)，則等于（）A. B. C. D.8.如圖，⊙O為△ABC的外接圓，∠A=72°，則∠BCO的度數(shù)為（）A．15° B．18° C．20° D．28°易錯(cuò)點(diǎn)分析誤區(qū)一因考慮問題不全面而出現(xiàn)漏解例1已知⊙O的半徑為5，弦AB=6，P是AB上任意一點(diǎn)，點(diǎn)C是劣弧的中點(diǎn)，若△POC為直角三角形，則PB的長度（C）A．1 B．5 C．1或5 D．2或4【分析】由點(diǎn)C是劣弧的中點(diǎn)，得到OC垂直平分AB，求得DA=DB=3，根據(jù)勾股定理得到OD==1，若△POC為直角三角形，只能是∠OPC=90°，則根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到PD=2，于是得到結(jié)論．【易錯(cuò)警示】本題沒有給出圖形，在繪圖時(shí)容易忽略點(diǎn)P可以在C點(diǎn)兩側(cè)，從而漏解，能根據(jù)題意正確畫出圖形是本題的關(guān)鍵。誤區(qū)二不能正確理解弧、弦、圓心角之間的關(guān)系例2在同圓中，若AB=2CD，則與的大小關(guān)系是（A）A．AB＞2CD B．AB＜2CD C．AB=2CD D．不能確定【分析】先根據(jù)題意畫出圖形，找出兩相同的弦CD、DE，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得到CE與CD+DE的關(guān)系，再比較出AB與CE的長，利用圓心角、弧、弦的關(guān)系進(jìn)行解答即可．如圖所示，CD=DE，AB=2CD，在△CDE中，∵CD=DE，∴CE＜CD+DE，即CE＜2CD=AB，∴CE＜AB，∴＜．【易錯(cuò)警示】在同圓或等圓中，弧長之間的倍數(shù)關(guān)系與對(duì)應(yīng)弦長之間的倍數(shù)關(guān)系不相等，即若=n,AB≠nBC.課堂演練1.(

2022?棗莊)將量角器按如圖所示的方式放置在三角形紙板上,使點(diǎn)C在半圓上.點(diǎn)A,

B的讀數(shù)分別為86°30",則∠ACB的度數(shù)是(

)A.28°B.30°C.36°D.

56°2.(

2022·西藏)如圏，AB是⊙O的弦，OC⊥AB,垂足為C,

OD∥AB,

OC=OD,則∠ABD的度數(shù)為()A.90°в.

95°C.

100°D.105°3.（2021?涼山州）點(diǎn)P是⊙O內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)P的最長弦的長為10cm，最短弦的長為6cm，則OP的長為（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm4.（2022?安徽）已知⊙O的半徑為7，AB為⊙O的弦，點(diǎn)P在弦AB上，若PA=2，PB=6，則OP=（）A． B．4 C． D．55.（2021?紹興）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)P在⊙O上，則∠BPC的度數(shù)為（）A．30° B．45° C．60° D．90°6.(2021·邵陽)如圖，點(diǎn)A，B，C是⊙O上的三點(diǎn)．若∠AOC＝90°，∠BAC＝30°，則∠AOB的大小為（）A．25° B．30° C．35° D．40°7.如圖，⊙O中，如果∠AOB=2∠COD，那么（）A．AB=DC B．AB＜DC C．AB＜2DC D．AB＞2DC8.（2021?重慶）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，若∠A＝80°，則∠C的度數(shù)是（）A．80° B．100° C．110° D．120°9.(2021·鄂州)筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理，如圖1．筒車盛水桶的運(yùn)行軌道是以軸心為圓心的圓，如圖2．已知圓心在水面上方，且被水面截得的弦長為6米，半徑長為4米．若點(diǎn)為運(yùn)行軌道的最低點(diǎn)，則點(diǎn)到弦所在直線的距離是（）圖1圖2A．1米B．米C．2米D．米10.如圖，AB是⊙O的直徑，==，∠COD=34°，則∠AEO的度數(shù)是（）A．51° B．56° C．68° D．78°11.如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于E，已知CD=12，BE=2，則⊙O的直徑為（）A．8 B．10 C．16 D．2012.如圖，⊙O的直徑CD=5cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為M，OM：OD=3：5．則AB的長是（）A．2cm B．3cm C．4cm D．2cm13.如圖，半徑為5的⊙P與y軸相交于M（0，﹣4），N（0，﹣10）兩點(diǎn)，則圓心P的坐標(biāo)為（