高考數(shù)學應用題解法探求2022年高考數(shù)學試卷

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近年來高考試題對緊密聯(lián)系生產(chǎn)和生活實際的應用性問題的測驗力度一向很大，分析近年高考應用題不難察覺，試題從實際啟程，背景公允，設(shè)問別致、生動，而解決這些問題所涉及的學識又都是高中數(shù)學大綱所要求掌管的概念、公式、定理和法那么等根基學識和根本方法，所涉及的數(shù)學學識無外乎函數(shù)、三角函數(shù)、導數(shù)、方程、不等式、數(shù)列、立體幾何、解析幾何等高中數(shù)學中最根本、最重要的內(nèi)容。當然，一個概括的應用問題往往會涉及其中的幾個學識點。所以我們平日理應留心查看現(xiàn)實世界并經(jīng)?？磿x報，以努力拓寬自已的學識面，對于一些常識性的概念如“復利”、“百分點”、“本息和”、“利潤”等，都應成為我們熟知的詞語。此外，環(huán)境、能源、人口、養(yǎng)分保健、學識經(jīng)濟，科技生產(chǎn)等方面的學識我們也要予以高度重視。?

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一、與數(shù)列、不等式有關(guān)的應用問題?

企業(yè)利潤，技術(shù)改造，經(jīng)濟轉(zhuǎn)型是時下社會經(jīng)濟生活中的熱點話題。?

利用等差數(shù)列和等比數(shù)列求和最終建立函數(shù)模型。?

某企業(yè)2022年的純利潤為500萬元，因設(shè)備老化等理由，企業(yè)的生產(chǎn)才能將逐年下降．若不能舉行技術(shù)改造，預料從今年(2022年)起每年比上一年純利潤裁減20萬元，今年初該企業(yè)一次性投入資金600萬元舉行技術(shù)改造，預料在未扣除技術(shù)改造資金的處境下，第n年(今年為第一年)的利潤為5001+12?n萬元．?

（1）設(shè)從今年起的前n年，若該企業(yè)不舉行技術(shù)改造的累計純利潤為A?n萬元，舉行技術(shù)改造后的累計純利潤為B?n萬元（須扣除技術(shù)改造資金），求A?n、B?n的表達式；?

（2）依上述預料，從今年起該企業(yè)至少經(jīng)過多少年，舉行技術(shù)改造后的累計純利潤超過不舉行技術(shù)改造的累計純利潤？?

解析（1）依題設(shè)，A?1=480,d=－20.?

A?n=480n+nn－12－20=490n－10n?2.?

B?n=5001+12+1+12?2+…+1+12?n－600=500n－5002?n－100．?

?（2）B?n－A?n=500n－5002?n－100－(490n－10n?2)??

=10n?2+10n－5002?n－100?

=10n(n+1)－502?n－10．?

∵函數(shù)y=x(x+1)－502?x－10在（0，+∞）上為增函數(shù)，?

∴當1≤n≤3時，?

n(n+1)－502?n－10≤12－508－100．?

∴僅當n≥4時，B?n>A?n，故至少經(jīng)過4年，該企業(yè)舉行技改后的累計純利潤超過不舉行技改的累計純利潤．?

點撥此題的兩個數(shù)學模型分別是：不舉行技術(shù)改造的純利潤為等差數(shù)列，舉行技術(shù)改造后的純利潤為等比數(shù)列，留神到，A??n?，B?n分別是等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項的和，第（2）問解題時，能查看到關(guān)于n的函數(shù)10nn+1－502?n－10是一個增函數(shù)是解題的關(guān)鍵。?

二、與解析幾何有關(guān)的應用問題?

工程作業(yè)中如何操作最省時省力是較有現(xiàn)實意義的問題。?

將實際問題轉(zhuǎn)化為距離差值為定值的雙曲線問題。?

某工程要挖一個橫斷面為半圓的柱形的坑，挖出的土只能沿道路AP、BP運到P處（如下圖）．已知PA=100?m?，PB=?150?m??，∠APB=60?°?，試說明怎樣運土最省工．?

解析以AB所在直線為x軸，線段AB的中點為原點建立直角坐標系xOy，?

設(shè)M（x，y）是沿AP、BP運土同樣遠的點，那么|MA|+|PA|=|MB|+|PB|，

∴|MA|－|MB|=|PB|－|PA|=50．

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在△PAB中，由余弦定理得|AB|?2=|PA|?2+?|PB|?2－??2|PA|?|PB|?cos?60?°?=17500，且?50＜?|AB|．?

由雙曲線定義知M點在以A、B為焦點的雙曲線右支上，設(shè)雙曲線方程為x?2a?2－y?2b?2=1(a＞0，b＞0)．?

∵2a=50,?4c?2=17500,?c?2=a?2+b?2解之得a?2=625,?b?2=3750,?

∴M點軌跡是x?2625－y?23750=1在半圓內(nèi)的一段雙曲線?。?

∴運土時將雙曲線左側(cè)的土沿AP運到P處，右側(cè)的土沿BP運到P處最省工．?

點撥此題是不等量與等量關(guān)系問題，涉及到分類思想，通過建立直角坐標系，利用點的性質(zhì)，構(gòu)造圓錐曲線模型（即分畛域）從而確定出最優(yōu)化區(qū)域。?

三、與概率分布、數(shù)學期望有關(guān)的應用問題?

隨著私家車的不斷增多，與車輛有關(guān)的問題急速多了起來，譬如保險問題。?

此題主要測驗獨立事情的概率、對立事情的概率、互斥事情的概率及二項分布的數(shù)學期望，測驗學生分析問題、解決問題的才能。?

根據(jù)以往統(tǒng)計資料，某地車主添置甲種保險的概率為0.5，添置乙種保險但不添置甲種保險的概率為0.3，設(shè)各車主添置保險相互獨立．?

(1)求該地1位車主至少添置甲、乙兩種保險中的1種的概率；?

(2)X表示該地的100位車主中,甲、乙兩種保險都不添置的車主數(shù)．求X的期望．?

解析記A表示事情:該地的1位車主添置甲種保險；?

B表示事情:該地的1位車主添置乙種保險但不添置甲種保險；?

C表示事情:該地的1位車主至少添置甲、乙兩種保險中的1種；?

D表示事情:該地的1位車主甲、乙兩種保險都不添置．?

(1)P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，C＝A＋B,?

∴P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.8.?

(2)D＝?C?，P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2,?

X～B(100，0.2),即X按照二項分布,?

∴期望E(X)＝100×0.2＝20．?

點撥概率與數(shù)學期望是理科加試中的?？碱}，測驗保險背景下的概率問題，要求考生純熟掌管獨立事情的概率、對立事情的概率、互斥事情的概率及二項分布的數(shù)學期望。?

牛刀小試?

1．某貧困鄉(xiāng)為提高當?shù)厝罕姷纳钏?，由政府投資興建了甲、乙兩個企業(yè)，2022年該鄉(xiāng)從甲企業(yè)獲得利潤320萬元，從乙企業(yè)獲得利潤720萬元．以后每年上交的利潤是：甲企業(yè)以1.5倍的速度遞增，而乙企業(yè)那么為上一年利潤的23．根據(jù)測算，該鄉(xiāng)從兩個企業(yè)獲得的利潤達成2000萬元時可以解決溫飽問題，達成?8100萬?元時可以達成小康水平．?

（1）若以2022年為第一年，那么該鄉(xiāng)從上述兩個企業(yè)獲得利潤最少的一年是那一年，該年還需要籌集多少萬元才能解決溫飽問題？?

（2）試估算2022年底該鄉(xiāng)能否達成小康水平？為什么？?

2．如圖，某隧道設(shè)計為雙向四車道，車道總寬?22?m??，要求通行車輛限高4.5?m?，隧道全長?2.5?km??，隧道的拱線近似地看成半個橢圓外形．?

（1）若最大拱高h為6?m?，那么隧道設(shè)計的拱寬l是多少？?

（2）若最大拱高h不小于6?m?，那么應如何設(shè)計拱高h和拱寬l，才能使半個橢圓形隧道的土方工程量最??？（半個橢圓的面積公式為S=?π?4lh，柱體體積為底面積乘以高．此題結(jié)果均精確到0.1?m?）?

3．本著健康、低碳的生活理念，租自行車騎游的人越來越多．某自行車租車點的收費標準是每車每次租不超過兩小時免費，超過兩小時的收費標準為每車每小時2元（缺乏1小時的片面按1小時計算）．甲乙兩人獨立來該租車點租車騎游，各租一車一次．設(shè)甲、乙不超過兩小時還車的概率分別為0.25，0.5；兩小時以上且不超過三小時還車的概率分別為0.5，0.25；兩人租車時間都不會超過四小時．?

（1）求甲、乙所付租車費用一致的概率；?

（2）設(shè)甲、乙兩人所付的租車費用之和為隨機變量X，求X的分布列與數(shù)學期望E(X)．?

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1.（1）設(shè)第n年該鄉(xiāng)從兩企業(yè)獲得總利潤為y萬元．?

y＝320×1.5??n－1?+720×23??n－1??

≥2320×32??n－1?×720×23??n－1??

＝960.?

當且僅當n＝2時，即2022年總利潤最少為?y＝?960萬元，故還需籌集2000－960=1040萬元才能解決溫飽問題．?

（2）2022年時，n=9，此時y=320×1.5?8+720×23?8＝8201.25＋28.09＞8100,?

即2022年底該鄉(xiāng)能達成小康水平．?

2．（1）如圖建立直角坐標系，那么點P（11，4.5），?

橢圓方程為x?2a?2+y?2b?2=1．將b=h=6與點P坐標代入橢圓方程，得a=4477，此時l=2a=8877≈33.3．?

因此隧道的拱寬約33.3?m?．?

（2）由橢圓方程x?2a?2+y?2b?2=1，得11?2a?2+4.5?2b?2=1．?

由于11?2a?2+4.5?2b?2≥2×11×4.5ab，即ab≥99，且?l=?2a，h=b，所以S=?π?4lh=?π?ab2≥99?π?2．?

當S取最小值時，有11?2a?2=4.5?2b?2=12，得a=?112?，b=922．此時l=2a=222≈31．1，?

h=b≈6．4.?

故當拱高約為6.4?m?、拱寬約為31.1?m?時，土方工程量最?。?

3.（1）所付費用一致即為0，2，4元．設(shè)付0元為P?1=1412=18，付2元為P?2=1214=18，付4元為P?3=1414=116，那么所付費用一致的概率為P=P?1+P?2+P?3=516.?

(2)X＝0，